Равнобедренный треугольник. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Треугольник называется равнобедренным, если у него есть две равные стороны.

Равнобедренный треугольник

Эти две равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основание равнобедренного треугольника.

Посмотри на рисунок: \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle BC\) – боковые стороны, \(\displaystyle AC\) – основание равнобедренного треугольника.

Основание равнобедренного треугольника. Боковые стороны равнобедренного треугольника.

Свойства равнобедренного треугольника:

  • Углы при основании равнобедренного треугольника равны (на рисунке: \(\displaystyle \angle A\ =\angle C\)).
  • Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой.

Давай на одном рисунке поймём, почему так выходит. Проведем из точки \(\displaystyle B\) высоту \(\displaystyle BH\).

Свойства равнобедренного треугольника Что получилось? Треугольник \(\displaystyle ABC\) разделился на два прямоугольных треугольника \(\displaystyle \Delta ABH\) и \(\displaystyle \Delta CBH\). И эти треугольники равны! У них равны гипотенузы и общий катет \(\displaystyle BH\).

Значит, у них равны все соответствующие элементы.

То есть:

615ж (4)
  • \(\displaystyle \angle A\ =\angle C\) ( Вот – углы при основании равны)
  • \(\displaystyle \angle ABH=\angle CBH\) (\(\displaystyle BH\) оказалась биссектрисой)
  • \(\displaystyle AH=CH\) (\(\displaystyle BH\) оказалась медианой)

Всё! Одним махом (высотой \(\displaystyle BH\)) доказали сразу все утверждения.

И ты запомни: чтобы решить задачу про равнобедренный треугольник часто бывает очень полезно опустить высоту на основание равнобедренного треугольника и разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

Проверь себя — реши задачи на равнобедренный треугольник.

Признаки равнобедренного треугольника

Верны и обратные утверждения:

  • Если в некотором треугольнике два угла равны, то он – равнобедренный.
  • Если в некотором треугольнике совпадают:
    а) высота и биссектриса или
    б) высота и медиана или
    в) медиана и биссектриса,
    проведённые к одной стороне, то такой треугольник – равнобедренный.

Почти все из этих утверждений снова можно доказать «одним махом».

1. Итак, пусть в \(\displaystyle \Delta ABC\) оказались равны \(\displaystyle \angle A\) и \(\displaystyle \angle C\).

615ж (5)

Проведём высоту \(\displaystyle BH\). Тогда

Высота опущена на основание равнобедренного треугольника \(\displaystyle \Delta ABH=\Delta BHC\) – как прямоугольные по катету и острому углу.

Значит, \(\displaystyle AB\text{ }=\text{ }BC\).

Высота опущена на основание равнобедренного треугольника (7) Доказали, что \(\displaystyle \Delta ABC\) – равнобедренный.

2. a) Теперь пусть в каком–то треугольнике совпадают высота и биссектриса.

Высота опущена на основание равнобедренного треугольника (8) Тогда снова \(\displaystyle \Delta ABH=\Delta CBH\) по катету и острому углу. Значит, опять \(\displaystyle AB=BC\).

2. б) А если совпадают высота и медиана? Все почти так же, ничуть не сложнее!

615ж (9) \(\displaystyle \Delta ABH=\Delta CBH\) — по двум катетам \(\displaystyle \Rightarrow AB=BC\)

2. в) А вот если нет высоты, которая опущена на основание равнобедренного треугольника, то нет и никаких изначально прямоугольных треугольников. Плохо!

615ж (10)

Но выход есть – читай его в следующем уровне теории, поскольку тут доказательство посложнее, а пока просто запомни, что если медиана и биссектриса совпали, то треугольник тоже окажется равнобедренным, и высота всё-таки тоже совпадёт с этими биссектрисой и медианой.

Подытожим:

  1. Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны, и высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.
  2. Если в каком-то треугольнике найдутся два равных угла, или какие-то две из трех линий (биссектриса, медиана, высота) совпадут, то такой треугольник – равнобедренный.

Проверь себя — реши задачи на равнобедренный треугольник.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий