Рациональные уравнения. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Рациональное выражение – это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной $latex \displaystyle x$ с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем. Ну а рациональное уравнение – это равенство двух рациональных выражений.

Дробно рациональные уравнения — рациональные (без знака корня) уравнения, в которых левая или правая части являются дробными выражениями.

Например:

$latex \displaystyle \frac{{{x}^{2}}-2{x}-3}{{x}-1}-\frac{x+1}{{x}-3}={{x}^{2}}-1$ (чаще всего мы встречаем именно дробно рациональные уравнения).

В общем случае при решении рациональных уравнений мы стремимся преобразовать его к виду: Произведение = «$latex \displaystyle 0$» или Дробь = «$latex \displaystyle 0$», например:

$latex \displaystyle \frac{\left( {x}-2 \right)\left( x+3 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)}{x\cdot \left( {x}-3 \right)}=0$.

Тогда мы сможем сказать, что любой из множителей числителя может быть равен нулю, но знаменатель при этом нулю не равен.

Для этого нам нужно сначала всё перенести в левую часть уравнения (не забываем при этом поменять знаки между слагаемыми: «$latex \displaystyle +$» на «$latex \displaystyle -$» и наоборот). Затем мы обычно приводим все к общему знаменателю, и пишем систему:

$latex \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}Числитель=0,\\Знаменатель\ne 0.\end{array} \right.$

Пример:

$latex \displaystyle \begin{array}{l}\frac{{x}-2}{{{x}^{2}}+2{x}-3}-\frac{x+1}{{{x}^{2}}+5x+6}=\frac{3}{x+3}\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow \frac{{x}-2}{\left( {x}-1 \right)\left( x+3 \right)}-\frac{x+1}{\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)}-\frac{3}{x+3}=0\Leftrightarrow \end{array}$

$latex \displaystyle \Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}-4-\left( {{x}^{2}}-1 \right)-3\left( {{x}^{2}}+{x}-2 \right)}{\left( {x}-1 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)}=0\Leftrightarrow \frac{-3{{x}^{2}}-3x+3}{\left( {x}-1 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)}=0\Leftrightarrow $

$latex \displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+{x}-1=0\\\left( {x}-1 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)\ne 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{array} \right.\\x\ne 1\\x\ne -2\\x\ne -3\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}.\end{array} \right.$

Если знаменателя нет, или он является числом, – тем лучше, не придется решать неравенство.

Как бы то ни было, в ЕГЭ все рациональные выражения степени больше $latex \displaystyle 2$ легко преобразуются в произведение более простых выражений при помощи либо перегруппировки, либо замены переменных (см. раздел «Разложение многочлена на множители»).

Например:

$latex \displaystyle \left( {x}-1 \right)\left( {x}-7 \right)\left( {x}-4 \right)\left( x+2 \right)=40.$

Перегруппируем: $latex \displaystyle \left( {x}-1 \right)\left( {x}-4 \right)\cdot \left( {x}-7 \right)\left( x+2 \right)=40;$

Раскроем скобки в каждой группе: $latex \displaystyle \left( {{x}^{2}}-5{x}+4 \right)\left( {{x}^{2}}-5{x}-14 \right)=40;$

Сделаем замену: $latex \displaystyle t={{x}^{2}}-5x.$

Тогда: $latex \displaystyle \left( t+4 \right)\left( t-14 \right)=40\Leftrightarrow {{t}^{2}}-10t-56-40=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-10t-96=0$.

Решив квадратное уравнение, получим: $latex \displaystyle \left[ \begin{array}{l}t=16\\t=-6.\end{array} \right.$

Обратная замена:

$latex \displaystyle \left[ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-5x=16\\{{x}^{2}}-5x=-6\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-5{x}-16=0\\{{x}^{2}}-5x+6=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=\frac{5-\sqrt{89}}{2}\\x=\frac{5+\sqrt{89}}{2}\\x=2\\x=3\end{array} \right.$

Таким образом, нам пришлось решить три квадратных уравнения вместо одного уравнения 4-й степени.

Еще примеры дробно рациональных уравнений (реши их самостоятельно):

  1. $latex \displaystyle \frac{2{x}-3}{3{x}-7}=1$ ;
  2. $latex \displaystyle \frac{1}{{x}-3}=\frac{1}{{{x}^{2}}-5x+6}$;
  3. $latex \displaystyle \frac{1}{x+\frac{1}{1+\frac{x+2}{{x}-2}}}=\frac{12}{12{x}-7}$.

Решения

1. $latex \displaystyle \frac{2{x}-3}{3{x}-7}=1\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\frac{2{x}-3}{3{x}-7}-{{1}^{\backslash 3{x}-7}}=0\text{  }\Leftrightarrow $

$latex \displaystyle \Leftrightarrow \text{  }\frac{2{x}-3-\left( 3{x}-7 \right)}{3{x}-7}=0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\frac{2{x}-3-3x+7}{3{x}-7}=0\text{  }\Leftrightarrow $

$latex \displaystyle \Leftrightarrow \frac{-x+4}{3{x}-7}=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}-x+4=0\\3{x}-7\ne 0\end{array} \right.\Leftrightarrow x=4.$

Ответ: $latex \displaystyle x=4$

2. $latex \displaystyle \frac{1}{{x}-3}=\frac{1}{{{x}^{2}}-5x+6}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\frac{1}{{x}-3}-\frac{1}{{{x}^{2}}-5x+6}=0$
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, разложим знаменатель правой дроби на множители. Это квадратный трехчлен, поэтому надо вспомнить, как расклажывать на множители (подробное описание см. в разделе «Разложение на множители»). Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

$latex \displaystyle {{x}^{2}}-5x+6=0$.
Решаем его с помощью теоремы Виета: произведение корней равно $latex \displaystyle 6$, а сумма $latex \displaystyle 5$. Подбором устанавливаем, что это числа $latex \displaystyle 2$ и $latex \displaystyle 5$. Тогда:
$latex \displaystyle {{x}^{2}}-5x+6=\left( {x}-2 \right)\left( {x}-3 \right)\text{  }\Rightarrow \text{  }\frac{1}{{x}-3}-\frac{1}{{{x}^{2}}-5x+6}=$

$latex \displaystyle =\frac{1}{{x}-3}-\frac{1}{\left( {x}-2 \right)\left( {x}-3 \right)}=0.$
Теперь видно, что знаменатели дробей имеют общий множитель $latex \displaystyle \left( {x}-3 \right)$:
$latex \displaystyle \frac{1}{{x}-3}-\frac{1}{\left( {x}-2 \right)\left( {x}-3 \right)}=\frac{{x}-2-1}{\left( {x}-2 \right)\left( {x}-3 \right)}=\frac{{x}-3}{\left( {x}-2 \right)\left( {x}-3 \right)}=0\Leftrightarrow $

$latex \displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x}-3=0\\{x}-3\ne 0\\{x}-2\ne 0\end{array} \right.$
При таком раскладе очевидно, что корней вообще нет: если $latex \displaystyle x=3$, получим деление на $latex \displaystyle 0$. Значит, ответом здесь будет пустое множество (пишется $latex \displaystyle \emptyset $).

Ответ: $latex \displaystyle \emptyset $.

3. $latex \displaystyle \frac{1}{x+\frac{1}{1+\frac{x+2}{{x}-2}}}=\frac{12}{12{x}-7}$
Сперва уростим выражение в левой части, то есть приведем к нормальному «двухэтажному» виду:
$latex \displaystyle \frac{1}{x+\frac{1}{1+\frac{x+2}{{x}-2}}}=\frac{1}{x+\frac{1}{\frac{{x}-2+x+2}{{x}-2}}}=\frac{1}{x+\frac{{x}-2}{2x}}=\frac{1}{\frac{2{{x}^{2}}+{x}-2}{2x}}=\frac{2x}{2{{x}^{2}}+{x}-2}$
Теперь переносим все в одну сторону и приводим к общему знаменателю. Квадратный трехчлен в левой части раскладывается на множители следующим образом:
$latex \displaystyle \begin{array}{l}2{{x}^{2}}+{x}-2=0\\D=1+16=17\\{{x}_{1,2}}=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{4}\text{  }\Rightarrow \text{  }2{{x}^{2}}+{x}-2=2\left( {x}-\frac{-1+\sqrt{17}}{4} \right)\left( {x}-\frac{-1-\sqrt{17}}{4} \right)\end{array}$
Очевидно, что общих множителей у знаменателей нет, поэтому их нужно просто перемножить:
$latex \displaystyle \frac{2x}{2{{x}^{2}}+{x}-2}=\frac{12}{12{x}-7}\Leftrightarrow \frac{2x}{2{{x}^{2}}+{x}-2}-\frac{12}{12{x}-7}=0\Leftrightarrow $

$latex \displaystyle \Leftrightarrow \frac{24{{x}^{2}}-14{x}-12\left( 2{{x}^{2}}+{x}-2 \right)}{\left( 2{{x}^{2}}+{x}-2 \right)\left( 12{x}-7 \right)}=0\Leftrightarrow $

$latex \displaystyle \Leftrightarrow \frac{24{{x}^{2}}-14{x}-24{{x}^{2}}-12x+24}{\left( 2{{x}^{2}}+{x}-2 \right)\left( 12{x}-7 \right)}=0\Leftrightarrow $

$latex \displaystyle \Leftrightarrow \frac{-26x+24}{\left( 2{{x}^{2}}+{x}-2 \right)\left( 12{x}-7 \right)}=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=\frac{12}{13}\\x\ne \frac{7}{12}\\x\ne \frac{-1\pm \sqrt{17}}{4}\end{array} \right.$

Ответ: $latex \displaystyle x=\frac{12}{13}$.

Проверь себя — реши задачи на рациональные уравнения.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий