Сравнение чисел. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Какое из чисел больше: \(\displaystyle 4,7\) или \(\displaystyle 5\)? Ответ очевиден. А теперь: \(\displaystyle 6\frac{2}{3}\) или \(\displaystyle \frac{79}{13}\)? Уже не так очевидно, правда? А так: \(\displaystyle 3+\sqrt{13}\) или \(\displaystyle 6,6\)?

Часто нужно знать, какое из числовых выражений больше. Например, чтобы при решении неравенства расставить точки на оси в правильном порядке.

Сейчас научу тебя сравнивать такие числа.

Если надо сравнить числа \(a\) и \(b\), между ними ставим знак \(\vee \) (происходит от латинского слова Versus или сокращенно vs. – против): . Этот знак заменяет неизвестный нам знак неравенства (\(>\text{ или }<\)). Далее будем выполнять тождественные преобразования до тех пор, пока не станет ясно, какой именно знак нужно поставить между числами.

Суть сравнения чисел состоит в следующем: мы относимся к знаку \(\vee \) так, будто это какой-то знак неравенства. И с выражением \(\displaystyle a\vee b\) мы можем делать все то же, что делаем обычно с неравенствами:

  • прибавить любое число к обеим частям (и вычесть, конечно, тоже можем)
  • «перенести все в одну сторону», то есть вычесть из обеих частей одно из сравниваемых выражений. На месте вычитаемого выражения останется \(0\) : \(a\vee b\ \Leftrightarrow a-b\vee 0\).
  • домножать или делить на одно и то же число. Если это число отрицательное, знак неравенства меняется на противоположный: \(\wedge \).
  • возводить обе части в одну и ту же степень. Если эта степень – четная, необходимо убедиться, что обе части имеют одинаковый знак; если обе части положительны, при возведении в степень знак не меняется, а если отрицательны, тогда меняется на противоположный.
  • извлечь корень одинаковой степени из обеих частей. Если извлекаем корень четной степени, необходимо предварительно убедиться, что оба выражения неотрицательны.
  • любые другие равносильные преобразования.

Важно: преобразования желательно делать такими, чтобы знак неравенства не менялся! То есть в ходе преобразований нежелательно домножать на отрицательное число, и нельзя возводить в квадрат, если одна из частей отрицательна.

Больше задач — после регистрации.

Разберем несколько типичных ситуаций.

1. Возведение в степень.

Пример.

Что больше: \(\displaystyle \sqrt{2}\) или \(\displaystyle 1,4\)?

Решение.

Поскольку обе части неравенства положительны, можем возвести в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\(\displaystyle \sqrt{2}\text{ }\vee \text{ }1,4\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}\vee {{\left( 1,4 \right)}^{2}}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }2\overset{>}{\mathop{\vee }}\,1,96\text{  }\Rightarrow \text{  }\sqrt{2}>1,4\text{ }\).

Пример.

Что больше: \(\displaystyle \sqrt{3}\) или \(\displaystyle \sqrt[3]{5}\)?

Решение.

Здесь тоже можем возвести в квадрат, но это нам поможет избавиться только от квадратного корня. Здесь надо возводить в такую степень, чтобы оба корня исчезли. Значит, показатель этой степени должен делиться и на \(2\) (степень первого корня), и на \(3\). Таким числом является \(6\), значит, возводим в \(6\) -ю степень:

\(\displaystyle \sqrt{3}\vee \sqrt[3]{5}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{\left( \sqrt{3} \right)}^{6}}\vee {{\left( \sqrt[3]{5} \right)}^{6}}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{3}^{3}}\vee {{5}^{2}}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }27\overset{>}{\mathop{\vee }}\,25\text{  }\Rightarrow \text{  }\sqrt{3}>\sqrt[3]{5}\text{ }\).

2. Умножение на сопряженное.

Сопряженным называется множитель, дополняющий выражение до формулы разности квадратов: \(\displaystyle \left( a-b \right)\) – сопряженное для \(\displaystyle \left( a+b \right)\) и наоборот, т.к. \(\displaystyle \left( a-b \right)\left( a+b \right)={{a}^{2}}-{{b}^{2}}\).

Пример.

Что больше: \(\displaystyle \sqrt{8}-\sqrt{7}\) или \(\displaystyle \sqrt{11}-\sqrt{10}\)?

Решение.

Домножим и разделим каждую разность на сопряженную сумму:

\(\displaystyle \left( \sqrt{8}-\sqrt{7} \right)\vee \left( \sqrt{11}-\sqrt{10} \right)\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{\left( \sqrt{8}-\sqrt{7} \right)\cdot \left( \sqrt{8}+\sqrt{7} \right)}{\left( \sqrt{8}+\sqrt{7} \right)}\vee \frac{\left( \sqrt{11}-\sqrt{10} \right)\left( \sqrt{11}+\sqrt{10} \right)}{\left( \sqrt{11}+\sqrt{10} \right)}\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle \frac{8-7}{\left( \sqrt{8}+\sqrt{7} \right)}\vee \frac{11-10}{\left( \sqrt{11}+\sqrt{10} \right)}\Leftrightarrow \frac{1}{\left( \sqrt{8}+\sqrt{7} \right)}\vee \frac{1}{\left( \sqrt{11}+\sqrt{10} \right)}\)

Очевидно, что знаменатель в правой части больше знаменателя в левой. Поэтому правая дробь меньше левой:

\(\displaystyle \frac{1}{\left( \sqrt{8}+\sqrt{7} \right)}>\frac{1}{\left( \sqrt{11}+\sqrt{10} \right)}\text{  }\Rightarrow \text{  }\left( \sqrt{8}-\sqrt{7} \right)>\left( \sqrt{11}-\sqrt{10} \right)\).

Больше задач — после регистрации.

3. Вычитание

Вспомним, что \(\displaystyle a\vee b\text{  }\Leftrightarrow \text{  }a-b\vee 0\).

Пример.

Что больше: \(\displaystyle \sqrt{5}+\sqrt{2}\) или \(\displaystyle \text{2}\sqrt{10}\)?

Решение.

Конечно, мы могли бы возвести все в квадрат, перегруппировать, и снова возвести в квадрат. Но можно поступить хитрее:

\(\displaystyle \sqrt{5}+\sqrt{2}\vee \text{2}\sqrt{10}\Leftrightarrow \sqrt{5}-2\sqrt{10}+\sqrt{2}\vee 0\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle \Leftrightarrow {{\left( \sqrt{5}-\sqrt{2} \right)}^{2}}\overset{>}{\mathop{\vee }}\,0\Rightarrow \sqrt{5}+\sqrt{2}>\text{2}\sqrt{10}.\)

Пример.

Сравните числа \(\sin 5\) и \(\sin 4\).

Решение.

Вспоминаем формулы тригонометрии:

\(\displaystyle \sin 5\vee \sin 4\Leftrightarrow \sin 5-\sin 4\vee 0\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle \Leftrightarrow 2\sin \frac{5-4}{2}\cos \frac{5+4}{2}\vee 0\Leftrightarrow \sin \frac{1}{2}\cdot \cos \frac{9}{2}\vee 0\)

Проверим, в каких четвертях на тригонометрической окружности лежат точки \(\displaystyle \frac{1}{2}\) и \(\displaystyle \frac{9}{2}\).

\(\displaystyle \left. \begin{array}{l}0<\frac{1}{2}<\frac{\pi }{2}\Rightarrow \frac{1}{2}\in I\text{ четверти}\Rightarrow \sin \frac{1}{2}>0\\\pi <\frac{9}{2}<\frac{3\pi }{2}\Rightarrow \frac{9}{2}\in III\text{ четверти}\Rightarrow \cos \frac{9}{2}<0\text{  }\end{array} \right|\Rightarrow \)

\(\displaystyle \Rightarrow \sin \frac{1}{2}\cdot \cos \frac{9}{2}<0\Rightarrow \sin 5<\sin 4.\)

4. Деление.

Здесь тоже используем простое правило: .

При \(\displaystyle b>0:\text{ }a>b\text{  }\Rightarrow \text{  }\frac{a}{b}>\text{1}\) или \(\displaystyle a<b\text{  }\Rightarrow \text{  }\frac{a}{b}<\text{1}\), то есть \(\displaystyle a\vee b\text{  }\Rightarrow \text{  }\frac{a}{b}\vee \text{1}\).

При \(b<0\) знак меняется: \(\displaystyle a\vee b\text{  }\Rightarrow \text{  }\frac{a}{b}\wedge \text{1}\).

Пример.

Выполни сравнение: \(\displaystyle \frac{\sqrt{14}-1}{\sqrt{13}}\text{ }\vee \text{ }\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{14}+1}\).

Решение.

\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{\sqrt{14}-1}{\sqrt{13}}\vee \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{14}+1}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\frac{\sqrt{14}-1}{\sqrt{13}}\cdot \frac{\sqrt{14}+1}{\sqrt{13}}\vee 1\text{ }\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow \frac{{{\left( \sqrt{14} \right)}^{2}}-{{1}^{2}}}{{{\left( \sqrt{13} \right)}^{2}}}\vee 1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\frac{13}{13}\overset{=}{\mathop{\vee }}\,1\text{ }\Rightarrow \text{ }\frac{\sqrt{14}-1}{\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{14}+1}.\end{array}\).

Больше задач — после регистрации.

5. Сравните числа с третьим числом

Если \(\displaystyle a>c\) и \(\displaystyle c>b\), то \(\displaystyle a>b\) (закон транзитивности).

Пример.

Сравните \(\displaystyle {{15}^{10}}\vee {{9}^{14}}\).

Решение.

Сравним числа не друг с другом, а с числом \(\displaystyle {{8}^{14}}\).

Очевидно, что \(\displaystyle {{9}^{14}}>{{8}^{14}}\).

С другой стороны, \(\displaystyle {{8}^{14}}={{2}^{42}}>{{2}^{40}}={{16}^{10}}>{{15}^{10}}\).

Итак, \(\displaystyle {{15}^{10}}<{{8}^{14}}<{{9}^{14}}\text{  }\Rightarrow \text{  }{{15}^{10}}<{{9}^{14}}\).

Пример.

Что больше: \(\displaystyle lo{{g}_{2}}3\) или \(\displaystyle lo{{g}_{3}}5\)?

Решение.

Оба числа больше \(1\), но меньше \(2\). Подберем такое число, чтобы оно было больше одного, но меньше другого. Например, \(\displaystyle \frac{3}{2}\). Проверим:

\(\displaystyle {{\log }_{2}}3\vee \frac{3}{2}\text{  }\Leftrightarrow \text{  3}\vee {{2}^{\frac{3}{2}}}\text{  }\Leftrightarrow \text{  3}\vee \sqrt{8}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\sqrt{9}\ \overset{>}{\mathop{\vee }}\,\sqrt{8}\text{  }\Rightarrow \text{  }{{\log }_{2}}3>\frac{3}{2}\)

\(\displaystyle {{\log }_{3}}5\vee \frac{3}{2}\text{  }\Leftrightarrow \text{  5}\vee {{3}^{\frac{3}{2}}}\text{  }\Leftrightarrow \text{  5}\vee \sqrt{27}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\sqrt{25}\ \overset{<}{\mathop{\vee }}\,\sqrt{27}\text{  }\Rightarrow \text{  }{{\log }_{3}}5<\frac{3}{2}\)

Тогда \(\displaystyle lo{{g}_{2}}3>{{\log }_{3}}5\).

6. Что делать с логарифмами?

Ничего особенного. Как избавляться от логарифмов, подробно описано в теме «Логарифмические неравенства». Основные правила такие:

\(\displaystyle {{\log }_{a}}x\vee b\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}x\vee {{a}^{b}}\text{  при }a>1\\x\wedge {{a}^{b}}\text{  при }0<a<1\end{array} \right.\) или   \(\displaystyle {{\log }_{a}}x\vee {{\log }_{a}}y\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}x\vee y\text{  при }a>1\\x\wedge y\text{ при }0<a<1\end{array} \right.\)

Также можем добавить правило про логарифмы с разными основаниями и одинаковым аргументом:

\(\displaystyle \begin{array}{l}a>b>1\ \ \Leftrightarrow \ \ {{\log }_{a}}x<{{\log }_{b}}x\\1>a>b>0\ \ \Leftrightarrow \ \ {{\log }_{a}}x>{{\log }_{b}}x\end{array}\)

Объяснить его можно так: чем больше основание, тем в меньшую степень его придется возвести, чтобы получить один и тот же \(x\). Если же основание меньше \(1\), то все наоборот, так как соответствующая функция монотонно убывающая.

Пример.

Сравните числа: \({{\log }_{3}}5\) и \({{\log }_{8}}26\).

Решение.

Согласно вышеописанным правилам:

\(\displaystyle \left. \begin{array}{l}{{\log }_{8}}26>{{\log }_{8}}25\\{{\log }_{8}}25>{{\log }_{9}}25={{\log }_{3}}5\text{  }\end{array} \right|\Rightarrow \text{  }{{\log }_{8}}26>{{\log }_{3}}5\)

А теперь формула для продвинутых.

Правило сравнения логарифмов можно записать и короче:

\(\displaystyle {{\log }_{a}}x-{{\log }_{a}}y\vee 0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left( a-1 \right)\left( x-y \right)\vee 0\)

Пример.

Что больше: \(\displaystyle \log _{0,3}^{2}\sqrt{5}\) или \(\displaystyle \log _{0,3}^{2}0,45\)?

Решение.

\(\displaystyle \begin{array}{l}\log _{0,3}^{2}\sqrt{5}\vee \log _{0,3}^{2}0,45\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\log _{0,3}^{2}\sqrt{5}-\log _{0,3}^{2}0,45\vee 0\text{  }\Leftrightarrow \\\left( {{\log }_{0,3}}\sqrt{5}-{{\log }_{0,3}}0,45 \right)\left( {{\log }_{0,3}}\sqrt{5}+{{\log }_{0,3}}0,45 \right)\vee 0\text{  }\Leftrightarrow \\\left( {{\log }_{0,3}}\sqrt{5}-{{\log }_{0,3}}0,45 \right)\left( {{\log }_{0,3}}\sqrt{5}-{{\log }_{0,3}}{{0,45}^{-1}} \right)\vee 0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\\\underbrace{\underbrace{\left( 0,3-1 \right)}_{<0}\underbrace{\left( \sqrt{5}-0,45 \right)}_{>0}\underbrace{\left( 0,3-1 \right)}_{<0}}_{>0}\left( \sqrt{5}-\frac{20}{9} \right)\vee 0\text{  }\Leftrightarrow \\\left( \sqrt{5}-\frac{20}{9} \right)\vee 0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\sqrt{5}\vee \frac{20}{9}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }5\vee \frac{400}{81}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\frac{400}{80}\overset{>}{\mathop{\vee }}\,\frac{400}{81}\text{  }\Rightarrow \\\Rightarrow \text{  }\underline{\underline{\log _{0,3}^{2}\sqrt{5}>\log _{0,3}^{2}0,45}}\end{array}\)

Пример.

Сравните, какое из чисел больше: \(\displaystyle \log _{6}^{2}13\text{ }\vee \text{ }2,25\).

Решение.

\(\displaystyle \begin{array}{l}\log _{6}^{2}14\vee 2,25\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\log _{6}^{2}14-{{1,5}^{2}}\vee 0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\\\Leftrightarrow \left( {{\log }_{6}}14-{{\log }_{6}}{{6}^{1,5}} \right)\underbrace{\left( {{\log }_{6}}14+{{\log }_{6}}{{6}^{1,5}} \right)}_{>0}\vee 0\text{  }\Leftrightarrow \\\left( 6-1 \right)\left( 14-{{6}^{\frac{3}{2}}} \right)\vee 0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }14\vee \sqrt{{{6}^{3}}}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }194\overset{<}{\mathop{\vee }}\,216\text{  }\Rightarrow \\\Rightarrow \text{  }\underline{\underline{\log _{6}^{2}14<2,25}}\end{array}\)

Проверь себя — реши задачи на сравнение чисел.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА —
начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *