Рациональные неравенства. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Рациональные неравенства – это неравенства, обе части которых являются рациональными выражениями.

Что такое рациональное выражение? Напомню:

Рациональное выражение — это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной $latex \displaystyle x$ с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.

Например, такое рациональное неравенство: $latex \displaystyle \frac{x+1}{{x}-2}\le \frac{x+2}{x}$

Решение всех рациональных неравенств сводится к двум основным шагам:

Шаг 1. Переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и раскладываем числитель и знаменатель на множители. Все множители должны быть «линейными», то есть переменная в каждом из них – только в первой степени. Если какой-то из множителей нелинейный, и его невозможно разложить на линейные, от него надо избавиться.

Если забыл, как раскладывать выражение на множители, прочти тему «Разложение многочленов на множители».

Шаг 2. Метод интервалов.

Если не знаешь, что это такое, прочти тему «Метод интервалов».

Первый шаг у нас уже раньше встречался. Где? В рациональных уравнениях! Но в отличие от уравнений, в неравенствах мы никогда не разделяем числитель и знаменатель! Более того, если в числителе и знаменателе есть одинаковые нечисловые множители, мы их не сокращаем! Это правило у нас уже было в теме «Метод интервалов». И вообще, в этой теме мы уже учились решать рациональные неравенства. Поэтому здесь ограничимся отдельными примерами.

Пример 1.

$latex \displaystyle \frac{x}{{x}-2}\le 1$

Решение:

Очень распространенной ошибкой здесь будет домножить все на знаменатель. Делать этого нельзя: мы ведь не знаем какой знак имеет выражение $latex \displaystyle \left( {x}-2 \right)$; но при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется! А на положительное – не меняется. Так что, менять нам знак или нет? Лучше просто не умножать! Следуем нашим двум шагам: переносим все в одну сторону.

$latex \displaystyle \frac{x}{{x}-2}\le 1\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\frac{x}{{x}-2}-1\le 0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\frac{{x}-x+2}{{x}-2}\le 0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\frac{2}{{x}-2}\le 0$

Рациональные неравенства, метод интервалов рис.1

Почему корень выколотый? Потому что он из знаменателя!

$latex \displaystyle x<2$

Пример 2.

$latex \displaystyle \frac{x+1}{{x}-2}\le \frac{x+2}{x}$

Решение:

$latex \displaystyle \frac{x+1}{{x}-2}\le \frac{x+2}{x}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\frac{x+1}{{x}-2}-\frac{x+2}{x}\le 0\text{  }\Leftrightarrow \text{ }$

$latex \displaystyle \frac{x\left( x+1 \right)-\left( x+2 \right)\left( {x}-2 \right)}{x\left( {x}-2 \right)}\le 0\text{  }\Leftrightarrow $

$latex \displaystyle \frac{{{x}^{2}}+{x}-{{x}^{2}}+4}{x\left( {x}-2 \right)}\le 0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\frac{x+4}{x\left( {x}-2 \right)}\le 0$

Рациональные неравенства, метод интервалов рис.2

$latex \displaystyle x\in \left( -\infty ;-4 \right]\cup \left( 0;2 \right)$

Пример 3.

$latex \displaystyle \frac{{x}-2}{{{x}^{2}}+2{x}-3}-\frac{x+1}{{{x}^{2}}+5x+6}\le \frac{3}{x+3}$

Решение:

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, разложим их знаменатели на множители. Это квадратные трехчлены, надо вспомнить, как их раскладывают на множители? (подробное описание см. в разделе «Разложение на множители»). Напомню, что для этого нужно найти корни соответствующих квадратных уравнений:

$latex \displaystyle \begin{array}{l}{{x}^{2}}+2{x}-3=0\\{{x}^{2}}+5x+6=0\end{array}$

Решим их с помощью теоремы Виета: у первого корни $latex \displaystyle 1$ и $latex \displaystyle -3$, у второго $latex \displaystyle -2$ и $latex \displaystyle -3$.

$latex \displaystyle \begin{array}{l}\frac{{x}-2}{{{x}^{2}}+2{x}-3}-\frac{x+1}{{{x}^{2}}+5x+6}\le \frac{3}{x+3}\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow \frac{{x}-{{2}^{\backslash x+2}}}{\left( {x}-1 \right)\left( x+3 \right)}-\frac{x+{{1}^{\backslash {x}-2}}}{\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)}-\frac{{{3}^{\backslash \left( {x}-1 \right)\left( x+2 \right)}}}{x+3}\le 0\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}-4-\left( {{x}^{2}}-1 \right)-3\left( {{x}^{2}}+{x}-2 \right)}{\left( {x}-1 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)}\le 0\Leftrightarrow \\\frac{-3{{x}^{2}}+3x+3}{\left( {x}-1 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)}\le 0\Leftrightarrow \\\frac{{{x}^{2}}-{x}-1}{\left( {x}-1 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)}\ge 0\end{array}$

Для того, чтобы разложить на множители числитель, так же как и раньше, решим соответствующее квадратное уравнение:

$latex \displaystyle \left. \begin{array}{l}{{x}^{2}}-{x}-1=0\\D=1+4=5\\{{x}_{1,2}}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\text{    }\end{array} \right|\Rightarrow \text{  }{{x}^{2}}-{x}-1=\left( {x}-\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)\left( {x}-\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)$

Вернемся к неравенству. Оно принимает вид:

$latex \displaystyle \frac{\left( {x}-\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \right)\left( {x}-\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \right)}{\left( {x}-1 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)}\ge 0$

Теперь нужно расположить эти корни на числовой оси, а для этого надо понять, где находятся числа $latex \displaystyle \frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ и $latex \displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ относительно $latex \displaystyle 1$, $latex \displaystyle -2$ и $latex \displaystyle -3$. Подробно о том, как это делается, читай в теме «Сравнение чисел» .

$latex \displaystyle \begin{array}{l}2<\sqrt{5}<3\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\\1<-1+\sqrt{5}<2\text{  }\Leftrightarrow \\\frac{1}{2}<\frac{-1+\sqrt{5}}{2}<1\end{array}$

$latex \displaystyle \begin{array}{l}2<\sqrt{5}<3\text{  }\Leftrightarrow \\-3<-\sqrt{5}<-2\text{  }\Leftrightarrow \\-4<-1-\sqrt{5}<-3\text{  }\Leftrightarrow \\-2<\frac{-1-\sqrt{5}}{2}<-\frac{3}{2}\end{array}$

Рациональные неравенства, метод интервалов рис.3

$latex \displaystyle x\in \left( -3;-2 \right)\cup \left[ \frac{-1-\sqrt{5}}{2};\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \right]\cup \left( 1;+\infty  \right)$

Пример 4.

$latex \displaystyle \frac{{{x}^{2}}-x}{{{x}^{2}}-x+1}>\frac{{{x}^{2}}-x+2}{{{x}^{2}}-{x}-2}+1$

Решение:

Ты уже попробовал привести к общему знаменателю? Ужас, правда? Но ты не мог не заметить, что куда ни посмотри, нам все время попадается одно и то же выражение $latex \displaystyle \left( {{x}^{2}}-x \right)$. А это верный знак, что сейчас будет замена переменных (повтори одноименную тему «Замена переменных»):

$latex \displaystyle t={{x}^{2}}-x$

Тогда наше неравенство принимает вид:

$latex \displaystyle \frac{t}{t+1}>\frac{t+2}{t-2}+1$

Такое мы решать уже умеем:

$latex \displaystyle \begin{array}{l}\frac{{{t}^{\backslash t-2}}}{t+1}-\frac{t+{{2}^{\backslash t+1}}}{t-2}-{{1}^{\backslash \left( t-2 \right)\left( t+1 \right)}}>0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\\\frac{{{t}^{2}}-2t-{{t}^{2}}-3t-2-{{t}^{2}}+t+2}{\left( t+1 \right)\left( t-2 \right)}>0\text{  }\Leftrightarrow \\\frac{-{{t}^{2}}-4t}{\left( t+1 \right)\left( t-2 \right)}>0\text{  }\Leftrightarrow \\\frac{t\left( t-4 \right)}{\left( t+1 \right)\left( t-2 \right)}<0\end{array}$

Рациональные неравенства, метод интервалов рис.4

$latex \displaystyle t\in \left( -1;0 \right)\cup \left( 2;4 \right)$

Не забываем вернуться к начальной переменной – $latex \displaystyle x$. Для этого нужно переписать полученное решение для $latex \displaystyle t$ в виде неравенств:

$latex \displaystyle t\in \left( -1;0 \right)\cup \left( 2;4 \right)\text{  }\Leftrightarrow $

$latex \displaystyle \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}t>-1\\t<0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}t>2\\t<4\end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-x>-1\\{{x}^{2}}-x<0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-x>2\\{{x}^{2}}-x<4\end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow $

$latex \displaystyle \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-x+1>0\text{    }-\text{  корней }\ \text{нет  }\Rightarrow \text{  выполняется}\ \text{при}\ \text{всех}\ \text{x}\\{{x}^{2}}-x<0\text{        }\Leftrightarrow \text{ }x\left( {x}-1 \right)<0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x\in \left( 0;1 \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-{x}-2>0\text{   }\Leftrightarrow \text{ }\left( {x}-2 \right)\left( x+1 \right)>0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x\in \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 2;+\infty  \right)\\{{x}^{2}}-{x}-4<0\text{   }\Leftrightarrow \text{ }\left( {x}-\frac{1-\sqrt{17}}{2} \right)\left( {x}-\frac{1+\sqrt{17}}{2} \right)<0\text{ }\end{array} \right.\end{array} \right.$

$latex \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x\in \left( 0;1 \right)\\\left\{ \begin{array}{l}\left( {x}-2 \right)\left( x+1 \right)>0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x\in \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 2;+\infty  \right)\\\left( {x}-\frac{1-\sqrt{17}}{2} \right)\left( {x}-\frac{1+\sqrt{17}}{2} \right)<0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x\in \left( \frac{1-\sqrt{17}}{2};\frac{1+\sqrt{17}}{2} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\text{ }$

$latex \displaystyle \begin{array}{l}4<\sqrt{17}<5\\-5<-\sqrt{17}<-4\\-4<1-\sqrt{17}<-3\\-2<\frac{1-\sqrt{17}}{2}<-\frac{3}{2}\end{array}$

$latex \displaystyle \begin{array}{l}4<\sqrt{17}<5\\5<1+\sqrt{17}<6\\\frac{5}{2}<\frac{1+\sqrt{17}}{2}<3\end{array}$

Рациональные неравенства, метод интервалов рис.5

$latex \displaystyle x\in \left( \frac{1-\sqrt{17}}{2};-1 \right)\cup \left( 0;1 \right)\cup \left( 2;\frac{1+\sqrt{17}}{2} \right)$

Проверь себя — реши рациональные неравенства.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий