Разложение на множители. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Что такое многочлены

Давай-ка разберемся со сложными словами для начала. Прежде всего, напомню, что такое одночлены – это могут быть числа, переменные, произведения чисел и переменных (букв $latex x$, $latex y$ и т.д.), а так же переменные в степени (посмотри тему «Степень и ее свойства»), например:

$latex 4$, $latex x$, $latex 4x$,$latex 4{{x}^{2}}$, $latex 4{{x}^{2}}y$.

Многочлен же, это выражение, состоящее из суммы (или разности) нескольких одночленов различного вида:

$latex 4{{x}^{2}}+9x$ или

$latex 2{{x}^{3}}-16{{x}^{2}}+4x$ или

$latex 8{{x}^{4}}{{y}^{2}}-12+4{{x}^{2}}y-3{{y}^{2}}{{x}^{4}}+6-5{{y}^{2}}{{x}^{4}}$.

С многочленами разобрались, теперь возникает два вопроса «Что такое множители?» и «Зачем на эти множители что-то раскладывать?».

Так, ну давай по порядку. Как не трудно догадаться, слово «множитель» происходит от слова «умножать». Возьмем, например, число $latex 12$, разложить его на множители означает расписать его в виде «умножения» или, как принято говорить в математике «произведения» множителей. Так $latex 12$ мы можем получить, умножив $latex 2$ на $latex 6$, а $latex 6$, в свою очередь, можно представить как произведение $latex 2$ и $latex 3$. Чтоб было более наглядно, обратимся к картинке, не пугайся ее, просто поверь, что так будет проще:

разложение на множители

На картинке мы видим пошаговое разложение на множители, те которые подчеркнуты – это множители, которые дальше разложить уже нельзя, т.е. их нельзя уже представить в виде произведения (можно конечно представить каждое из них как единица, умноженная на само число, но это нам ничего не дает).

Я обещал, что картинка все разъяснит, ну разве из нее не понятно, что, $latex 12=2\cdot 6$, а $latex 6=2\cdot 3$? Вот и я говорю, что элементарно!

Иными словами, $latex 2\cdot 2\cdot 3=12$. Тут $latex 2$, еще раз $latex 2$ и $latex 3$ – это и есть множители, на которые мы раскладываем.

Разложить выражение на множители можно несколькими способами. Способы способами, но возникает резонный вопрос «Зачем мне раскладывать многочлен на множители, да еще и разными способами?». Разложение на множители – это преобразование, а преобразование выражений в математике – и есть сама математика. Раскладывая на множители, мы упрощаем выражение, делаем из большого и непонятного маленькое и простое, а делать это разными способами принято не просто для того, чтоб похвастаться, какой ты умный и сколько всего ты умеешь, а по причине того, что не к каждому выражению применим тот или иной способ. Ответы на вопросы, «почему?» и «какие способы применяются?», ты прочтешь далее.

Вынесение общего множителя за скобки

Это один из самых элементарных способов упростить выражение. Для применения этого метода давай вспомним распределительный закон умножения относительно сложения (не пугайся этих слов, ты обязательно знаешь этот закон, просто мог забыть его название).

Закон гласит: чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, нужно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить, иначе говоря, $latex a\left( b\text{ }+\text{ }c \right)\text{ }=\text{ }ab\text{ }+\text{ }ac$.

Так же можно проделать и обратную операцию, $latex ab\text{ }+\text{ }ac\text{ }=\text{ }a\left( b\text{ }+\text{ }c \right)$, вот именно эта обратная операция нас и интересует. Как видно из образца, общий множитель а, можно вынести за скобку.

Подобную операцию можно проделывать как с переменными, такими как $latex x$ и $latex y$, например, так и с числами: $latex 6\text{ }+\text{ }8\text{ }=\text{ }2\left( 3\text{ }+\text{ }4 \right)$.

Да, это слишком элементарный пример, так же, как и приведенный ранее пример, с разложением числа $latex 12$, ведь все знают, что числа $latex 6$, $latex 8$ и $latex 12$ делятся на $latex 2$, а как быть, если вам досталось выражение посложнее:

$latex 3xy+123y$? Как узнать на что, например, делится число $latex 123$, неет, с калькулятором-то любой сможет, а без него слабо? А для этого существуют признаки делимости, эти признаки действительно стоит знать, они помогут быстро понять, можно ли вынести за скобку общий множитель. Запомнить их не так сложно, скорее всего, большинство из них и так тебе были знакомы, а что-то будет новым полезным открытием, подробнее в таблице:

Делится на Признак делимости числа на данный делитель
2 Оканчивается одной из цифр: 0, 2, 4, 6, 8
3 Сумма цифр делится на 3
5 Последняя цифра 5 или 0
7 Разность между числом десятков и удвоенной цифрой единиц делится на семь
9 Сумма цифр делится на 9
10 Последняя цифра – ноль
11 Разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на 11

Ну как тебе табличка? Советую ее запомнить!

Что ж, вернемся к выражению $latex 3xy+123y$, может вынести за скобку $latex y$ да и хватит с него? Нет, у математиков принято упрощать, так по полной, выносить ВСЕ что выносится!

И так, с игреком все понятно, а что с числовой частью выражения? Оба числа нечетные, так что на $latex 2$ разделить не удастся, можно воспользоваться признаком делимости на $latex 3$, сумма цифр $latex 1$, $latex 2$ и $latex 3$, из которых состоит число $latex 123$, равна $latex 6$, а $latex 6$ делится на $latex 3$, значит и $latex 123$ делится на $latex 3$. Зная это, можно смело делить в столбик, в результате деления $latex 123$ на $latex 3$ получаем $latex 41$ (признаки делимости пригодились!). Таким образом, число $latex 3$ мы можем вынести за скобку, так же, как y и в результате имеем:

$latex 3xy\text{ }+\text{ }123y\text{ }=\text{ }3y\cdot \left( x\text{ }+\text{ }41 \right)$.

Чтоб удостовериться, что разложили все верно, можно проверить разложение, умножением! Также общий множитель можно выносить и в степенных выражениях. Вот тут, например, $latex 2{{x}^{3}}-16{{x}^{2}}+4x$, видишь общий множитель? У всех членов этого выражения есть иксы – выносим, все делятся на $latex 2$ – снова выносим, смотрим что получилось: $latex 2{{x}^{3}}-16{{x}^{2}}+4x=2x({{x}^{2}}-8x+2)$.

Группировка

А вот тебе еще примерчик:

$latex {{x}^{3}}-3xy-5{{x}^{2}}y+15{{y}^{2}}$­­

ну и что с ним делать будешь? Вроде бы и на $latex 3$ что-то делится и на $latex 5$, а что-то на $latex x$ и на $latex y$, но все вместе на что-то одно не разделишь, ну нет тут общего множителя, как не ищи, что, так и оставить, не раскладывая на множители? Тут надо смекалку проявить, а имя этой смекалке – группировка!

Применяется она как раз, когда общие делители есть не у всех членов. Для группировки необходимо найти группки слагаемых, имеющих общие делители и переставить их так, чтобы из каждой группы можно было получить один и тот же множитель. Переставлять местами конечно не обязательно, но это дает наглядность, для наглядности же можно взять отдельные части выражения в скобки, их ставить не запрещается сколько угодно, главное со знаками не напутать. Не очень понятно все это? Объясню на примере: В многочлене $latex {{x}^{3}}-3xy-5{{x}^{2}}y+15{{y}^{2}}$­­ , для наглядности, член – $latex 3xy$ ставим после члена – $latex 5x2y$, получаем группировка $latex {{x}^{3}}-5{{x}^{2}}y-3xy+15{{y}^{2}}$, группируем первые два члена вместе в отдельной скобке, так же группируем третий и четвертый члены, вынеся за скобку знак «минус», получаем: $latex ({{x}^{3}}-5{{x}^{2}}y)-(3xy-15{{y}^{2}})$, а теперь смотрим по отдельности на каждую из двух кучек, на которые мы разбили выражение скобками. Хитрость в том, чтоб разбить на такие кучки, из которых можно будет вынести максимально большой множитель, либо, как в этом примере, постараться сгруппировать члены так, чтобы после вынесения из кучек множителей за скобку у нас внутри скобок оставались одинаковые выражения. Из обеих скобок выносим за скобки общие множители членов, из первой скобки $latex {{x}^{2}}$, а из второй $latex 3y$, получаем: $latex {{x}^{2}}(x-5y)-3y(x-5y)$, – но это же не разложение, после разложения должно остаться только умножение, а пока у нас многочлен просто поделен на две части, имеющие общий множитель – тоже его заметил? – это $latex (x-5y)$, его мы и выносим за скобку, вследствие чего получаем финальное произведение $latex ({{x}^{2}}-3y)(x-5y)$, как видишь, тут уже произведение и вне скобок нет ни сложения, ни вычитания, разложение завершено, т.к. вынести за скобки нам больше нечего. Может показаться чудом, что после вынесения множителей за скобки у нас в скобках остались одинаковые выражения $latex (x-5y)$, которые опять же мы и вынесли за скобку. И вовсе это не чудо, дело в том, что примеры в учебниках и в ЕГЭ специально сделаны так, что большинство выражений в заданиях на упрощение или разложение на множители при правильном к ним подходе легко упрощаются и резко схлопываются как зонтик при нажатии на кнопку, вот и ищи в каждом выражении ту самую кнопку. Что-то я отвлекся, что у нас там с упрощением? Замысловатый многочлен принял более простой вид: $latex {{x}^{3}}-3xy-5{{x}^{2}}y+15{{y}^{2}}=({{x}^{2}}-3y)(x-5y)$. Согласись, уже не такой громоздкий, как был?

Применение формул сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения уже упоминались в теории, если ты с трудом помнишь что это, то тебе стоит освежить их в памяти «Формулы сокращенного умножения». Ну, а если ты считаешь себя очень умным и тебе лень читать такую тучу информации, то просто читай дальше, глянь на формулы и сразу берись за примеры. Суть этого разложения в том, что бы заметить в имеющемся перед тобой выражении какую-то определенную формулу, применить ее и получить, таким образом, произведение чего-то и чего-то, вот и все разложение. Дальше приведены формулы:

$latex \begin{array}{l}\left[ 1 \right]\ \ \ \ {{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\\\left[ 2 \right]\ \ \ \ {{\left( a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\\\left[ 3 \right]\ \ \ \ {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right)\\\left[ 4 \right]\ \ \ \ {{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\\\left[ 5 \right]\ \ \ \ {{\left( a-b \right)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}\\\left[ 6 \right]\ \ \ \ {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)\\\left[ 7 \right]\ \ \ \ {{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)\end{array}$

А теперь попробуй, разложи на множители следующие выражения, используя приведенные выше формулы:

  1. $latex 16{{b}^{2}}-8b+1$
  2. $latex -42c+9{{c}^{2}}+49$
  3. $latex {{\left( 5\text{a} \right)}^{2}}-3$
  4. $latex \frac{\left( 4\text{a}+2\text{b} \right)\cdot \left( 4\text{a}-2\text{b} \right)}{16{{\text{a}}^{2}}+4{{\text{b}}^{2}}-16\text{ab}}$
  5. $latex {{\left( 3\text{a} \right)}^{3}}-1$

А вот что должно было получиться:

  1. $latex {{\left( 4\text{b}-1 \right)}^{2}}$
  2. $latex {{\left( 3\text{c}-7 \right)}^{2}}$
  3. $latex \left( 5\text{a}-\sqrt{3} \right)\cdot \left( 5\text{a}+\sqrt{3} \right)$
  4. $latex \frac{\left( 4\text{a}-2\text{b} \right)}{\left( 4\text{a}+2\text{b} \right)}$
  5. $latex \left( 3\text{a}-1 \right)\left( 9{{\text{a}}^{2}}+3\text{a}+1 \right)$

Как ты успел заметить эти формулы – весьма действенный способ разложения на множители, он подходит не всегда, но может очень пригодиться!

Больше задач с использованием формул сокращенного умножения — после регистрации.

Выделение полного квадрата.

Иногда для применения формул сокращенного умножения (повтори тему «Формулы сокращенного умножения») необходимо преобразовать имеющийся многочлен, представив одно из его слагаемых в виде суммы или разности двух членов, в каком случае приходится это делать, узнаешь из примера: Многочлен $latex {{x}^{2}}-4x+2$ в таком виде не может быть разложен при помощи формул сокращенного умножения, поэтому его необходимо преобразовать. Возможно, поначалу тебе будет не очевидно какой член на каике разбивать, но со временем ты научишься сразу видеть формулы сокращенного умножения, даже если они не присутствуют не целиком, и будете довольно быстро определять, чего здесь не хватает до полной формулы, а пока – учись, студент, точнее школьник. Для полной формулы квадрата разности здесь нужно $latex 4$ вместо $latex 2$. Представим третий член $latex 2$ как разность $latex 4-2$, получим: $latex {{x}^{2}}-4x+4-2=({{x}^{2}}-4x+4)-2$ К выражению в скобках можно применить формулу квадрата разности (не путать с разностью квадратов!!!), имеем: $latex {{\left( x-2 \right)}^{2}}-2$, к данному выражению можно применить формулу разности квадратов (не путать с квадратом разности!!!), представив $latex 2$, как $latex \sqrt{2}$, получим: $latex (x-2-\sqrt{2})(x-2+\sqrt{2})$. Не всегда разложенное на множители выражение выглядит проще и меньше, чем было до разложения, но в таком виде оно становится более подвижным, в том плане, что можно не париться про смену знаков и прочую математическую ерунду. Ну а вот тебе для самостоятельного решения, следующие выражения нужно разложить на множители.

Примеры:

  1. $latex 25{{m}^{2}}-49{{n}^{2}};$
  2. $latex {{b}^{2}}-{{(a+1)}^{2}};$
  3. $latex {{(x-y)}^{2}}-{{(x+y+1)}^{2}};$
  4. $latex {{x}^{2}}+2{x}-3$
  5. $latex {{x}^{2}}+6x+5;$
  6. $latex {{a}^{4}}-12{{a}^{3}}+48{{a}^{2}}-64a;$

Ответы:

1. $latex 25{{m}^{2}}-49{{n}^{2}}=(5m-7n)\cdot (5m+7n)$

2. $latex {{b}^{2}}-{{(a+1)}^{2}}=(b-a-1)\cdot (b+a+1)$

3. $latex \begin{array}{l}{{(x-y)}^{2}}-{{(x+y+1)}^{2}}=\ (x-y-x-y-1)\cdot (x-y+x+y+1)\\=-(2y+1)\cdot (2x+1)\end{array}$

4. $latex {{x}^{2}}+2{x}-3=(x+3)\cdot (x-1)$

5. $latex \displaystyle {{x}^{2}}+6x+5={{x}^{2}}+6x+9-4={{(x+3)}^{2}}-{{2}^{2}}=$

$latex \displaystyle =(x+3-2)\cdot (x+3+2)=(x+1)\cdot (x+5)$

6. $latex {{a}^{4}}-12{{a}^{3}}+48{{a}^{2}}-64a=a\cdot {{(a-4)}^{3}}$

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий