Показательные уравнения. Продвинутый уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

В дополнение давай рассмотрим еще один способ — решение показательных уравнений методом логарифмирования. Не могу сказать, что решение показательных уравнений этим методом очень уж популярно, однако в некоторых случаях только он способен привести нас к правильному решению нашего уравнения. Особенно часто он используется для решения так называемых «смешанных уравнений»: то есть таких, где встречаются функции разного вида.

Например, уравнение вида:

\({{a}^{F(x)}}=b(x)\), причем \(b(x)\ne {{a}^{i}}\), \(i\)\(\in R/Q\)

в общем случае можно решить только логарифмированием обеих частей (например по основанию \(a\)), при котором исходное уравнение превратится в следующее:

\(F(x)=lo{{g}_{a}}b(x)\)

Давай рассмотрим следующий пример:

\({{x}^{1+lgx}}=10x\)

Ясно, что по ОДЗ логарифмической функции, нас интересуют только \(x>0\). Однако, это следует не только из ОДЗ логарифма, а еще по одной причине. Я думаю, что тебе не будет трудно угадать, по какой же именно.

Давай прологарифмируем обе части нашего уравнения по основанию \(10\):

\(lg({{x}^{1+lgx}})=lg(10x)\)

\((1+lg(x))\cdot lg(x)=1+lg(x)\)

\((1+lg(x))(lg(x)-1)=0\)

\(lg(x)=1,~lg(x)=-1\)

\({{x}_{1}}=10,~{{x}_{2}}=0,1\)

Как видишь, логарифмирование нашего исходного уравнения достаточно быстро привело нас к правильному (и красивому!) ответу. Давай потренируемся еще на одном примере:

\({{x}^{lo{{g}_{4}}x-2}}={{2}^{2(lo{{g}_{4}}x-1)}}\)

Здесь тоже нет ничего страшного: прологарифмируем обе стороны уравнения по основанию \(4\), тогда получим:

\(lo{{g}_{4}}({{x}^{lo{{g}_{4}}x-2}})=lo{{g}_{4}}({{2}^{2(lo{{g}_{4}}x-1)}});\)

\(\left( lo{{g}_{4}}x-2 \right)\text{lo}{{\text{g}}_{4}}x=2\left( \text{lo}{{\text{g}}_{4}}x-1 \right)\text{lo}{{\text{g}}_{4}}2;\)

\((lo{{g}_{4}}x-2)lo{{g}_{4}}x=(lo{{g}_{4}}x-1);\)

Сделаем замену: \(t=lo{{g}_{4}}x\)

\({{t}_{1}}=\frac{3+\sqrt{5}}{2},~{{t}_{2}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)

Тогда \({{x}_{1}}=lo{{g}_{4}}\left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right),~{{x}_{2}}=lo{{g}_{4}}\left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right),~\)

Однако, мы кое-что упустили! Ты заметил, где я сделал промах? Ведь \(\frac{3-\sqrt{5}}{2}<1,~\) тогда:

\({{x}_{2}}=lo{{g}_{4}}\left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right)<0,~~\) что не удовлетворяет требованию \(x>0\) (подумай откуда оно взялось!)

Ответ: \(lo{{g}_{4}}\left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)\)

Попробуй самостоятельно записать решение показательных уравнений приведенных ниже:

  1. \({{x}^{2l{{g}^{3}}x-1.5lgx}}=\sqrt{10}\)
  2. \({{(x+5)}^{lo{{g}_{7}}(x+5)}}=7\)

А теперь сверь свое решение с этим:

1. Логарифмируем обе части по основанию \(10\), учитывая, что \(x>0\):

\(\lg \left( {{x}^{2l{{g}^{3}}x-1.5lgx}} \right)=lg\sqrt{10}\)

\(\left( 2l{{g}^{3}}x-1.5lgx \right)lgx=\frac{1}{2},~\), замена \(~t=l{{g}^{2}}x\ge 0\)

\(4{{t}^{2}}-3t-1=0\)

\(4{{t}^{2}}-3t-1=0\) (второй корень нам не подходит ввиду замены)

\(l{{g}^{2}}x=1,~{{x}_{1}}=1,~{{x}_{2}}=0.1~\)

2. Логарифмируем по основанию \(\displaystyle 7\):

\(\displaystyle lo{{g}_{7}}{{\left( x+5 \right)}^{lo{{g}_{7}}\left( x+5 \right)}}=lo{{g}_{7}}7\)

Преобразуем полученное выражение к следующему виду:

\(\displaystyle \left( lo{{g}_{7}}\left( x+5 \right)+1 \right)\left( lo{{g}_{7}}\left( x+5 \right)-1 \right)=0\)

\(\displaystyle {{x}_{1}}=2,~{{x}_{2}}=-\frac{34}{7}\)

Проверь себя — реши задачи на показательные уравнения.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий