Производная. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Представим себе прямую дорогу, проходящую по холмистой местности. То есть она идет то вверх, то вниз, но вправо или влево не поворачивает. Если ось \(Ox\) направить вдоль дороги горизонтально, а \(Oy\) – вертикально, то линия дороги будет очень похожа на график какой-то непрерывной функции:

Производная рис. 1

Ось \(Ox\)  – это некий уровень нулевой высоты, в жизни мы используем в качестве него уровень моря.

Двигаясь вперед по такой дороге, мы также движемся вверх или вниз. Также можем сказать: при изменении аргумента (продвижение вдоль оси абсцисс) изменяется значение функции (движение вдоль оси ординат). А теперь давай подумаем, как определить «крутизну» нашей дороги? Что это может быть за величина? Очень просто: на сколько изменится высота при продвижении вперед на определенное расстояние. Ведь на разных участках дороги, продвигаясь вперед (вдоль оси абсцисс) на один километр, мы поднимемся или опустимся на разное количество метров относительно уровня моря (вдоль оси ординат).

Продвижение вперед обозначим \(\displaystyle \Delta x\) (читается «дельта икс»).

Греческую букву \(\displaystyle \Delta \) (дельта) в математике обычно используют как приставку, означающую «изменение». То есть \(\displaystyle \Delta x\) – это изменение величины \(\displaystyle x\), \(\displaystyle \Delta y\) – изменение \(\displaystyle y\); тогда что такое \(\displaystyle \Delta f\)? Правильно, изменение величины \(\displaystyle f\).

Важно: выражение \(\displaystyle \Delta x\) – это единое целое, одна переменная. Никогда нельзя отрывать «дельту» от «икса» или любой другой буквы! То есть, например, \(\displaystyle \frac{\Delta x}{\Delta y}\ne \frac{x}{y}\).

Итак, мы продвинулись вперед, по горизонтали, на \(\displaystyle \Delta x\). Если линию дороги мы сравниваем с графиком функции \(\displaystyle f\left( x \right)\), то как мы обозначим подъем? Конечно, \(\displaystyle \Delta f\). То есть, при продвижении вперед на \(\displaystyle \Delta x\) мы поднимаемся выше на \(\displaystyle \Delta f\).

Величину \(\displaystyle \Delta f\) посчитать легко: если в начале мы находились на высоте \(\displaystyle {{f}_{1}}\), а после перемещения оказались на высоте \(\displaystyle {{f}_{2}}\), то \(\displaystyle \Delta f={{f}_{2}}-{{f}_{1}}\). Если конечная точка оказалась ниже начальной, \(\displaystyle \Delta f\) будет отрицательной – это означает, что мы не поднимаемся, а спускаемся.

Производная рис. 2

Вернемся к «крутизне»: это величина, которая показывает, насколько сильно (круто) увеличивается высота при перемещении вперед на единицу расстояния:

\(\displaystyle K=\frac{\Delta f}{\Delta x}\).

Предположим, что на каком-то участке пути при продвижении на \(1\) км дорога поднимается вверх на \(1\) км. Тогда крутизна в этом месте равна \(1\). А если дорога при продвижении на \(100\) м опустилась на \(0,5\)км? Тогда крутизна равна \(\displaystyle K=\frac{-\text{500м}}{\text{100м}}=-5\).

А теперь рассмотрим вершину какого-нибудь холма. Если взять начало участка за полкилометра до вершины, а конец – через полкилометра после него, видно, что высота практически одинаковая.

Производная рис. 3

То есть, по нашей логике выходит, что крутизна здесь почти равна нулю, что явно не соответствует действительности. Просто на расстоянии в \(1\) км может очень многое поменяться. Нужно рассматривать более маленькие участки для более адекватной и точной оценки крутизны. Например, если измерять изменение высоты при перемещении на один метр, результат будет намного точнее. Но и этой точности нам может быть недостаточно – ведь если посреди дороги стоит столб, мы его можем просто проскочить. Какое расстояние тогда выберем? Сантиметр? Миллиметр? Чем меньше, тем лучше!

В реальной жизни измерять расстояние с точностью до милиметра – более чем достаточно. Но математики всегда стремятся к совершенству. Поэтому было придумано понятие бесконечно малого, то есть величина по модулю меньше любого числа, которое только можем назвать. Например, ты скажешь: одна триллионная! Куда уж меньше? А ты подели это число на \(2\) – и будет еще меньше. И так далее. Если хотим написать, что величина \(x\) бесконечно мала, пишем так: \(\displaystyle x\to 0\) (читаем «икс стремится к нулю»). Очень важно понимать, что это число не равно нулю! Но очень близко к нему. Это значит, что на него можно делить.

Понятие, противоположное бесконечно малому – бесконечно большое (\(\displaystyle x\to \infty \)). Ты уже наверняка сnалкивался с ним, когда занимался неравенствами: это число по модулю больше любого числа, которое только можешь придумать. Если ты придумал самое большое из возможных чисел, просто умножь его на два, и получится еще больше. А бесконечность еще больше того, что получится. Фактически бесконечно большое и бесконечно малое обратны друг другу, то есть при \(\displaystyle x\to 0:\text{ }\frac{1}{x}\to \infty \), и наоборот: при \(\displaystyle x\to \infty :\text{ }\frac{1}{x}\to 0\).

Теперь вернемся к нашей дороге. Идеально посчитанная крутизна – это куртизна, вычисленная для бесконечно малого отрезка пути, то есть:

\(\displaystyle K=\frac{\Delta f}{\Delta x}\text{ при }\Delta x\to 0\).

Замечу, что при бесконечно малом перемещении изменение высоты тоже будет бесконечно мало. Но напомню, бесконечно малое – не значит равное нулю. Если поделить друг на друга бесконечно малые числа, может получиться вполне обычное число, например, \(\displaystyle 2\). То есть одна малая величина может быть ровно в \(\displaystyle 2\) раза больше другой.

К чему все это? Дорога, крутизна… Мы ведь не в автопробег отправляемся, а математику учим. А в математике все точно так же, только называется по-другому.

Понятие производной

Производная функции это отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращение аргумента.

Приращением в математике называют изменение. То, насколько изменился аргумент (\(\displaystyle x\)) при продвижении вдоль оси \(\displaystyle Ox\), называется приращением аргумента и обозначается \(\displaystyle \Delta x.\) То, насколько изменилась функция (высота) при продвижении вперед вдоль оси \(\displaystyle Ox\) на расстояние \(\displaystyle \Delta x\), называется приращением функции и обозначается \(\displaystyle \Delta f\).

Итак, производная функции \(\displaystyle f\left( x \right)\) – это отношение \(\displaystyle \Delta f\) к \(\displaystyle \Delta x\) при \(\displaystyle \Delta x\to 0\). Обозначаем производную той же буквой, что и функцию, только со штрихом сверху справа: \(\displaystyle {f}’\left( x \right)\) или просто \(\displaystyle {f}’\). Итак, запишем формулу производной, используя эти обозначения:

\(\displaystyle {f}’\left( x \right)=\frac{\Delta f}{\Delta x}\text{ при}\ \Delta x\to 0\)

Как и в аналогии с доро́гой здесь при возрастании функции производная положительна, а при убывании – отрицательна.

А бывает ли производная равна нулю? Конечно. Например, если мы едем по ровной горизонтальной дороге, крутизна равна нулю. И правда, высота ведь не совсем меняется. Так и с производной: производная постоянной функции (константы) равна нулю:

\(\displaystyle {C}’=0,\text{ }C=const\),

так как приращение такой функции равно нулю при любом \(\Delta x\).

А еще?

Давай вспомним пример с вершиной холма. Там получалось, что можно так расположить концы отрезка по разные стороны от вершины, что высота на концах оказывается одинаковой, то есть отрезок располагается параллельно оси \(Ox\):

Производная рис. 4

Но большие отрезки – признак неточного измерения. Будем поднимать наш отрезок вверх параллельно самому себе, тогда его длина будет уменьшаться.

Производная рис. 5

В конце концов, когда мы будем бесконечно близко к вершине, длина отрезка станет бесконечно малой. Но при этом он остался параллелен оси \(Ox\), то есть разность высот на его концах \(\displaystyle \Delta f\) равна нулю (не стремится, а именно равна). Значит, производная

\(\displaystyle {f}’\left( {{x}_{\text{вершины}}} \right)=\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{0}{\Delta x}=0\).

Понять это можно так: когда мы стоим на самой вершине, меленькое смещение влево или вправо изменяет нашу высоту ничтожно мало.

Есть и чисто алгебраическое объяснение: левее вершины функция возрастает, а правее – убывает. Как мы уже выяснили ранее, при возрастании функции производная положительна, а при убывании – отрицательна. Но меняется она плавно, без скачков (т.к. дорога нигде не меняет наклон резко). Поэтому между отрицательными и положительными значениями обязательно должен быть \(\displaystyle 0\). Он и будет там, где функция ни возрастает, ни убывает – в точке вершины.

То же самое справедливо и для впадины (область, где функция слева убывает, а справа – возрастает):

Производная рис. 6

Немного подробнее о приращениях.

Итак, мы меняем аргумент на величину \(\Delta x\). Меняем от какого значения? Каким он (аргумент) теперь стал? Можем выбрать любую точку, и сейчас будем от нее плясать.

Рассмотрим точку с координатой \(\displaystyle {{x}_{0}}\). Значение функции в ней равно \(f\left( {{x}_{0}} \right)\). Затем делаем то самое приращение: увеличиваем координату \({{x}_{0}}\) на \(\Delta x\). Чему теперь равен аргумент? Очень легко: \({{x}_{0}}+\Delta x\). А чему теперь равно значение функции? Куда аргумент, туда и функция: \(f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)\). А что с приращением функции? Ничего нового: это по-прежнему величина, на которую изменилась функция:

\(\Delta f=f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)\).

Потренируйся находить приращения:

  1. Найди приращение функции \(\displaystyle f\left( x \right)=2x+3\) в точке \({{x}_{0}}=2\) при приращении аргумента, равном \(\Delta x\).
  2. То же самое для функции \(y\left( x \right)={{x}^{2}}+2{x} -1\) в точке \({{x}_{0}}=1\).

Решения:

  1. \(\displaystyle \Delta f=f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)=\underbrace{2\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)+3}_{f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)}-\underbrace{\left( 2{{x}_{0}}+3 \right)}_{f\left( {{x}_{0}} \right)}=\)
    \(\displaystyle =2{{x}_{0}}+2\Delta x+3-2{{x}_{0}}-3=2\Delta x.\)
  2. \(\displaystyle \Delta y=y\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-y\left( {{x}_{0}} \right)=\underbrace{{{\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)}^{2}}+2\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-1}_{f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)}-\)
    \(\displaystyle -\underbrace{\left( {{x}_{0}}^{2}+2{{x}_{0}}-1 \right)}_{f\left( {{x}_{0}} \right)}=\underline{{{x}_{0}}^{2}}+2{{x}_{0}}\cdot \Delta x+\Delta {{x}^{2}}+\underline{\underline{2{{x}_{0}}}}+2\Delta x-1-\)
    \(\displaystyle -\underline{{{x}_{0}}^{2}}-\underline{\underline{2{{x}_{0}}}}+1=2{{x}_{0}}\cdot \Delta x+\Delta {{x}^{2}}+2\Delta x=\Delta x\left( 2{{x}_{0}}+\Delta x+2 \right)\)

В разных точках при одном и том же приращении аргумента приращение функции будет разным. Значит, и производная в каждой точке своя (это мы обсуждали в самом начале – крутизна дороги в разных точках разная). Поэтому когда пишем производную, надо указывать, в какой точке:

\({f}’\left( {{x}_{0}} \right)=\frac{f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{\Delta x}\) (1)

«Ну ладно, ладно, уже давно понятно, что такое производная! Но как ее применить на практике? Давайте уже возьмем и вычислим какую-нибудь производную, в конце концов!» – скажешь ты. Щас все будет.

Вычисление производных

Начнем с простого.

Константа.

Это мы уже обсуждали: если функция \(y=f\left( x \right)=c\), где \(c\) – некое постоянное число, то каким бы ни было приращение аргумента \(\Delta x\), функция нисколько не изменяется: \(\Delta f=0\). А значит,

\(\displaystyle {f}’\left( x \right)={c}’=\frac{\Delta f}{\Delta x}=0\)

То есть, произвоная от константы равна нулю:

\({c}’=0\).

Степенная функция.

Степенной называют функцию, где аргумент в какой-то степени (логично, да?).

Причем – в любой степени: \(f\left( x \right)={{x}^{a}},\text{ }a\in \mathbb{R}\).

Простейший случай – это когда показатель степени \(a=1\):

a) \(f\left( x \right)=x\).

Найдем ее производную в точке \({{x}_{0}}\). Вспоминаем определение производной:

\({f}’\left( {{x}_{0}} \right)=\frac{\Delta f}{\Delta x}\)

Итак, аргумент меняется с \({{x}_{0}}\) до \({{x}_{0}}+\Delta x\). Каково приращение функции?

Приращение – это \(\Delta f=f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)\). Но функция в любой точке равна своему аргументу. Поэтому:

\(\Delta f=\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-{{x}_{0}}=\Delta x\).

Производная равна:

\({f}’\left( {{x}_{0}} \right)=\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{\Delta x}{\Delta x}=1\)

Производная от \(\displaystyle x\) равна \(\displaystyle 1\):  \(\displaystyle {x}’=1\)

b) Теперь рассмотрим квадратичную функцию (\(\displaystyle a=2\)): \(f\left( x \right)={{x}^{2}}\).

\(\displaystyle \begin{array}{l}\Delta f=f\left( x+\Delta x \right)-f\left( x \right)=\underbrace{{{\left( x+\Delta x \right)}^{2}}}_{f\left( x+\Delta x \right)}-\underbrace{{{x}^{2}}}_{f\left( x \right)}=\\={{x}^{2}}+2x\Delta x+\Delta {{x}^{2}}-{{x}^{2}}=2x\cdot \Delta x+\Delta {{x}^{2}}\end{array}\)

\({f}’\left( x \right)=\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{2x\Delta x+\Delta {{x}^{2}}}{\Delta x}=2x+\Delta x\).

А теперь вспомним, что \(\Delta x\to 0\). Это значит, что значением приращения можно пренебречь, так как оно бесконечно мало, и поэтому незначительно на фоне другого слагаемого:

\({f}’\left( x \right)=2x\).

Итак, у нас родилось очередное правило:

\({{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}=2x\)

c) Продолжаем логический ряд: \(f\left( x \right)={{x}^{3}}\).

\(\Delta f=f\left( x+\Delta x \right)-f\left( x \right)=\underbrace{{{\left( x+\Delta x \right)}^{3}}}_{f\left( x+\Delta x \right)}-\underbrace{{{x}^{3}}}_{f\left( x \right)}.\)

Это выражение можно упростить по-разному: раскрыть первую скобку по формуле сокращенного умножения куб суммы, или же разложить все выражение на множители по формуле разности кубов. Попробуй сделать это сам любым из предложенных способов.

Итак, у меня получилось следующее:

\(\displaystyle \begin{array}{l}\Delta f=f\left( x+\Delta x \right)-f\left( x \right)={{\left( x+\Delta x \right)}^{3}}-{{x}^{3}}=\left( x+\Delta x-x \right)\cdot \\\cdot \left( {{\left( x+\Delta x \right)}^{2}}+\left( x+\Delta x \right)\cdot x+{{x}^{2}} \right)=\Delta x\left( 3{{x}^{2}}+3x\Delta x+\Delta {{x}^{2}} \right)\end{array}\)

\({f}’\left( x \right)=\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{\Delta x\left( 3{{x}^{2}}+3x\Delta x+\Delta {{x}^{2}} \right)}{\Delta x}=3{{x}^{2}}+3x\Delta x+\Delta {{x}^{2}}\).

И снова вспомним, что \(\Delta x\to 0\). Это значит, что можно пренебречь всеми слагаемыми, содержащими \(\Delta x\):

\({f}’\left( x \right)=3{{x}^{2}}\).

Получаем: \({{\left( {{x}^{3}} \right)}^{\prime }}=3{{x}^{2}}\).

d) Аналогичные правила можно получить и для больших степеней:

\(\begin{array}{l}{{\left( {{x}^{4}} \right)}^{\prime }}=4{{x}^{3}}\\{{\left( {{x}^{5}} \right)}^{\prime }}=5{{x}^{4}}\\{{\left( {{x}^{6}} \right)}^{\prime }}=6{{x}^{5}}\\…\\{{\left( {{x}^{n}} \right)}^{\prime }}=n{{x}^{n-1}}\end{array}\)

e) Оказывается, это правило можно обобщить для степенной функции с произвольным показателем, даже не целым:

\({{\left( {{x}^{a}} \right)}^{\prime }}=a{{x}^{a-1}},\text{  }a\in \mathbb{R}\) (2)

Можно сформулировать правило словами: «степень выносится вперед как коэффициент, а потом уменьшается на \(\displaystyle 1\)».

Докажем это правило позже (почти в самом конце). А сейчас рассмотрим несколько примеров. Найди производную функций:

  1. \(y=\sqrt{x}\);
  2. \(y=\frac{1}{x}\) (двумя способами: по формуле и используя определение производной – посчитав приращение функции);
  3. \(f=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\).

Решения:

  1. \(y=\sqrt{x}\). Не поверишь, но это степенная функция. Если у тебя возникли вопросы типа «Как это? А где же степень?», вспоминай тему «Степень и ее свойства»!
    Да-да, корень – это тоже степень, только дробная: \({{x}^{\frac{a}{b}}}=\sqrt[b]{{{x}^{a}}}\).
    Значит, наш квадратный корень – это всего лишь степень с показателем \(a=\frac{1}{2}\):
    \(y=\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{2}}}\).
    Производную ищем по недавно выученной формуле:
    \(\displaystyle \begin{array}{l}{y}’={{\left( {{x}^{\frac{1}{2}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2}\cdot {{x}^{\frac{1}{2}-1}}=\frac{1}{2}{{x}^{-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2{{x}^{\frac{1}{2}}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.\\\text{                                            }\uparrow \end{array}\)
    Если в этом месте снова стало непонятно, повторяй тему «Степень и ее свойства»!!! (про степень с отрицательным показателем)
  2. \(y=\frac{1}{x}\). Теперь показатель степени \(a=-1\):
    \({y}’={{\left( {{x}^{-1}} \right)}^{\prime }}=-1\cdot {{x}^{-1-1}}=-{{x}^{-2}}=-\frac{1}{{{x}^{2}}}.\)
    А теперь через определение (не забыл еще?):
    \(\Delta y=y\left( x+\Delta x \right)-y\left( x \right)=\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}=\frac{{x} -{x} -\Delta x}{x\left( x+\Delta x \right)}=-\frac{\Delta x}{{{x}^{2}}+x\Delta x}\);
    \({y}’=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-\frac{\Delta x}{{{x}^{2}}+x\Delta x}}{\Delta x}=-\frac{1}{{{x}^{2}}+x\Delta x}\).
    Теперь, как обычно, пренебрегаем слагаемым, содержащим \(\Delta x\):
    \({y}’=-\frac{1}{{{x}^{2}}}\).
  3. \(f=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\). Комбинация предыдущих случаев: \(a=-\frac{1}{3}\).
    \(\displaystyle {f}’={{\left( {{x}^{-\frac{1}{3}}} \right)}^{\prime }}=-\frac{1}{3}\cdot {{x}^{-\frac{1}{3}-1}}=-\frac{1}{3}\cdot {{x}^{-\frac{4}{3}}}=-\frac{1}{3{{x}^{\frac{4}{3}}}}=-\frac{1}{3\sqrt[3]{{{x}^{4}}}}=-\frac{1}{3x\sqrt[3]{x}}.\)

Тригонометрические функции.

Здесь будем использовать один факт из высшей математики:

При \(x\to 0\) выражение \(\frac{\sin x}{x}\to 1\).

Доказательство ты узнаешь на первом курсе института (а чтобы там оказаться, надо хорошо сдать ЕГЭ). Сейчас только покажу это графически:

Производная рис. 7

Видим, что при \(\displaystyle x=0\) функция не существует – точка на графике выколота. Но чем ближе \(\displaystyle x\) к значению \(\displaystyle0\), тем ближе функция к \(\displaystyle 1\). Это и есть то самое «стремится».

Впредь будем считать, что при \(x\to 0\) это выражение равно \(\displaystyle 1\): \(\frac{\sin x}{x}=1\).

Дополнительно можешь проверить это правило с помощью калькулятора. Да-да, не стесняйся, бери калькулятор, мы ведь не на ЕГЭ еще.

Итак, пробуем: \(x=0,1:\text{  }\frac{\sin x}{x}=\frac{\sin 0,1}{0,1}\approx 0,9983\);

Не забудь перевести калькулятор в режим «Радианы»!

Попробуй теперь сам для \(\displaystyle x\text{ }=\text{ }0,01;\text{ }0,001;\text{ }0,0001\) и так далее.

\(\frac{\sin 0,01}{0,01}\approx 0,999983…;\text{  }\frac{\sin 0,001}{0,001}\approx 0,99999983…\) и т.д. Видим, что чем меньше \(\displaystyle x\), тем ближе значение отношения к \(\displaystyle 1\).

Убедился? Идем дальше.

a) Рассмотрим функцию \(y=\sin x\). Как обычно, найдем ее приращение:

\(\Delta y=\sin \left( x+\Delta x \right)-\sin x\).

Превратим разность синусов в произведение. Для этого используем формулу (вспоминаем тему «Формулы тригонометрии»): \(\sin \alpha -\sin \beta =2\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\cdot \cos \frac{\alpha +\beta }{2}\).

\(\Delta y=\sin \left( x+\Delta x \right)-\sin x=2\sin \frac{x+\Delta {x} -x}{2}\cdot \cos \frac{x+\Delta x+x}{2}=2\sin \frac{\Delta x}{2}\cdot \cos \left( x+\frac{\Delta x}{2} \right)\)

Теперь производная:

\({y}’=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2\sin \frac{\Delta x}{2}\cdot \cos \left( x+\frac{\Delta x}{2} \right)}{\Delta x}=\frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}\cdot \cos \left( x+\frac{\Delta x}{2} \right)\)

Сделаем замену: \(t=\frac{\Delta x}{2}\). Тогда при бесконечно малом \(\Delta x\text{ }\left( \Delta x\to 0 \right)\) \(\displaystyle t\) также бесконечно мало: \(t\to 0\). Выражение для \(\displaystyle {y}’\) принимает вид:

\({y}’=\frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}\cdot \cos \left( x+\frac{\Delta x}{2} \right)=\frac{\sin t}{t}\cdot \cos \left( x+t \right)\).

А теперь вспоминаем, что при \(t\to 0\) выражение \(\frac{\sin t}{t}=1\). А также, что если бесконечно малой величиной \(\displaystyle t\) можно пренебречь в сумме \(x+t\) (то есть \(x+t\to x\) при \(t\to 0\)).

\({y}’=\underbrace{\frac{\sin t}{t}}_{\to \text{1}}\cdot \cos \underbrace{\left( x+t \right)}_{\to x}=1\cdot \cos x=\cos x\).

Итак, получаем следующее правило: производная синуса равна косинусу:

\({{\left( \sin x \right)}^{\prime }}=\cos x\)

b) Теперь косинус: \(y\left( x \right)=\cos x\). Здесь будем использовать формулу разности косинусов: \(\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \sin \frac{\alpha -\beta }{2}\):

\(\Delta y=\cos \left( x+\Delta x \right)-\cos x=-2\sin \frac{x+\Delta x+x}{2}\cdot \sin \frac{x+\Delta {x} -x}{2}=-2\sin \left( x+\frac{\Delta x}{2} \right)\cdot \sin \frac{\Delta x}{2}\).

\({y}’=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-2\sin \left( x+\frac{\Delta x}{2} \right)\cdot \sin \frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}=-\sin \underbrace{\left( x+\frac{\Delta x}{2} \right)}_{x}\cdot \underbrace{\frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}}_{1}=-\sin x\).

Значит, производная косинуса равна минус синусу:

\({{\left( \cos x \right)}^{\prime }}=-\sin x\)

Это базовые («табличные») производные. Вот они одним списком:

\(\displaystyle \begin{array}{l}{c}’=0\\{{\left( {{x}^{a}} \right)}^{\prime }}=a\cdot {{x}^{a-1}}\text{ }\left( a\in \mathbb{R} \right)\\{{\left( \sin x \right)}^{\prime }}=\cos x\\{{\left( \cos x \right)}^{\prime }}=-\sin x\end{array}\)

Позже мы к ним добавим еще несколько, но эти – самые важные, так как используются чаще всего.

Потренируйся:

  1. Найди производную функции \(f\left( x \right)=\cos x\) в точке \({{x}_{0}}=-\frac{\pi }{6}\);
  2. Найди производную функции \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{\sqrt[5]{{{x}^{2}}}}\) в точке \({{x}_{0}}=1\);
  3. Найди производную функции \(f\left( x \right)={{x}^{4}}\sin \left( \sqrt[3]{2{{x}^{2}}+3}-1 \right)\).

Решения:

  1. Сперва найдем производную в общем виде, а затем подставим вместо \(\displaystyle x\) его значение:
    \(f\left( x \right)=\cos x\text{  }\Rightarrow \text{  }{f}’\left( x \right)=-\sin x\);
    \({f}’\left( {{x}_{0}} \right)={f}’\left( -\frac{\pi }{6} \right)=-\sin \left( -\frac{\pi }{6} \right)=-\left( -\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2}\).
  2. Тут у нас что-то похожее на степенную функцию. Попробуем привести ее к
    нормальному виду:
    \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{\sqrt[5]{{{x}^{2}}}}={{x}^{3}}\cdot {{x}^{-\frac{2}{5}}}={{x}^{3-\frac{2}{5}}}={{x}^{\frac{13}{5}}}\).
    Отлично, теперь можно использовать формулу:
    \({f}’\left( x \right)={{\left( {{x}^{\frac{13}{5}}} \right)}^{\prime }}=\frac{13}{5}\cdot {{x}^{\frac{13}{5}-1}}=\frac{13}{5}{{x}^{\frac{8}{5}}}=\frac{13}{5}x\sqrt[5]{{{x}^{3}}}\).
    \({f}’\left( {{x}_{0}} \right)={f}’\left( 1 \right)=\frac{13}{5}\cdot {{1}^{\frac{8}{5}}}=\frac{13}{5}=2,6\).
  3. \(f\left( x \right)={{x}^{4}}\sin \left( \sqrt[3]{2{{x}^{2}}+3}-1 \right)\). Ээээээ….. Что это????

Ладно, ты прав, такие производные находить мы еще не умеем. Здесь у нас комбинация нескольких типов функций. Чтобы работать с ними, нужно выучить еще несколько правил:

Экспонента и натуральный логарифм.

Есть в математике такая функция, производная которой при любом \(x\) равна значению самой функции при этом же \(x\). Называется она «экспонента», и является показательной функцией

\(f\left( x \right)={{e}^{x}}\).

Основание этой функции – константа \(e\approx 2,7183…\)  – это бесконечная десятичная дробь, то есть число иррациональное (такое как \(\pi \)). Его называют «число Эйлера», поэтому и обозначают буквой \(\mathbf{e}\).

Итак, правило:

\({{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\prime }}={{e}^{x}}\)

Запомнить очень легко.

Ну и не будем далеко ходить, сразу же рассмотрим обратную функцию. Какая функция является обратной для показательной функции? Логарифм:

\(y={{a}^{x}}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x={{\log }_{a}}y\)

В нашем случае основанием служит число \(\mathbf{e}\):

\(y={{e}^{x}}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x={{\log }_{e}}y\)

Такой логарифм (то есть логарифм с основанием \(\mathbf{e}\)) называется «натуральным», и для него используем особое обозначение \(\mathbf{ln}\): вместо \({{\log }_{e}}x\) пишем \(\ln x\).

Чему равен \(\ln \left( {{e}^{a}} \right)\)? Конечно же, \(a\).

Производная от натурального логарифма тоже очень простая:

\({{\left( \ln x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{x}\)

Примеры:

  1. Найди производную функции \({{e}^{x+5}}\).
  2. Чему равна производная функции \(\ln \left( x+1 \right)\)?

Ответы:

  1. \(\displaystyle {{\left( {{e}^{x+5}} \right)}^{\prime }}={{e}^{x+5}}\)
  2. \(\displaystyle {{\left( \ln \left( x+1 \right) \right)}^{\prime }}=\frac{1}{x+1}\)

Экспонента и натуральный логарифм – функции уникально простые с точки зрения производной. Показательные и логарифмические функции с любым другим основанием будут иметь другую производную, которую мы с тобой разберем позже, после того как пройдем правила дифференцирования.

Правила дифференцирования

Правила чего? Опять новый термин, блин…

Дифференцирование – это процесс нахождения производной.

Только и всего. А как еще назвать этот процесс одним словом? Не производнование же… Дифференциалом математики называют то самое приращение функции \(\Delta f\) при \(\Delta x\to 0\). Происходит этот термин от латинского differentia — разность. Вот.

При выводе всех этих правил будем использовать две функции, например, \(f\) и \(y\). Нам понадобятся также формулы их приращений:

\(\begin{array}{l}\Delta f=f\left( x+\Delta x \right)-f\left( x \right)\text{  }\Rightarrow \text{  }f\left( x+\Delta x \right)=f\left( x \right)+\Delta f\\\Delta y=y\left( x+\Delta x \right)-y\left( x \right)\text{  }\Rightarrow \text{  }y\left( x+\Delta x \right)=y\left( x \right)+\Delta y\end{array}\)

Всего имеется 5 правил.

Константа выносится за знак производной.

Если \(c\) – какое-то постоянное число (константа), тогда.

\({{\left( c\cdot f \right)}^{\prime }}=c\cdot {f}’\)

Это правило употребляется чаще всех. Докажем его:

Пусть \(y\left( x \right)=c\cdot f\left( x \right)\), или проще \(y=cf\).

\(\Delta y=y\left( x+\Delta x \right)-y\left( x \right)=cf\left( x+\Delta x \right)-cf\left( x \right)=c\underbrace{\left( f\left( x+\Delta x \right)-f\left( x \right) \right)}_{\text{Это}\ \text{же}\Delta f}=c\Delta f\).

\({y}’=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{c\Delta f}{\Delta x}=c\cdot \underbrace{\frac{\Delta f}{\Delta x}}_{\text{Это }{f}’}=c\cdot {f}’\), ч.т.д.

Пример: Найдите производную функции \(y=3{{x}^{2}}\) в точке \({{x}_{0}}=2\).

Решение:

Ты сперва сам попробуй решить, а потом посмотри решение.

Итак, константа здесь – это \(c=3\), функция – \(f={{x}^{2}}\):

\(\displaystyle \begin{array}{l}{y}’\left( x \right)={{\left( 3\cdot {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}=3\cdot {{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}=3\cdot 2x=6x;\\{y}’\left( {{x}_{0}} \right)={y}’\left( 2 \right)=6\cdot 2=12.\end{array}\)

Производная суммы.

Производная суммы равна сумме производных:

\({{\left( f+y \right)}^{\prime }}={f}’+{y}’\)

Очевидно, это правило работает и для разности: \({{\left( f-y \right)}^{\prime }}={f}’-{y}’\).

Докажем. Пусть \(g\left( x \right)=f\left( x \right)+y\left( x \right)\), или проще \(g=f+y\).

\(\displaystyle \begin{array}{l}\Delta g=g\left( x+\Delta x \right)-g\left( x \right)=\underbrace{\left( f\left( x+\Delta x \right)+y\left( x+\Delta x \right) \right)}_{g\left( x+\Delta x \right)}-\underbrace{\left( f\left( x \right)+y\left( x \right) \right)}_{g\left( x \right)}=\\\text{    }=\underline{f\left( x+\Delta x \right)}+\underline{\underline{y\left( x+\Delta x \right)}}-\underline{f\left( x \right)}-\underline{\underline{y\left( x \right)}}=\Delta f+\Delta y\\\end{array}\)

\({g}’=\frac{\Delta g}{\Delta x}=\frac{\Delta f+\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta f}{\Delta x}+\frac{\Delta y}{\Delta x}={f}’+{y}’\).

Примеры.

Найдите производные функций:

  1. \(y=2x+3\) в точке \({{x}_{0}}=2\);
  2. \(f=3{{x}^{2}}+2{x} -5\) в точке \({{x}_{0}}=0,2\);
  3. \(g={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-x\) в точке \({{x}_{0}}=3\);
  4. \(y=\sin x+\cos x\) в точке \({{x}_{0}}=\frac{3\pi }{4}\).

Решения:

  1. \({y}’={{\left( 2x+3 \right)}^{\prime }}={{\left( 2x \right)}^{\prime }}+{3}’=2\cdot {x}’+0=2\cdot 1=2\) (производная одинакова во всех точках, так как это линейная функция, помнишь?);
  2. \({f}’={{\left( 3{{x}^{2}}+2{x} -5 \right)}^{\prime }}={{\left( 3{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+{{\left( 2x \right)}^{\prime }}-{5}’=3\cdot 2x+2\cdot 1-0=6x+2\)
    \({f}’\left( {{x}_{0}} \right)={f}’\left( 0,2 \right)=6\cdot 0,2+2=3,2\);
  3. \({g}’={{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-x \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{3}} \right)}^{\prime }}-{{\left( 3{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}-{x}’=3{{x}^{2}}-3\cdot 2{x} -1=3{{x}^{2}}-6{x} -1\)
    \({g}’\left( {{x}_{0}} \right)={g}’\left( 1 \right)=3\cdot {{3}^{2}}-6\cdot 3-1=8\);
  4. \({y}’={{\left( \sin x+\cos x \right)}^{\prime }}={{\left( \sin x \right)}^{\prime }}+{{\left( \cos x \right)}^{\prime }}=\cos {x} -\sin x\)
    \({y}’\left( {{x}_{0}} \right)={y}’\left( \frac{3\pi }{4} \right)=\cos \frac{3\pi }{4}-\sin \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}\).

Производная произведения

\({{\left( f\cdot y \right)}^{\prime }}={f}’\cdot y+f\cdot {y}’\)

Хм, все сложнее и сложнее. Ну, давай разбираться.

Снова введем новую функцию: \(g\left( x \right)=f\left( x \right)\cdot y\left( x \right)\), или проще \(g=f\cdot y\).

\(\Delta g=g\left( x+\Delta x \right)-g\left( x \right)=f\left( x+\Delta x \right)\cdot y\left( x+\Delta x \right)-f\left( x \right)\cdot y\left( x \right)\).

Вспомним, о чем говорили в самом начале этого раздела:

\(\begin{array}{l}\Delta f=f\left( x+\Delta x \right)-f\left( x \right)\text{  }\Rightarrow \text{  }f\left( x+\Delta x \right)=f\left( x \right)+\Delta f\underset{\text{упрощенно}}{\mathop{=}}\,f+\Delta f\\\Delta y=y\left( x+\Delta x \right)-y\left( x \right)\text{  }\Rightarrow \text{  }y\left( x+\Delta x \right)=y\left( x \right)+\Delta y\underset{\text{упрощенно}}{\mathop{=}}\,y+\Delta y\end{array}\)

Итак,

\(\displaystyle \begin{array}{l}\Delta g=\underbrace{\left( f+\Delta f \right)}_{f\left( x+\Delta x \right)}\cdot \underbrace{\left( y+\Delta y \right)}_{y\left( x+\Delta x \right)}-f\cdot y=f\cdot y+\Delta f\cdot y+f\cdot \Delta y+\Delta f\cdot \Delta y-f\cdot y=\\=\Delta f\cdot y+f\cdot \Delta y+\Delta f\cdot \Delta y.\end{array}\)

Производная:

\(\displaystyle {g}’\underset{\text{при}\Delta x\to 0}{\mathop{=}}\,\frac{\Delta g}{\Delta x}=\frac{\Delta f\cdot y+f\cdot \Delta y+\Delta f\cdot \Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta f}{\Delta x}\cdot y+f\cdot \frac{\Delta y}{\Delta x}+\frac{\Delta f}{\Delta x}\cdot \Delta y\)
\(\displaystyle ={f}’y+f{y}’+{f}’\Delta y\)

Но при \(\Delta x\to 0\) приращение любой функции тоже бесконечно мало: \(\Delta y\to 0\). Поэтому последним слагаемым в выражении для производной \({g}’\) можно пренебречь:

\({g}’={f}’y+f{y}’\text{  }\Rightarrow \text{  }{{\left( fy \right)}^{\prime }}={f}’y+f{y}’\), ч.т.д.

Примеры:

  1. Докажи правило 0 с помощью правила 2;
  2. Найди производную выражения \({{x}^{2}}\cdot \sin x\);
  3. Найди производную функции \(y=\sin 2x\).

Решения:

  1. \({{\left( c\cdot f \right)}^{\prime }}={c}’\cdot f+c\cdot {f}’\underset{\text{так как }{c}’=0}{\mathop{=}}\,c\cdot {f}’\), ч.т.д;
  2. \({{\left( {{x}^{2}}\cdot \sin x \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}\cdot \sin x+{{x}^{2}}\cdot {{\left( \sin x \right)}^{\prime }}=2x\sin x+{{x}^{2}}\cos x\);
  3. \({y}’={{\left( \sin 2x \right)}^{\prime }}={{\left( 2\sin x\cdot \cos x \right)}^{\prime }}=2\cdot \left( {{\left( \sin x \right)}^{\prime }}\cdot \cos x+\sin x\cdot {{\left( \cos x \right)}^{\prime }} \right)=\)
    \(\text{   }=2\left( {{\cos }^{2}}{x} -{{\sin }^{2}}x \right)=2\cos 2x\).

Производная частного.

\({{\left( \frac{f}{y} \right)}^{\prime }}=\frac{{f}’y-f{y}’}{{{y}^{2}}}\)

Здесь все аналогично: введем новую функцию \(g=\frac{f}{y}\) и найдем ее приращение:

\(\Delta g=g\left( x+\Delta x \right)-g\left( x \right)=\frac{f\left( x+\Delta x \right)}{y\left( x+\Delta x \right)}-\frac{f\left( x \right)}{y\left( x \right)}=\frac{f+\Delta f}{y+\Delta y}-\frac{f}{y}=\frac{fy+\Delta fy-fy-f\Delta y}{y\left( y+\Delta y \right)}=\frac{\Delta fy-f\Delta y}{y\left( y+\Delta y \right)}\).

Производная:

\({g}’\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{=}}\,\frac{\Delta g}{\Delta x}=\frac{\frac{\Delta fy-f\Delta y}{y\left( y+\Delta y \right)}}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x}\cdot \frac{\Delta fy-f\Delta y}{y\left( y+\Delta y \right)}=\frac{\frac{1}{\Delta x}\cdot \left( \Delta fy-f\Delta y \right)}{y\left( y+\Delta y \right)}=\frac{\frac{\Delta f}{\Delta x}\cdot y-f\cdot \frac{\Delta y}{\Delta x}}{y\left( y+\Delta y \right)}\underset{\text{т}\text{.к}\text{. }\Delta y\to 0}{\mathop{=}}\,\frac{{f}’y-f{y}’}{{{y}^{2}}}\).

Примеры:

  1. Найдите производные функций\(y=tgx\) и \(y=ctgx\);
  2. Найдите производную функции \(\frac{{{x}^{3}}+2x+3}{5{x} -2}\) в точке \({{x}_{0}}=2\).

Решения:

  1. \(\displaystyle (tgx{)}’={{\left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)}^{\prime }}=\frac{{{(\sin x)}^{\prime }}\cdot \cos {x} -\sin x{{(\cos x)}^{\prime }}}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{\cos x\cdot \cos {x} -\sin x(-\sin x)}{{{\cos }^{2}}x}\) \(=\frac{{{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\) \(\displaystyle (ctg\ x{)}’={{\left( \frac{\cos x}{\sin x} \right)}^{\prime }}=\frac{(\cos x{)}’\cdot \sin {x} -\cos x(\sin x{)}’}{{{\sin }^{2}}x}=\frac{-\sin x\cdot \sin {x} -\cos x\cdot \cos x}{{{\sin }^{2}}x}\) \(\displaystyle =\frac{-{{\sin }^{2}}{x} -{{\cos }^{2}}x}{{{\sin }^{2}}x}=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\)
  2. \(\begin{array}{l}y=\frac{{{x}^{3}}+2x+3}{5{x} -2}\\{y}’={{\left( \frac{{{x}^{3}}+2x+3}{5{x} -2} \right)}^{\prime }}=\frac{{{\left( {{x}^{3}}+2x+3 \right)}^{\prime }}\left( 5{x} -2 \right)-\left( {{x}^{3}}+2x+3 \right){{\left( 5{x} -2 \right)}^{\prime }}}{{{\left( 5{x} -2 \right)}^{2}}}=\\\frac{\left( 3{{x}^{2}}+2 \right)\left( 5{x} -2 \right)-\left( {{x}^{3}}+2x+3 \right)\cdot 5}{{{\left( 5{x} -2 \right)}^{2}}}=\frac{15{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+10{x} -4-5{{x}^{3}}-10{x} -15}{{{\left( 5{x} -2 \right)}^{2}}}=\\=\frac{10{{x}^{3}}-11{{x}^{2}}-19}{{{\left( 5{x} -2 \right)}^{2}}}\\{y}’\left( 2 \right)=\frac{10\cdot 8-11\cdot 4-19}{{{\left( 5\cdot 2-2 \right)}^{2}}}=\frac{17}{64}\end{array}\)
  3. Производная показательной функции

    Теперь твоих знаний достаточно, чтобы научиться находить производную любой показательной функции, а не только экспоненты (не забыл еще, что это такое?).

    Итак, \(\displaystyle f\left( x \right)={{a}^{x}}\), где \(\displaystyle a\)  – это какое-то число \(\displaystyle \left( a>0,\text{ }a\ne 1 \right)\).

    Мы уже знаем производную функции \(\displaystyle {{e}^{x}}\), поэтому давай попробуем привести нашу функцию \(\displaystyle {{a}^{x}}\) к новому основанию \(\displaystyle e\):

    Для этого воспользуемся простым правилом: \(\displaystyle a={{e}^{\ln a}}\). Тогда:

    \(\displaystyle {{a}^{x}}={{\left( {{e}^{\ln a}} \right)}^{x}}={{e}^{x\cdot \ln a}}\).

    Ну вот, получилось. Теперь попробуй найти производную, и не забудь, что эта функция – сложная.

    Получилось?

    Вот, проверь себя:

    \(\displaystyle {{\left( {{a}^{x}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{e}^{x\cdot \ln a}} \right)}^{\prime }}={{e}^{x\cdot \ln a}}\cdot {{\left( x\cdot \ln a \right)}^{\prime }}\underset{т.к.\ \ln a\ это\ константа}{\mathop{=}}\,{{e}^{x\cdot \ln a}}\cdot \ln a={{a}^{x}}\cdot \ln a.\)

 

\(\displaystyle {{\left( {{a}^{x}} \right)}^{\prime }}={{a}^{x}}\cdot \ln a\)

 

Формула получилась очень похожая на производную экспоненты: как было \(\displaystyle {{a}^{x}}\), так и осталось, появился только множитель \(\displaystyle na\), который является просто числом, но не переменной.

Примеры:
Найди производные функций:

  1. \(\displaystyle y={{5}^{x}}\)
  2. \(\displaystyle f\left( x \right)={{3}^{2x+1}}\)
  3. \(\displaystyle y\left( x \right)=\frac{3}{{{4}^{1-3x}}}\)
  4. \(\displaystyle y=5\cdot {{2}^{{{x}^{2}}}}\)

Ответы:

  1. \(\displaystyle {y}’={{\left( {{5}^{x}} \right)}^{\prime }}={{5}^{x}}\cdot \ln 5\).

\(\displaystyle ln5\) – это просто число, которое невозможно посчитать без калькулятора, то есть никак не записать в более простом виде. Поэтому в ответе его в таком виде и оставляем.

  1. \(\displaystyle {f}’\left( x \right)={{\left( {{3}^{2x+1}} \right)}^{\prime }}={{3}^{2x+1}}\cdot \ln 3\cdot {{\left( 2x+1 \right)}^{\prime }}=2\cdot \ln 3\cdot {{3}^{2x+1}}\).
  2. \(\displaystyle y\left( x \right)=\frac{3}{{{4}^{1-3x}}}=3\cdot {{4}^{3x-1}}\);
  3. \(\displaystyle {y}’={{\left( 5\cdot {{2}^{{{x}^{2}}}} \right)}^{\prime }}=5\cdot {{\left( {{2}^{{{x}^{2}}}} \right)}^{\prime }}=5\cdot {{2}^{{{x}^{2}}}}\cdot \ln 2\cdot {{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}=10x\cdot \ln 2\cdot {{2}^{{{x}^{2}}}}\).

Производная логарифмической функции

Здесь аналогично: ты уже знаешь производную от натурального логарифма:

\(\displaystyle {{\left( \ln x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{x}\),

Поэтому, чтобы найти произвольную от логарифма с другим основанием, например, \(\displaystyle a\):

\(\displaystyle y={{\log }_{a}}x\),

Нужно привести этот логарифм к основанию \(\displaystyle e\). А как поменять основание логарифма? Надеюсь, ты помнишь эту формулу:

\(\displaystyle {{\log }_{a}}b=\frac{{{\log }_{c}}b}{{{\log }_{c}}a}\).

Только теперь вместо \(\displaystyle {{\log }_{c}}\) будем писать \(\displaystyle ln\):

\(\displaystyle y={{\log }_{a}}x=\frac{\ln x}{\ln a}\),

В знаменателе получилась просто константа (постоянное число, без переменной \(\displaystyle \)). Производная получается очень просто:

\(\displaystyle {y}’={{\left( {{\log }_{a}}x \right)}^{\prime }}={{\left( \frac{\ln x}{\ln a} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{\ln a}\cdot {{\left( \ln x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{\ln a}\cdot \frac{1}{x}\)

\(\displaystyle {{\left( {{\log }_{a}}x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{x\cdot \ln a}\)

Производные показательной и логарифмической функций почти не встречаются в ЕГЭ, но не будет лишним знать их.

Производная сложной функции.

Что такое «сложная функция»? Нет, это не логарифм, и не арктангенс. Данные функции может быть сложны для понимания (хотя, если логарифм тебе кажется сложным, прочти тему «Логарифмы» и все пройдет), но с точки зрения математики слово «сложная» не означает «трудная».

Представь себе маленький конвейер: сидят два человека и проделывают какие-то действия с какими-то предметами. Например, первый заворачивает шоколадку в обертку, а второй обвязывает ее ленточкой. Получается такой составной объект: шоколадка, обернутая и обвязанная ленточкой. Чтобы съесть шоколадку, тебе нужно проделать обратные действия в обратном порядке.

Давай создадим подобный математический конвейер: сперва будем находить косинус числа, а затем полученное число возводить в квадрат. Итак, нам дают число \(x\) (шоколадка), я нахожу его косинус (обертка), а ты затем возводишь то, что у меня получилось, в квадрат (обвязываешь ленточкой). Что получилось? Функция \(y={{\cos }^{2}}x\). Это и есть пример сложной функции: когда для нахождения ее значения мы проделываем первое действие непосредственно с переменной, а потом еще второе действие с тем, что получилось в результате первого.

Мы вполне можем проделывать те же действия и в обратном порядке: сначала ты возводишь \(x\) в квадрат, а я затем ищу косинус полученного числа: \(f=\cos {{x}^{2}}\). Несложно догадаться, что результат будет почти всегда разный. Важная особенность сложных функций: при изменении порядка действий функция меняется.

Другими словами, сложная функция – это функция, аргументом которой является другая функция: \(y\left( f\left( x \right) \right)\).

Для первого примера \(f\left( x \right)=\cos x\), \(y\left( x \right)={{x}^{2}}\).

Тогда \(\displaystyle y\left( f\left( x \right) \right)={{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}={{\left( \cos x \right)}^{2}}={{\cos }^{2}}x\).

Второй пример: \(y\left( x \right)={{x}^{2}};\text{ }f\left( x \right)=\cos x\)(то же самое). \(f\left( y\left( x \right) \right)=\cos y\left( x \right)=\cos {{x}^{2}}\).

Действие, которое делаем последним будем называть «внешней» функцией, а действие, совершаемое первым – соответственно «внутренней» функцией (это неформальные названия, я их употребляю только для того, чтобы объяснить материал простым языком).

Попробуй определить сам, какая функция является внешней, а какая внутренней:

  1. \({{\sin }^{3}}x\)
  2. \(tg\sqrt{x}\)
  3. \(\sqrt{\cos x}\)
  4. \({{\left( {{x}^{3}}+2x+1 \right)}^{5}}\)
  5. \(\sqrt[3]{2{{x}^{2}}+3}\)

Ответы:

  1. Первым будем выполнять какое действие? Сперва посчитаем синус, а только потом возведем в куб. Значит, внутренняя функция \(y\left( x \right)=\sin x\), а внешняя \(f\left( x \right)={{x}^{3}}\).
    А исходная функция является их композицией: \(f\left( y\left( x \right) \right)={{y}^{3}}\left( x \right)={{\sin }^{3}}x\).
  2. Внутренняя: \(y\left( x \right)=\sqrt{x}\); внешняя:\(f(x)=tg\ x\).
    Проверка:\(f(y(x))=tg(y(x))=tg\sqrt{x}\).
  3. Внутренняя: \(y\left( x \right)=\cos x\); внешняя: \(f\left( x \right)=\sqrt{x}\).
    Проверка: \(f\left( y\left( x \right) \right)=\sqrt{y\left( x \right)}=\sqrt{\cos x}\).
  4. Внутренняя: \(y\left( x \right)={{x}^{3}}+2x+1\); внешняя: \(f\left( x \right)={{x}^{5}}\).
    Проверка: \(f\left( y\left( x \right) \right)={{\left( y\left( x \right) \right)}^{5}}={{\left( {{x}^{3}}+2x+1 \right)}^{5}}\).
  5. Внутренняя: \(y\left( x \right)=2{{x}^{2}}+3\); внешняя: \(f\left( x \right)=\sqrt[3]{x}\).
    Проверка: \(f\left( y\left( x \right) \right)=\sqrt[3]{y\left( x \right)}=\sqrt[3]{\left( 2{{x}^{2}}+3 \right)}\).

Разделение внутренней и внешней функций очень похоже на замену переменных: например, в функции \(f\left( x \right)=\sqrt{\cos x}\) производим замену переменных \(y=\cos x\) и получаем функцию \(f\left( y \right)=\sqrt{y}\).

Ну что ж, теперь будем извлекать нашу шоколадку – искать производную. Порядок действий всегда обратный: сначала ищем производную внешней функции, затем умножаем результат на производную внутренней функции. Применительно к исходному примеру это выглядит так:

\(\begin{array}{l}f\left( y\left( x \right) \right)={{\cos }^{2}}x;\\y\left( x \right)=\cos x;\text{ }{y}’\left( x \right)=-\sin x\\f\left( y \right)={{y}^{2}};\text{ }{f}’\left( y \right)=2y=2\cos x\\{f}’\left( y\left( x \right) \right)={f}’\left( y \right)\cdot {y}’\left( x \right)=2\cos x\cdot \left( -\sin x \right)=-2\cos x\cdot \sin x=-2\sin 2x\end{array}\)

Другой пример:

\(\displaystyle \begin{array}{l}f(x)=\sin \ (2{{x}^{2}}+1)\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \uparrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \uparrow \\внешняя\ \ \ \text{внутренняя}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{f}’\left( x \right)=\cos \left( 2{{x}^{2}}+1 \right)\cdot \left( 2\cdot 2x+0 \right)=4x\cdot \cos \left( 2{{x}^{2}}+1 \right)\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \uparrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \uparrow \ \\\ \ \ \ производная\ \ \ \ \ \ \ производная\\\ \ \ \ внешней\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ внутренней\end{array}\).

Итак, сформулируем, наконец, официальное правило:

\({{\left[ f\left( y\left( x \right) \right) \right]}^{\prime }}={f}’\left( y\left( x \right) \right)\cdot {y}’\left( x \right)\)

или проще:

\({{\left[ f\left( y \right) \right]}^{\prime }}={f}’\left( y \right)\cdot {y}’\)

Алгоритм нахождения производной сложной функции:

Алгоритм Пример:\(\sqrt{\sin x}\)
1.Определяем «внутреннюю» функцию, находим ее производную. Внутренняя функция: \(y=\sin x\).\({y}’=\cos x\)
2.Определяем «внешнюю» функцию, находим ее производную. Внешняя функция:\(f\left( y \right)=\sqrt{y}={{y}^{\frac{1}{2}}}\).\({f}’\left( y \right)=\frac{1}{2}{{y}^{-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{y}}=\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\)
3. Умножаем результаты первого и второго пунктов. \({f}’\left( x \right)=\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}\).

Вроде бы все просто, да?

Проверим на примерах:

  1. \(\sin 2x\)
  2. \(\displaystyle tg\ ({{x}^{2}}+2x+1)\)
  3. \({{\left( 5{{x}^{2}}-3x+4 \right)}^{4}}\)
  4. \(\sqrt{\cos \left( 2x+3 \right)}\)
  5. \({{\sin }^{2}}\sqrt{2x+1}\).

Решения:

1) Внутренняя: \(y=2x;\text{ }{y}’=\text{2}\);

Внешняя: \(f\left( y \right)=\sin y;\text{ }{f}’\left( y \right)=\cos y=\cos 2x\);

\({f}’\left( x \right)=2\cos 2x\).

2) Внутренняя: \(y={{x}^{2}}+2x+1;\text{ }{y}’=\text{2}x+2=2\left( x+1 \right)\);

Внешняя: \(\displaystyle f(y)=tg\ y;\ {f}'(y)=\frac{1}{{{\cos }^{2}}y}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}({{x}^{2}}+2x+1)}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}{{(x+1)}^{2}}}\)

\({f}’\left( x \right)=\frac{2\left( x+1 \right)}{{{\cos }^{2}}{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\).

(только не вздумай теперь сократить на \(\displaystyle (x+1)\)! Из под косинуса ничего не выносится, помнишь?)

3) Внутренняя: \(y=5{{x}^{2}}-3x+4;\text{ }{y}’=10x+3\);

Внешняя: \(f\left( y \right)={{y}^{4}};\text{ }{f}’\left( y \right)=4{{y}^{3}}=4{{\left( 5{{x}^{2}}-3x+4 \right)}^{3}}\);

\({f}’\left( x \right)=4\left( 10x+3 \right){{\left( 5{{x}^{2}}-3x+4 \right)}^{3}}\).

4) \(\sqrt{\cos \left( 2x+\frac{\pi }{3} \right)}\).

Сразу видно, что здесь трехуровневая сложная функция: ведь \(\cos \left( 2x+3 \right)\) – это уже сама по себе сложная функция, а из нее еще извлекаем корень, то есть выполняем третье действие (шоколадку в обертке и с ленточкой кладем в портфель). Но пугаться нет причин: все-равно «распаковывать» эту функцию будем в том же порядке, что и обычно: с конца.

То есть сперва продифференцируем корень, затем косинус, и только потом выражение в скобках. А потом все это перемножим.

В таких случаях удобно пронумеровать действия. То есть, представим, что нам известен \(x\). В каком порядке будем совершать действия, чтобы вычислить значение этого выражения? Разберем на примере \(x=0\):

1. Сначала – действие в скобках
Это будет функция \(z(x)\)
\(\sqrt{\cos \underbrace{\left( 2x+\frac{\pi }{3} \right)}_{1}}=\sqrt{\cos \frac{\pi }{3}}\)
2. Затем считаем косинус полученного числа
Это будет функция \(y(x)\)
\(\displaystyle \sqrt{\overbrace{\cos \underbrace{\left( 2x+\frac{\pi }{3} \right)}_{1}}^{2}}=\sqrt{\underbrace{\cos \frac{\pi }{3}}_{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}\)
3. Ну и, наконец, вычисляем корень
Это будет функция \(f(x)\)
\(\displaystyle \overset{3}{\mathop{\sqrt{\overbrace{\cos \underbrace{\left( 2x+\frac{\pi }{3} \right)}_{1}}^{2}}}}\,=\overset{3}{\mathop{\sqrt{\underbrace{\cos \frac{\pi }{3}}_{2}}}}\,=\overset{3}{\mathop{\sqrt{\frac{1}{2}}}}\,=0,7071….\)

 

Чем позже совершается действие, тем более «внешней» будет соответствующая функция. Последовательность действий – как и раньше:

\(\begin{array}{l}f\left( y\left( z\left( x \right) \right) \right)=\sqrt{\cos \left( 2x+\frac{\pi }{3} \right)}.\\z\left( x \right)=2x+\frac{\pi }{3};\text{ }{z}’=2.\\y\left( z \right)=\cos z;\text{ }{y}’=-\sin z=-\sin \left( 2x+\frac{\pi }{3} \right).\\f\left( y \right)=\sqrt{y};\text{ }{f}’=\frac{1}{2\sqrt{y}}=\frac{1}{2\sqrt{\cos z}}=\frac{1}{2\sqrt{\cos \left( 2x+\frac{\pi }{3} \right)}}.\\{f}’\left( x \right)={f}’\cdot {y}’\cdot {z}’=-\frac{2\sin \left( 2x+\frac{\pi }{3} \right)}{2\sqrt{\cos \left( 2x+\frac{\pi }{3} \right)}}.\end{array}\)

5) \({{\sin }^{2}}\sqrt{2x+1}\).

Здесь вложенность вообще 4-уровневая. Давай определим порядок действий.

1. Подкоренное выражение. \(t\left( x \right)=2x+1;\text{ }{t}’=2\).

2. Корень. \(z\left( t \right)=\sqrt{t};\text{ }{z}’=\frac{1}{2\sqrt{t}}=\frac{1}{2\sqrt{2x+1}}\).

3. Синус. \(y\left( z \right)=\sin z;\text{ }{y}’=\cos z=\cos \sqrt{t}=\cos \sqrt{2x+1}\).

4. Квадрат. \(f\left( y \right)={{y}^{2}};\text{ }{f}’=2y=2\sin z=2\sin \sqrt{t}=2\sin \sqrt{2x+1}\).

5. Собираем все в кучу:

\({f}’\left( x \right)={f}’\cdot {y}’\cdot {z}’\cdot {t}’=\underbrace{2\sin \sqrt{2x+1}\cdot \cos \sqrt{2x+1}}_{это\ формула\ синуса\ двойного\ угла}\cdot \frac{1}{2\sqrt{2x+1}}\cdot 2=\frac{\sin \left( 2\sqrt{2x+1} \right)}{\sqrt{2x+1}}\)

Прямо сейчас рекомендую перейти к теме «Уравнение касательной к графику функции». Там ты разберешь геометрический смысл производной, что поспособствует лучшему ее пониманию.

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий