Сравнение чисел. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

При решении  уравнений и неравенств, а также задач с модулями требуется расположить найденные корни на числовой прямой. Как ты знаешь, найденные корни могут быть разными. Они могут быть такими: \(4\), \(-3\), \(8\), \(125\), а могут быть и вот такими: \(\sqrt{6}\), \(\left( 4-\sqrt{3} \right)\), \(\frac{\sqrt[6]{6}}{\sqrt{13}+\frac{4}{13}}\).

Соответственно, если числа не рациональные а иррациональные (если забыл что это, ищи в теме «дроби, рациональные числа»), или представляют собой сложные математические выражения, то расположить их на числовой прямой весьма проблематично. Тем более, что калькуляторами на экзамене пользоваться нельзя, а приближенный подсчет не дает 100% гарантий, что одно число меньше другого (вдруг разница между сравниваемыми числами \(0,000001\)?).

Конечно, ты знаешь, что положительные цифры всегда больше отрицательных, и что если мы представим числовую ось, то при сравнении, наибольшие числа будут находиться правее, чем наименьшие: \(3>1\); \(-1>-3\); \(0>-3\) и т.д.

Сравнение чисел на числовой оси

Но всегда ли все так легко? Где на числовой оси мы отметим \(\sqrt{6}\), \(\left( 4-\sqrt{3} \right)\), \(\frac{\sqrt[6]{6}}{\sqrt{13}+\frac{4}{13}}\).

Как их сравнить, например, с числом \(5\)? Вот в этом-то и загвоздка … )

Для начала поговорим в общих чертах как и что сравнивать.

Если надо сравнить числа \(a\) и \(b\), между ними ставим знак \(\vee \) (происходит от латинского слова Versus или сокращенно vs. – против): \(a\vee b\). Этот знак заменяет неизвестный нам знак неравенства (\(>\text{ или }<\)). Далее будем выполнять тождественные преобразования до тех пор, пока не станет ясно, какой именно знак нужно поставить между числами.

Суть сравнения чисел состоит в следующем: мы относимся к знаку \(\vee \) так, будто это какой-то знак неравенства. И с выражением \(a\vee b\) мы можем делать все то же, что делаем обычно с неравенствами:

  • прибавить любое число к обеим частям (и вычесть, конечно, тоже можем)
  • «перенести все в одну сторону», то есть вычесть из обеих частей одно из сравниваемых выражений. На месте вычитаемого выражения останется \(0\): \(a\vee b\ \Leftrightarrow a-b\vee 0\).
  • домножать или делить на одно и то же число. Если это число отрицательное, знак неравенства меняется на противоположный: \(\wedge \).
  • возводить обе части в одну и ту же степень. Если эта степень – четная, необходимо убедиться, что обе части имеют одинаковый знак; если обе части положительны, при возведении в степень знак не меняется, а если отрицательны, тогда меняется на противоположный.
  • извлечь корень одинаковой степени из обеих частей. Если извлекаем корень четной степени, необходимо предварительно убедиться, что оба выражения неотрицательны.
  • любые другие равносильные преобразования.

Важно: преобразования желательно делать такими, чтобы знак неравенства не менялся! То есть в ходе преобразований нежелательно домножать на отрицательное число, и нельзя возводить в квадрат, если одна из частей отрицательна.

Хочешь порешать еще задач на сравнение чисел?

button-task

Сравнение дробей

Итак, нам необходимо сравнить две дроби: \(1,6\) и \(1\frac{6}{13}\).

Есть несколько вариантов, как это сделать.

Вариант 1. Привести дроби к общему знаменателю.

Запишем \(1,6\) в виде обыкновенной дроби:

\(1,6=1\frac{6}{10}=1\frac{3}{5}\) — (как ты видишь, я также сократила на \(2\) числитель и знаменатель).

Теперь нам необходимо сравнить дроби:

\(1\frac{3}{5}\) и \(1\frac{6}{13}\)

Сейчас мы можем продолжить сравнивать также двумя способами. Мы можем:

  1. просто привести все к общему знаменателю, представив обе дроби как неправильные (числитель больше знаменателя):
    \(\frac{8}{5}\vee \frac{19}{13}\)
    \(\frac{8\cdot 13}{5\cdot 13}\vee \frac{19\cdot 5}{13\cdot 5}\)
    \(\frac{104}{65}\vee \frac{95}{65}\)
    Какое число больше? Правильно, то, у которого числитель больше, то есть первое.
    \(1,6>1\frac{6}{13}\)
  2. «отбросим» \(1\) (считай, что мы из каждой дроби вычли единицу, и соотношение дробей друг с другом, соответственно, не изменилось) и будем сравнивать дроби:
    \(\frac{3}{5}\vee \frac{6}{13}\)
    Приводим их также к общему знаменателю:
    \(\frac{3\cdot 13}{13\cdot 5}\vee \frac{6\cdot 5}{13\cdot 5}\)
    Заметь, в принципе мы можем не считать знаменатель. Мы итак видим, что он одинаков и нам необходимо сравнивать числитель. Тогда зачем мы будем тратить время на подсчет знаменателя?
    \(\frac{39}{13\cdot 5}\vee \frac{30}{13\cdot 5}\)
    Мы получили абсолютно точно такой же результат, как и в предыдущем случае – первое число больше, чем второе:
    \(1,6>1\frac{6}{13}\)
    Проверим также, правомерно ли мы вычли единицу? Посчитаем разницу в числителе при первом расчете и втором:
    1) \(104-95=9\)
    2) \(39-30=9\)

Итак, мы рассмотрели, как сравнивать дроби, приводя их к общему знаменателю. Перейдем к другому методу – сравнение дробей приводя их к общему… числителю.

Вариант 2. Сравнение дробей с помощью приведения к общему числителю.

Да, да. Это не опечатка. В школе редко кому рассказывают этот метод, но очень часто он весьма удобен. Чтобы ты быстро понял его суть, задам тебе только один вопрос – «в каких случаях значение дроби наибольшее?» Конечно, ты скажешь «когда числитель максимально большой, а знаменатель максимально маленький».

Например, ты же точно скажешь, что \(\frac{8}{13}<\frac{12}{13}\) Верно? А если нам надо сравнить такие дроби: \(\frac{6}{13}\vee \frac{6}{28}\)? Думаю, ты тоже сразу верно поставишь знак, ведь в первом случае \(6\) делят на \(13\) частей, а во втором на целых \(28\), значит, во втором случае кусочки получаются совсем маленькие, и соответственно: \(\frac{6}{13}>\frac{6}{28}\). Как ты видишь, знаменатели здесь разные, а вот числители одинаковы. Однако, для того, чтобы сравнить эти две дроби, тебе не обязательно искать общий знаменатель. Хотя… найди его и посмотри, вдруг знак сравнения все же неправильный?

\(\frac{6\cdot 28}{13\cdot 28}>\frac{6\cdot 13}{28\cdot 13}\)

\(\frac{168}{364}>\frac{78}{364}\)

А знак-то тот же.

Вернемся к нашему изначальному заданию – сравнить \(1\frac{3}{5}\)и \(1\frac{6}{13}\). Будем сравнивать \(\frac{3}{5}\) и \(\frac{6}{13}\). Приведем данные дроби не к общему знаменателю, а к общему числителю. Для этого просто числитель и знаменатель первой дроби умножим на \(2\). Получим:

\(\frac{6}{10}\) и \(\frac{6}{13}\). Какая дробь больше? Правильно, первая.

Вариант 3. Сравнение дробей с помощью вычитания.

Как сравнивать дроби с помощью вычитания? Да очень просто. Мы из одной дроби вычитаем другую. Если результат получается положительным, то первая дробь (уменьшаемое) больше второй (вычитаемое), а если отрицательным, то наоборот.

В нашем случае попробуем из второй вычесть первую дробь: \(1\frac{6}{13}-1,6\).

Как ты уже понял, мы так же переводим \(1,6\) в обыкновенную дробь и получаем тот же результат — \(1\frac{3}{5}\) . Наше выражение приобретает вид:

\(1\frac{6}{13}-1\frac{3}{5}\)

Далее нам все равно придется прибегнуть к приведению к общему знаменателю. Вопрос как: первым способом, преобразуя дроби в неправильные, или вторым, как бы «убирая» единицу? Кстати, это действие имеет вполне математическое обоснование. Смотри:

\(\left( 1+\frac{6}{13} \right)-\left( 1+\frac{3}{5} \right)=1+\frac{6}{13}-1-\frac{3}{5}=\frac{6}{13}-\frac{3}{5}\)

Мне больше нравится второй вариант, так как перемножение в числителе при приведении к общему знаменателю становится в разы проще.

Приводим к общему знаменателю:

\(\frac{6}{13}-\frac{3}{5}=\frac{6\cdot 5}{13\cdot 5}-\frac{3\cdot 13}{5\cdot 13}=\frac{30}{13\cdot 5}-\frac{39}{5\cdot 13}=-\frac{9}{5\cdot 13}\)

Здесь главное не запутаться, какое число и откуда мы отнимали. Внимательно посмотреть ход решения и случайно не перепутать знаки. Мы отнимали от второго числа первое и получили отрицательный ответ, значит?.. Правильно, первое число больше второго.

\(1,6>1\frac{6}{13}\)

Разобрался? Попробуй сравнить дроби:

\(1,5\vee 1\frac{3}{5}\)

Стоп, стоп. Не спеши приводить к общему знаменателю или вычитать. Посмотри: \(1\frac{3}{5}\) можно легко перевести в десятичную дробь. Сколько это будет? Правильно. Что в итоге больше?

\(1,5<1,6\)

Это еще один вариант – сравнение дробей путем приведения к десятичной дроби.

Вариант 4. Сравнение дробей с помощью деления.

Да, да. И так тоже можно. Логика проста: когда мы делим большее число на меньшее, в ответе у нас получается число, больше единицы, а если мы делим меньшее число на большее, то ответ приходится на промежуток от \(0\) до \(1\).

Чтобы запомнить это правило, возьми для сравнения любые два простых числа, например, \(6\) и \(4\). Ты же знаешь, что \(6\) больше \(4\)? Теперь разделим \(6\) на \(4\). Наш ответ — \(1,5\). Соответственно, теория верна. Если мы разделим \(\displaystyle 4\) на \(6\), что мы получим \(0,\left( 6 \right)\) – меньше единицы, что в свою очередь подтверждает, что \(\displaystyle 4\) на самом деле меньше \(6\).

Попробуем применить это правило на обыкновенных дробях. Сравним:

\(\frac{6}{8}\vee \frac{10}{12}\)

Разделим первую дробь на вторую:

\(\frac{6}{8}:\frac{10}{12}=\frac{6}{8}\cdot \frac{12}{10}\)

Сократим на \(2\) и на \(4\).

\(\frac{6}{8}\cdot \frac{12}{10}=\frac{3}{2}\cdot \frac{3}{5}=\frac{9}{10}\)

Полученный результат меньше \(1\), значит делимое меньше делителя, то есть:

\(\frac{6}{8}<\frac{10}{12}\)

Мы разобрали все возможные варианты сравнения дробей. Как ты видишь их 5:

  • приведение к общему знаменателю;
  • приведение к общему числителю;
  • приведение к виду десятичной дроби;
  • вычитание;
  • деление.

Готов тренироваться? Сравни дроби оптимальным способом:

  1. \(1,7\vee \frac{14}{8}\)
  2. \(\frac{18}{21}\vee \frac{6}{10}\)
  3. \(1\frac{4}{13}\vee \frac{58}{26}\)
  4. \(\frac{17}{28}\vee \frac{5}{7}\)

Сравним ответы:

  1. \(1,7>\frac{14}{8}\) (\(\frac{14}{8}\) – перевести в десятичную дробь)
  2. \(\frac{18}{21}>\frac{6}{10}\) (поделить одну дробь на другую и сократить на \(3\) числитель и знаменатель)
  3. \(1\frac{4}{13}>\frac{58}{26}\) (выделить целую часть и сравнивать дроби по принципу одинакового числителя)
  4. \(\frac{17}{28}>\frac{5}{7}\) (поделить одну дробь на другую и сократить на \(7\) числитель и знаменатель).

Больше задач — после регистрации.

2. Сравнение степеней

Теперь представим, что нам необходимо сравнить не просто числа, а выражения, где существует степень (читай раздел про степени).

Cравни: \({{2}^{4}}\vee {{2}^{6}}\).

Конечно, ты без труда поставишь знак:

\({{2}^{4}}<{{2}^{6}}\), ведь если мы заменим степень умножением, мы получим:

\(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2<2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\)

Из этого маленького и примитивного примера вытекает правило:

Если основание сравниваемых степеней одинаково, то больше та степень, у которой больше показатель степени.

Попробуй теперь сравнить следующее: \({{5}^{4}}\vee {{6}^{4}}\). Ты так же без труда поставишь знак:

\({{5}^{4}}<{{6}^{4}}\), потому что, если мы заменим возведение степень на умножение…

В общем, ты все понял, и это совсем несложно.

Сложности возникают только тогда, когда при сравнении у степеней разные и основания, и показатели. В этом случае необходимо попробовать привести к общему основанию. Например:

\({{2}^{2}}\vee {{4}^{3}}\)

Разумеется, ты знаешь, что \(4\) это \({{2}^{2}}\), соответственно, выражение приобретает вид:

clip_image120

Раскроем скобки и сравним то, что получится:

\({{2}^{2}}\vee {{2}^{6}}\) — легко?

\({{2}^{2}}<{{2}^{6}}\)

Несколько особый случай, когда основание степени (\(a\)) меньше единицы.

Если \(0<a<1\), то из двух степеней \({{a}^{m}}\) и \({{a}^{n}}\) больше та, показатель которой меньше.

Попробуем доказать это правило. Пусть \(m>n\).

Введем некоторое натуральное число \(k\), как разницу между \(m\) и \(n\).

Тогда \(m=n+k\).

Поэтому:

\({{a}^{m}}={{a}^{n+k}}\)

Логично, неправда ли?

\({{a}^{n+k}}={{a}^{n}}\cdot {{a}^{k}}\)

А теперь еще раз обратим внимание на условие — \(0<a<1\).

Соответственно: \(0<{{a}^{k}}<1\). Следовательно, \({{a}^{m}}={{a}^{n+k}}={{a}^{n}}\cdot {{a}^{k}}<{{a}^{n}}\).

Например:

\({{\left( \frac{2}{7} \right)}^{42}}>{{\left( \frac{2}{7} \right)}^{142}}\)

Как ты понял, мы рассмотрели случай, когда основания степеней равны. Теперь посмотрим, когда основание находится в промежутке от \(0\) до \(1\), но равны показатели степени. Здесь все очень просто.

Запомним, как это сравнивать на примере:

\({{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}\vee {{\left( \frac{1}{4} \right)}^{2}}\)

Конечно, ты быстро посчитал:

\(\frac{1}{9}>\frac{1}{16}\)

Поэтому, когда тебе будут попадаться похожие задачи для сравнения, держи в голове какой-нибудь простой аналогичный пример, который ты можешь быстро просчитать, и на основе этого примера проставляй знаки в более сложном.

Выполняя преобразования, помни, что если ты домножаешь, складываешь, вычитаешь или делишь, то все действия необходимо делать и с левой и с правой частью (если ты умножаешь на \(2\), то умножать необходимо и то, и другое).

Кроме этого, бывают случаи, когда делать какие-либо манипуляции просто невыгодно. Например, тебе нужно сравнить \({{5}^{2}}\vee {{4}^{3}}\). В данном случае, не так сложно возвести в степень, и расставить знак исходя из этого:

\({{5}^{2}}\vee {{4}^{3}}\)

\(25<64\)

Давай потренируемся. Сравни степени:

  1. \({{2}^{5}}\vee {{8}^{3}}\)
  2. \({{3}^{4}}\vee {{2}^{3}}\)
  3. \({{2}^{6}}\vee {{16}^{3}}\)
  4. \({{2}^{4}}\vee {{3}^{3}}\)

Готов сравнивать ответы? Вот что у меня получилось:

  1. \({{2}^{5}}<{{8}^{3}}\) — то же самое, что \({{2}^{5}}\vee {{\left( {{2}^{3}} \right)}^{3}}\)
  2. \({{3}^{4}}>{{2}^{3}}\) — то же самое, что \(27\vee 8\)
  3. \({{2}^{6}}<{{16}^{3}}\) — то же самое, что \({{2}^{6}}\vee {{\left( {{2}^{4}} \right)}^{3}}\)
  4. \({{2}^{4}}<{{3}^{3}}\) — то же самое, что \(16\vee 27\)

Больше задач — после регистрации.

3. Сравнение чисел с корнем

Для начала вспомним, что такое корни? Вот эту \(\sqrt[n]{a}=b\) запись помнишь?

\(\sqrt[n]{a}=b\ \ \ \ \ \ \ {{b}^{n}}=a\)

Корнем \(n-ой\) степени из действительного числа \(a\) называется такое число \(b\), для которого выполняется равенство \({{b}^{n}}=a\).

Корни нечетной степени существуют для отрицательных и положительных чисел, а корни четной степени — только для положительных.

Значением корня часто является бесконечная десятичная дробь, что затрудняет его точное вычисление, поэтому важно уметь сравнивать корни.

Если ты подзабыл, что это такое и с чем его едят – почитай про корни здесь (ссылка). Если все помнишь – давай учиться поэтапно сравнивать корни.

Допустим, нам необходимо сравнить:

\(\sqrt[3]{4}\vee \sqrt[3]{6}\)

Чтобы сравнить эти два корня, не нужно делать никаких вычислений, просто проанализируй само понятие «корень». Понял, о чем я говорю? Да вот об этом: \(\sqrt[3]{4}\vee \sqrt[3]{6}\)иначе можно записать как третья степень какого-то числа, равна подкоренному выражению.

\({{x}^{3}}=4\)

\({{y}^{3}}=6\)

А что больше? \(y\) или \(x\)? Это ты, конечно, сравнишь без всякого труда. Чем большее число мы возводим в степень, тем больше будет значение.

Итак. Выведем правило.

Если показатели степени корней одинаковы (в нашем случае это \(3\)), то необходимо сравнивать подкоренные выражения (\(4\) и \(6\)) — чем больше подкоренное число, тем больше значение корня при равных показателях.

Сложно запомнить? Тогда просто держи в голове пример \(\sqrt{16}\) и \(\sqrt{4}\). Что больше?

\(\sqrt{16}=4\)

\(\sqrt{4}=2\)

\(4\) больше \(2\).

Показатели степени корней одинаковы, так как корень квадратный. Подкоренное выражение одного числа (\(16\)) больше другого (\(4\)), значит, правило действительно верное.

А что, если подкоренные выражения одинаковые, а вот степени корней разные? Например: \(\sqrt[4]{6}\vee \sqrt[3]{6}\).

Тоже вполне понятно, что при извлечении корня большей степени получится меньшее число. Возьмем для примера:

\(\sqrt[3]{12}\vee \sqrt[6]{12}\)

Обозначим значение первого корня как \(a\), а второго — как \(b\), то:

\({{a}^{3}}=12\)

\({{b}^{6}}=12\)

Ты без труда видишь, что в данных уравнениях \(a\) должно быть больше \(b\), следовательно:

\(\sqrt[3]{12}>\sqrt[6]{12}\).

Если подкоренные выражения одинаковы (в нашем случае \(12\)), а показатели степени корней различны (в нашем случае это \(3\) и \(6\)), то необходимо сравнивать показатели степени (\(3\) и \(6\)) — чем больше показатель, тем меньше данное выражение.

Попробуй сравнить следующие корни:

  1. \(\sqrt[7]{13}\vee \sqrt[4]{13}\)
  2. \(\sqrt[8]{333}\vee \sqrt[8]{334}\)
  3. \(\sqrt[3]{2679}\vee \sqrt[12]{2679}\)
  4. \(\sqrt[3]{6}\vee \sqrt[3]{1230}\)

Сравним полученные результаты?

  1. \(\sqrt[7]{13}<\sqrt[4]{13}\)
  2. \(\sqrt[8]{333}<\sqrt[8]{334}\)
  3. \(\sqrt[3]{2679}>\sqrt[12]{2679}\)
  4. \(\sqrt[3]{6}<\sqrt[3]{1230}\)

С этим благополучно разобрались :). Возникает другой вопрос: а что если у нас все разное? И степень, и подкоренное выражение? Не все так сложно нам нужно всего- навсего… «избавиться» от корня. Да, да. Именно избавиться)

Если у нас различные и степени и подкоренные выражения, необходимо найти наименьшее общее кратное (читай раздел про целые числа) для показателей корней и возвести оба выражения в степень, равную наименьшему общему кратному.

Что мы все на словах и на словах. Приведем пример:

\(\sqrt[3]{3}\vee \sqrt[2]{5}\)

  1. Смотрим показатели корней – \(2\) и \(3\). Наименьшее общее кратное у них – \(6\).
  2. Возведем оба выражения в \(6\) степень:\({{\left( \sqrt[3]{3} \right)}^{6}}\vee {{\left( \sqrt[2]{5} \right)}^{6}}\)
  3. Преобразуем выражение и раскроем скобки (подробнее в главе степень и ее свойства):\({{\left( {{3}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{6}}\vee {{\left( {{5}^{\frac{1}{2}}} \right)}^{6}}\)
    \({{3}^{2}}\vee {{5}^{3}}\)
  4. Посчитаем, что у нас получилось, и поставим знак:
    \(9<125\)

Больше задач — после регистрации.

4. Сравнение логарифмов

Вот так, медленно, но верно, мы подошли к вопросу как же сравнивать логарифмы. Если ты не помнишь что это за зверь такой, советую для начала прочитать теорию из раздела логарифмы. Прочитал? Тогда ответь на несколько важных вопросов:

  1. Что называется аргументом логарифма, а что его основанием?
  2. От чего зависит, возрастает ли функция или убывает?

Если все помнишь и отлично усвоил – приступаем!

Для того, чтобы сравнивать логарифмы между собой, необходимо знать всего 3 приема:

  • приведение к одинаковому основанию;
  • приведение к одинаковому аргументу;
  • сравнение с третьим числом.

Изначально, обрати внимание на основание логарифма. Ты помнишь, что если оно меньше \(1\), то функция убывает, а если больше, то возрастает. Именно на этом будет основаны наши суждения.

Рассмотрим сравнение логарифмов, которые уже приведены к одинаковому основанию, либо аргументу.

Для начала упростим задачу: пусть в сравниваемых логарифмах равные основания. Тогда:

  1. Функция \(y={{\log }_{a}}x\), при \(a>0\) возрастает на промежутке от \(\left( 0;\ +\infty  \right)\), значит по определению \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}\), то \({{y}_{1}}<{{y}_{2}}\) («прямое сравнение»).
  2. Пример: \({{\log }_{3}}6\vee {{\log }_{3}}\frac{18}{21}\) — основания одинаковы, \(a>0\) ,соответственно сравниваем аргументы: \(6>\frac{18}{21}\), следовательно: \({{\log }_{3}}6>{{\log }_{3}}\frac{18}{21}\)
  3. Функция \(y={{\log }_{a}}x\), при \(0<a<1\), убывает на промежутке от \(\left( 0;\ +\infty  \right)\), значит по определению \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}\), то \({{y}_{1}}>{{y}_{2}}\) («обратное сравнение»).\({{\log }_{\frac{1}{3}}}12\vee {{\log }_{\frac{1}{3}}}24\) — основания одинаковы, \(0<a<1\), соответственно сравниваем аргументы: \(12<24\), однако, знак у логарифмов будет «обратный», так как функция убывает: \({{\log }_{\frac{1}{3}}}12>{{\log }_{\frac{1}{3}}}24\).

Теперь рассмотрим случаи, когда основания различны, но одинаковы аргументы.

  1. Основание \(a\) больше \(1\).
    • \(x>1\). В этом случае используем «обратное сравнение». Например:\({{\log }_{3}}12\vee {{\log }_{63}}12\) – аргументы одинаковы, \(a>1\) и \(x>1\). Сравниваем основания: \(3<63\) однако, знак у логарифмов будет «обратный»: \({{\log }_{3}}12>{{\log }_{63}}12\)
    • \(0<x<1\). В этом случае используем «прямое сравнение». Например: \({{\log }_{3}}\frac{1}{6}\vee {{\log }_{4}}\frac{1}{6}\)
      \(3<4\)
      \({{\log }_{3}}\frac{1}{6}<{{\log }_{4}}\frac{1}{6}\)
  2. Основание а находится в промежутке \(0<a<1\).
    • \(x>1\). В этом случае используем «прямое сравнение». Например: \({{\log }_{\frac{3}{4}}}12\vee {{\log }_{\frac{3}{7}}}12\)
      \(\frac{3}{4}>\frac{3}{7}\)
      \({{\log }_{\frac{3}{4}}}12>{{\log }_{\frac{3}{7}}}12\)
    • \(0<x<1\). В этом случае используем «обратное сравнение». Например: \({{\log }_{\frac{3}{4}}}\frac{13}{14}\vee {{\log }_{\frac{3}{7}}}\frac{12}{17}\)
      \(\frac{13}{14}>\frac{12}{17}\)
      \({{\log }_{\frac{3}{4}}}\frac{13}{14}<{{\log }_{\frac{3}{7}}}\frac{12}{17}\)

Запишем все в общем табличном виде:

\(a>1\), при этом \({{a}_{1}}<{{a}_{2}}\) \(0<a<1\), при этом \({{a}_{1}}>{{a}_{2}}\)
\(x>1\) \({{\log }_{{{a}_{1}}}}x>{{\log }_{{{a}_{2}}}}x\)
\(0<x<1\) \({{\log }_{{{a}_{1}}}}x<{{\log }_{{{a}_{2}}}}x\)

Соответственно, как ты уже понял, при сравнении логарифмов нам необходимо привести к одинаковому основанию, либо аргументу, К одинаковому основанию мы приходим, используя формулу перехода от одного основания к другому.

Можно также сравнивать логарифмы с третьим числом и на основании этого делать вывод о том, что меньше, а что больше. Например, подумай, как сравнить вот эти два логарифма?

\({{\log }_{3}}5\vee {{\log }_{8}}26\)

Небольшая подсказка – для сравнения тебе очень поможет логарифм, аргумент которого будет равен \(25\).

Подумал? Давай решать вместе.

Мы легко сравним с тобой эти два логарифма:

\({{\log }_{8}}26\vee {{\log }_{8}}25\)

Не знаешь как? Смотри выше. Мы только что это разбирали. Какой знак там будет? Правильно:

\({{\log }_{8}}26\vee {{\log }_{8}}25\)

\({{\log }_{3}}5={{\log }_{9}}25\). Согласен?

Сравним между собой:

\({{\log }_{8}}25\vee {{\log }_{9}}25\)

У тебя должно получиться следующее:

\({{\log }_{8}}25>{{\log }_{9}}25\)

А теперь соедини все наши выводы в один. Получилось?

\(\left. \begin{array}{l}lo{{g}_{8}}26>{{\log }_{8}}25\\{{\log }_{8}}25>{{\log }_{3}}5\end{array} \right|\Rightarrow {{\log }_{8}}26>{{\log }_{3}}5\)

Больше задач — после регистрации.

5. Сравнение тригонометрических выражений.

Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс? Для чего нужна единичная окружность и как на ней найти значение тригонометрических функций? Если ты не знаешь ответы на эти вопросы, очень рекомендую тебе прочитать теорию по этой теме. А если знаешь, то сравнить тригонометрические выражения между собой для тебя не составляет труда!

Немного освежим память. Нарисуем единичную тригонометрическую окружность и вписанный в нее треугольник. Справился? Теперь отметь, по какой стороне у нас откладывается косинус, а по какой синус, используя стороны треугольника. (ты, конечно помнишь, что синус, это отношение противолежащей стороны к гипотенузе, а косинус прилежащей?). Нарисовал? Отлично! Последний штрих – проставь, где у нас будет \(0{}^\circ \) , где \(90{}^\circ \)и так далее. Проставил? Фух) Сравниваем, что получилось у меня и у тебя.

55з(2)

Фух! А теперь приступаем к сравнению!

Допустим, нам необходимо сравнить \(\sin 30{}^\circ \) и \(\sin 60{}^\circ \). Нарисуй эти углы, используя подсказки в рамочках (где у нас отмечено \(\sin 0{}^\circ \), где \(\sin 90{}^\circ \)), откладывая точки на единичной окружности. Справился? Вот что у меня получилось.

55з(3)

Теперь опустим перпендикуляр из точек, отмеченных нами на окружности на ось … Какую? Какая ось у нас показывает значение синусов? Правильно, \(Oy\). Вот что у тебя должно получиться:

55з(4)

Глядя на этот рисунок, что больше: \(\sin 30{}^\circ \) или \(\sin 60{}^\circ \)? Конечно, \(\sin 60{}^\circ \), ведь точка \(F\) находится выше точки \(E\).

\(\sin 30{}^\circ <\sin 60{}^\circ \)

Аналогичным образом мы сравниваем значение косинусов. Только перпендикуляр мы опускаем на ось… Верно, \(Ox\). Соответственно, смотрим, какая точка находится правее (ну или выше, как в случае с синусами), то значение и больше.

Наверное, ты уже догадываешься, как сравнивать тангенсы, верно? Все, что нужно, знать что такое тангенс. Так что такое тангенс?) Правильно, отношение синуса к косинусу.

Чтобы сравнить тангенсы мы так же рисуем угол, как и в предыдущем случае. Допустим, нам необходимо сравнить:

\(tg\ 30{}^\circ >tg\ 60{}^\circ \)

Нарисовал? Теперь так же отмечаем значения синуса на координатной оси \(Oy\). Отметил? А теперь укажи значения косинуса на координатной прямой \(Ox\). Получилось? Давай сравним:

55з(5)

Как ты думаешь, что будет дальше? Распишем по отрезкам, что такое \(tg\ {{30}^{{}^\circ }}\) и \(tg\ {{30}^{{}^\circ }}\)

\(tg\ {{30}^{{}^\circ }}=\frac{AE}{AG}\)

\(tg\ {{60}^{{}^\circ }}=\frac{AF}{AH}\)

А теперь проанализируй написанное. \(tg\ {{30}^{{}^\circ }}\) — мы большой отрезок делим на маленький. В ответе будет значение, которое точно больше единицы. Верно?

А при \(tg\ {{60}^{{}^\circ }}\) мы маленький делим на большой. В ответе будет число, которое точно меньше единицы.

Так значение какого тригонометрического выражения больше?

Правильно:

\(tg\ {{30}^{{}^\circ }}>tg\ {{60}^{{}^\circ }}\)

Как ты теперь понимаешь, сравнение котангенсов – то же самое, только наоборот: мы смотрим, как относятся друг к другу отрезки, определяющие косинус к синусу.

Попробуй самостоятельно сравнить следующие тригонометрические выражения:

Примеры.

  1. \(\sin 120{}^\circ \vee \sin 150{}^\circ \)
  2. \(\cos 20{}^\circ \vee \cos 100{}^\circ \)
  3. \(tg\ {{35}^{{}^\circ }}\vee tg\ {{120}^{{}^\circ }}\)

Ответы.

  1. \(\sin 120{}^\circ >\sin 150{}^\circ \)
  2. \(\cos 20{}^\circ >\cos 100{}^\circ \)
  3. \(tg\ {{35}^{{}^\circ }}>tg\ {{120}^{{}^\circ }}\)
Если хочешь проверить себя — реши несколько задач button-task
Хочешь подготовиться к ЕГЭ или ГИА? Начни обучение button-edu

 

Добавить комментарий