Построение графика обратной зависимости. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Чтобы понять то, что здесь будет написано, тебе нужно хорошо знать, что такое обратная зависимость, и с чем ее едят. Если ты уверен, что знаешь все об обратной зависимости, добро пожаловать. Но если нет, тебе стоит прочитать тему «Обратная зависимость».

Также очень советую научиться сперва строить график квадратичной функции, так как есть некоторые общие принципы для построения графика квадратичной и обратной зависимостей.

Начнем с небольшой проверки:

Что такое обратная пропорциональность?

Как выглядит функция, описывающая обратную зависимость в общем виде (формула)?

Как называется график такой функции?

Какие коэффициенты влияют на график функции, и как?

Если ты сходу смог ответить на эти вопросы, продолжай читать. Если хоть один вопрос вызвал затруднения, перейди по ссылке.

Итак, ты уже умеешь обращаться с обратной зависимостью, анализировать ее график и строить график по точкам.

Напоминаю: обратная зависимость в общем виде задается функцией

\(y=\frac{k}{x-a}+b\), \(k\ne 0\).

Давай вкратце вспомним, что делают коэффициенты.

\(\displaystyle k\) – отвечает за «пологость» и направление графика: чем больше этот коэффициент, тем дальше от начала координат располагается гипербола, и, следовательно, она менее круто «поворачивает» (см. рисунок). Знак коэффициента \(\displaystyle k\) влияет на то, в каких четвертях расположен график: если \(\displaystyle k>0\), то ветви гиперболы расположены в \(\displaystyle I\) и \(\displaystyle III\) четвертях; если \(\displaystyle k<0\), то во \(\displaystyle II\) и \(\displaystyle IV\).

453_1

Дальше – число \(\displaystyle a\). Если внимательно посмотреть на знаменатель, видим, что \(\displaystyle a\) – это такое число, которому не может равняться \(\displaystyle x\). То есть \(x=a\) – это вертикальная асимптота, то есть вертикаль, к которой стремится график (на рисунке выше↑ такой вертикалью является ось \(\displaystyle Oy\)):

453_2

ОК, осталось еще одно число: \(\displaystyle b\). C ним все еще проще: если у нас уже есть гипербола \(y=\frac{k}{x-a}\) (например, как на рисунке выше↑), а мы хотим гиперболу \(y=\frac{k}{x-a}+b\), то получается, что ордината каждой точки графика должны стать больше на \(\displaystyle b\), то есть нужно просто весь график сместить вверх на \(\displaystyle b\):

453_3

Как видим, теперь график стремится по горизонтали к прямой \(y=2\) вместо оси \(Ox\), как было раньше. Такая прямая называется горизонтальной асимптотой.

Теперь давай научимся строить простейшую гиперболу – \(y=\frac{k}{x}\).

Достаточно помнить, как она выглядит, и тогда нам хватит всего трех-четырех точек.

Например, построим гиперболу \(y=\frac{3}{x}\).

Составим таблицу из \(4\) точек, которые принадлежат одной ветке (например, правой):

\(x\) \(\frac{1}{2}\) \(\displaystyle 1\) \(\displaystyle 3\) \(\displaystyle 6\)
\(y\) \(\displaystyle 6\) \(\displaystyle 3\) \(\displaystyle 1\) \(\frac{1}{2}\)

Отмечаем точки на рисунке:

453_4

Проводим через них плавную линию, которая краями приближается к осям:

453_5

Это одна ветвь гиперболы. Проверить правильность построения этой кривой можно так: она должна быть симметрична относительно биссектрисы угла между осями координат:

453_6

Отлично, осталось вспомнить, что собой представляет вторая ветвь? Это точно такая же кривая, расположенная симметрично относительно начала координат. То есть как будто оси теперь направлены не снизу вверх и слева направо, а наоборот: сверху вниз и справа налево, и мы рисуем ту же самую ветвь гиперболы. Вот:

453_7

Еще один полезный факт. Посмотри на красные точки на графике. Видно, что их абсцисса совпадает с ординатой. Так вот, эти абсцисса с ординатой равны \(\sqrt{k}\) для правой ветви гиперболы, и \(-\sqrt{k}\) для левой. Для функций, у которых \(k\) – точный квадрат (например, \(1\), \(4\) или \(\displaystyle \frac{1}{4}\)), эту точку, относительно которой ветвь гиперболы симметрична, будет очень легко поставить. В этом случае достаточно даже трех точек, чтобы построить график.

Например, построим график функции \(y=\frac{4}{x}\). Как и в прошлый раз, начнем с правой ветви. Точка симметрии: \(\displaystyle x=y=2\). Выберем еще одну точку, например, \(\displaystyle x=1\), \(\displaystyle y=4\). У третьей точки координаты будут наоборот: \(\displaystyle x=4\), \(\displaystyle y=1\). Рисуем:

453_8

И теперь симметрично отображаем эту ветвь в третью координатную четверть:

453_9

Теперь выясним, что будет, если \(\displaystyle k<0\)? Очень просто: если есть график функции с таким же по величине, но положительным \(\displaystyle k\), то нужно просто отразить его относительно оси \(\displaystyle Ox\), то есть правая ветвь теперь будет ниже оси \(\displaystyle Ox\)  (в \(\displaystyle IV\) четверти), а левая – выше (в \(\displaystyle III\) четверти). Принцип построения же останется прежним:

453_10

Ну что же, осталось объединить все то, что мы уже выяснили.

Итак, вот правило построения графика функции \(y=\frac{k}{x-a}+b\):

0) Определяем коэффициенты \(\displaystyle k\), \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\).

1) Строим график функции \(y=\frac{k}{x}\) (сначала по 3-4 точкам правую ветвь, потом симметрично рисуем левую ветвь).

2) График должен быть сдвинут вправо на \(\displaystyle a\). Но проще двигать не график, а оси, так что ось \(\displaystyle Oy\) сдвигаем влево на \(\displaystyle a\).

3) График должен быть сдвинут вверх на \(\displaystyle b\). Но проще двигать не график, а оси, так что ось \(\displaystyle Ox\) сдвигаем вниз на \(\displaystyle b\).

4) Старые оси (прямые, которые служили нам осями в пункте 1) оставляем в виде пунктирных линий. Это теперь просто вертикальная и горизонтальная асимптоты.

Примеры:

1. \(y=\frac{2}{x-1}+1\)

2. \(y=\frac{1}{2-x}-1\)

3. \(y=\frac{2}{2-3x}+2\)

4. \(y=\frac{x-3}{{{x}^{2}}-9}\)

5. \(y=1-\frac{2{x}-5}{4{{x}^{2}}-4{x}-15}\)

6. \(y=\frac{2{x}-1}{x+3}+1\).

Решения:

1. Пойдем по порядку по пунктам.

0) \(\displaystyle k=2\); \(\displaystyle a=1\); \(\displaystyle b=1\)

1) \(y=\frac{2}{x}\):

453_11

2) , 3) и 4):

453_12

2. Сначала преобразуем выражение:

\(y=\frac{1}{2-x}-1=\frac{-1}{x-2}-1\).

Теперь ясно, что \(\displaystyle k=-1\); \(\displaystyle a=2\); \(\displaystyle b=-1\):

453_13

3. \(\displaystyle y=\frac{2}{2-3x}+2=\frac{-2}{3{x}-2}+2=\frac{-2}{3\left( x-\frac{2}{3} \right)}+2=\frac{-\frac{2}{3}}{x-\frac{2}{3}}+2\).

\(k=-\frac{2}{3}\); \(a=\frac{2}{3}\); \(b=2\):

453_14

4. \(y=\frac{x-3}{{{x}^{2}}-9}=\frac{x-3}{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)}=\frac{1}{x+3},\text{ }x\ne 3\).

\(k=1\), \(a=-3\), \(b=0\). Дополнительное условие \(x\ne 3\) означает, что на графике появится выколотая точка c абсциссой \(x=3\):

453_15

5. \(y=1-\frac{2{x}-5}{4{{x}^{2}}-4{x}-15}\). Ты уже, наверное, догадался, что вместо того, чтобы смотреть на эту функцию квадратными глазами и говорить «Что это??!!», нужно просто взять и упростить выражение. Если не знаешь, как это делать, то тебе прямая дорога в тему «Преобразование выражений». Да-да, прямо сейчас, все бросай и переходи по ссылке!

Итак, если ты уже усвоил тему «Преобразование выражений», то тебе не составит труда упростить нашу функцию. Вот что должно получиться:

\(y=1-\frac{2{x}-5}{4{{x}^{2}}-4{x}-15}=1-\frac{1}{2x+3}=\frac{-\frac{1}{2}}{x+\frac{3}{2}}+1,\text{ }x\ne \frac{5}{2}\).

\(k=-\frac{1}{2}\), \(a=-\frac{3}{2}\), \(b=1\), выколотая точка \(x\ne \frac{5}{2}\):

453_16

6. \(y=\frac{2{x}-1}{x+3}+1\). Здесь нужно не то чтобы упростить, тут нужно привести выражение к виду обратной зависимости. Мы такие штуки делали в теме «Обратная зависимость»:

\(y=\frac{2{x}-1}{x+3}+1=\frac{2x+6-6-1}{x+3}+1=\frac{2\left( x+3 \right)-7}{x+3}+1=\frac{2\left( x+3 \right)}{x+3}-\frac{7}{x+3}+1=2-\frac{7}{x+3}+1\)

\(y=-\frac{7}{x+3}+3\):

453_17

Ну вот и все, ты научился строить любую гиперболу.

Замечу также, что правила построения гиперболы оказались немного проще, чем для параболы, ведь каждое число просто сдвигает график в какую-то одну сторону. И друг с другом коэффициенты не связаны.

Успехов!

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *