Прямоугольный треугольник. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Понятие «прямоугольный треугольник».

Прямоугольный треугольник рис. 1 Что такое прямоугольный треугольник? Посмотри на картинку. Название говорит само за себя.
Прямоугольный треугольник – такой треугольник, один из углов которого – прямой (то есть равен \(\displaystyle {{90}^{\circ }}\)).

В задачах прямой угол вовсе не обязательно – левый нижний, так что тебе нужно научиться узнавать прямоугольный треугольник и в таком виде,

Прямоугольный треугольник рис. 2

и в таком,

Прямоугольный треугольник рис. 3

и в таком
Прямоугольный треугольник рис. 4
Что же хорошего есть в прямоугольном треугольнике? Ну…, во-первых, есть специальные красивые названия для его сторон.

Стороны, между которыми прямой угол, называются катеты, а третья сторона (самая длинная) называется гипотенуза. Внимание на рисунок!

Стороны, между которыми прямой угол, называются катеты, а третья сторона (самая длинная) называется гипотенуза

Запомни и не путай: катетов – два, а гипотенуза – всего одна (единственная, неповторимая и самая длинная)!

Ну вот, названия обсудили, теперь самое важное: Теорема Пифагора.

Теорема Пифагора.

Эта теорема – ключик к решению многих задачек с участием прямоугольного треугольника. Её доказал Пифагор в совершенно незапамятные времена, и с тех пор она принесла много пользы знающим её. А самое хорошее в ней то, что она – простая.

Итак, Теорема Пифагора:

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Прямоугольный треугольник рис. 5 В буквах это так: \(A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}\) или так: \({{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\)

Помнишь шутку: «Пифагоровы штаны на все стороны равны!»?

Давай нарисуем эти самые пифагоровы штаны и посмотрим на них.
Пифагоровы штаны на все стороны равны!
Правда, похоже на какие – то шорты? Ну и на какие стороны и где она равны? Почему и откуда возникла шутка? А шутка эта связана как раз с теоремой Пифагора, точнее с тем, как сам Пифагор формулировал свою теорему. А формулировал он её так:

«Сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе».

Правда, немножко по-другому звучит? И вот, когда Пифагор нарисовал утверждение своей теоремы, как раз и получилась такая картинка.

Пифагоровы штаны на все стороны равны!
На этой картинке сумма площадей маленьких квадратов равна площади большого квадрата. А чтобы дети лучше запоминали, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, кто-то остроумный и выдумал эту шутку про Пифагоровы штаны.

Почему же мы сейчас формулируем теорему Пифагора

Прямоугольный треугольник рис. 6  \({{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\)

А Пифагор мучился и рассуждал про площади?

Понимаешь, в древние времена не было… алгебры! Не было никаких обозначений \(\displaystyle a,\text{ }b,\text{ }c,\text{ }x\) и так далее. Не было надписей \(\displaystyle {{a}^{2}},\text{ }{{b}^{2}},\text{ }{{c}^{2}}\). Представляешь, как бедным древним ученикам было ужасно запоминать всё словами??! А мы можем радоваться, что у нас есть простая формулировка теоремы Пифагора. Давай её ещё раз повторим, чтобы лучше запомнить:

Прямоугольный треугольник рис. 7 \(A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}\)
или
\({{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\)

Теперь уже должно быть легко:

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Проверь себя — реши задачи на прямоугольный треугольник.

Ну вот, самую главную теорему о прямоугольном треугольнике обсудили. Если тебе интересно, как она доказывается, читай следующие уровни теории, а сейчас пойдём дальше… в тёмный лес… тригонометрии! К ужасным словам синус, косинус, тангенс и котангенс.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике.

На самом деле все совсем не так страшно. Конечно, «настоящее» определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса нужно смотреть в статье «Синус, косинус…». Но очень не хочется, правда? Можем обрадовать: для решения задач про прямоугольный треугольник можно просто заполнить следующие простые вещи:

Прямоугольный треугольник рис. 8
  1. \(\sin \angle A=\frac{a}{c}\)
  2. \(\cos \angle A=\frac{b}{c}\)
  3. \(tg~\angle A=\frac{a}{b}\)
  4. \(ctg~\angle A=\frac{b}{a}\)

А почему же всё только про угол \(A\)? Где же угол \(B\)? Для того, чтобы в этом разобраться, нужно знать, как утверждения 1 — 4 записываются словами. Смотри, понимай и запоминай!

1. \(\displaystyle \sin \angle A=\frac{a}{c}\)
Вообще-то звучит это так:

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе рис. 1 Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе.

А что же угол \(\displaystyle B\)? Есть ли катет, который находится напротив угла \(\displaystyle B\), то есть противолежащий (для угла \(\displaystyle B\)) катет? Конечно, есть! Это катет \(\displaystyle b\)!

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе рис. 2 Значит, \(\displaystyle \sin \angle B=\frac{b}{c}\)

2. \(\displaystyle \cos \angle A=\frac{b}{c}\)

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе рис. 1 Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

А как же угол \(\displaystyle B\)? Посмотри внимательно. Какой катет прилегает к углу \(\displaystyle B\)? Конечно же, катет \(\displaystyle a\). Значит, для угла \(\displaystyle B\) катет \(\displaystyle a\) – прилежащий, и

\(\displaystyle \cos \angle B=\frac{a}{c}\).

А теперь, внимание! Посмотри, что у нас получилось:

\(\displaystyle \begin{array}{l}\sin \angle A=\frac{a}{c}\ \ \sin \angle B=\frac{b}{c}\ \ \\\cos \angle A=\frac{b}{c}\ \ \cos \angle B=\frac{a}{c}\end{array}\)

Видишь, как здорово:

\(\displaystyle \sin \angle A=\cos \angle B\) и \(\displaystyle \sin \angle B=\cos \angle A\)

Это очень удобно – если тебе дан в задаче синус одного угла прямоугольного треугольника, то ты знаешь и косинус другого! Итак, запомни очень твёрдо:

В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого и наоборот.

Проверь себя — реши задачи на прямоугольный треугольник.

Теперь перейдём к тангенсу и котангенсу.

3. \(\displaystyle tg~\angle A=\frac{a}{b}\)

Как это теперь записать словами? Катет \(\displaystyle a\) каким является по отношению к углу \(\displaystyle A\)? Противолежащим, конечно – он «лежит» напротив угла \(\displaystyle A\). А катет \(\displaystyle b\)? Прилегает к углу \(\displaystyle A\). Значит, что у нас получилось?

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

4. \(\displaystyle ctg~\angle A=\frac{b}{a}\)

Видишь, числитель и знаменатель поменялись местами?

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к противолежащему.

Вспомним теперь про угол \(\displaystyle \angle B\). Что будет для него? Правильно:

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к противолежащему \(\displaystyle tg~\angle B=\frac{b}{a}\)\(\displaystyle ctg~\angle B=\frac{a}{b}\)

И теперь снова углы \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) совершили обмен:

\(\displaystyle \begin{array}{l}tg~\angle A=\frac{a}{b}\ \ tg~\angle B=\frac{b}{a}\\ctg~\angle A=\frac{b}{a}\ \ ctg~\angle B=\frac{a}{b}\end{array}\)

В прямоугольном треугольнике тангенс одного острого угла равен котангенсу другого.

Проверь себя — реши задачи на прямоугольный треугольник.

Резюме

Давай вкратце запишем всё, что мы узнали.

610з (10) Теорема Пифагора: \(\displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\)
\(\displaystyle \sin \angle A=\frac{a}{c}\) \(\displaystyle \sin \angle B=\frac{b}{c}\)
\(\displaystyle \cos \angle A=\frac{b}{c}\) \(\displaystyle \cos \angle B=\frac{a}{c}\)
\(\displaystyle tg~\angle A=\frac{a}{b}\) \(\displaystyle tg~\angle B=\frac{b}{a}\)
\(\displaystyle ctg~\angle A=\frac{b}{a}\) \(\displaystyle ctg~\angle B=\frac{a}{b}\)

Запомни эту табличку как таблицу умножения – и ты сможешь решить много задач про прямоугольный треугольник. Во всяком случае, все задачи первой части  ЕГЭ, в которых участвует прямоугольный треугольник, тебе точно будут «по зубам»!
Если тебе хочется научиться решать более сложные задачи, то нужно узнать ещё некоторые замечательные факты о прямоугольном треугольнике – читай следующие уровни теории!

Проверь себя — реши задачи на прямоугольный треугольник.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *