Преобразование выражений. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Преобразование выражений

Часто мы слышим эту неприятную фразу: «упростите выражение». Обычно при этом перед нами какое-то страшилище типа этого:

$latex \frac{\frac{m-n}{2m-n}-\frac{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+m}{2{{m}^{2}}+mn-{{n}^{2}}}}{\left( 4{{n}^{4}}+4m{{n}^{2}}+{{m}^{2}} \right):\left( 2{{n}^{2}}+m \right)}\cdot \left( {{n}^{2}}+n+mn+m \right):\frac{n+1}{2m-n}$

«Да куда уж проще» – говорим мы, но такой ответ обычно не прокатывает.

Сейчас я научу тебя не бояться никаких подобных задач. Более того, в конце занятия ты сам упростишь этот пример до (всего лишь!) обычного числа $latex \displaystyle -1$ (да-да, к черту эти буквы).

Но прежде чем приступить к этому занятию, тебе необходимо уметь обращаться с дробями и раскладывать многочлены на множители. Поэтому сперва, если ты этого не сделал раньше, обязательно освой темы «Дроби, рациональные числа» и «Разложение на множители».

Прочитал? Если да, то теперь ты готов.

Базовые операции упрощения

Сейчас разберем основные приемы, которые используются при упрощении выражений.

Самый простой из них – это

1. Приведение подобных

Что такое подобные? Ты проходил это в 7 классе, как только впервые в математике появились буквы вместо чисел. Подобные – это слагаемые (одночлены) с одинаковой буквенной частью. Например, в сумме $latex \displaystyle 2ab+3ab+b$ подобные слагаемые – это $latex \displaystyle 2ab$ и $latex \displaystyle 3ab$.

Вспомнил?

Привести подобные – значит сложить несколько подобных слагаемых друг с другом и получить одно слагаемое.

А как же нам сложить друг с другом буквы? – спросишь ты.

Это очень легко понять, если представить, что буквы – это какие-то предметы. Например, буква $latex \displaystyle a$ – это стул. Тогда чему равно выражение $latex \displaystyle 2a+3a$? Два стула плюс три стула, сколько будет? Правильно, $latex \displaystyle 5$ стульев: $latex \displaystyle 2a+3a=5a$.

А теперь попробуй такое выражение: $latex \displaystyle 2a+3b-a+8b+7a$.

Чтобы не запутаться, пусть разные буквы обозначают разны предметы. Например, $latex \displaystyle a$ – это (как обычно) стул, а $latex \displaystyle b$ – это стол. Тогда:

$latex \displaystyle 2a+3b-a+8b+7a=2$стула$latex \displaystyle+3$стола$latex \displaystyle-$стул$latex \displaystyle+8$столов$latex \displaystyle +7$стульев$latex \displaystyle =8$стульев$latex \displaystyle +11$столов$latex \displaystyle =8a+11b$

Числа, на которые умножаются буквы в таких слагаемых называются коэффициентами. Например, в одночлене $latex \displaystyle 3a{{b}^{2}}$ коэффициент равен $latex \displaystyle 3$. А в $latex \displaystyle -7bx$ он равен $latex \displaystyle \left( -7 \right)$.

Итак, правило приведения подобных: 

Чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и приписать буквенную часть.

 

Примеры:

Приведите подобные:

1. $latex \displaystyle a-2b+3b+6a$

2. $latex \displaystyle a+ab-3a+2ba$

3. $latex \displaystyle {{a}^{2}}b+a{{b}^{2}}-ab+2a{{b}^{2}}$

Ответы:

1. $latex \displaystyle \underline{a}-\underline{\underline{2b}}+\underline{\underline{3b}}+\underline{6a}=7a+b$.

2. $latex \displaystyle \underline{a}+\underline{\underline{ab}}-\underline{3a}+\underline{\underline{2ba}}=-2a+3ab$ ($latex \displaystyle ab$ и $latex \displaystyle 2ba$ подобны, так как $latex \displaystyle 2ba=2ab$, следовательно у этих слагаемых одинаковая буквенная часть).

3. $latex \displaystyle {{a}^{2}}b+\underline{a{{b}^{2}}}-ab+\underline{2a{{b}^{2}}}={{a}^{2}}b+\underline{3}\underline{a{{b}^{2}}}-ab$.

Больше задач — после регистрации.

2. Разложение на множители

Это обычно самая важная часть в упрощении выражений. После того как ты привел подобные, чаще всего полученное выражение нужно разложить на множители, то есть представить в виде произведения. Особенно это важно в дробях: ведь чтобы можно было сократить дробь, числитель и знаменатель должны быть представлены в виде произведения.

Подробно способы разложения выражений на множители ты проходил в теме «Разложение на множители», поэтому здесь тебе остается только вспомнить выученное. Для этого реши несколько примеров (нужно разложить на множители):

1. $latex \displaystyle a{{b}^{2}}+{{a}^{2}}c$

2. $latex \displaystyle {{a}^{3}}{{b}^{4}}-3a{{b}^{2}}+8{{a}^{2}}{{b}^{3}}$

3. $latex \displaystyle 4{{x}^{2}}-16xy+16{{y}^{2}}$

4. $latex \displaystyle {{a}^{2}}+6ay+9{{y}^{2}}-4$

Решения:

1. $latex \displaystyle a{{b}^{2}}+{{a}^{2}}c=a\left( {{b}^{2}}+ac \right)$

2. $latex \displaystyle {{a}^{3}}{{b}^{4}}-3a{{b}^{2}}+8{{a}^{2}}{{b}^{3}}=a{{b}^{2}}\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}-3+8ab \right)$

3. $latex \displaystyle 4{{x}^{2}}-16xy+16{{y}^{2}}=4\left( {{x}^{2}}-4xy+4{{y}^{2}} \right)=4{{\left( x-2y \right)}^{2}}$

4. $latex \displaystyle {{a}^{2}}+6ay+9{{y}^{2}}-4={{\left( a+3y \right)}^{2}}-{{2}^{2}}=\left( a+3y-2 \right)\left( a+3y+2 \right)$.

Больше задач — после регистрации.

3. Сокращение дроби.

Ну что может быть приятнее, чем зачеркнуть часть числителя и знаменателя, и выбросить их из своей жизни?

В этом вся прелесть сокращения.

Все просто:

Если числитель и знаменатель содержат одинаковые множители, их можно сократить, то есть убрать из дроби.

Это правило вытекает из основного свойства дроби:

Числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.

То есть суть операции сокращения в том, что числитель и знаменатель дроби делим на одно и то же число (или на одно и то же выражение).

Чтобы сократить дробь, нужно:

1) числитель и знаменатель разложить на множители

2) если в числителе и знаменателе есть общие множители, их можно вычеркнуть.

Примеры:

$latex \displaystyle \frac{72}{30}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3}{2\cdot 3\cdot 5}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3}{2\cdot 3\cdot 5}=\frac{2\cdot 2\cdot 3}{5}=\frac{12}{5}$.

$latex \displaystyle \frac{a\left( a+b \right)}{{{a}^{2}}}=\frac{a\left( a+b \right)}{a\cdot a}=\frac{a+b}{a}$

$latex \displaystyle \frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}}=\frac{\left( a-b \right)\left( a+b \right)}{{{\left( a+b \right)}^{2}}}=\frac{\left( a-b \right)\left( a+b \right)}{\left( a+b \right)\left( a+b \right)}=\frac{a-b}{a+b}$

Принцип, я думаю, понятен?

Хочу обратить внимание на одну типичную ошибку при сокращении. Хоть эта тема и простая, но очень многие делают все неправильно, не понимая, что сократить – это значит поделить числитель и знаменатель на одно и то же число.

Сокращать можно только множители.

Никаких сокращений, если в числителе или знаменателе сумма.

Например: надо упростить $latex \displaystyle \frac{{{x}^{2}}+2x+3}{{{x}^{2}}+2x-3}$.

Некоторые делают так: $latex \displaystyle \frac{{{x}^{2}}+2x+3}{{{x}^{2}}+2x-3}=-1$, что абсолютно неверно.

Еще пример: сократить $latex \displaystyle \frac{{{x}^{2}}+xy+1}{{{y}^{2}}+xy+1}$.

«Самые умные» сделают так: $latex \frac{{{x}^{2}}+xy+1}{{{y}^{2}}+xy+1}=\frac{x\left( x+y \right)+1}{y\left( x+y \right)+1}=\frac{x+1}{y+1}$.

Скажи мне, что здесь неверно? Казалось бы: $latex \left( x+y \right)$ – это множитель, значит можно сокращать.

Но нет: $latex \left( x+y \right)$ – это множитель только одного слагаемого в числителе, но сам числитель в целом на множители не разложен.

Вот другой пример: $latex \frac{abc}{5ac}$.

$latex \frac{a\cdot b\cdot c}{5\cdot a\cdot c}$ – это выражение разложено на множители, значит, можно сократить, то есть поделить числитель и знаменатель на $latex a$, а потом и на $latex c$:

$latex \frac{a\cdot b\cdot c\text{ }:a}{5\cdot a\cdot c\text{ }:a}=\frac{b\cdot c\text{ }:c}{5\cdot c\text{ }:c}=\frac{b}{5}$ – верно.

Можно и сразу поделить на $latex ac$:

$latex \frac{a\cdot b\cdot c\text{ }:ac}{5\cdot a\cdot c\text{ }:ac}=\frac{b}{5}$.

Чтобы не допускать подобных ошибок, запомни легкий способ, как определить, разложено ли выражение на множители:

Арифметическое действие, которое выполняется последним при подсчете значения выражения, является «главным». То есть, если ты подставишь вместо букв какие-нибудь (любые) числа, и попытаешься вычислить значение выражения, то если последним действием будет умножение – значит, у нас произведение (выражение разложено на множители). Если последним действием будет сложение или вычитание, это значит, что выражение не разложено на множители (а значит, сокращать нельзя).

Для закрепления реши самостоятельно несколько примеров:

1. $latex \frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}$

2. $latex \frac{{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}$

3. $latex \frac{{{x}^{2}}y-4y}{{{x}^{2}}-4x+4}$

4. $latex \frac{{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}$

Ответы:

1. Надеюсь, ты не бросился сразу же сокращать $latex {{x}^{2}}$ и $latex x$? Еще не хватало «сократить» единицы типа такого:

$latex \frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}=\frac{{{x}^{2}}}{x}=x$

Первым действием должно быть разложение на множители:

$latex \frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}=\frac{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}{\left( x-1 \right)}=x+1$.

2. $latex \frac{{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}=\frac{\text{   }{{\left( x+y \right)}^{2}}\text{    }:\left( x+y \right)}{\left( x-y \right)\left( x+y \right):\left( x+y \right)}=\frac{x+y}{x-y}$

3. $latex \frac{{{x}^{2}}y-4y}{{{x}^{2}}-4x+4}=\frac{y\left( {{x}^{2}}-4 \right)}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\frac{y\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\frac{y\left( x+2 \right)}{\left( x-2 \right)}$

4. $latex \frac{{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}=\frac{\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)}{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}=a-b$.

Больше задач — после регистрации.

4. Сложение и вычитание дробей. Приведение дробей к общему знаменателю.

Сложение и вычитание обычных дробей – операция хорошо знакомая: ищем общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители. Давай вспомним:

1. $latex \frac{2}{3}-\frac{1}{4}$

2. $latex \frac{3}{8}+\frac{2}{6}-\frac{5}{2}$

3. $latex 3\frac{4}{7}-1\frac{2}{3}$

Ответы:

1. Знаменатели $latex 3$ и $latex 4$ – взаимно простые, то есть у них нет общих множителей. Следовательно, НОК этих чисел равен их произведению. Это и будет общий знаменатель:

$latex \frac{2\cdot 4-1\cdot 3}{3\cdot 4}=\frac{5}{12}$

2. Здесь общий знаменатель равен $latex 24$:

$latex \frac{3\cdot 3+2\cdot 4-5\cdot 12}{24}=\frac{-43}{24}$.

3. Здесь первым делом смешанные дроби превращаем в неправильные, а дальше – по привычной схеме:

$latex \displaystyle 3\frac{4}{7}-1\frac{2}{3}=\frac{25\cdot 3}{7}-\frac{5\cdot 7}{3}=\frac{75-35}{21}=\frac{40}{21}$.

Совсем другое дело, если дроби содержат буквы, например:

$latex \displaystyle \frac{{{a}^{2}}b}{4}+\frac{a}{6}$ или $latex \displaystyle \frac{x}{x-2}+\frac{2{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}$.

Начнем с простого:

a) Знаменатели не содержат букв

Здесь все то же, что и с обычными числовыми дробями: находим общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители:

$latex \displaystyle \frac{{{a}^{2}}b}{4}+\frac{a}{6}\overset{\text{общий знаменатель равен 12}}{\mathop{=}}\,\frac{{{a}^{2}}b\cdot 3}{4}+\frac{a\cdot 2}{6}=\frac{3{{a}^{2}}b+2a}{12}$

теперь в числителе можно приводить подобные, если есть, и раскладывать на множители:

$latex \displaystyle \frac{{{a}^{2}}b}{4}+\frac{a}{6}=\frac{3{{a}^{2}}b+2a}{12}=\frac{a\left( 3ab+2 \right)}{12}$.

Попробуй сам:

1. $latex \displaystyle \frac{ab}{3}-\frac{2a{{b}^{2}}}{5}$

2. $latex \displaystyle \frac{3a+1}{4}+\frac{2a-3}{10}$

3. $latex \displaystyle \frac{2{{x}^{2}}-5}{3}+\frac{3x+2}{2}-\frac{2{{x}^{2}}-2x-1}{4}$

Ответы:

1. $latex \displaystyle \frac{5ab-3\cdot 2ab}{15}=\frac{5ab-6ab}{15}=-\frac{ab}{15}$

2. $latex \displaystyle \frac{5\left( 3a+1 \right)+2\left( 2a-3 \right)}{20}=\frac{15a+5+4a-6}{20}=\frac{19a-1}{20}$.

3. $latex \displaystyle \begin{array}{l}\frac{4\left( 2{{x}^{2}}-5 \right)+6\left( 3x+2 \right)-3\left( 2{{x}^{2}}-2x-1 \right)}{12}=\\=\frac{\underline{8{{x}^{2}}}-\underline{\underline{20}}+\underline{\underline{\underline{18x}}}+\underline{\underline{12}}-\underline{6{{x}^{2}}}+\underline{\underline{\underline{6x}}}+\underline{\underline{3}}}{12}=\frac{2{{x}^{2}}-5+24x}{12}\end{array}$.

b) Знаменатели содержат буквы

Давай вспомним принцип нахождения общего знаменателя без букв:

· в первую очередь мы определяем общие множители;

· затем выписываем все общие множители по одному разу;

· и домножаем их на все остальные множители, не общие.

Пример: $latex \displaystyle \frac{1}{12}+\frac{1}{30}$.

Чтобы определить общие множители знаменателей, сперва разложим их на простые множители:

$latex \displaystyle 12=2\cdot 2\cdot 3$;

$latex \displaystyle 30=2\cdot 3\cdot 5$.

$latex \displaystyle 12=\underline{2}\cdot 2\cdot \underline{\underline{3}}$;

$latex \displaystyle 30=\underline{2}\cdot \underline{\underline{3}}\cdot 5$.

Подчеркнем общие множители:

Теперь выпишем общие множители по одному разу и допишем к ним все необщие (не подчеркнутые) множители:

$latex \displaystyle \underline{\text{2}}\cdot \underline{\underline{\text{3}}}\cdot \text{2}\cdot \text{5}=60$ – это и есть общий знаменатель.

Вернемся к буквам. Знаменатели приводятся по точно такой же схеме:

· раскладываем знаменатели на множители;

· определяем общие (одинаковые) множители;

· выписываем все общие множители по одному разу;

· домножаем их на все остальные множители, не общие.

Пример: $latex \displaystyle \frac{1}{a{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{a}^{2}}b}$.

Итак, по порядку:

1) раскладываем знаменатели на множители:

$latex \displaystyle a{{b}^{2}}=a\cdot b\cdot b$

$latex \displaystyle {{a}^{2}}b=a\cdot a\cdot b$

2) определяем общие (одинаковые) множители:

$latex \displaystyle a{{b}^{2}}=\underline{a}\cdot \underline{\underline{b}}\cdot b$

$latex \displaystyle {{a}^{2}}b=\underline{a}\cdot a\cdot \underline{\underline{b}}$

3) выписываем все общие множители по одному разу и домножаем их на все остальные (неподчеркнутые) множители:

$latex \displaystyle \underline{a}\cdot \underline{\underline{b}}\cdot a\cdot b={{a}^{2}}{{b}^{2}}$.

Значит, общий знаменатель здесь $latex \displaystyle {{a}^{2}}{{b}^{2}}$. Первую дробь нужно домножить на $latex \displaystyle a$, вторую – на $latex \displaystyle b$:

$latex \frac{1}{a{{b}^{2}}}\ \cdot \ a+\frac{1}{{{a}^{2}}b}\ \cdot \ b=\frac{a+b}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}$

Кстати, есть одна хитрость:

Если в разных знаменателях есть один и тот же множитель в разной степени, то в общем знаменателе такой множитель будет в максимальной из этих степеней.

Например: $latex \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}{{x}^{2}}{{b}^{3}}y}-\frac{1}{a{{x}^{3}}{{b}^{2}}{{y}^{4}}}$.

Видим в знаменателях одни и те же множители, только все с разными показателями. В общий знаменатель пойдут:

$latex \displaystyle \mathbf{a}$ в степени $latex \displaystyle 2$

$latex \displaystyle x$ в степени $latex \displaystyle 3$

$latex \displaystyle b$ в степени $latex \displaystyle 3$

$latex \displaystyle y$ в степени $latex \displaystyle 4$.

Получим:

$latex \displaystyle \frac{1\cdot x\cdot {{y}^{3}}}{{{a}^{2}}{{x}^{2}}{{b}^{3}}y}-\frac{1\cdot a\cdot b}{a{{x}^{3}}{{b}^{2}}{{y}^{4}}}=\frac{x{{y}^{3}}-ab}{{{a}^{2}}{{x}^{3}}{{b}^{3}}{{y}^{4}}}$.

Усложним задание:

$latex \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}$.

Как сделать у дробей одинаковый знаменатель?

Если ты сейчас бросился вычитать в первой дроби из $latex \displaystyle x$ единицу, то ты очень и очень неправ!

Давай вспомним основное свойство дроби:

Числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.

Нигде не сказано, что из числителя и знаменателя дроби можно вычитать (или прибавлять) одно и то же число. Потому что это неверно!

Убедись сам: возьми любую дробь, например, $latex \displaystyle \frac{2}{5}$ , и прибавь к числителю и знаменателю какое-нибудь число, например, $latex \displaystyle 1$. Что поучилось?

$latex \displaystyle \frac{2+1}{5+1}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\ne \frac{2}{5}$.

Итак, очередное незыблемое правило:

Когда приводишь дроби к общему знаменателю, пользуйся только операцией умножения!

Но на что же надо домножить $latex \displaystyle x$, чтобы получить $latex \displaystyle x+1$?

Вот на $latex \displaystyle \left( x+1 \right)$ и домножай. А $latex \displaystyle \left( x+1 \right)$ домножай на $latex \displaystyle x$:

$latex \displaystyle \frac{1\cdot \left( x-1 \right)}{x}+\frac{1\cdot x}{x-1}=\frac{x-1+x}{x\left( x-1 \right)}=\frac{2x-1}{x\left( x-1 \right)}$.

Выражения, которые невозможно разложить на множители будем называть «элементарными множителями». Например, $latex \displaystyle x$ – это элементарный множитель. $latex \displaystyle \left( x+1 \right)$ – тоже. А вот $latex \displaystyle {{x}^{2}}$ – нет: он раскладывается на множители $latex \displaystyle {{x}^{2}}=x\cdot x$.

Это как в физике: элементарная частица – это неделимая частица, то есть она не состоит ни из каких других частиц. Например, молекула – это не элементарная частица, так как она состоит из нескольких атомов. Атом – тоже не элементарная, так как состоит из протонов, нейтронов и электронов. А вот эти протоны, нейтроны и электроны поделить нельзя. Значит, они – элементарные частицы.

Что скажешь насчет выражения $latex \displaystyle {{x}^{2}}-1$? Оно элементарное?

Нет, поскольку его можно разложить на множители: $latex \displaystyle {{x}^{2}}-1=\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)$

(о разложении на множители ты уже читал в теме «Разложение на множители»).

Так вот, элементарные множители, на которые ты раскладываешь выражение с буквами – это аналог простых множителей, на которые ты раскладываешь числа. И поступать с ними будем таким же образом.

Пример: $latex \displaystyle \frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}-\frac{1}{{{x}^{2}}-1}$.

Решение:

$latex \displaystyle \frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}-\frac{1}{{{x}^{2}}-1}=\frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}-\frac{1}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}$.

Видим, что в обоих знаменателях есть множитель $latex \displaystyle \left( x-1 \right)$. Он пойдет в общий знаменатель в степени $latex \displaystyle 2$ (помнишь, почему?).

Множитель $latex \displaystyle \left( x+1 \right)$ – элементарный, и он у них не общий, значит первую дробь на него придется просто домножить:

$latex \displaystyle \begin{array}{l}\frac{1\cdot \left( x+1 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}-\frac{1\cdot \left( x-1 \right)}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}=\frac{\left( x+1 \right)-\left( x-1 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+1 \right)}=\frac{x+1-x+1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+1 \right)}=\\=\frac{2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+1 \right)}\end{array}$

Еще пример: $latex \displaystyle \frac{1}{{{x}^{2}}-4}+\frac{1}{{{x}^{2}}+4x+4}$

Решение:

Предже, чем в панике перемножать эти знаменатели, надо подумать, как их разложить на множители? Оба они представляют формулы сокращенного умножения:

$latex \displaystyle {{x}^{2}}-4=\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)$;

$latex \displaystyle {{x}^{2}}+4x+4={{\left( x+2 \right)}^{2}}$.

Отлично! Тогда:

$latex \displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{{{x}^{2}}-4}+\frac{1}{{{x}^{2}}+4x+4}=\frac{1}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}+\frac{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}=\frac{\left( x+2 \right)+\left( x-2 \right)}{\left( x-2 \right){{\left( x+2 \right)}^{2}}}=\\=\frac{2x}{\left( x-2 \right){{\left( x+2 \right)}^{2}}}\end{array}$

Еще пример:

$latex \displaystyle \frac{1}{xy-2{{x}^{2}}}-\frac{x}{4{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}$.

Решение:

Как обычно, разложим знаменатели на множители. В первом знаменателе просто выносим за скобки $latex \displaystyle x$; во втором – разность квадратов:

$latex \displaystyle \frac{1}{xy-2{{x}^{2}}}-\frac{x}{4{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}=\frac{1}{x\left( y-2x \right)}-\frac{x}{\left( 2x-y \right)\left( 2x+y \right)}$.

Казалось бы, общих множителей нет. Но если присмотреться, то $latex \displaystyle \left( y-2x \right)$ и $latex \displaystyle \left( 2x-y \right)$ так похожи… И правда:

$latex \displaystyle \left( y-2x \right)=-\left( 2x-y \right)$.

Так и напишем:

$latex \displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{xy-2{{x}^{2}}}-\frac{x}{4{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}=\frac{1}{x\left( y-2x \right)}-\frac{x}{\left( 2x-y \right)\left( 2x+y \right)}=\\=\frac{1}{x\left( y-2x \right)}-\frac{x}{-\left( y-2x \right)\left( 2x+y \right)}=\frac{1}{x\left( y-2x \right)}+\frac{x}{\left( y-2x \right)\left( 2x+y \right)}\end{array}$

То есть получилось так: внутри скобки мы поменяли местами слагаемые, и при этом знак перед дробью поменялся на противоположный. Возьми на заметку, так поступать придется часто.

Теперь приводим к общему знаменателю:

$latex \displaystyle \frac{1}{x\left( y-2x \right)}+\frac{x}{\left( y-2x \right)\left( 2x+y \right)}=\frac{2x+y+{{x}^{2}}}{x\left( y-2x \right)\left( 2x+y \right)}=\frac{{{x}^{2}}+2x+y}{x\left( {{y}^{2}}-4{{x}^{2}} \right)}$.

Усвоил? Сейчас проверим.

Задачи для самостоятельного решения:

1) $latex \displaystyle \frac{2x}{x-5}-\frac{1-2{{x}^{2}}}{25-{{x}^{2}}}$

2) $latex \displaystyle \frac{4b}{a-b}+\frac{4ab-{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}$

3) $latex \displaystyle \frac{x}{8-{{x}^{3}}}+\frac{1}{{{x}^{2}}+2x+4}$

4) $latex \displaystyle \frac{1}{\left( a-b \right)\left( b-c \right)}-\frac{1}{\left( b-c \right)\left( a-c \right)}-\frac{1}{\left( c-a \right)\left( b-a \right)}$

5) $latex \displaystyle \frac{x}{{{x}^{2}}-4}-\frac{1}{x+2}-\frac{1}{{{x}^{3}}-8}$

6) $latex \displaystyle 2-\frac{1}{{{b}^{2}}-1}-\frac{b}{b+1}$

Ответы:

1) $latex \displaystyle \frac{2x}{x-5}-\frac{1-2{{x}^{2}}}{25-{{x}^{2}}}=\frac{2x}{x-5}-\frac{1-2{{x}^{2}}}{\left( 5-x \right)\left( 5+x \right)}=\frac{2x\cdot \left( x+5 \right)}{\left( x-5 \right)}+$

$latex \displaystyle +\frac{1-2{{x}^{2}}}{\left( x-5 \right)\left( x+5 \right)}=\frac{2x\left( x+5 \right)+1-2{{x}^{2}}}{\left( x-5 \right)\left( x+5 \right)}=\frac{2{{x}^{2}}+10x+1-2{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-25}=$

$latex \displaystyle =\frac{10x+1}{{{x}^{2}}-25}$

2) $latex \displaystyle \frac{4b}{a-b}+\frac{4ab+{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}=\frac{4b}{a-b}+\frac{4ab+{{a}^{2}}}{\left( b-a \right)\left( b+a \right)}=\frac{4b\cdot \left( a+b \right)}{\left( a-b \right)}-$

$latex \displaystyle -\frac{4ab+{{a}^{2}}}{\left( a-b \right)\left( b+a \right)}=\frac{4b\left( a+b \right)-\left( 4ab+{{a}^{2}} \right)}{\left( a-b \right)\left( b+a \right)}=\frac{4ba+4{{b}^{2}}-4ab-{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=$

$latex \displaystyle =\frac{4{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}$

3) $latex \displaystyle \frac{x}{8-{{x}^{3}}}+\frac{1}{{{x}^{2}}+2x+4}=$…

Тут надо вспомнить еще одну формулу сокращенного умножения  – разность кубов:

$latex \displaystyle \frac{x}{8-{{x}^{3}}}+\frac{1}{{{x}^{2}}+2x+4}=\frac{x}{{{2}^{3}}-{{x}^{3}}}+\frac{1}{{{x}^{2}}+2x+4}$

Обрати внимание, что в знаменателе второй дроби не формула «квадрат суммы»! Квадрат суммы выглядел бы так: $latex \displaystyle {{\left( x+2 \right)}^{2}}={{x}^{2}}+4x+4$.

А $latex \displaystyle {{x}^{2}}+2x+4={{x}^{2}}+2\cdot x+{{2}^{2}}$ – это так называемый неполный квадрат суммы: второе слагаемое в нем – это произведение первого и последнего, а не удвоенное их произведение. Неполный квадрат суммы – это один из множителей в разложени разности кубов:

$latex \displaystyle \frac{x}{8-{{x}^{3}}}+\frac{1}{{{x}^{2}}+2x+4}=\frac{x}{{{2}^{3}}-{{x}^{3}}}+\frac{1}{{{x}^{2}}+2x+4}=\frac{x}{\left( 2-x \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}+$

$latex \displaystyle +\frac{1\cdot \left( 2-x \right)}{{{x}^{2}}+2x+4}=\frac{x+2-x}{\left( 2-x \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\frac{2}{8-{{x}^{3}}}$

4) $latex \displaystyle \frac{1}{\left( a-b \right)\left( b-c \right)}-\frac{1}{\left( b-c \right)\left( a-c \right)}-\frac{1}{\left( c-a \right)\left( b-a \right)}=$…

Что делать, если дробей аж три штуки?

Да то же самое! В первую очередь сделаем так, чтобы максимальное количество множителей в знаменателях было одинаковым:

$latex \displaystyle \frac{1}{\left( a-b \right)\left( b-c \right)}-\frac{1}{\left( b-c \right)\left( a-c \right)}-\frac{1}{\left( a-c \right)\left( a-b \right)}$.

Обрати внимание: если поменять знаки внутри одной скобки, знак перед дробью меняется на противоположный. Когда меняем знаки во второй скобке, знак перед дробью снова меняется на противоположный. В результате он (знак перед дробью) не изменился.

В общий знаменатель выписавыем полностью первый знаменатель, а потом дописываем к нему все множители, которые еще не написаны, из второго, а потом из третьего (и так далее, если дробей больше). То есть получается вот так:

$latex \displaystyle \frac{1\cdot \left( a-c \right)}{\underline{\underline{\underline{\left( a-b \right)}}}\underline{\left( b-c \right)}}-\frac{1\cdot \left( a-b \right)}{\underline{\left( b-c \right)}\underline{\underline{\left( a-c \right)}}}-\frac{1\cdot \left( b-c \right)}{\underline{\underline{\left( a-c \right)}}\underline{\underline{\underline{\left( a-b \right)}}}}=$

$latex \displaystyle =\frac{\left( a-c \right)-\left( a-b \right)-\left( b-c \right)}{\underline{\underline{\underline{\left( a-b \right)}}}\underline{\left( b-c \right)}\cdot \underline{\underline{\left( a-c \right)}}}=\frac{a-c-a+b-b+c}{\left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( a-c \right)}=0.$

5) $latex \displaystyle \frac{x}{{{x}^{2}}-4}-\frac{1}{x+2}-\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{3}}-8}=\frac{x\cdot \left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}-\frac{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}{\left( x+2 \right)}$

$latex \displaystyle -\frac{{{x}^{2}}\left( x+2 \right)}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\frac{2x\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)-\left( {{x}^{3}}-8 \right)-{{x}^{2}}\left( x+2 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}=$

$latex \displaystyle =\frac{2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+8x-{{x}^{3}}+8-{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\frac{2{{x}^{2}}+8x+8}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}=$

$latex \displaystyle =\frac{2\left( {{x}^{2}}+4x+4 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\frac{2{{\left( x+2 \right)}^{2}}}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}=$

$latex \displaystyle =\frac{2\left( x+2 \right)}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}$

6) $latex \displaystyle 2-\frac{1}{{{b}^{2}}-1}-\frac{b}{b+1}$.

Хм… С дробями-то понятно что делать. Но вот как быть с двойкой?

Все просто: ты ведь умеешь складывать дроби? Значит, надо сделать так, чтобы двойка стала дробью! Вспоминаем: дробь – это операция деления (числитель делится на знаменатель, если ты вдруг забыл). И нет ничего проще, чем разделить число на $latex \displaystyle 1$. При этом само число не изменится, но превратится в дробь:

$latex \displaystyle 2-\frac{1}{{{b}^{2}}-1}-\frac{b}{b+1}=\frac{2}{1}-\frac{1}{{{b}^{2}}-1}-\frac{b}{b+1}$.

То, что нужно!

$latex \displaystyle \frac{2}{1}-\frac{1}{{{b}^{2}}-1}-\frac{b}{b+1}=\frac{2\left( b-1 \right)\left( b+1 \right)}{1}-\frac{1}{\left( b-1 \right)\left( b+1 \right)}-$

$latex \displaystyle -\frac{b\left( b-1 \right)}{b+1}=\frac{2\left( {{b}^{2}}-1 \right)-1-b\left( b-1 \right)}{\left( b-1 \right)\left( b+1 \right)}=$

$latex \displaystyle =\frac{2{{b}^{2}}-2-1-{{b}^{2}}+b}{\left( b-1 \right)\left( b+1 \right)}=\frac{{{b}^{2}}+b-3}{\left( b-1 \right)\left( b+1 \right)}=\frac{{{b}^{2}}+b-3}{{{b}^{2}}-1}$

Больше задач — после регистрации.

5. Умножение и деление дробей.

Ну что же, самое сложное теперь позади. А впереди у нас самое простое, но при этом самое важное:

Порядок действий

Какой порядок действий при подсчете числового выражения? Вспомни, посчитав значение такого выражения:

$latex \displaystyle {{\left( \frac{{{\left( 2+{{3}^{2}}-16 \right)}^{2}}\left( 1-\frac{8}{5} \right)}{3} \right)}^{3}}$

Посчитал?

Должно получиться $latex \displaystyle -125$.

Итак, напоминаю.

Первым делом вычисляется степень.

Вторым – умножение и деление. Если умножений и делений одновременно несколько, делать их можно в любом порядке.

И напоследок выполняем сложение и вычитание. Опять же, в любом порядке.

Но: выражение в скобках вычисляется вне очереди!

Если несколько скобок умножаются или делятся друг на друга, вычисляем сначала выражение в каждой из скобок, а потом умножаем или дели их.

А если внутри скобок есть еще одни скобки? Ну давай подумаем: внутри скобок написано какое-то выражение. А при вычислении выражения в первую очередь надо делать что? Правильно, вычислять скобки. Ну вот и разобрались: сначала вычисляем внутренние скобки, потом все остальное.

Итак, порядок действий для выражения выше такой (красным выделено текущее дествие, то есть действие, которое выполняю прямо сейчас):

$latex \begin{array}{l}{{\left( \frac{{{\left( 2+{{3}^{2}}-16 \right)}^{2}}\left( 1-\frac{8}{5} \right)}{3} \right)}^{3}}={{\left( \frac{{{\left( 2+9-16 \right)}^{2}}\left( 1-\frac{8}{5} \right)}{3} \right)}^{3}}={{\left( \frac{{{\left( -5 \right)}^{2}}\left( 1-\frac{8}{5} \right)}{3} \right)}^{3}}={{\left( \frac{25\cdot \left( 1-\frac{8}{5} \right)}{3} \right)}^{3}}=\\{{\left( \frac{25\cdot \frac{-3}{5}}{3} \right)}^{3}}={{\left( \frac{\frac{{{25}^{5}}\cdot \left( -3 \right)}{5}}{3} \right)}^{3}}={{\left( \frac{5\cdot \left( -3 \right)}{3} \right)}^{3}}={{\left( 5\cdot \left( -1 \right) \right)}^{3}}={{\left( -5 \right)}^{3}}=-125\end{array}$

Хорошо, это все просто.

Но это ведь не то же самое, что выражение с буквами?

Нет, это то же самое! Только вместо арифметических действий надо делать алгебраические, то есть действия, описанные в предыдущем разделе: приведение подобных, сложение дробей, сокращение дробей и так далее. Единственным отличием будет действие разложения многочленов на множители (его мы часто применяем при работе с дробями). Чаще всего для разложения на множители нужно применять формулы сокращенного умножения или просто выносить общий множитель за скобки.

Обычно наша цель – представить выражение в виде произведения или частного.

Например:

Упростим выражение $latex \displaystyle \left( \frac{x}{y}-\frac{y}{x} \right)\cdot \frac{5xy}{x+y}$.

1) Первым упрощаем выражение в скобках. Там у нас разность дробей, а наша цель – представить ее как произведение или частное. Значит, приводим дроби к общему знаменателю и складываем:

$latex \displaystyle \frac{x\cdot x}{y}-\frac{y\cdot y}{x}=\frac{x\cdot x-y\cdot y}{yx}=\frac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}{yx}=\frac{\left( x-y \right)\left( x+y \right)}{yx}$.

Больше это выражение упростить невозможно, все множители здесь – элементарные (ты еще помнишь, что это значит?).

2) Получаем:

$latex \displaystyle \left( \frac{x}{y}-\frac{y}{x} \right)\cdot \frac{5xy}{x+y}=\frac{\left( x-y \right)\left( x+y \right)}{yx}\cdot \frac{5xy}{\left( x+y \right)}$.

Умножение дробей: что может быть проще.

$latex \displaystyle \frac{\left( x-y \right)\left( x+y \right)}{yx}\cdot \frac{5xy}{\left( x+y \right)}=\frac{\left( x-y \right)\left( x+y \right)\cdot 5xy}{yx\left( x+y \right)}$.

3) Теперь можно и сократить:

$latex \displaystyle \frac{\left( x-y \right)\left( x+y \right)\cdot 5xy}{yx\left( x+y \right)}=5\left( x-y \right)$.

Ну вот и все. Ничего сложного, правда?

Еще пример:

Упрости выражение $latex \displaystyle \left( \frac{t+3}{3t-1}+\frac{t+3}{t+1} \right):\frac{{{t}^{2}}+3t}{1-3t}+\frac{{{t}^{2}}+3}{t+1}$.

Сначала попробуй решить сам, и уж только потом посмотри решение.

Решение:

Перво-наперво определим порядок действий. Сначала выполним сложение дробей в скобках, получится вместо двух дробей одна. Потом выполним деление дробей. Ну и результат сложим с последней дробью. Схематически пронумерую действия:

$latex \displaystyle \overbrace{\overbrace{\left( \overbrace{\frac{t+3}{3t-1}+\frac{t+3}{t+1}}^{1} \right):\frac{{{t}^{2}}+3t}{1-3t}}^{2}+\frac{{{t}^{2}}+3}{t+1}}^{3}$.

Теперь покажу весть процесс, подкрашивая текущее действие красным:

$latex \displaystyle \left( \frac{\left( t+3 \right)\cdot \left( t+1 \right)}{3t-1}+\frac{\left( t+3 \right)\cdot \left( 3t-1 \right)}{t+1} \right):\frac{{{t}^{2}}+3t}{1-3t}+\frac{{{t}^{2}}+3}{t+1}=$

$latex \displaystyle =\frac{\left( t+3 \right)\left( t+1 \right)+\left( t+3 \right)\left( 3t-1 \right)}{\left( 3t-1 \right)\left( t+1 \right)}:\frac{{{t}^{2}}+3t}{1-3t}+\frac{{{t}^{2}}+3}{t+1}=$

$latex \displaystyle =\frac{{{t}^{2}}+3t+t+3+3{{t}^{2}}+9t-t-3}{\left( 3t-1 \right)\left( t+1 \right)}:\frac{{{t}^{2}}+3t}{1-3t}+\frac{{{t}^{2}}+3}{t+1}=$

$latex \displaystyle \frac{4{{t}^{2}}+12t}{\left( 3t-1 \right)\left( t+1 \right)}:\frac{{{t}^{2}}+3t}{1-3t}+\frac{{{t}^{2}}+3}{t+1}=\frac{4t\left( t+3 \right)}{\left( 3t-1 \right)\left( t+1 \right)}:\frac{t\left( t+3 \right)}{1-3t}+\frac{{{t}^{2}}+3}{t+1}=$.

$latex \displaystyle =\frac{4t\left( t+3 \right)}{\left( 3t-1 \right)\left( t+1 \right)}\cdot \frac{1-3t}{t\left( t+3 \right)}+\frac{{{t}^{2}}+3}{t+1}=\frac{4t\left( t+3 \right)\cdot {{\left( 1-3t \right)}^{-1}}}{\left( 3t-1 \right)\left( t+1 \right)\cdot t\left( t+3 \right)}+$

$latex \displaystyle +\frac{{{t}^{2}}+3}{t+1}=\frac{-4}{\left( t+1 \right)}+\frac{{{t}^{2}}+3}{\left( t+1 \right)}=$

$latex \displaystyle \frac{-4+{{t}^{2}}+3}{t+1}=\frac{{{t}^{2}}-1}{t+1}=\frac{\left( t-1 \right)\left( t+1 \right)}{t+1}=t-1$

Напоследок дам тебе два полезных совета:

1. Если есть подобные, их надо немедленно привести. В какой бы момент у нас ни образовались подобные, их желательно приводить сразу.

2. То же самое касается сокращения дробей: как только появляется возможность сократить, ей надо воспользоваться. Исключение составляют дроби, которые ты складываешь или вычитаешь: если у них сейчас одинаковые знаменатели, то сокращение нужно оставить на потом.

Вот тебе задачи для самостоятельного решения:

1) $latex \displaystyle \left( \frac{{{x}^{2}}}{x+y}-\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}} \right):\left( \frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}-\frac{x}{x+y} \right)$

2) $latex \displaystyle \left( \frac{10{{a}^{2}}}{3+2a}-5a \right):\frac{30{{a}^{2}}-15a}{8{{a}^{3}}+27}$

3) $latex \displaystyle \left( \frac{3b}{{{b}^{2}}-4{{a}^{2}}}-\frac{2}{2a+b}+\frac{1}{2a-b} \right):\left( \frac{2{{b}^{2}}+8{{a}^{2}}}{4{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}+2 \right)$

И обещанная в самом начале:

4) $latex \displaystyle \frac{\frac{m-n}{2m-n}-\frac{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+m}{2{{m}^{2}}+mn-{{n}^{2}}}}{\left( 4{{n}^{4}}+4m{{n}^{2}}+{{m}^{2}} \right):\left( 2{{n}^{2}}+m \right)}\cdot \left( {{n}^{2}}+n+mn+m \right):\frac{n+1}{2m-n}$.

Ответы:

1) $latex \displaystyle \frac{x\left( x-y \right)}{x+y}$

2) $latex \displaystyle \frac{4{{a}^{2}}-6a+9}{1-2a}$

3) $latex \displaystyle -\frac{1}{8a}$

4) $latex \displaystyle -1$

Решения (краткие):

1) $latex \displaystyle \left( \frac{{{x}^{2}}}{x+y}-\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}} \right):\left( \frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}-\frac{x}{x+y} \right)=$

$latex \displaystyle ={{x}^{2}}\left( \frac{1}{x+y}-\frac{x}{{{\left( x+y \right)}^{2}}} \right):\left( x\left( \frac{x}{\left( x+y \right)\left( x-y \right)}-\frac{1}{x+y} \right) \right)=$

$latex \displaystyle ={{x}^{2}}\cdot \frac{x+y-x}{{{\left( x+y \right)}^{2}}}:\left( x\cdot \frac{x-\left( x-y \right)}{\left( x+y \right)\left( x-y \right)} \right)=$

$latex \displaystyle =x\cdot \frac{y}{{{\left( x+y \right)}^{2}}}\cdot \frac{\left( x+y \right)\left( x-y \right)}{y}=\frac{x\left( x-y \right)}{\left( x+y \right)}$

2) $latex \displaystyle \left( \frac{10{{a}^{2}}}{3+2a}-5a \right):\frac{30{{a}^{2}}-15a}{8{{a}^{3}}+27}=$

$latex \displaystyle =5a\left( \frac{2a}{2a+3}-1 \right):\frac{15a\left( 2a-1 \right)}{\left( 2a+3 \right)\left( 4{{a}^{2}}+6a+9 \right)}=$

$latex \displaystyle =5a\cdot \frac{2a-\left( 2a+3 \right)}{2a+3}\cdot \frac{\left( 2a+3 \right)\left( 4{{a}^{2}}-6a+9 \right)}{15a\left( 2a-1 \right)}=$

$latex \displaystyle =\frac{-3\left( 4{{a}^{2}}+6a+9 \right)}{3\left( 2a-1 \right)}=\frac{4{{a}^{2}}+6a+9}{1-2a}$

3) $latex \displaystyle \left( \frac{3b}{{{b}^{2}}-4{{a}^{2}}}-\frac{2}{2a+b}+\frac{1}{2a-b} \right):\left( \frac{2{{b}^{2}}+8{{a}^{2}}}{4{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}+2 \right)=$

$latex \displaystyle =\frac{3b-2\left( b-2a \right)-\left( b+2a \right)}{\left( b-2a \right)\left( b+2a \right)}:\frac{2\left( {{b}^{2}}+4{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)}{4{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=$

$latex \displaystyle =\frac{2a}{\left( b-2a \right)\left( b+2a \right)}\cdot \frac{-1\left( 2a-b \right)\left( b+2a \right)}{16{{a}^{2}}}=-\frac{1}{8a}$.

4)$latex \displaystyle \frac{\frac{m-n}{2m-n}-\frac{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+m}{2{{m}^{2}}+mn-{{n}^{2}}}}{\left( 4{{n}^{4}}+4m{{n}^{2}}+{{m}^{2}} \right):\left( 2{{n}^{2}}+m \right)}\cdot \left( {{n}^{2}}+n+mn+m \right):\frac{n+1}{2m-n}=$

$latex \displaystyle =\frac{\frac{m-n}{2m-n}-\frac{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+m}{\left( m+n \right)\left( 2m-n \right)}}{\frac{{{\left( 2{{n}^{2}}+m \right)}^{2}}}{2{{n}^{2}}+m}}\cdot \left( n\left( n+1 \right)+m\left( n+1 \right) \right)\cdot \frac{2m-n}{n+1}=$

$latex \displaystyle =\frac{\frac{\left( m-n \right)\left( m+n \right)-\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}}+m \right)}{\left( 2m-n \right)\left( m+n \right)}}{2{{n}^{2}}+m}\cdot \left( n+1 \right)\left( n+m \right)\cdot \frac{2m-n}{n+1}=$

$latex \displaystyle =\frac{{{m}^{2}}-{{n}^{2}}-{{m}^{2}}-{{n}^{2}}-m}{\left( 2{{n}^{2}}+m \right)\left( 2m-n \right)\left( m+n \right)}\cdot \frac{\left( n-1 \right)\left( n+m \right)\cdot \left( 2m-n \right)}{\left( n+1 \right)}=$

$latex \displaystyle =\frac{-2{{n}^{2}}-m}{2{{n}^{2}}+m}=-1$

Если ты справился хотя бы с первыми тремя примерами, то тему ты, считай, освоил.

Теперь вперед к обучению!

Успехов!

Проверь себя — реши задачи на преобразование выражений.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий