Синус, косинус, тангенс и котангенс угла и числа. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Синус, косинус, тангенс, котангенс

Понятия синуса ($latex sin$), косинуса ($latex cos$), тангенса ($latex tg$), котангенса ($latex ctg$) неразрывно связаны с понятием угла. Чтобы хорошо разобраться в этих, на первый взгляд, сложных понятиях (которые вызывают у многих школьников состояние ужаса), и убедиться, что «не так страшен черт, как его малюют», начнем с самого начала и разберемся в понятии угла.

Понятие угла: радиан, градус

Давай посмотрим на рисунке. Вектор $latex AB$ «повернулся» относительно точки $latex A$ на некую величину. Так вот мерой этого поворота относительно начального положения и будет выступать угол $latex \alpha $.

1

Что же еще необходимо знать о понятии угла? Ну, конечно же, единицы измерения угла!

Угол, как в геометрии, так и в тригонометрии, может измеряться в градусах и радианах.

Углом в $latex 1{}^\circ $ (один градус) называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, равную $latex \frac{1}{360}$ части окружности. Таким образом, вся окружность состоит из $latex 360$ «кусочков» круговых дуг, или угол, описываемый окружностью, равен $latex 360{}^\circ $.

2

То есть на рисунке выше  изображен угол $latex \beta $, равный $latex 50{}^\circ $, то есть этот угол опирается на круговую дугу размером $latex \frac{50}{360}$ длины окружности.

Углом в $latex 1$ радиан называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности. Ну что, разобрался? Если нет, то давай разбираться по рисунку.

3

Итак, на рисунке изображен угол $latex \gamma $, равный $latex 1$ радиану, то есть этот угол опирается на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности (длина $latex AB$ равна длине $latex BB’$ или радиус $latex r$ равен длине дуги $latex l$). Таким образом, длина дуги вычисляется по формуле:

$latex l=\theta \cdot r$, где $latex \theta $ — центральный угол в радианах.

Ну что, можешь, зная это, ответить, сколько радиан содержит угол, описываемый окружностью? Да, для этого надо вспомнить формулу длины окружности. Вот она:

$latex L=2\pi \cdot r$

Ну вот, теперь соотнесем эти две формулы и получим, что угол, описываемый окружностью равен $latex 2\pi $. То есть, соотнеся величину в градусах и радианах, получаем, что $latex 2\pi =360{}^\circ $. Соответственно, $latex \pi =180{}^\circ $. Как можно заметить, в отличие от «градусов», слово «радиан» опускается, так как единица измерения обычно ясна из контекста.

А сколько радиан составляют $latex 60{}^\circ $? Все верно $latex \frac{\pi }{3}$!

Уловил? Тогда вперед закреплять:

$latex 36{}^\circ =?$

$latex \frac{\pi }{2}=?$

$latex 30{}^\circ =?$

$latex \frac{\pi }{4}=?$

$latex 90{}^\circ =?$

$latex \frac{2\pi }{3}=?$

$latex 45{}^\circ =?$

$latex 20{}^\circ =?$

$latex \frac{\pi }{6}=?$

$latex 10{}^\circ =?$

$latex \frac{\pi }{9}=?$

$latex 3\pi =?$

$latex 720{}^\circ =?$

Возникли трудности? Тогда смотри ответы:

$latex \frac{\pi }{5};\ 90{}^\circ ;\frac{\pi }{6};45{}^\circ ;\frac{\pi }{2};120{}^\circ ;\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{9};30{}^\circ ;\frac{\pi }{18};20{}^\circ ;540{}^\circ ;4\pi .$

Больше задач — после регистрации.

Прямоугольный треугольник: синус, косинус, тангенс, котангенс угла

Итак, с понятием угла разобрались. А что же все-таки такое синус, косинус, тангенс, котангенс угла? Давай разбираться. Для этого нам поможет прямоугольный треугольник.

4

Как называются стороны прямоугольного треугольника? Все верно, гипотенуза и катеты: гипотенуза — это сторона, которая лежит напротив прямого угла (в нашем примере это сторона $latex AC$); катеты – это две оставшиеся стороны $latex AB$ и $latex BC$ (те, что прилегают к прямому углу), причем, если рассматривать катеты относительно угла $latex BC$, то катет $latex AB$ – это прилежащий катет, а катет $latex BC$ — противолежащий. Итак, теперь ответим на вопрос: что такое синус, косинус, тангенс и котангенс угла?

Синус угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике $latex \sin \beta =\frac{BC}{AC}$.

Косинус угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике $latex \cos \beta =\frac{AB}{AC}$.

Тангенс угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому).

В нашем треугольнике $latex tg\beta =\frac{BC}{AB}$.

Котангенс угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).

В нашем треугольнике $latex ctg\beta =\frac{AB}{BC}$.

Эти определения необходимо запомнить! Чтобы было проще запомнить какой катет на что делить, необходимо четко осознать, что в тангенсе и котангенсе сидят только катеты, а гипотенуза появляется только в синусе и косинусе. А дальше можно придумать цепочку ассоциаций. К примеру, вот такую:

Косинус→касаться→прикоснуться→прилежащий;

Котангенс→касаться→прикоснуться→прилежащий.

В первую очередь, необходимо запомнить, что синус, косинус, тангенс и котангенс как отношения сторон треугольника не зависят от длин этих сторон (при одном угле). Не веришь? Тогда убедись, посмотрев на рисунок:

5

Рассмотрим, к примеру, косинус угла $latex \beta $. По определению, из треугольника $latex ABC$: $latex \cos \beta =\frac{AB}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$, но ведь мы можем вычислить косинус угла $latex \beta $ и из треугольника $latex AHI$: $latex \cos \beta =\frac{AH}{AI}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$. Видишь, длины у сторон разные, а значение косинуса одного угла одно и то же. Таким образом, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса зависят исключительно от величины угла.

Если разобрался в определениях, то вперед закреплять их!

Для треугольника $latex ABC$, изображенного ниже на рисунке, найдем $latex \sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha $.

6

$latex \begin{array}{l}\sin \ \alpha =\frac{4}{5}=0,8\\\cos \ \alpha =\frac{3}{5}=0,6\\tg\ \alpha =\frac{4}{3}\\ctg\ \alpha =\frac{3}{4}=0,75\end{array}$

Ну что, уловил? Тогда пробуй сам: посчитай то же самое для угла $latex \beta $.

Ответы: $latex \sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\frac{4}{3}$.

Больше задач — после регистрации.

Единичная (тригонометрическая) окружность

Разбираясь в понятиях градуса и радиана, мы рассматривали окружность с радиусом, равным $latex 1$. Такая окружность называется единичной. Она очень пригодится при изучении тригонометрии. Поэтому остановимся на ней немного подробней.

7

Как можно заметить, данная окружность построена в декартовой системе координат. Радиус окружности равен единице, при этом центр окружности лежит в начале координат, начальное положение радиуса-вектора зафиксировано вдоль положительного направления оси $latex x$ (в нашем примере, это радиус $latex AB$).

Каждой точке окружности соответствуют два числа: координата по оси $latex x$ и координата по оси $latex y$. А что это за числа-координаты? И вообще, какое отношение они имеют к рассматриваемой теме? Для этого надо вспомнить про рассмотренный прямоугольный треугольник. На рисунке, приведенном выше, можно заметить целых два прямоугольных треугольника. Рассмотрим треугольник $latex ACG$. Он прямоугольный, так как $latex CG$ является перпендикуляром к оси $latex x$.

Чему равен $latex \cos \ \alpha $ из треугольника $latex ACG$? Все верно $latex \cos \ \alpha =\frac{AG}{AC}$. Кроме того, нам ведь известно, что $latex AC$ – это радиус единичной окружности, а значит, $latex AC=1$. Подставим это значение в нашу формулу для косинуса. Вот что получается:

$latex \cos \ \alpha =\frac{AG}{AC}=\frac{AG}{1}=AG$.

А чему равен $latex \sin \ \alpha $ из треугольника $latex ACG$? Ну конечно, $latex \sin \alpha =\frac{CG}{AC}$! Подставим значение радиуса $latex AC$ в эту формулу и получим:

$latex \sin \alpha =\frac{CG}{AC}=\frac{CG}{1}=CG$

Так, а можешь сказать, какие координаты имеет точка $latex C$, принадлежащая окружности? Ну что, никак? А если сообразить, что $latex \cos \ \alpha $ и $latex \sin \alpha $ — это просто числа? Какой координате соответствует $latex \sin \alpha $? Ну, конечно, координате $latex x$! А какой координате соответствует $latex \sin \alpha $? Все верно, координате $latex y$! Таким образом, точка $latex C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha )$.

8

А чему тогда равны $latex tg \alpha $ и $latex ctg \alpha $? Все верно, воспользуемся соответствующими определениями тангенса и котангенса и получим, что $latex tg \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{y}{x}$, а $latex ctg \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{x}{y}$.

А что, если угол будет больше $latex 90{}^\circ =\frac{\pi }{2}$? Вот, к примеру, как на этом рисунке:

9

Что же изменилось в данном примере? Давай разбираться. Для этого опять обратимся к прямоугольному треугольнику. Рассмотрим прямоугольный треугольник $latex {{A}_{1}}{{C}_{1}}G$: угол $latex {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=180{}^\circ -\beta \ $ (как прилежащий к углу $latex \beta $). Чему равно значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса для угла $latex {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=180{}^\circ -\beta \ $? Все верно, придерживаемся соответствующих определений тригонометрических функций:

$latex \begin{array}{l}\sin \angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\frac{{{C}_{1}}G}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}=\frac{{{C}_{1}}G}{1}={{C}_{1}}G=y;\\\cos \angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\frac{{{A}_{1}}G}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}=\frac{{{A}_{1}}G}{1}={{A}_{1}}G=x;\\tg\angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\frac{{{C}_{1}}G}{{{A}_{1}}G}=\frac{y}{x};\\ctg\angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\frac{{{A}_{1}}G}{{{C}_{1}}G}=\frac{x}{y}\end{array}$

Ну вот, как видишь, значение синуса угла все так же соответствует координате $latex y$; значение косинуса угла – координате $latex x$; а значения тангенса и котангенса соответствующим соотношениям. Таким образом, эти соотношения применимы к любым поворотам радиуса-вектора.

Уже упоминалось, что начальное положение радиуса-вектора – вдоль положительного направления оси $latex x$. До сих пор мы вращали этот вектор против часовой стрелки, а что будет, если повернуть его по часовой стрелке? Ничего экстраординарного, получится так же угол определенной величины, но только он будет отрицательным. Таким образом, при вращении радиуса-вектора против часовой стрелки получаются положительные углы, а при вращении по часовой стрелке – отрицательные.

Итак, мы знаем, что целый оборот радиуса-вектора по окружности составляет $latex 360{}^\circ $ или $latex 2\pi $. А можно повернуть радиус-вектор на $latex 390{}^\circ $ или на $latex -1140{}^\circ $? Ну конечно, можно! В первом случае, $latex 390{}^\circ =360{}^\circ +30{}^\circ $, таким образом, радиус-вектор совершит один полный оборот и остановится в положении $latex 30{}^\circ $ или $latex \frac{\pi }{6}$.

Во втором случае, $latex -1140{}^\circ =-360{}^\circ \cdot 3-60{}^\circ $, то есть радиус-вектор совершит три полных оборота и остановится в положении $latex -60{}^\circ $ или $latex -\frac{\pi }{3}$.

Таким образом, из приведенных примеров можем сделать вывод, что углы, отличающиеся на $latex 360{}^\circ \cdot m$ или $latex 2\pi \cdot m$ (где $latex m$ – любое целое число), соответствуют одному и тому же положению радиуса-вектора.

Ниже на рисунке изображен угол $latex \beta =-60{}^\circ $. Это же изображение соответствует углу $latex -420{}^\circ ,-780{}^\circ ,\ 300{}^\circ ,660{}^\circ $ и т.д. Этот список можно продолжить до бесконечности. Все эти можно записать общей формулой $latex \beta +360{}^\circ \cdot m$ или $latex \beta +2\pi \cdot m$ (где $latex m$ – любое целое число)

$latex \begin{array}{l}-420{}^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780{}^\circ =-60+360\cdot (-2);\\300{}^\circ =-60+360\cdot 1;\\660{}^\circ =-60+360\cdot 2.\end{array}$

10

Теперь, зная определения основных тригонометрических функций и используя единичную окружность, попробуй ответить, чему равны значения:

$latex \begin{array}{l}\sin \ 90{}^\circ =?\\\cos \ 90{}^\circ =?\\\text{tg}\ 90{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 90{}^\circ =?\\\sin \ 180{}^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180{}^\circ =\cos \ \pi =?\\\text{tg}\ 180{}^\circ =\text{tg}\ \pi =?\\\text{ctg}\ 180{}^\circ =\text{ctg}\ \pi =?\\\sin \ 270{}^\circ =?\\\cos \ 270{}^\circ =?\\\text{tg}\ 270{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 270{}^\circ =?\\\sin \ 360{}^\circ =?\\\cos \ 360{}^\circ =?\\\text{tg}\ 360{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 360{}^\circ =?\\\sin \ 450{}^\circ =?\\\cos \ 450{}^\circ =?\\\text{tg}\ 450{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 450{}^\circ =?\end{array}$

Вот тебе в помощь единичная окружность:

11

Возникли трудности? Тогда давай разбираться. Итак, мы знаем, что:

$latex \begin{array}{l}\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\frac{y}{x};\\ctg\alpha =\frac{x}{y}.\end{array}$

Отсюда, мы определяем координаты точек, соответствующих определенным мерам угла. Ну что же, начнем по порядку: углу в $latex 90{}^\circ =\frac{\pi }{2}$ соответствует точка с координатами $latex \left( 0;1 \right)$, следовательно:

$latex \sin 90{}^\circ =y=1$;

$latex \cos 90{}^\circ =x=0$;

$latex \text{tg}\ 90{}^\circ =\frac{y}{x}=\frac{1}{0}\Rightarrow \text{tg}\ 90{}^\circ $ — не существует;

$latex \text{ctg}\ 90{}^\circ =\frac{x}{y}=\frac{0}{1}=0$.

Дальше, придерживаясь той же логики, выясняем, что углам в $latex 180{}^\circ ,\ 270{}^\circ ,\ 360{}^\circ ,\ 450{}^\circ (=360{}^\circ +90{}^\circ )\ $ соответствуют точки с координатами $latex \left( -1;0 \right),\text{ }\left( 0;-1 \right),\text{ }\left( 1;0 \right),\text{ }\left( 0;1 \right)$, соответственно. Зная это, легко определить значения тригонометрических функций в соответствующих точках. Сначала попробуй сам, а потом сверяйся с ответами.

Ответы:

$latex \displaystyle \sin \ 180{}^\circ =\sin \ \pi =0$

$latex \displaystyle \cos \ 180{}^\circ =\cos \ \pi =-1$

$latex \text{tg}\ 180{}^\circ =\text{tg}\ \pi =\frac{0}{-1}=0$

$latex \text{ctg}\ 180{}^\circ =\text{ctg}\ \pi =\frac{-1}{0}\Rightarrow \text{ctg}\ \pi $ — не существует

$latex \sin \ 270{}^\circ =-1$

$latex \cos \ 270{}^\circ =0$

$latex \text{tg}\ 270{}^\circ =\frac{-1}{0}\Rightarrow \text{tg}\ 270{}^\circ $ — не существует

$latex \text{ctg}\ 270{}^\circ =\frac{0}{-1}=0$

$latex \sin \ 360{}^\circ =0$

$latex \cos \ 360{}^\circ =1$

$latex \text{tg}\ 360{}^\circ =\frac{0}{1}=0$

$latex \text{ctg}\ 360{}^\circ =\frac{1}{0}\Rightarrow \text{ctg}\ 2\pi $ — не существует

$latex \sin \ 450{}^\circ =\sin \ \left( 360{}^\circ +90{}^\circ  \right)=\sin \ 90{}^\circ =1$

$latex \cos \ 450{}^\circ =\cos \ \left( 360{}^\circ +90{}^\circ  \right)=\cos \ 90{}^\circ =0$

$latex \text{tg}\ 450{}^\circ =\text{tg}\ \left( 360{}^\circ +90{}^\circ  \right)=\text{tg}\ 90{}^\circ =\frac{1}{0}\Rightarrow \text{tg}\ 450{}^\circ $ — не существует

$latex \text{ctg}\ 450{}^\circ =\text{ctg}\left( 360{}^\circ +90{}^\circ  \right)=\text{ctg}\ 90{}^\circ =\frac{0}{1}=0$.

Таким образом, мы можем составить следующую табличку:

12

Нет необходимости помнить все эти значения. Достаточно помнить соответствие координат точек на единичной окружности и значений тригонометрических функций:

$latex \left. \begin{array}{l}\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\frac{y}{x};\\ctg \alpha =\frac{x}{y}.\end{array} \right\}\ \text{Надо запомнить или уметь выводить!!!}$

А вот значения тригонометрических функций углов в $latex 30{}^\circ =\frac{\pi }{6},\ 45{}^\circ =\frac{\pi }{4}$ и $latex 30{}^\circ =\frac{\pi }{6},\ 45{}^\circ =\frac{\pi }{4}$, приведенных ниже в таблице, необходимо запомнить:

13

Не надо пугаться, сейчас покажем один из примеров довольно простого запоминания соответствующих значений:

14

Для пользования этим методом жизненно необходимо запомнить значения синуса для всех трех мер угла ($latex 30{}^\circ =\frac{\pi }{6},\ 45{}^\circ =\frac{\pi }{4},\ 60{}^\circ =\frac{\pi }{3}$), а также значение тангенса угла в $latex 30{}^\circ $. Зная эти $latex 4$ значения, довольно просто восстановить всю таблицу целиком -значения косинуса переносятся в соответствии со стрелочками, то есть:

$latex \begin{array}{l}\sin 30{}^\circ =\cos \ 60{}^\circ =\frac{1}{2}\ \ \\\sin 45{}^\circ =\cos \ 45{}^\circ =\frac{\sqrt{2}}{2}\\\sin 60{}^\circ =\cos \ 30{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}\ \end{array}$

$latex \text{tg}\ 30{}^\circ \ =\frac{1}{\sqrt{3}}$, зная это можно восстановить значения для $latex \text{tg}\ 45{}^\circ , \text{tg}\ 60{}^\circ $. Числитель «$latex 1$» будет соответствовать $latex \text{tg}\ 45{}^\circ \ $, а знаменатель «$latex \sqrt{\text{3}}$» соответствует $latex \text{tg}\ 60{}^\circ \ $. Значения котангенса переносятся в соответствии со стрелочками, указанными на рисунке. Если это уяснить и запомнить схему со стрелочками, то будет достаточно помнить всего $latex 4$ значения из таблицы.

Больше задач — после регистрации.

Координаты точки на окружности

А можно ли найти точку (ее координаты) на окружности, зная координаты центра окружности, ее радиус и угол поворота? Ну, конечно, можно! Давай выведем общую формулу для нахождения координат точки. Вот, к примеру, перед нами такая окружность:

15

Нам дано, что точка $latex K({{x}_{0}};{{y}_{0}})=K(3;2)$ — центр окружности. Радиус окружности равен $latex 1,5$. Необходимо найти координаты точки $latex P$, полученной поворотом точки $latex O$ на $latex \delta $ градусов.

Как видно из рисунка, координате $latex x$ точки $latex P$ соответствует длина отрезка $latex TP=UQ=UK+KQ$. Длина отрезка $latex UK$ соответствует координате $latex x$ центра окружности, то есть равна $latex 3$. Длину отрезка $latex KQ$ можно выразить, используя определение косинуса:

$latex \cos \ \delta =\frac{KQ}{KP}=\frac{KQ}{r}\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta $.

Тогда имеем, что для точки $latex P$ координата $latex x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta $.

По той же логике находим значение координаты y для точки $latex P$. Таким образом,

$latex y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta $.

Итак, в общем виде координаты точек определяются по формулам:

$latex \begin{array}{l}x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta \\y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta \end{array}$, где

$latex {{x}_{0}},{{y}_{0}}$ — координаты центра окружности,

$latex r$ — радиус окружности,

$latex \delta $ — угол поворота радиуса вектора.

Как можно заметить, для рассматриваемой нами единичной окружности эти формулы значительно сокращаются, так как координаты центра равны нулю, а радиус равен единице:

$latex \begin{array}{l}x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end{array}$

Ну что, попробуем эти формулы на вкус, поупражняясь в нахождении точек на окружности? Тогда пробуй:

1. Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки $latex A\left( 1;0 \right)$ на $latex \frac{7\pi }{3}$.

2. Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки $latex A\left( 1;0 \right)$ на $latex 750{}^\circ $.

3. Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки $latex A\left( 1;0 \right)$ на $latex -225{}^\circ $.

4. Точка $latex A({{x}_{0}};{{y}_{0}})=A(5;7)$ — центр окружности. Радиус окружности равен $latex 2$. Необходимо найти координаты точки $latex P$, полученной поворотом начального радиуса-вектора на $latex -30{}^\circ $.

5. Точка $latex A({{x}_{0}};{{y}_{0}})=A(-7;6)$ — центр окружности. Радиус окружности равен  $latex 3$. Необходимо найти координаты точки  $latex P$, полученной поворотом начального радиуса-вектора на  $latex P$.

Возникли проблемы/вопросы? Тогда разбирайся в решении.

1. Окружность единичная с центром в точке $latex \left( 0;0 \right)$, значит, мы можем воспользоваться упрощенными формулами:

$latex \begin{array}{l}x=\cos \ \delta =\cos \frac{7\pi }{3}\\y=\sin \ \delta =\sin \frac{7\pi }{3}\end{array}$

Можно заметить, что $latex \frac{7\pi }{3}=\frac{6\pi +\pi }{3}=2\pi +\frac{\pi }{3}$. А мы ведь знаем, что $latex 2\pi $ соответствует полному обороту начальной точки. Таким образом, искомая точка будет находиться в том же положении, что и при повороте на $latex \frac{\pi }{3}$. Зная это, найдем искомые координаты точки:

$latex \begin{array}{l}x=\cos \frac{7\pi }{3}=\cos \frac{\pi }{3}\\y=\sin \frac{7\pi }{3}=\sin \frac{\pi }{3}\end{array}$

Синус $latex \frac{\pi }{3}$ и косинус $latex \frac{\pi }{3}$ — это табличные значения. Вспоминаем их значения и получаем:

$latex \begin{array}{l}x=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\\y=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$

Таким образом, искомая точка имеет координаты $latex \left( \frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.

2. Окружность единичная с центром в точке $latex \left( 0;0 \right)$, значит, мы можем воспользоваться упрощенными формулами:

$latex \begin{array}{l}x=\cos \ \delta =\cos 750{}^\circ \\y=\sin \ \delta =\sin 750{}^\circ \end{array}$

Можно заметить, что $latex 750{}^\circ =360{}^\circ \cdot 2+30{}^\circ $. Мы знаем, что $latex 360{}^\circ \cdot 2$ соответствует двум полным оборотам начальной точки. Таким образом, искомая точка будет находиться в том же положении, что и при повороте на $latex 30{}^\circ $. Зная это, найдем искомые координаты точки:

$latex \begin{array}{l}x=\cos 750{}^\circ =\cos 30{}^\circ \\y=\sin 750{}^\circ =\sin 30{}^\circ \end{array}$.

Синус $latex 30{}^\circ $ и косинус $latex 30{}^\circ $ — это табличные значения. Вспоминаем их значения и получаем:

$latex \begin{array}{l}x=\cos 30{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}\\y=\sin 30{}^\circ =\frac{1}{2}\end{array}$

Таким образом, искомая точка имеет координаты $latex \left( \frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2} \right)$.

3. Окружность единичная с центром в точке $latex \left( 0;0 \right)$, значит, мы можем воспользоваться упрощенными формулами:

$latex \begin{array}{l}x=\cos \ \beta =\cos (-225{}^\circ )\\y=\sin \ \beta =\sin (-225{}^\circ )\end{array}$.

Можно заметить, что $latex -225{}^\circ =-360{}^\circ +135{}^\circ ;\ \ \ \ -225{}^\circ =-180{}^\circ -45{}^\circ $. Изобразим рассматриваемый пример на рисунке:

16

Радиус $latex {{E}_{1}}W$ образует с осью $latex x$ углы, равные $latex 45{}^\circ$ и $latex 135{}^\circ$. Зная, что табличные значения косинуса и синуса $latex 45{}^\circ$ равны $latex \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$, и определив, что косинус здесь принимает отрицательное значение, а синус положительное, имеем:

$latex \begin{array}{l}x=\cos (-225{}^\circ )=-\cos 45{}^\circ =-\frac{\sqrt{2}}{2}\\y=\sin (-225{}^\circ )=\sin 45{}^\circ =\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$

Подробней подобные примеры разбираются при изучении формул приведения тригонометрических функций в теме «Формулы тригонометрии».

Таким образом, искомая точка имеет координаты $latex \left( -\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$.

4. Для решения данной задачи воспользуемся формулами в общем виде $latex \begin{array}{l}x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta \\y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta \end{array}$, где

$latex {{x}_{0}},{{y}_{0}}$ — координаты центра окружности (в нашем примере, $latex {{x}_{0}}=5$, $latex {{y}_{0}}=7$

$latex r$ — радиус окружности (по условию, $latex r=2$)

$latex \delta $ — угол поворота радиуса вектора (по условию, $latex \delta =-30{}^\circ $)

Подставим все значения в формулу и получим:

$latex \begin{array}{l}x=5+2\cdot \cos \ (-30{}^\circ )\\y=7+2\cdot \sin \ (-30{}^\circ )\end{array}$.

Для определения соответствующих знаков синуса и косинуса построим единичную окружность и угол:

17

Как можно заметить, значение $latex x$, то есть $latex \cos \left( -30{}^\circ  \right)$ положительно, а значение $latex y$, то есть $latex \sin (-30{}^\circ )$ — отрицательно. Зная табличные значения соответствующих тригонометрических функций, получаем, что:

$latex \begin{array}{l}\cos \left( -30{}^\circ  \right)=\cos 30{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}\\\sin \left( -30{}^\circ  \right)=-\sin 30{}^\circ =-\frac{1}{2}\end{array}$

Подставим полученные значения в нашу формулу и найдем координаты:

$latex \begin{array}{l}x=5+2\cdot \cos \ (-30{}^\circ )=5+2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5+\sqrt{3}\\y=7+2\cdot \sin \ (-30{}^\circ )=7+2\cdot \left( -\frac{1}{2} \right)=6\end{array}$

Таким образом, искомая точка имеет координаты $latex \left( 5+\sqrt{3};6 \right)$.

5. Для решения данной задачи воспользуемся формулами в общем виде $latex \begin{array}{l}x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta \\y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta \end{array}$, где

$latex {{x}_{0}},{{y}_{0}}$ — координаты центра окружности (в нашем примере, $latex {{x}_{0}}=-7$, $latex {{y}_{0}}=6$

$latex r$ — радиус окружности (по условию, $latex r=3$)

$latex \delta $ — угол поворота радиуса вектора (по условию, $latex \delta =60{}^\circ $).

$latex \begin{array}{l}x=5+2\cdot \cos \ (-30{}^\circ )=5+2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5+\sqrt{3}\\y=7+2\cdot \sin \ (-30{}^\circ )=7+2\cdot \left( -\frac{1}{2} \right)=6\end{array}$

Подставим все значения в формулу и получим:

$latex \begin{array}{l}x=-7+3\cdot \cos 60{}^\circ \\y=6+3\cdot \sin \ 60{}^\circ \end{array}$

$latex \cos 60{}^\circ $ и $latex \cos 60{}^\circ $ — табличные значения. Вспоминаем и подставляем их в формулу:

$latex \begin{array}{l}x=-7+3\cdot \cos 60{}^\circ =-7+3\cdot \frac{1}{2}=-5,5\\y=6+3\cdot \sin \ 60{}^\circ =6+3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6+\frac{3\sqrt{3}}{2}\end{array}$

Таким образом, искомая точка имеет координаты $latex \left( -5,5;6+\frac{3\sqrt{3}}{2} \right)$.

Проверь себя — реши задачи на синус, косинус, тангенс и котангенс угла и числа.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий