Прямоугольный треугольник. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Понятие «прямоугольный треугольник».

Прямоугольный треугольник рис. 1 Что такое прямоугольный треугольник? Посмотри на картинку. Название говорит само за себя.
Прямоугольный треугольник – такой треугольник, один из углов которого – прямой (то есть равен $latex \displaystyle {{90}^{\circ }}$).

В задачах прямой угол вовсе не обязательно – левый нижний, так что тебе нужно научиться узнавать прямоугольный треугольник и в таком виде,

Прямоугольный треугольник рис. 2

и в таком,

Прямоугольный треугольник рис. 3

и в таком
Прямоугольный треугольник рис. 4
Что же хорошего есть в прямоугольном треугольнике? Ну…, во-первых, есть специальные красивые названия для его сторон.

Стороны, между которыми прямой угол, называются катеты, а третья сторона (самая длинная) называется гипотенуза. Внимание на рисунок!

Стороны, между которыми прямой угол, называются катеты, а третья сторона (самая длинная) называется гипотенуза

Запомни и не путай: катетов – два, а гипотенуза – всего одна (единственная, неповторимая и самая длинная)!

Ну вот, названия обсудили, теперь самое важное: Теорема Пифагора.

Теорема Пифагора.

Эта теорема – ключик к решению многих задачек с участием прямоугольного треугольника. Её доказал Пифагор в совершенно незапамятные времена, и с тех пор она принесла много пользы знающим её. А самое хорошее в ней то, что она – простая.

Итак, Теорема Пифагора:

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Прямоугольный треугольник рис. 5 В буквах это так: $latex A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}$ или так: $latex {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$

Помнишь шутку: «Пифагоровы штаны на все стороны равны!»?

Давай нарисуем эти самые пифагоровы штаны и посмотрим на них.
Пифагоровы штаны на все стороны равны!
Правда, похоже на какие – то шорты? Ну и на какие стороны и где она равны? Почему и откуда возникла шутка? А шутка эта связана как раз с теоремой Пифагора, точнее с тем, как сам Пифагор формулировал свою теорему. А формулировал он её так:

«Сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе».

Правда, немножко по-другому звучит? И вот, когда Пифагор нарисовал утверждение своей теоремы, как раз и получилась такая картинка.

Пифагоровы штаны на все стороны равны!
На этой картинке сумма площадей маленьких квадратов равна площади большого квадрата. А чтобы дети лучше запоминали, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, кто-то остроумный и выдумал эту шутку про Пифагоровы штаны.

Почему же мы сейчас формулируем теорему Пифагора

Прямоугольный треугольник рис. 6  $latex {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$

А Пифагор мучился и рассуждал про площади?

Понимаешь, в древние времена не было… алгебры! Не было никаких обозначений $latex \displaystyle a,\text{ }b,\text{ }c,\text{ }x$ и так далее. Не было надписей $latex \displaystyle {{a}^{2}},\text{ }{{b}^{2}},\text{ }{{c}^{2}}$. Представляешь, как бедным древним ученикам было ужасно запоминать всё словами??! А мы можем радоваться, что у нас есть простая формулировка теоремы Пифагора. Давай её ещё раз повторим, чтобы лучше запомнить:

Прямоугольный треугольник рис. 7 $latex A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}$
или
$latex {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$

Теперь уже должно быть легко:

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Проверь себя — реши задачи на прямоугольный треугольник.

Ну вот, самую главную теорему о прямоугольном треугольнике обсудили. Если тебе интересно, как она доказывается, читай следующие уровни теории, а сейчас пойдём дальше… в тёмный лес… тригонометрии! К ужасным словам синус, косинус, тангенс и котангенс.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике.

На самом деле все совсем не так страшно. Конечно, «настоящее» определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса нужно смотреть в статье «Синус, косинус…». Но очень не хочется, правда? Можем обрадовать: для решения задач про прямоугольный треугольник можно просто заполнить следующие простые вещи:

Прямоугольный треугольник рис. 8
  1. $latex \sin \angle A=\frac{a}{c}$
  2. $latex \cos \angle A=\frac{b}{c}$
  3. $latex tg~\angle A=\frac{a}{b}$
  4. $latex ctg~\angle A=\frac{b}{a}$

А почему же всё только про угол $latex A$? Где же угол $latex B$? Для того, чтобы в этом разобраться, нужно знать, как утверждения 1 — 4 записываются словами. Смотри, понимай и запоминай!

1. $latex \displaystyle \sin \angle A=\frac{a}{c}$
Вообще-то звучит это так:

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе рис. 1 Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе.

А что же угол $latex \displaystyle B$? Есть ли катет, который находится напротив угла $latex \displaystyle B$, то есть противолежащий (для угла $latex \displaystyle B$) катет? Конечно, есть! Это катет $latex \displaystyle b$!

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе рис. 2 Значит, $latex \displaystyle \sin \angle B=\frac{b}{c}$

2. $latex \displaystyle \cos \angle A=\frac{b}{c}$

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе рис. 1 Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

А как же угол $latex \displaystyle B$? Посмотри внимательно. Какой катет прилегает к углу $latex \displaystyle B$? Конечно же, катет $latex \displaystyle a$. Значит, для угла $latex \displaystyle B$ катет $latex \displaystyle a$ – прилежащий, и

$latex \displaystyle \cos \angle B=\frac{a}{c}$.

А теперь, внимание! Посмотри, что у нас получилось:

$latex \displaystyle \begin{array}{l}\sin \angle A=\frac{a}{c}\ \ \sin \angle B=\frac{b}{c}\ \ \\\cos \angle A=\frac{b}{c}\ \ \cos \angle B=\frac{a}{c}\end{array}$

Видишь, как здорово:

$latex \displaystyle \sin \angle A=\cos \angle B$ и $latex \displaystyle \sin \angle B=\cos \angle A$

Это очень удобно – если тебе дан в задаче синус одного угла прямоугольного треугольника, то ты знаешь и косинус другого! Итак, запомни очень твёрдо:

В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого и наоборот.

Проверь себя — реши задачи на прямоугольный треугольник.

Теперь перейдём к тангенсу и котангенсу.

3. $latex \displaystyle tg~\angle A=\frac{a}{b}$

Как это теперь записать словами? Катет $latex \displaystyle a$ каким является по отношению к углу $latex \displaystyle A$? Противолежащим, конечно – он «лежит» напротив угла $latex \displaystyle A$. А катет $latex \displaystyle b$? Прилегает к углу $latex \displaystyle A$. Значит, что у нас получилось?

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

4. $latex \displaystyle ctg~\angle A=\frac{b}{a}$

Видишь, числитель и знаменатель поменялись местами?

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к противолежащему.

Вспомним теперь про угол $latex \displaystyle \angle B$. Что будет для него? Правильно:

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к противолежащему $latex \displaystyle tg~\angle B=\frac{b}{a}$$latex \displaystyle ctg~\angle B=\frac{a}{b}$

И теперь снова углы $latex \displaystyle A$ и $latex \displaystyle B$ совершили обмен:

$latex \displaystyle \begin{array}{l}tg~\angle A=\frac{a}{b}\ \ tg~\angle B=\frac{b}{a}\\ctg~\angle A=\frac{b}{a}\ \ ctg~\angle B=\frac{a}{b}\end{array}$

В прямоугольном треугольнике тангенс одного острого угла равен котангенсу другого.

Проверь себя — реши задачи на прямоугольный треугольник.

Резюме

Давай вкратце запишем всё, что мы узнали.

610з (10) Теорема Пифагора: $latex \displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$
$latex \displaystyle \sin \angle A=\frac{a}{c}$ $latex \displaystyle \sin \angle B=\frac{b}{c}$
$latex \displaystyle \cos \angle A=\frac{b}{c}$ $latex \displaystyle \cos \angle B=\frac{a}{c}$
$latex \displaystyle tg~\angle A=\frac{a}{b}$ $latex \displaystyle tg~\angle B=\frac{b}{a}$
$latex \displaystyle ctg~\angle A=\frac{b}{a}$ $latex \displaystyle ctg~\angle B=\frac{a}{b}$

Запомни эту табличку как таблицу умножения – и ты сможешь решить много задач про прямоугольный треугольник. Во всяком случае, все задачи первой части  ЕГЭ, в которых участвует прямоугольный треугольник, тебе точно будут «по зубам»!
Если тебе хочется научиться решать более сложные задачи, то нужно узнать ещё некоторые замечательные факты о прямоугольном треугольнике – читай следующие уровни теории!

Проверь себя — реши задачи на прямоугольный треугольник.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий