Равнобедренный треугольник. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Треугольник называется равнобедренным, если у него есть две равные стороны.

Равнобедренный треугольник

Эти две равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основание равнобедренного треугольника.

Посмотри на рисунок: $latex \displaystyle AB$ и $latex \displaystyle BC$ – боковые стороны, $latex \displaystyle AC$ – основание равнобедренного треугольника.

Основание равнобедренного треугольника. Боковые стороны равнобедренного треугольника.

Свойства равнобедренного треугольника:

  • Углы при основании равнобедренного треугольника равны (на рисунке: $latex \displaystyle \angle A\ =\angle C$).
  • Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой.

Давай на одном рисунке поймём, почему так выходит. Проведем из точки $latex \displaystyle B$ высоту $latex \displaystyle BH$.

Свойства равнобедренного треугольника Что получилось? Треугольник $latex \displaystyle ABC$ разделился на два прямоугольных треугольника $latex \displaystyle \Delta ABH$ и $latex \displaystyle \Delta CBH$. И эти треугольники равны! У них равны гипотенузы и общий катет $latex \displaystyle BH$.

Значит, у них равны все соответствующие элементы.

То есть:

615ж (4)
  • $latex \displaystyle \angle A\ =\angle C$ ( Вот – углы при основании равны)
  • $latex \displaystyle \angle ABH=\angle CBH$ ($latex \displaystyle BH$ оказалась биссектрисой)
  • $latex \displaystyle AH=CH$ ($latex \displaystyle BH$ оказалась медианой)

Всё! Одним махом (высотой $latex \displaystyle BH$) доказали сразу все утверждения.

И ты запомни: чтобы решить задачу про равнобедренный треугольник часто бывает очень полезно опустить высоту на основание равнобедренного треугольника и разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

Проверь себя — реши задачи на равнобедренный треугольник.

Признаки равнобедренного треугольника

Верны и обратные утверждения:

  • Если в некотором треугольнике два угла равны, то он – равнобедренный.
  • Если в некотором треугольнике совпадают:
    а) высота и биссектриса или
    б) высота и медиана или
    в) медиана и биссектриса,
    проведённые к одной стороне, то такой треугольник – равнобедренный.

Почти все из этих утверждений снова можно доказать «одним махом».

1. Итак, пусть в $latex \displaystyle \Delta ABC$ оказались равны $latex \displaystyle \angle A$ и $latex \displaystyle \angle C$.

615ж (5)

Проведём высоту $latex \displaystyle BH$. Тогда

Высота опущена на основание равнобедренного треугольника $latex \displaystyle \Delta ABH=\Delta BHC$ – как прямоугольные по катету и острому углу.

Значит, $latex \displaystyle AB\text{ }=\text{ }BC$.

Высота опущена на основание равнобедренного треугольника (7) Доказали, что $latex \displaystyle \Delta ABC$ – равнобедренный.

2. a) Теперь пусть в каком–то треугольнике совпадают высота и биссектриса.

Высота опущена на основание равнобедренного треугольника (8) Тогда снова $latex \displaystyle \Delta ABH=\Delta CBH$ по катету и острому углу. Значит, опять $latex \displaystyle AB=BC$.

2. б) А если совпадают высота и медиана? Все почти так же, ничуть не сложнее!

615ж (9) $latex \displaystyle \Delta ABH=\Delta CBH$ — по двум катетам $latex \displaystyle \Rightarrow AB=BC$

2. в) А вот если нет высоты, которая опущена на основание равнобедренного треугольника, то нет и никаких изначально прямоугольных треугольников. Плохо!

615ж (10)

Но выход есть – читай его в следующем уровне теории, поскольку тут доказательство посложнее, а пока просто запомни, что если медиана и биссектриса совпали, то треугольник тоже окажется равнобедренным, и высота всё-таки тоже совпадёт с этими биссектрисой и медианой.

Подытожим:

  1. Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны, и высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.
  2. Если в каком-то треугольнике найдутся два равных угла, или какие-то две из трех линий (биссектриса, медиана, высота) совпадут, то такой треугольник – равнобедренный.

Проверь себя — реши задачи на равнобедренный треугольник.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий