Построение графика линейной функции. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Чтобы понять то, что здесь будет написано, тебе нужно хорошо знать, что такое линейная функция, и с чем ее едят. Если ты считаешь себя профи по части линейных функций, добро пожаловать. Но если нет, тебе стоит прочитать тему «Линейная функция».

Начнем с небольшой проверки:

Как выглядит линейная функция в общем виде (формула)?

Почему она называется линейной?

Как влияет коэффициент при $latex \displaystyle x$ на график линейной функции?

Если ты сходу смог ответить на эти вопросы, продолжай читать. Если хоть один вопрос вызвал затруднения, прочти тему «Линейная функция».

Итак, ты уже умеешь обращаться с линейной функцией, анализировать ее график и строить график по точкам. Кстати, сколько нужно точек, чтобы построить график линейной функции?

Скажу сразу, эта тема настолько простая, что много нового ты здесь не выучишь. Но ты научишься не теряться во всяких нестандартных ситуациях.

Итак, дамы и господа, линейная функция: $latex \displaystyle y=kx+b$.

Построение графика линейной функции: ты берешь два каких-либо икса, (например, $latex \displaystyle 0$ и $latex \displaystyle 1$), подставляешь их в формулу, находишь соответствующие игреки.

Затем отмечаешь эти две точки на координатной плоскости, прикладываешь линейку, и график готов. Просто и быстро, и ничего выдумывать не надо.

Но бывает, что функция задана по-другому, например, неявно. Сейчас разберем, как быстро справляться с такими ситуациями.

Разберем пример:

Постройте график уравнения $latex \displaystyle 2y+3x=6$.

Ну а что тут сложного? Чтобы произвести построение графика линейной функции выражаем y и строим по точкам. Это да, но можно сделать проще и интересней.

Выясним, в какой точке эта прямая будет пересекать ось $latex \displaystyle Ox$. Что характерно для этой точке? Правильно, $latex \displaystyle y=0$. Так и пишем:

$latex \displaystyle 2\cdot 0+3x=6\text{  }\Rightarrow \text{  }x=2$

А теперь проделаем то же самое с другой осью: в какой точке график пересекает ось $latex \displaystyle Oy$?

$latex \displaystyle x=0\text{  }\Rightarrow \text{  }2y+3\cdot 0=6\text{  }\Rightarrow \text{  }y=3$

Вот и они – две точки графика. Осталось только приложить линейку:

Построение графика линейной функции рис. 1

Согласись, это было быстро и просто?

А теперь сам:

$latex \displaystyle 4x-5y=3$

Ладно, а как еще можно задать функцию?

Ну, например словесно:

Прямая проходит через точку $latex \displaystyle A\left( 2;3 \right)$, а ее угловой коэффициент равен $latex \displaystyle 0,75$.

Ну что же, вспоминаем: что такое угловой коэффициент?

Это, с одной стороны, коэффициент при $latex \displaystyle x$, а с другой – это тангенс угла между прямой и осью $latex \displaystyle Ox$. Вот это мы и используем когда делаем построение графика линейной функции: ставим точку $latex \displaystyle A$, и рисуем прямоугольный треугольник так, что один его катет параллелен оси $latex \displaystyle Ox$, а другой – перпендикулярен. При этом второй катет должен быть ровно в $latex \displaystyle 0,75$ раз больше первого. Очень удобно в этом случае, чтобы первый катет был равен $latex \displaystyle 4$, тогда второй будет равен $latex \displaystyle 3$:

Построение графика линейной функции рис. 2

Теперь реши сам:

Прямая, уравнение которой имеет вид $latex y=-2x+b$ ($latex b$ неизвестно), проходит через точку $latex M\left( 1;2 \right)$. Постройте ее.

Справился?

Должно получиться вот так:

Построение графика линейной функции рис. 3

Еще пример:

Произведи построение графика линейной функции и найди уравнение прямой, проходящей через точку $latex A\left( 3;1 \right)$ и параллельной прямой $latex y=-1,5x+1$. Строить график прямой $latex y=-1,5x+1$ нельзя.

О, это что-то новенькое. Про параллельность прямых мы еще не учили.

Но как обычно, все просто. Нарисуем несколько параллельных прямых на координатной плоскости:

Построение графика линейной функции рис. 4

Что у них общего? Вообще, какие параметры важны для графиков? Конечно же, коэффициенты $latex k$ и $latex b$. И сразу становится ясно: раз $latex k$ отвечает за наклон, а наклон у них одинаковый (это же параллельные прямые, а ось $latex Ox$ – секущая), значит, у них одинаковый коэффициент $latex k$!

Вернемся к задаче. Напомню условие:

Произведи построение графика линейной функции и найди уравнение прямой, проходящей через точку $latex A\left( 3;1 \right)$ и параллельной прямой $latex y=-1,5x+1$.

Итак, угловой коэффициент нашей прямой $latex y=-1,5x+1$ равен угловому коэффициенту прямой , то есть $latex -1,5$. Теперь задача становится точь в точь как мы решали до этого:

Построение графика линейной функции рис. 5

График пересекает ось ординат в точке $latex \displaystyle y=5,5$. Это и есть коэффициент $latex \displaystyle b$:

$latex \displaystyle y=-1,5x+5,5$

И снова пример для самостоятельного решения:
Произведи построение графика линейной функции и найди уравнение прямой, проходящей через точку $latex A\left( -1;2 \right)$ и параллельной прямой $latex y=2x+8$. Строить график прямой $latex y=2x+8$ нельзя.

Ответ: $latex y=2x+4$.

И еще один тип прямых. Самый простой из всех:

$latex y=\frac{{{x}^{2}}-1}{x+1}$

Хм… Даже на линейную функцию непохоже, чего это он самый простой?

А вот почему: достаточно небольшого преобразования, и получится самая обычная линейная функция:

$latex y=\frac{{{x}^{2}}-1}{x+1}=\frac{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}{x+1}=x-1$

Вот и все!

А, нет, не все… еще ведь ОДЗ: на ноль делить нельзя, бла бла бла…

Ладно, ничего сложного здесь нет: $latex x+1\ne 0\text{  }\Rightarrow \text{  }x\ne -1$. Это и есть все отличие от обычной прямой : просто надо будет выколоть из графика одну точку: $latex y=x-5$.

Построение графика линейной функции рис. 7

Теперь сам: $latex y=\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{x-2}$.

Ответ: $latex y=x-1,\text{ }x\ne 2$

Ну вот, ты увидел, как можно строить график любой линейной функции. Конечно, можно было бы придумать еще миллион «интересных случаев», но хватит терять время на эту халявную тему, пора уже перейти к более серьезным вещам.

Удачи!

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий