Показательные уравнения. Продвинутый уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

В дополнение давай рассмотрим еще один способ — решение показательных уравнений методом логарифмирования. Не могу сказать, что решение показательных уравнений этим методом очень уж популярно, однако в некоторых случаях только он способен привести нас к правильному решению нашего уравнения. Особенно часто он используется для решения так называемых «смешанных уравнений»: то есть таких, где встречаются функции разного вида.

Например, уравнение вида:

$latex {{a}^{F(x)}}=b(x)$, причем $latex b(x)\ne {{a}^{i}}$, $latex i$$latex \in R/Q$

в общем случае можно решить только логарифмированием обеих частей (например по основанию $latex a$), при котором исходное уравнение превратится в следующее:

$latex F(x)=lo{{g}_{a}}b(x)$

Давай рассмотрим следующий пример:

$latex {{x}^{1+lgx}}=10x$

Ясно, что по ОДЗ логарифмической функции, нас интересуют только $latex x>0$. Однако, это следует не только из ОДЗ логарифма, а еще по одной причине. Я думаю, что тебе не будет трудно угадать, по какой же именно.

Давай прологарифмируем обе части нашего уравнения по основанию $latex 10$:

$latex lg({{x}^{1+lgx}})=lg(10x)$

$latex (1+lg(x))\cdot lg(x)=1+lg(x)$

$latex (1+lg(x))(lg(x)-1)=0$

$latex lg(x)=1,~lg(x)=-1$

$latex {{x}_{1}}=10,~{{x}_{2}}=0,1$

Как видишь, логарифмирование нашего исходного уравнения достаточно быстро привело нас к правильному (и красивому!) ответу. Давай потренируемся еще на одном примере:

$latex {{x}^{lo{{g}_{4}}x-2}}={{2}^{2(lo{{g}_{4}}x-1)}}$

Здесь тоже нет ничего страшного: прологарифмируем обе стороны уравнения по основанию $latex 4$, тогда получим:

$latex lo{{g}_{4}}({{x}^{lo{{g}_{4}}x-2}})=lo{{g}_{4}}({{2}^{2(lo{{g}_{4}}x-1)}});$

$latex \left( lo{{g}_{4}}x-2 \right)\text{lo}{{\text{g}}_{4}}x=2\left( \text{lo}{{\text{g}}_{4}}x-1 \right)\text{lo}{{\text{g}}_{4}}2;$

$latex (lo{{g}_{4}}x-2)lo{{g}_{4}}x=(lo{{g}_{4}}x-1);$

Сделаем замену: $latex t=lo{{g}_{4}}x$

$latex {{t}_{1}}=\frac{3+\sqrt{5}}{2},~{{t}_{2}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$

Тогда $latex {{x}_{1}}=lo{{g}_{4}}\left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right),~{{x}_{2}}=lo{{g}_{4}}\left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right),~$

Однако, мы кое-что упустили! Ты заметил, где я сделал промах? Ведь $latex \frac{3-\sqrt{5}}{2}<1,~$ тогда:

$latex {{x}_{2}}=lo{{g}_{4}}\left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right)<0,~~$ что не удовлетворяет требованию $latex x>0$ (подумай откуда оно взялось!)

Ответ: $latex lo{{g}_{4}}\left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)$

Попробуй самостоятельно записать решение показательных уравнений приведенных ниже:

  1. $latex {{x}^{2l{{g}^{3}}x-1.5lgx}}=\sqrt{10}$
  2. $latex {{(x+5)}^{lo{{g}_{7}}(x+5)}}=7$

А теперь сверь свое решение с этим:

1. Логарифмируем обе части по основанию $latex 10$, учитывая, что $latex x>0$:

$latex \lg \left( {{x}^{2l{{g}^{3}}x-1.5lgx}} \right)=lg\sqrt{10}$

$latex \left( 2l{{g}^{3}}x-1.5lgx \right)lgx=\frac{1}{2},~$, замена $latex ~t=l{{g}^{2}}x\ge 0$

$latex 4{{t}^{2}}-3t-1=0$

$latex 4{{t}^{2}}-3t-1=0$ (второй корень нам не подходит ввиду замены)

$latex l{{g}^{2}}x=1,~{{x}_{1}}=1,~{{x}_{2}}=0.1~$

2. Логарифмируем по основанию $latex \displaystyle 7$:

$latex \displaystyle lo{{g}_{7}}{{\left( x+5 \right)}^{lo{{g}_{7}}\left( x+5 \right)}}=lo{{g}_{7}}7$

Преобразуем полученное выражение к следующему виду:

$latex \displaystyle \left( lo{{g}_{7}}\left( x+5 \right)+1 \right)\left( lo{{g}_{7}}\left( x+5 \right)-1 \right)=0$

$latex \displaystyle {{x}_{1}}=2,~{{x}_{2}}=-\frac{34}{7}$

Проверь себя — реши задачи на показательные уравнения.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий