Прямоугольный треугольник. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов – прямой, то есть равен \(\displaystyle {{90}^{\circ }}\).

Главная теорема о прямоугольном треугольнике – теорема Пифагора.

Теорема Пифагора

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Высота в прямоугольном треугольнике рис. 1 В буквах это будет так:  \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}\) или так:  \(B{{C}^{2}}+A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}\)

Кстати, хорошо ли ты помнишь, что такое катеты и гипотенуза? Если не очень, то смотри на рисунок – освежай знания

Высота в прямоугольном треугольнике рис. 2

Вполне возможно, что ты уже много раз использовал теорему Пифагора, а вот задумывался ли ты, почему же верна такая теорема. Как бы её доказать? А давай поступим, как древние греки. Нарисуем квадрат со стороной \(a+b\).

Высота в прямоугольном треугольнике рис. 3

Видишь, как хитро мы поделили его стороны на отрезки длин \(a\) и \(b\)!

А теперь соединим отмеченные точки

Высота в прямоугольном треугольнике рис. 4

Тут мы, правда ещё кое что отметили, но ты сам посмотри на рисунок и подумай, почему так.

Чему же равна площадь большего квадрата? Правильно, \({{\left( a+b \right)}^{2}}\). А площадь меньшего? Конечно, \(c^2\). Осталась суммарная площадь четырех уголков. Представь, что мы взяли их по два и прислонили друг к другу гипотенузами. Что получилось? Два прямоугольника. Значит, площадь «обрезков» равна \(\displaystyle 2ab\).

Давай теперь соберем всё вместе.

\(\displaystyle \underbrace{{{\left( a+b \right)}^{2}}}_{{{S}_{большого\ квадрата}}}=\underbrace{2ab}_{{{S}_{«обрезков»}}}+\underbrace{{{c}^{2}}}_{{{S}_{малого\ квадрата}} }\)

Преобразуем:  \({{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}=2ab+{{c}^{2}}\)

то есть \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}\)

Вот и побывали мы Пифагором – доказали его теорему древним способом.

Проверь себя — реши задачи на прямоугольный треугольник.

Прямоугольный треугольник и тригонометрия

Для прямоугольного треугольника выполняются следующие соотношения:

Высота в прямоугольном треугольнике рис. 5

I. \(\displaystyle \sin \angle A=\frac{a}{c};\ \ \sin \angle B=\frac{b}{c}\ \)

Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе

II. \(\displaystyle \cos \angle A=\frac{b}{c};\ \ \cos \angle B=\frac{a}{c}\)

Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

III. \(\displaystyle tg~\angle A=\frac{a}{b};\ \ tg~\angle B=\frac{b}{a}\)

Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.

IV. \(\displaystyle ctg~\angle A=\frac{b}{a};\ \ ctg~\angle B=\frac{a}{b}\)

Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету.

И ещё раз всё это в виде таблички:

Высота в прямоугольном треугольнике рис. 5

\(\displaystyle \sin \angle A=\frac{a}{c}\) \(\displaystyle \sin \angle B=\frac{b}{c}\)
\(\displaystyle \cos \angle A=\frac{b}{c}\) \(\displaystyle \cos \angle B=\frac{a}{c}\)
\(\displaystyle tg~\angle A=\frac{a}{b}\) \(\displaystyle tg~\angle B=\frac{b}{a}\)
\(\displaystyle ctg~\angle A=\frac{b}{a}\) \(\displaystyle ctg~\angle B=\frac{a}{b}\)

Заметил ли ты одну очень удобную вещь? Посмотри на табличку внимательно.

В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого, а тангенс острого угла равен котангенсу другого.

Это очень удобно!

Проверь себя — реши задачи на прямоугольный треугольник.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

I.            По двум катетам

610zh-10.2

Прямоугольные треугольники равны, если два катета одного треугольника соответственно равны двум катетам другого треугольника.

II.            По катету и гипотенузе

Признак равенства прямоугольных треугольников: по катету и гипотенузе

Прямоугольные треугольники равны, если катет и гипотенуза одного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого.

III.            По гипотенузе и острому углу

Признак равенства прямоугольных треугольников: по гипотенузе и острому углу

Прямоугольные треугольники равны, если гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого.

IV.            По катету и острому углу

a)Признак равенства прямоугольных треугольников: по катету и острому углу

b)610ж (11)

Прямоугольные треугольники равны, если катет и острый угол одного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого треугольника.

Внимание! Здесь очень важно, чтобы катеты были «соответствующие». Например, если будет так:

Признак равенства прямоугольных треугольников: катеты соответствующие!

То ТРЕУГОЛЬНИКИ НЕ РАВНЫ, несмотря на то, что имеют по одному одинаковому острому углу.

Нужно, чтобы в обоих треугольниках катет был прилежащим, или в обоих – противолежащим.

Ты заметил, чем отличаются признаки равенства прямоугольных треугольников от обычных признаков равенства треугольников? Загляни в тему «Треугольник» и обрати внимание на то, что для равенства «рядовых» треугольников нужно равенство трех их элементов: две стороны и угол между ними, два угла и сторона между ними или три стороны. А вот для равенства прямоугольных треугольников достаточно всего двух соответственных элементов. Здорово, правда?

Проверь себя — реши задачи на прямоугольный треугольник.

Примерно такая же ситуация и с признаками подобия прямоугольных треугольников.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

I.            По острому углу

Признак подобия прямоугольных треугольников. По острому углу

Если прямоугольные треугольники имеют по одинаковому острому углу, то они подобны.

II.            По двум катетам

Признак подобия прямоугольных треугольников. По двум катетам

Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого, то эти треугольники подобны.

III.            По катету и гипотенузе

Признак подобия прямоугольных треугольников. По катету и гипотенузе

Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого, то эти треугольники подобны.

Проверь себя — реши задачи на прямоугольный треугольник.

Медиана в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы

Почему это так?

Рассмотрим вместо прямоугольного треугольника целый прямоугольник.

610ж (17) Что видим? Треугольник \(\displaystyle ABC\) – половина прямоугольника.

Проведём диагональ \(\displaystyle CD\) и рассмотрим точку \(\displaystyle O\) — точку пересечения диагоналей. Что известно про диагонали прямоугольника?

610ж (18)
  • Точкой пересечения диагонали делятся пополам
  • Диагонали равны

И что из этого следует?

  • \(\displaystyle BO=OA;\text{ }CO=OD\)
  • \(\displaystyle AB=CD\) \(\displaystyle \Rightarrow AO=CO\)

Вот  и получилось, что

  1. \(\displaystyle CO\) – медиана:
  2. \(\displaystyle CO=\frac{AB}{2}\)

Запомни этот факт! Очень помогает!

А что ещё более удивительно, так это то, что верно и обратное утверждение.

Если медиана, проведенная к какой-нибудь стороне треугольника, оказалась равна половине этой стороны, то треугольник – прямоугольный.

Что же хорошего можно получить из того, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы? А давай посмотрим на картинку

Если медиана, проведенная к какой–нибудь стороне треугольника, оказалась равна половине этой стороны, то треугольник – прямоугольный. Здесь \(\displaystyle CO\) – медиана и равна \(\frac{AB}{2}\). Что же это получилось за точка \(\displaystyle O\)?

Посмотри внимательно. У нас есть: \(OA=OB=OC\), то есть расстояния от точки \(\displaystyle O\) до всех трёх вершин треугольника оказались равны. Но в треугольнике есть всего одна точка, расстояния от которой о всех трёх вершин треугольника равны, и это – ЦЕНТР ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ. Значит, что получилось?

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.

Проверь себя — реши задачи на прямоугольный треугольник.

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, разбивает прямоугольный треугольник на два подобных треугольника. Кроме того, каждый из этих треугольников подобен исходному. Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, разбивает прямоугольный треугольник на два подобных треугольника. Кроме того, каждый из этих треугольников подобен исходному.

Вот давай мы начнём с этого «кроме того…».

Посмотрим на  \(\Delta ABC\) и \(\Delta ACH\).

Высота в прямоугольном треугольнике  У них общий \(\angle A\), и они оба – прямоугольные. Значит (вспоминаем только что прочитанные признаки подобия прямоугольных треугольников) – они подобны!

Еще раз:

Высота в прямоугольном треугольнике рис.1 \(\displaystyle \begin{array}{l}\Delta ABC,\ \Delta ACH:\\\left\{ \begin{array}{l}\angle CAB=\angle CAH\\\angle C=90{}^\circ ;\ \angle H=90{}^\circ \end{array} \right.\Rightarrow \\\Rightarrow \Delta ABC\sim \Delta ACH\end{array}\)

Но у подобных треугольников все углы равны!

Высота в прямоугольном треугольнике рис.2 \(\angle HCA=\angle CBA\) (Посмотри на рисунок)

То же самое можно сказать и про \(\Delta CBH\) и \(\Delta ABC\)

Высота в прямоугольном треугольнике рис.3 \(\displaystyle \begin{array}{l}\Delta ABC,\ \Delta CBH:\\\left\{ \begin{array}{l}\angle ABC=\angle CBH\\\angle C=90{}^\circ ;\ \angle H=90{}^\circ \end{array} \right.\Rightarrow \\\Rightarrow \Delta ABC\sim \Delta CBH\Rightarrow \\\Rightarrow \angle BAC=\angle BCH\end{array}\)

А теперь нарисуем это вместе:

Высота в прямоугольном треугольнике рис.4 Что видим?
У \(\Delta BCH\) и \(\Delta CHA\) одинаковые острые углы!\(\displaystyle \Rightarrow \Delta BCH\sim \Delta CHA\)

Какую же пользу можно извлечь из этого «тройственного» подобия.

Ну, например – две формулы для высоты прямоугольного треугольника.

Высота в прямоугольном треугольнике рис.5 Чтобы писать меньше букв, обозначим: \(\displaystyle AC=b\); \(\displaystyle BC=a\ \); \(\displaystyle AB=c\); \(\displaystyle CH=h\) (посмотри на рисунке). Применяем подобие:\(\Delta ABC\sim \Delta ACH\).

Запишем отношения соответствующих сторон:

Первая формула высоты в прямоугольном треугольнике

Для нахождения высоты решаем пропорцию и получаем первую формулу «Высота в прямоугольном треугольнике»:

\(\displaystyle h=\frac{ab}{c}\)

Как же получить вторую?

А теперь применим подобие треугольников \(BCH\) и \(CAH\).

Высота в прямоугольном треугольнике рис.6 Но сначала обозначим \(BH={{c}_{a}}\) и \(CH={{c}_{b}}\) ( смотри на рисунок)

Итак, применим подобие: \(\displaystyle \Delta BCH\sim \Delta CAH\).

Значит,

Вторая формула высоты в прямоугольном треугольнике

Что теперь получится?

Опять решаем пропорцию и получаем вторую формулу «Высота в прямоугольном треугольнике»:

\(\displaystyle {{h}^{2}}={{c}_{a}}{{c}_{b}}\) ,то есть \(\displaystyle h=\sqrt{{{c}_{a}}{{c}_{b}}}\)

Обе эти формулы нужно очень хорошо помнить и применять ту, которую удобнее. Запишем их ещё раз

\(\displaystyle h=\frac{ab}{c}\)
\(\displaystyle h=\sqrt{{{c}_{a}}{{c}_{b}}}\)

Ну вот, теперь, применяя и комбинируя эти знания с другими, ты решишь любую задачу с прямоугольным треугольником!

Проверь себя — реши задачи на прямоугольный треугольник.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий