Расстояние от точки до прямой. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Это совсем короткая тема. И совсем не сложная.

Чтобы найти расстояние от точки до прямой в пространстве, нужно из этой точки опустить перпендикуляр на прямую и найти длину этого перпендикуляра.

Вот так:

Расстояние от точки до прямой

В задачах, как правило, отрезок \(\displaystyle AH\) – это высота в каком–нибудь треугольнике, поэтому задача поиска расстояния от точки до прямой становится полностью планиметрической.

Проверь себя — реши задачи на  расстояние от точки до прямой.

Давай убедимся в этом на примерах.

Задача:

В кубе \(\displaystyle ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\) с ребром, равным \(\displaystyle 2\), найти расстояние от точки \(\displaystyle {{A}_{1}}\) до прямой \(\displaystyle D{{C}_{1}}\).

2

Решаем:

Иллюстрация к задаче по нахождению расстояния от точки до прямой

Первым делом организуем треугольник. Как? Да очень просто – соединим точку \(\displaystyle {{A}_{1}}\) с точками \(\displaystyle D\) и \(\displaystyle {{C}_{1}}\). Так можно делать в любой задаче, потому что любые три точки лежат в одной плоскости.

Итак, получился треугольник \(\displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}D.\)

Теперь найдем требуемое расстояние от точки до прямой:

Чтобы найти расстояние от точки \(\displaystyle {{A}_{1}}\) до прямой \(\displaystyle D{{C}_{1}}\), теперь достаточно найти высоту \(\displaystyle {{A}_{1}}H\) в \(\displaystyle \Delta {{A}_{1}}{{C}_{1}}D.\)

Что же это за треугольник? Смотри внимательно:

\(\displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}\) — диагональ квадрата со стороной \(\displaystyle 2\), значит \(\displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}^{2}={{2}^{2}}+{{2}^{2}}=8\), то есть \(\displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}=2\sqrt{2}\).

Но \(\displaystyle {{A}_{1}}D\) — тоже диагональ квадрата со стороной \(\displaystyle 2\), значит \(\displaystyle {{A}_{1}}{{D}^{2}}={{2}^{2}}+{{2}^{2}}=8\); \(\displaystyle {{A}_{1}}D=2\sqrt{2}\).

А \(\displaystyle D{{C}_{1}}\)? Конечно же , и это диагональ квадрата со стороной \(\displaystyle 2\), поэтому \(\displaystyle D{{C}_{1}}^{2}={{2}^{2}}+{{2}^{2}}=8\); \(\displaystyle D{{C}_{1}}=2\sqrt{2}\).

Что вышло? Равносторонний треугольник получился!

\(\displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}={{A}_{1}}D=D{{C}_{1}}=2\sqrt{2}\).

Значит, \(\displaystyle AH\) — не только высота, но и медиана, \(\displaystyle H{{C}_{1}}=\frac{D{{C}_{1}}}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\).

Осталось применить теорему Пифагора:

\(\displaystyle {{A}_{1}}{{H}^{2}}={{A}_{1}}{{C}_{1}}^{2}-H{{C}_{1}}^{2}={{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}=6\).

Следовательно, расстояние от точки до прямой равно:

\(\displaystyle {{A}_{1}}H=\sqrt{6}\).

Проверь себя — реши задачи на  расстояние от точки до прямой.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Расстояние от точки до прямой. Начальный уровень.: 1 комментарий

Добавить комментарий