Расстояние от точки до прямой. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Это совсем короткая тема. И совсем не сложная.

Чтобы найти расстояние от точки до прямой в пространстве, нужно из этой точки опустить перпендикуляр на прямую и найти длину этого перпендикуляра.

Вот так:

Расстояние от точки до прямой

В задачах, как правило, отрезок $latex \displaystyle AH$ – это высота в каком–нибудь треугольнике, поэтому задача поиска расстояния от точки до прямой становится полностью планиметрической.

Проверь себя — реши задачи на  расстояние от точки до прямой.

Давай убедимся в этом на примерах.

Задача:

В кубе $latex \displaystyle ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$ с ребром, равным $latex \displaystyle 2$, найти расстояние от точки $latex \displaystyle {{A}_{1}}$ до прямой $latex \displaystyle D{{C}_{1}}$.

2

Решаем:

Иллюстрация к задаче по нахождению расстояния от точки до прямой

Первым делом организуем треугольник. Как? Да очень просто – соединим точку $latex \displaystyle {{A}_{1}}$ с точками $latex \displaystyle D$ и $latex \displaystyle {{C}_{1}}$. Так можно делать в любой задаче, потому что любые три точки лежат в одной плоскости.

Итак, получился треугольник $latex \displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}D.$

Теперь найдем требуемое расстояние от точки до прямой:

Чтобы найти расстояние от точки $latex \displaystyle {{A}_{1}}$ до прямой $latex \displaystyle D{{C}_{1}}$, теперь достаточно найти высоту $latex \displaystyle {{A}_{1}}H$ в $latex \displaystyle \Delta {{A}_{1}}{{C}_{1}}D.$

Что же это за треугольник? Смотри внимательно:

$latex \displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}$ — диагональ квадрата со стороной $latex \displaystyle 2$, значит $latex \displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}^{2}={{2}^{2}}+{{2}^{2}}=8$, то есть $latex \displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}=2\sqrt{2}$.

Но $latex \displaystyle {{A}_{1}}D$ — тоже диагональ квадрата со стороной $latex \displaystyle 2$, значит $latex \displaystyle {{A}_{1}}{{D}^{2}}={{2}^{2}}+{{2}^{2}}=8$; $latex \displaystyle {{A}_{1}}D=2\sqrt{2}$.

А $latex \displaystyle D{{C}_{1}}$? Конечно же , и это диагональ квадрата со стороной $latex \displaystyle 2$, поэтому $latex \displaystyle D{{C}_{1}}^{2}={{2}^{2}}+{{2}^{2}}=8$; $latex \displaystyle D{{C}_{1}}=2\sqrt{2}$.

Что вышло? Равносторонний треугольник получился!

$latex \displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}={{A}_{1}}D=D{{C}_{1}}=2\sqrt{2}$.

Значит, $latex \displaystyle AH$ — не только высота, но и медиана, $latex \displaystyle H{{C}_{1}}=\frac{D{{C}_{1}}}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$.

Осталось применить теорему Пифагора:

$latex \displaystyle {{A}_{1}}{{H}^{2}}={{A}_{1}}{{C}_{1}}^{2}-H{{C}_{1}}^{2}={{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}=6$.

Следовательно, расстояние от точки до прямой равно:

$latex \displaystyle {{A}_{1}}H=\sqrt{6}$.

Проверь себя — реши задачи на  расстояние от точки до прямой.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Расстояние от точки до прямой. Начальный уровень.: 1 комментарий

Добавить комментарий