Сравнение чисел. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

При решении  уравнений и неравенств, а также задач с модулями требуется расположить найденные корни на числовой прямой. Как ты знаешь, найденные корни могут быть разными. Они могут быть такими: $latex 4$, $latex -3$, $latex 8$, $latex 125$, а могут быть и вот такими: $latex \sqrt{6}$, $latex \left( 4-\sqrt{3} \right)$, $latex \frac{\sqrt[6]{6}}{\sqrt{13}+\frac{4}{13}}$.

Соответственно, если числа не рациональные а иррациональные (если забыл что это, ищи в теме «дроби, рациональные числа»), или представляют собой сложные математические выражения, то расположить их на числовой прямой весьма проблематично. Тем более, что калькуляторами на экзамене пользоваться нельзя, а приближенный подсчет не дает 100% гарантий, что одно число меньше другого (вдруг разница между сравниваемыми числами $latex 0,000001$?).

Конечно, ты знаешь, что положительные цифры всегда больше отрицательных, и что если мы представим числовую ось, то при сравнении, наибольшие числа будут находиться правее, чем наименьшие: $latex 3>1$; $latex -1>-3$; $latex 0>-3$ и т.д.

Сравнение чисел на числовой оси

Но всегда ли все так легко? Где на числовой оси мы отметим $latex \sqrt{6}$, $latex \left( 4-\sqrt{3} \right)$, $latex \frac{\sqrt[6]{6}}{\sqrt{13}+\frac{4}{13}}$.

Как их сравнить, например, с числом $latex 5$? Вот в этом-то и загвоздка … )

Для начала поговорим в общих чертах как и что сравнивать.

Если надо сравнить числа $latex a$ и $latex b$, между ними ставим знак $latex \vee $ (происходит от латинского слова Versus или сокращенно vs. – против): $latex a\vee b$. Этот знак заменяет неизвестный нам знак неравенства ($latex >\text{ или }<$). Далее будем выполнять тождественные преобразования до тех пор, пока не станет ясно, какой именно знак нужно поставить между числами.

Суть сравнения чисел состоит в следующем: мы относимся к знаку $latex \vee $ так, будто это какой-то знак неравенства. И с выражением $latex a\vee b$ мы можем делать все то же, что делаем обычно с неравенствами:

  • прибавить любое число к обеим частям (и вычесть, конечно, тоже можем)
  • «перенести все в одну сторону», то есть вычесть из обеих частей одно из сравниваемых выражений. На месте вычитаемого выражения останется $latex 0$: $latex a\vee b\ \Leftrightarrow a-b\vee 0$.
  • домножать или делить на одно и то же число. Если это число отрицательное, знак неравенства меняется на противоположный: $latex \wedge $.
  • возводить обе части в одну и ту же степень. Если эта степень – четная, необходимо убедиться, что обе части имеют одинаковый знак; если обе части положительны, при возведении в степень знак не меняется, а если отрицательны, тогда меняется на противоположный.
  • извлечь корень одинаковой степени из обеих частей. Если извлекаем корень четной степени, необходимо предварительно убедиться, что оба выражения неотрицательны.
  • любые другие равносильные преобразования.

Важно: преобразования желательно делать такими, чтобы знак неравенства не менялся! То есть в ходе преобразований нежелательно домножать на отрицательное число, и нельзя возводить в квадрат, если одна из частей отрицательна.

Хочешь порешать еще задач на сравнение чисел?

button-task

Сравнение дробей

Итак, нам необходимо сравнить две дроби: $latex 1,6$ и $latex 1\frac{6}{13}$.

Есть несколько вариантов, как это сделать.

Вариант 1. Привести дроби к общему знаменателю.

Запишем $latex 1,6$ в виде обыкновенной дроби:

$latex 1,6=1\frac{6}{10}=1\frac{3}{5}$ — (как ты видишь, я также сократила на $latex 2$ числитель и знаменатель).

Теперь нам необходимо сравнить дроби:

$latex 1\frac{3}{5}$ и $latex 1\frac{6}{13}$

Сейчас мы можем продолжить сравнивать также двумя способами. Мы можем:

  1. просто привести все к общему знаменателю, представив обе дроби как неправильные (числитель больше знаменателя):
    $latex \frac{8}{5}\vee \frac{19}{13}$
    $latex \frac{8\cdot 13}{5\cdot 13}\vee \frac{19\cdot 5}{13\cdot 5}$
    $latex \frac{104}{65}\vee \frac{95}{65}$
    Какое число больше? Правильно, то, у которого числитель больше, то есть первое.
    $latex 1,6>1\frac{6}{13}$
  2. «отбросим» $latex 1$ (считай, что мы из каждой дроби вычли единицу, и соотношение дробей друг с другом, соответственно, не изменилось) и будем сравнивать дроби:
    $latex \frac{3}{5}\vee \frac{6}{13}$
    Приводим их также к общему знаменателю:
    $latex \frac{3\cdot 13}{13\cdot 5}\vee \frac{6\cdot 5}{13\cdot 5}$
    Заметь, в принципе мы можем не считать знаменатель. Мы итак видим, что он одинаков и нам необходимо сравнивать числитель. Тогда зачем мы будем тратить время на подсчет знаменателя?
    $latex \frac{39}{13\cdot 5}\vee \frac{30}{13\cdot 5}$
    Мы получили абсолютно точно такой же результат, как и в предыдущем случае – первое число больше, чем второе:
    $latex 1,6>1\frac{6}{13}$
    Проверим также, правомерно ли мы вычли единицу? Посчитаем разницу в числителе при первом расчете и втором:
    1) $latex 104-95=9$
    2) $latex 39-30=9$

Итак, мы рассмотрели, как сравнивать дроби, приводя их к общему знаменателю. Перейдем к другому методу – сравнение дробей приводя их к общему… числителю.

Вариант 2. Сравнение дробей с помощью приведения к общему числителю.

Да, да. Это не опечатка. В школе редко кому рассказывают этот метод, но очень часто он весьма удобен. Чтобы ты быстро понял его суть, задам тебе только один вопрос – «в каких случаях значение дроби наибольшее?» Конечно, ты скажешь «когда числитель максимально большой, а знаменатель максимально маленький».

Например, ты же точно скажешь, что $latex \frac{8}{13}<\frac{12}{13}$ Верно? А если нам надо сравнить такие дроби: $latex \frac{6}{13}\vee \frac{6}{28}$? Думаю, ты тоже сразу верно поставишь знак, ведь в первом случае $latex 6$ делят на $latex 13$ частей, а во втором на целых $latex 28$, значит, во втором случае кусочки получаются совсем маленькие, и соответственно: $latex \frac{6}{13}>\frac{6}{28}$. Как ты видишь, знаменатели здесь разные, а вот числители одинаковы. Однако, для того, чтобы сравнить эти две дроби, тебе не обязательно искать общий знаменатель. Хотя… найди его и посмотри, вдруг знак сравнения все же неправильный?

$latex \frac{6\cdot 28}{13\cdot 28}>\frac{6\cdot 13}{28\cdot 13}$

$latex \frac{168}{364}>\frac{78}{364}$

А знак-то тот же.

Вернемся к нашему изначальному заданию – сравнить $latex 1\frac{3}{5}$и $latex 1\frac{6}{13}$. Будем сравнивать $latex \frac{3}{5}$ и $latex \frac{6}{13}$. Приведем данные дроби не к общему знаменателю, а к общему числителю. Для этого просто числитель и знаменатель первой дроби умножим на $latex 2$. Получим:

$latex \frac{6}{10}$ и $latex \frac{6}{13}$. Какая дробь больше? Правильно, первая.

Вариант 3. Сравнение дробей с помощью вычитания.

Как сравнивать дроби с помощью вычитания? Да очень просто. Мы из одной дроби вычитаем другую. Если результат получается положительным, то первая дробь (уменьшаемое) больше второй (вычитаемое), а если отрицательным, то наоборот.

В нашем случае попробуем из второй вычесть первую дробь: $latex 1\frac{6}{13}-1,6$.

Как ты уже понял, мы так же переводим $latex 1,6$ в обыкновенную дробь и получаем тот же результат — $latex 1\frac{3}{5}$ . Наше выражение приобретает вид:

$latex 1\frac{6}{13}-1\frac{3}{5}$

Далее нам все равно придется прибегнуть к приведению к общему знаменателю. Вопрос как: первым способом, преобразуя дроби в неправильные, или вторым, как бы «убирая» единицу? Кстати, это действие имеет вполне математическое обоснование. Смотри:

$latex \left( 1+\frac{6}{13} \right)-\left( 1+\frac{3}{5} \right)=1+\frac{6}{13}-1-\frac{3}{5}=\frac{6}{13}-\frac{3}{5}$

Мне больше нравится второй вариант, так как перемножение в числителе при приведении к общему знаменателю становится в разы проще.

Приводим к общему знаменателю:

$latex \frac{6}{13}-\frac{3}{5}=\frac{6\cdot 5}{13\cdot 5}-\frac{3\cdot 13}{5\cdot 13}=\frac{30}{13\cdot 5}-\frac{39}{5\cdot 13}=-\frac{9}{5\cdot 13}$

Здесь главное не запутаться, какое число и откуда мы отнимали. Внимательно посмотреть ход решения и случайно не перепутать знаки. Мы отнимали от второго числа первое и получили отрицательный ответ, значит?.. Правильно, первое число больше второго.

$latex 1,6>1\frac{6}{13}$

Разобрался? Попробуй сравнить дроби:

$latex 1,5\vee 1\frac{3}{5}$

Стоп, стоп. Не спеши приводить к общему знаменателю или вычитать. Посмотри: $latex 1\frac{3}{5}$ можно легко перевести в десятичную дробь. Сколько это будет? Правильно. Что в итоге больше?

$latex 1,5<1,6$

Это еще один вариант – сравнение дробей путем приведения к десятичной дроби.

Вариант 4. Сравнение дробей с помощью деления.

Да, да. И так тоже можно. Логика проста: когда мы делим большее число на меньшее, в ответе у нас получается число, больше единицы, а если мы делим меньшее число на большее, то ответ приходится на промежуток от $latex 0$ до $latex 1$.

Чтобы запомнить это правило, возьми для сравнения любые два простых числа, например, $latex 6$ и $latex 4$. Ты же знаешь, что $latex 6$ больше $latex 4$? Теперь разделим $latex 6$ на $latex 4$. Наш ответ — $latex 1,5$. Соответственно, теория верна. Если мы разделим $latex \displaystyle 4$ на $latex 6$, что мы получим $latex 0,\left( 6 \right)$ – меньше единицы, что в свою очередь подтверждает, что $latex \displaystyle 4$ на самом деле меньше $latex 6$.

Попробуем применить это правило на обыкновенных дробях. Сравним:

$latex \frac{6}{8}\vee \frac{10}{12}$

Разделим первую дробь на вторую:

$latex \frac{6}{8}:\frac{10}{12}=\frac{6}{8}\cdot \frac{12}{10}$

Сократим на $latex 2$ и на $latex 4$.

$latex \frac{6}{8}\cdot \frac{12}{10}=\frac{3}{2}\cdot \frac{3}{5}=\frac{9}{10}$

Полученный результат меньше $latex 1$, значит делимое меньше делителя, то есть:

$latex \frac{6}{8}<\frac{10}{12}$

Мы разобрали все возможные варианты сравнения дробей. Как ты видишь их 5:

  • приведение к общему знаменателю;
  • приведение к общему числителю;
  • приведение к виду десятичной дроби;
  • вычитание;
  • деление.

Готов тренироваться? Сравни дроби оптимальным способом:

  1. $latex 1,7\vee \frac{14}{8}$
  2. $latex \frac{18}{21}\vee \frac{6}{10}$
  3. $latex 1\frac{4}{13}\vee \frac{58}{26}$
  4. $latex \frac{17}{28}\vee \frac{5}{7}$

Сравним ответы:

  1. $latex 1,7>\frac{14}{8}$ ($latex \frac{14}{8}$ – перевести в десятичную дробь)
  2. $latex \frac{18}{21}>\frac{6}{10}$ (поделить одну дробь на другую и сократить на $latex 3$ числитель и знаменатель)
  3. $latex 1\frac{4}{13}>\frac{58}{26}$ (выделить целую часть и сравнивать дроби по принципу одинакового числителя)
  4. $latex \frac{17}{28}>\frac{5}{7}$ (поделить одну дробь на другую и сократить на $latex 7$ числитель и знаменатель).

Больше задач — после регистрации.

2. Сравнение степеней

Теперь представим, что нам необходимо сравнить не просто числа, а выражения, где существует степень (читай раздел про степени).

Cравни: $latex {{2}^{4}}\vee {{2}^{6}}$.

Конечно, ты без труда поставишь знак:

$latex {{2}^{4}}<{{2}^{6}}$, ведь если мы заменим степень умножением, мы получим:

$latex 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2<2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$

Из этого маленького и примитивного примера вытекает правило:

Если основание сравниваемых степеней одинаково, то больше та степень, у которой больше показатель степени.

Попробуй теперь сравнить следующее: $latex {{5}^{4}}\vee {{6}^{4}}$. Ты так же без труда поставишь знак:

$latex {{5}^{4}}<{{6}^{4}}$, потому что, если мы заменим возведение степень на умножение…

В общем, ты все понял, и это совсем несложно.

Сложности возникают только тогда, когда при сравнении у степеней разные и основания, и показатели. В этом случае необходимо попробовать привести к общему основанию. Например:

$latex {{2}^{2}}\vee {{4}^{3}}$

Разумеется, ты знаешь, что $latex 4$ это $latex {{2}^{2}}$, соответственно, выражение приобретает вид:

clip_image120

Раскроем скобки и сравним то, что получится:

$latex {{2}^{2}}\vee {{2}^{6}}$ — легко?

$latex {{2}^{2}}<{{2}^{6}}$

Несколько особый случай, когда основание степени ($latex a$) меньше единицы.

Если $latex 0<a<1$, то из двух степеней $latex {{a}^{m}}$ и $latex {{a}^{n}}$ больше та, показатель которой меньше.

Попробуем доказать это правило. Пусть $latex m>n$.

Введем некоторое натуральное число $latex k$, как разницу между $latex m$ и $latex n$.

Тогда $latex m=n+k$.

Поэтому:

$latex {{a}^{m}}={{a}^{n+k}}$

Логично, неправда ли?

$latex {{a}^{n+k}}={{a}^{n}}\cdot {{a}^{k}}$

А теперь еще раз обратим внимание на условие — $latex 0<a<1$.

Соответственно: $latex 0<{{a}^{k}}<1$. Следовательно, $latex {{a}^{m}}={{a}^{n+k}}={{a}^{n}}\cdot {{a}^{k}}<{{a}^{n}}$.

Например:

$latex {{\left( \frac{2}{7} \right)}^{42}}>{{\left( \frac{2}{7} \right)}^{142}}$

Как ты понял, мы рассмотрели случай, когда основания степеней равны. Теперь посмотрим, когда основание находится в промежутке от $latex 0$ до $latex 1$, но равны показатели степени. Здесь все очень просто.

Запомним, как это сравнивать на примере:

$latex {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}\vee {{\left( \frac{1}{4} \right)}^{2}}$

Конечно, ты быстро посчитал:

$latex \frac{1}{9}>\frac{1}{16}$

Поэтому, когда тебе будут попадаться похожие задачи для сравнения, держи в голове какой-нибудь простой аналогичный пример, который ты можешь быстро просчитать, и на основе этого примера проставляй знаки в более сложном.

Выполняя преобразования, помни, что если ты домножаешь, складываешь, вычитаешь или делишь, то все действия необходимо делать и с левой и с правой частью (если ты умножаешь на $latex 2$, то умножать необходимо и то, и другое).

Кроме этого, бывают случаи, когда делать какие-либо манипуляции просто невыгодно. Например, тебе нужно сравнить $latex {{5}^{2}}\vee {{4}^{3}}$. В данном случае, не так сложно возвести в степень, и расставить знак исходя из этого:

$latex {{5}^{2}}\vee {{4}^{3}}$

$latex 25<64$

Давай потренируемся. Сравни степени:

  1. $latex {{2}^{5}}\vee {{8}^{3}}$
  2. $latex {{3}^{4}}\vee {{2}^{3}}$
  3. $latex {{2}^{6}}\vee {{16}^{3}}$
  4. $latex {{2}^{4}}\vee {{3}^{3}}$

Готов сравнивать ответы? Вот что у меня получилось:

  1. $latex {{2}^{5}}<{{8}^{3}}$ — то же самое, что $latex {{2}^{5}}\vee {{\left( {{2}^{3}} \right)}^{3}}$
  2. $latex {{3}^{4}}>{{2}^{3}}$ — то же самое, что $latex 27\vee 8$
  3. $latex {{2}^{6}}<{{16}^{3}}$ — то же самое, что $latex {{2}^{6}}\vee {{\left( {{2}^{4}} \right)}^{3}}$
  4. $latex {{2}^{4}}<{{3}^{3}}$ — то же самое, что $latex 16\vee 27$

Больше задач — после регистрации.

3. Сравнение чисел с корнем

Для начала вспомним, что такое корни? Вот эту $latex \sqrt[n]{a}=b$ запись помнишь?

$latex \sqrt[n]{a}=b\ \ \ \ \ \ \ {{b}^{n}}=a$

Корнем $latex n-ой$ степени из действительного числа $latex a$ называется такое число $latex b$, для которого выполняется равенство $latex {{b}^{n}}=a$.

Корни нечетной степени существуют для отрицательных и положительных чисел, а корни четной степени — только для положительных.

Значением корня часто является бесконечная десятичная дробь, что затрудняет его точное вычисление, поэтому важно уметь сравнивать корни.

Если ты подзабыл, что это такое и с чем его едят – почитай про корни здесь (ссылка). Если все помнишь – давай учиться поэтапно сравнивать корни.

Допустим, нам необходимо сравнить:

$latex \sqrt[3]{4}\vee \sqrt[3]{6}$

Чтобы сравнить эти два корня, не нужно делать никаких вычислений, просто проанализируй само понятие «корень». Понял, о чем я говорю? Да вот об этом: $latex \sqrt[3]{4}\vee \sqrt[3]{6}$иначе можно записать как третья степень какого-то числа, равна подкоренному выражению.

$latex {{x}^{3}}=4$

$latex {{y}^{3}}=6$

А что больше? $latex y$ или $latex x$? Это ты, конечно, сравнишь без всякого труда. Чем большее число мы возводим в степень, тем больше будет значение.

Итак. Выведем правило.

Если показатели степени корней одинаковы (в нашем случае это $latex 3$), то необходимо сравнивать подкоренные выражения ($latex 4$ и $latex 6$) — чем больше подкоренное число, тем больше значение корня при равных показателях.

Сложно запомнить? Тогда просто держи в голове пример $latex \sqrt{16}$ и $latex \sqrt{4}$. Что больше?

$latex \sqrt{16}=4$

$latex \sqrt{4}=2$

$latex 4$ больше $latex 2$.

Показатели степени корней одинаковы, так как корень квадратный. Подкоренное выражение одного числа ($latex 16$) больше другого ($latex 4$), значит, правило действительно верное.

А что, если подкоренные выражения одинаковые, а вот степени корней разные? Например: $latex \sqrt[4]{6}\vee \sqrt[3]{6}$.

Тоже вполне понятно, что при извлечении корня большей степени получится меньшее число. Возьмем для примера:

$latex \sqrt[3]{12}\vee \sqrt[6]{12}$

Обозначим значение первого корня как $latex a$, а второго — как $latex b$, то:

$latex {{a}^{3}}=12$

$latex {{b}^{6}}=12$

Ты без труда видишь, что в данных уравнениях $latex a$ должно быть больше $latex b$, следовательно:

$latex \sqrt[3]{12}>\sqrt[6]{12}$.

Если подкоренные выражения одинаковы (в нашем случае $latex 12$), а показатели степени корней различны (в нашем случае это $latex 3$ и $latex 6$), то необходимо сравнивать показатели степени ($latex 3$ и $latex 6$) — чем больше показатель, тем меньше данное выражение.

Попробуй сравнить следующие корни:

  1. $latex \sqrt[7]{13}\vee \sqrt[4]{13}$
  2. $latex \sqrt[8]{333}\vee \sqrt[8]{334}$
  3. $latex \sqrt[3]{2679}\vee \sqrt[12]{2679}$
  4. $latex \sqrt[3]{6}\vee \sqrt[3]{1230}$

Сравним полученные результаты?

  1. $latex \sqrt[7]{13}<\sqrt[4]{13}$
  2. $latex \sqrt[8]{333}<\sqrt[8]{334}$
  3. $latex \sqrt[3]{2679}>\sqrt[12]{2679}$
  4. $latex \sqrt[3]{6}<\sqrt[3]{1230}$

С этим благополучно разобрались :). Возникает другой вопрос: а что если у нас все разное? И степень, и подкоренное выражение? Не все так сложно нам нужно всего- навсего… «избавиться» от корня. Да, да. Именно избавиться)

Если у нас различные и степени и подкоренные выражения, необходимо найти наименьшее общее кратное (читай раздел про целые числа) для показателей корней и возвести оба выражения в степень, равную наименьшему общему кратному.

Что мы все на словах и на словах. Приведем пример:

$latex \sqrt[3]{3}\vee \sqrt[2]{5}$

  1. Смотрим показатели корней – $latex 2$ и $latex 3$. Наименьшее общее кратное у них – $latex 6$.
  2. Возведем оба выражения в $latex 6$ степень:$latex {{\left( \sqrt[3]{3} \right)}^{6}}\vee {{\left( \sqrt[2]{5} \right)}^{6}}$
  3. Преобразуем выражение и раскроем скобки (подробнее в главе степень и ее свойства):$latex {{\left( {{3}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{6}}\vee {{\left( {{5}^{\frac{1}{2}}} \right)}^{6}}$
    $latex {{3}^{2}}\vee {{5}^{3}}$
  4. Посчитаем, что у нас получилось, и поставим знак:
    $latex 9<125$

Больше задач — после регистрации.

4. Сравнение логарифмов

Вот так, медленно, но верно, мы подошли к вопросу как же сравнивать логарифмы. Если ты не помнишь что это за зверь такой, советую для начала прочитать теорию из раздела логарифмы. Прочитал? Тогда ответь на несколько важных вопросов:

  1. Что называется аргументом логарифма, а что его основанием?
  2. От чего зависит, возрастает ли функция или убывает?

Если все помнишь и отлично усвоил – приступаем!

Для того, чтобы сравнивать логарифмы между собой, необходимо знать всего 3 приема:

  • приведение к одинаковому основанию;
  • приведение к одинаковому аргументу;
  • сравнение с третьим числом.

Изначально, обрати внимание на основание логарифма. Ты помнишь, что если оно меньше $latex 1$, то функция убывает, а если больше, то возрастает. Именно на этом будет основаны наши суждения.

Рассмотрим сравнение логарифмов, которые уже приведены к одинаковому основанию, либо аргументу.

Для начала упростим задачу: пусть в сравниваемых логарифмах равные основания. Тогда:

  1. Функция $latex y={{\log }_{a}}x$, при $latex a>0$ возрастает на промежутке от $latex \left( 0;\ +\infty  \right)$, значит по определению $latex {{x}_{1}}<{{x}_{2}}$, то $latex {{y}_{1}}<{{y}_{2}}$ («прямое сравнение»).
  2. Пример: $latex {{\log }_{3}}6\vee {{\log }_{3}}\frac{18}{21}$ — основания одинаковы, $latex a>0$ ,соответственно сравниваем аргументы: $latex 6>\frac{18}{21}$, следовательно: $latex {{\log }_{3}}6>{{\log }_{3}}\frac{18}{21}$
  3. Функция $latex y={{\log }_{a}}x$, при $latex 0<a<1$, убывает на промежутке от $latex \left( 0;\ +\infty  \right)$, значит по определению $latex {{x}_{1}}<{{x}_{2}}$, то $latex {{y}_{1}}>{{y}_{2}}$ («обратное сравнение»).$latex {{\log }_{\frac{1}{3}}}12\vee {{\log }_{\frac{1}{3}}}24$ — основания одинаковы, $latex 0<a<1$, соответственно сравниваем аргументы: $latex 12<24$, однако, знак у логарифмов будет «обратный», так как функция убывает: $latex {{\log }_{\frac{1}{3}}}12>{{\log }_{\frac{1}{3}}}24$.

Теперь рассмотрим случаи, когда основания различны, но одинаковы аргументы.

  1. Основание $latex a$ больше $latex 1$.
    • $latex x>1$. В этом случае используем «обратное сравнение». Например:$latex {{\log }_{3}}12\vee {{\log }_{63}}12$ – аргументы одинаковы, $latex a>1$ и $latex x>1$. Сравниваем основания: $latex 3<63$ однако, знак у логарифмов будет «обратный»: $latex {{\log }_{3}}12>{{\log }_{63}}12$
    • $latex 0<x<1$. В этом случае используем «прямое сравнение». Например: $latex {{\log }_{3}}\frac{1}{6}\vee {{\log }_{4}}\frac{1}{6}$
      $latex 3<4$
      $latex {{\log }_{3}}\frac{1}{6}<{{\log }_{4}}\frac{1}{6}$
  2. Основание а находится в промежутке $latex 0<a<1$.
    • $latex x>1$. В этом случае используем «прямое сравнение». Например: $latex {{\log }_{\frac{3}{4}}}12\vee {{\log }_{\frac{3}{7}}}12$
      $latex \frac{3}{4}>\frac{3}{7}$
      $latex {{\log }_{\frac{3}{4}}}12>{{\log }_{\frac{3}{7}}}12$
    • $latex 0<x<1$. В этом случае используем «обратное сравнение». Например: $latex {{\log }_{\frac{3}{4}}}\frac{13}{14}\vee {{\log }_{\frac{3}{7}}}\frac{12}{17}$
      $latex \frac{13}{14}>\frac{12}{17}$
      $latex {{\log }_{\frac{3}{4}}}\frac{13}{14}<{{\log }_{\frac{3}{7}}}\frac{12}{17}$

Запишем все в общем табличном виде:

$latex a>1$, при этом $latex {{a}_{1}}<{{a}_{2}}$ $latex 0<a<1$, при этом $latex {{a}_{1}}>{{a}_{2}}$
$latex x>1$ $latex {{\log }_{{{a}_{1}}}}x>{{\log }_{{{a}_{2}}}}x$
$latex 0<x<1$ $latex {{\log }_{{{a}_{1}}}}x<{{\log }_{{{a}_{2}}}}x$

Соответственно, как ты уже понял, при сравнении логарифмов нам необходимо привести к одинаковому основанию, либо аргументу, К одинаковому основанию мы приходим, используя формулу перехода от одного основания к другому.

Можно также сравнивать логарифмы с третьим числом и на основании этого делать вывод о том, что меньше, а что больше. Например, подумай, как сравнить вот эти два логарифма?

$latex {{\log }_{3}}5\vee {{\log }_{8}}26$

Небольшая подсказка – для сравнения тебе очень поможет логарифм, аргумент которого будет равен $latex 25$.

Подумал? Давай решать вместе.

Мы легко сравним с тобой эти два логарифма:

$latex {{\log }_{8}}26\vee {{\log }_{8}}25$

Не знаешь как? Смотри выше. Мы только что это разбирали. Какой знак там будет? Правильно:

$latex {{\log }_{8}}26\vee {{\log }_{8}}25$

$latex {{\log }_{3}}5={{\log }_{9}}25$. Согласен?

Сравним между собой:

$latex {{\log }_{8}}25\vee {{\log }_{9}}25$

У тебя должно получиться следующее:

$latex {{\log }_{8}}25>{{\log }_{9}}25$

А теперь соедини все наши выводы в один. Получилось?

$latex \left. \begin{array}{l}lo{{g}_{8}}26>{{\log }_{8}}25\\{{\log }_{8}}25>{{\log }_{3}}5\end{array} \right|\Rightarrow {{\log }_{8}}26>{{\log }_{3}}5$

Больше задач — после регистрации.

5. Сравнение тригонометрических выражений.

Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс? Для чего нужна единичная окружность и как на ней найти значение тригонометрических функций? Если ты не знаешь ответы на эти вопросы, очень рекомендую тебе прочитать теорию по этой теме. А если знаешь, то сравнить тригонометрические выражения между собой для тебя не составляет труда!

Немного освежим память. Нарисуем единичную тригонометрическую окружность и вписанный в нее треугольник. Справился? Теперь отметь, по какой стороне у нас откладывается косинус, а по какой синус, используя стороны треугольника. (ты, конечно помнишь, что синус, это отношение противолежащей стороны к гипотенузе, а косинус прилежащей?). Нарисовал? Отлично! Последний штрих – проставь, где у нас будет $latex 0{}^\circ $ , где $latex 90{}^\circ $и так далее. Проставил? Фух) Сравниваем, что получилось у меня и у тебя.

55з(2)

Фух! А теперь приступаем к сравнению!

Допустим, нам необходимо сравнить $latex \sin 30{}^\circ $ и $latex \sin 60{}^\circ $. Нарисуй эти углы, используя подсказки в рамочках (где у нас отмечено $latex \sin 0{}^\circ $, где $latex \sin 90{}^\circ $), откладывая точки на единичной окружности. Справился? Вот что у меня получилось.

55з(3)

Теперь опустим перпендикуляр из точек, отмеченных нами на окружности на ось … Какую? Какая ось у нас показывает значение синусов? Правильно, $latex Oy$. Вот что у тебя должно получиться:

55з(4)

Глядя на этот рисунок, что больше: $latex \sin 30{}^\circ $ или $latex \sin 60{}^\circ $? Конечно, $latex \sin 60{}^\circ $, ведь точка $latex F$ находится выше точки $latex E$.

$latex \sin 30{}^\circ <\sin 60{}^\circ $

Аналогичным образом мы сравниваем значение косинусов. Только перпендикуляр мы опускаем на ось… Верно, $latex Ox$. Соответственно, смотрим, какая точка находится правее (ну или выше, как в случае с синусами), то значение и больше.

Наверное, ты уже догадываешься, как сравнивать тангенсы, верно? Все, что нужно, знать что такое тангенс. Так что такое тангенс?) Правильно, отношение синуса к косинусу.

Чтобы сравнить тангенсы мы так же рисуем угол, как и в предыдущем случае. Допустим, нам необходимо сравнить:

$latex tg\ 30{}^\circ >tg\ 60{}^\circ $

Нарисовал? Теперь так же отмечаем значения синуса на координатной оси $latex Oy$. Отметил? А теперь укажи значения косинуса на координатной прямой $latex Ox$. Получилось? Давай сравним:

55з(5)

Как ты думаешь, что будет дальше? Распишем по отрезкам, что такое $latex tg\ {{30}^{{}^\circ }}$ и $latex tg\ {{30}^{{}^\circ }}$

$latex tg\ {{30}^{{}^\circ }}=\frac{AE}{AG}$

$latex tg\ {{60}^{{}^\circ }}=\frac{AF}{AH}$

А теперь проанализируй написанное. $latex tg\ {{30}^{{}^\circ }}$ — мы большой отрезок делим на маленький. В ответе будет значение, которое точно больше единицы. Верно?

А при $latex tg\ {{60}^{{}^\circ }}$ мы маленький делим на большой. В ответе будет число, которое точно меньше единицы.

Так значение какого тригонометрического выражения больше?

Правильно:

$latex tg\ {{30}^{{}^\circ }}>tg\ {{60}^{{}^\circ }}$

Как ты теперь понимаешь, сравнение котангенсов – то же самое, только наоборот: мы смотрим, как относятся друг к другу отрезки, определяющие косинус к синусу.

Попробуй самостоятельно сравнить следующие тригонометрические выражения:

Примеры.

  1. $latex \sin 120{}^\circ \vee \sin 150{}^\circ $
  2. $latex \cos 20{}^\circ \vee \cos 100{}^\circ $
  3. $latex tg\ {{35}^{{}^\circ }}\vee tg\ {{120}^{{}^\circ }}$

Ответы.

  1. $latex \sin 120{}^\circ >\sin 150{}^\circ $
  2. $latex \cos 20{}^\circ >\cos 100{}^\circ $
  3. $latex tg\ {{35}^{{}^\circ }}>tg\ {{120}^{{}^\circ }}$
Если хочешь проверить себя — реши несколько задач button-task
Хочешь подготовиться к ЕГЭ или ГИА? Начни обучение button-edu

 

Добавить комментарий