Степень и ее свойства. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Что такое степень числа?

Возведение в степень – это такая же математическая операция, как сложение, вычитание, умножение или деление.

Сейчас объясню все человеческим языком на очень простых примерах. Будь внимателен. Примеры элементарные, но объясняющий важные вещи.

Начнем со сложения.

\(2+2+2+2+2+2+2+2=16\)

Объяснять тут нечего. Ты и так все знаешь: нас восемь человек. У каждого по две бутылки колы. Сколько всего колы? Правильно – 16 бутылок.

Теперь умножение.

Тот же самый пример с колой можно записать по-другому: \(2\cdot 8=16\). Математики — люди хитрые и ленивые. Они сначала замечают какие-то закономерности, а потом придумывают способ как быстрее их «считать». В нашем случае они заметили, что у каждого из восьми человек одинаковое количество бутылок колы и придумали прием, который называется умножением. Согласись, \(2\cdot 8=16\) считается легче и быстрее, чем \(2+2+2+2+2+2+2+2=16\).

И еще одна важная деталь. Ошибок при таком счете делается гораздо меньше. Математики из Стэнфорда, кстати, считают, что человек, знающий приемы счета, делает это в два раза легче и быстрее и совершает в два раза меньше ошибок. Работы меньше, а результат лучше. Круто, да?

Вот таблица умножения. Повторяй.
Итак, чтобы считать быстрее, легче и без ошибок, нужно всего лишь запомнить таблицу умножения. Ты, конечно, можешь делать все медленнее, труднее и с ошибками! Но…

Вот таблица умножения. Повторяй.

20з(1)

И другой, красивее:

20з(2)

А какие еще хитрые приемы счета придумали ленивые математики? Правильно –возведение числа в степень.

Возведение числа в степень.

Если тебе нужно умножить число само на себя пять раз, то математики говорят, что тебе нужно возвести это число в пятую степень. Например, \(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2={{2}^{5}}\). Математики помнят, что два в пятой степени – это \(32\). И решают такие задачки в уме – быстрее, легче и без ошибок.

Для этого нужно всего лишь запомнить то, что выделено цветом в таблице степеней чисел. Поверь, это сильно облегчит тебе жизнь.

20з(3)

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Кстати, почему вторую степень называют квадратом числа, а третью — кубом? Что это значит? Очень хороший вопрос. Сейчас будут тебе и квадраты, и кубы.

Пример из жизни №1.

Начнем с квадрата или со второй степени числа.

Представь себе квадратный бассейн размером \(3\) метра на \(3\) метра. Бассейн стоит у тебя на даче. Жара и очень хочется купаться. Но… бассейн без дна! Нужно застелить дно бассейна плиткой. Сколько тебе надо плитки? Для того чтобы это определить, тебе нужно узнать площадь дна бассейна.

Ты можешь просто посчитать, тыкая пальцем, что дно бассейна состоит из \(9\) кубиков метр на метр. Если у тебя плитка метр на метр, тебе нужно будет \(9\) кусков. Это легко… Но где ты видел такую плитку? Плитка скорее будет \(10\) см на \(10\) см. И тогда «пальцем считать» замучаешься. Тогда придется умножать. Итак, по одной стороне дна бассейна у нас поместится \(30\) плиток (\(\frac{300\ см}{10\ см}=30\) штук) и по другой тоже \(30\) плиток. Умножив \(30\) на \(30\), ты получишь \(900\) плиток (\(30\cdot 30=900\)).

Ты заметил, что для определения площади дна бассейна мы умножили одно и то же число само на себя? Что это значит? Раз умножается одно и то же число, мы можем воспользоваться приемом «возведение в степень». (Конечно, когда у тебя всего два числа, все равно перемножить их или возвести в степень. Но если у тебя их много, то возводить в степень значительно проще и ошибок при расчетах получается тоже меньше. Для ЕГЭ это очень важно).
Итак, тридцать во второй степени будет \(900\) (\({{30}^{2}}=900\)). Или же можно сказать, что тридцать в квадрате будет \(900\). Иными словами, вторую степень числа всегда можно представить в виде квадрата. И наоборот, если ты видишь квадрат – это ВСЕГДА вторая степень какого-то числа. Квадрат – это изображение второй степени числа.

Бассейн (1)

Пример из жизни №2.

Вот тебе задание, посчитать, сколько квадратов на шахматной доске с помощью квадрата числа… По одной стороне \(8\) клеток и по другой тоже \(8\). Чтобы посчитать их количество, нужно восемь умножить на восемь или… если заметить, что шахматная доска – это квадрат со стороной \(8\), то можно возвести восемь в квадрат. Получится \(64\) клетки. (\(8\cdot 8={{8}^{2}}=64\)) Так?

20з(5)

Пример из жизни №3.

Теперь куб или третья степень числа. Тот же самый бассейн. Но теперь тебе нужно узнать, сколько воды придется залить в этот бассейн. Тебе нужно посчитать объем. (Объемы и жидкости, кстати, измеряются в кубических метрах. Неожиданно, правда?) Нарисуй бассейн: дно размером \(3\) на \(3\) метра и глубиной \(3\) метра и попробуй посчитать, сколько всего кубов размером метр на метр войдет в твой бассейн.

Прямо показывай пальцем и считай! Раз, два, три, четыре…двадцать два, двадцать три… Сколько получилось? Не сбился? Трудно пальцем считать? Так-то! Бери пример с математиков. Они ленивы, поэтому заметили, что чтобы посчитать объем бассейна, надо перемножить друг на друга его длину, ширину и высоту. В нашем случае объем бассейна будет равен \(3\cdot 3\cdot 3=27\) кубов… Легче правда?

А теперь представь, насколько математики ленивы и хитры, если они и это упростили. Свели все к одному действию. Они заметили, что длина, ширина и высота равна и что одно и то же число перемножается само на себя… А что это значит? Это значит, что можно воспользоваться степенью. Итак, то, что ты \(27\) раз считал пальцем, они делают в одно действие: три в кубе равно \(27\). Записывается это так: \({{3}^{3}}=27\).

20з(6)

Остается только запомнить таблицу степеней. Если ты, конечно, такой же ленивый и хитрый как математики. Если любишь много работать и делать ошибки – можешь продолжать считать пальцем.

Ну и чтобы окончательно убедить тебя, что степени придумали лодыри и хитрюги для решения своих жизненных проблем, а не для того чтобы создать тебе проблемы, вот тебе еще пара примеров из жизни.

Пример из жизни №4.

У тебя есть \(\displaystyle 2\) миллиона рублей. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще один миллион. То есть каждый твой миллион в начале каждого года удваивается. Сколько денег у тебя будет через \(\displaystyle 5\) лет? Если ты сейчас сидишь и «считаешь пальцем», значит ты очень трудолюбивый человек и.. глупый. Но скорее всего ты дашь ответ через пару секунд, потому что ты – умный! Итак, в первый год — два умножить на два… во второй год — то, что получилось, еще на два, в третий год… Стоп! Ты заметил, что число \(\displaystyle 2\) перемножается само на себя \(\displaystyle 5\) раз. Значит, два в пятой степени – \(\displaystyle 32\) миллиона! А теперь представь, что у вас соревнование и эти \(\displaystyle 32\) миллиона получит тот, кто быстрее посчитает… Стоит запомнить степени чисел, как считаешь?

Пример из жизни №5.

У тебя есть \(\displaystyle 3\) миллиона. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще два. Здорово правда? Каждый миллион утраивается. Сколько денег у тебя будет через \(\displaystyle 4\) года? Давай считать. Первый год — \(\displaystyle 3\) умножить на \(\displaystyle 3\), потом результат еще на \(\displaystyle 3\)… Уже скучно, потому что ты уже все понял: три умножается само на себя \(\displaystyle 4\) раза. Значит \(\displaystyle 3\) в четвертой степени равно \(\displaystyle 81\) миллион. Надо просто помнить, что три в четвертой степени это \(\displaystyle 81\) или \({{3}^{4}}=81\).

Теперь ты знаешь, что с помощью возведения числа в степень ты здорово облегчишь себе жизнь. Давай дальше посмотрим на то, что можно делать со степенями и что тебе нужно знать о них.

Термины и понятия.

Итак, для начала давай определим понятия. Как думаешь, что такое показатель степени? Это очень просто – это то число, которое находится «вверху» степени числа. Не научно, зато понятно и легко запомнить…

Ну и заодно, что такое основание степени? Еще проще – это то число, которое находится внизу, в основании.

Вот тебе рисунок для верности.

20з(7)

Ну и в общем виде, чтобы обобщить и лучше запомнить… Степень с основанием «\(a\)» и показателем «\(b\)» читается как «\(a\) в степени \(b\)» и записывается следующим образом:

20з(8)

Далее, почему говорят «степень числа с натуральным показателем»?

«Степень числа с натуральным показателем»

Ты уже наверное, догадался: потому что показатель степени – это натуральное число. Да, но что такое натуральное число? Элементарно! Натуральные это те числа, которые используются в счете при перечислении предметов: один, два, три… Мы же когда считаем предметы не говорим: «минус пять», «минус шесть», «минус семь». Мы так же не говорим: «одна третья», или «ноль целых, пять десятых». Это не натуральные числа. А какие это числа как ты думаешь?

Числа типа «минус пять», «минус шесть», «минус семь» относятся к целым числам. Вообще, к целым числам относятся все натуральные числа, числа противоположные натуральным (то есть взятые со знаком минус), и число \(\displaystyle 0\). Ноль понять легко – это когда ничего нет. А что означают отрицательные («минусовые») числа? А вот их придумали в первую очередь для обозначения долгов: если у тебя баланс на телефоне \(\displaystyle -100\) рублей, это значит, что ты должен оператору \(\displaystyle 100\) рублей.

Всякие дроби — это рациональные числа. Как они возникли, как думаешь? Очень просто. Несколько тысяч лет назад наши предки обнаружили, что им не хватает натуральных чисел для измерения длинны, веса, площади и т.п. И они придумали рациональные числа… Интересно, правда ведь?

Есть еще иррациональные числа. Что это за числа? Если коротко, то бесконечная десятичная дробь. Например, если длину окружности разделить на ее диаметр, то в получится иррациональное число \(3,141592…\).

Подытожим:

  • Натуральными называются числа, используемые при счете, то есть \(1,\ 2,\ 3,\ 4\) и т.д.
  • Целыми – все натуральные числа, натуральные с минусом и число 0.
  • Рациональными считаются дробные числа.
  • Иррациональные числа – это бесконечная десятичная дробь

Степень с натуральным показателем {n = 1, 2, 3,…}

Определим понятие степени, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).

  1. Любое число в первой степени равно самому себе: \({{a}^{1}}=a\)
  2. Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя: \({{a}^{2}}=a\cdot a\)
  3. Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза: \({{a}^{3}}=a\cdot a\cdot a\)

Определение. Возвести число в натуральную степень \(n\) — значит умножить число само на себя \(n\) раз:
\({{a}^{n}}=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot …a}_{n}\).

Примеры:

  1. \({{5}^{1}}=5\)
  2. \({{4}^{3}}=4\cdot 4\cdot 4=16\cdot 4=64\)
  3. \({{2}^{6}}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=64\)

Свойства степеней

Произведение степеней 1) \({{a}^{n}}\cdot {{a}^{m}}={{a}^{n+m}}\)
2) \({{a}^{n}}\cdot {{b}^{n}}={{\left( a\cdot b \right)}^{n}}\)
Деление степеней 3) \(\frac{{{a}^{n}}}{{{a}^{m}}}={{a}^{n-m}}\)
4) \(\frac{{{a}^{n}}}{{{b}^{n}}}={{\left( \frac{a}{b} \right)}^{n}}\)
Возведение степени в степень 5) \({{\left( {{a}^{m}} \right)}^{n}}={{a}^{m\cdot n}}\)

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Откуда эти свойства взялись? Сейчас покажу.

1. \({{a}^{n}}\cdot {{a}^{m}}={{a}^{n+m}}\)Посмотрим: что такое \({{a}^{n}}\) и \({{a}^{m}}\)? По определению:

\(\left. \begin{array}{l}{{a}^{n}}=\underbrace{a\cdot a\cdot …\cdot a}_{n\text{ множителей}}\\{{a}^{m}}=\underbrace{a\cdot a\cdot …\cdot a}_{m\text{ множителей}}\text{  }\end{array} \right|\Rightarrow \text{  }{{a}^{n}}\cdot {{a}^{m}}=\underbrace{a\cdot a\cdot …\cdot a}_{n\text{ множителей}}\cdot \underbrace{a\cdot a\cdot …\cdot a}_{m\text{ множителей}}\text{  }\leftarrow \)

Сколько здесь множителей всего?
Очень просто: к \(n\) множителям мы дописали \(m\) множителей, итого получилось \(n+m\) множителей.

Итак, в правой части этого выражения получается такое произведение:

\({{a}^{n}}\cdot {{a}^{m}}=\underbrace{a\cdot a\cdot …\cdot a}_{n+m\text{ множителей}}\)

Но по определению это степень числа \(a\) с показателем \(n+m\), то есть: \({{a}^{n}}\cdot {{a}^{m}}={{a}^{n+m}}\), что и требовалось доказать.

Пример: Упростите выражение \({{5}^{4}}\cdot {{5}^{7}}\cdot {{5}^{9}}\).

Решение: \(\displaystyle {{5}^{4}}\cdot {{5}^{7}}\cdot {{5}^{9}}={{5}^{4+7+9}}={{5}^{20}}\)

Пример: Упростите выражение \({{3}^{5}}\cdot {{3}^{8}}\cdot {{5}^{7}}\).

Решение: Важно заметить, что в нашем правиле обязательно должны быть одинаковые основания. Поэтому степени с основанием \(3\) мы объединяем, а \({{5}^{7}}\) остается отдельным множителем:

\({{3}^{5}}\cdot {{3}^{8}}\cdot {{5}^{7}}={{3}^{5+8}}\cdot {{5}^{7}}={{3}^{13}}\cdot {{5}^{7}}\)

Еще одно важное замечание: это правило – только для произведения степеней!

Ни в коем случае нельзя написать, что \({{2}^{4}}+{{2}^{6}}={{2}^{10}}\).

2. то и есть \(\displaystyle n\)-ая степень числа \({{a}^{n}}\cdot {{b}^{n}}={{\left( a\cdot b \right)}^{n}}\)
Так же, как и с предыдущим свойством, обратимся к определению степени:
\(\left. \begin{array}{l}{{a}^{n}}=\underbrace{a\cdot a\cdot …\cdot a}_{n\text{ множителей}}\\{{b}^{n}}=\underbrace{b\cdot b\cdot …\cdot b}_{n\text{ множителей}}\end{array} \right|\Rightarrow \text{ }{{a}^{n}}\cdot {{b}^{n}}=\underbrace{a\cdot a\cdot …\cdot a}_{n\text{ множителей}}\cdot \underbrace{b\cdot b\cdot …\cdot b}_{n\text{ множителей}}\)

Перегруппируем это произведение так:
\({{a}^{n}}\cdot {{b}^{n}}=\underbrace{a\cdot a\cdot …\cdot a}_{n\ множителей}\cdot \underbrace{b\cdot b\cdot …\cdot b}_{n\text{ множителей}}=\underbrace{\left( a\cdot b \right)\cdot \left( a\cdot b \right)\cdot …\cdot \left( a\cdot b \right)}_{n\text{ множителей}}\)
Получается, что выражение \(\left( a\cdot b \right)\) умножается само на себя \(n\) раз, то есть, согласно определению, это и есть \(\displaystyle n\)-ая степень числа \(\left( a\cdot b \right)\):

\({{a}^{n}}\cdot {{b}^{n}}={{\left( a\cdot b \right)}^{n}}\), ч.т.д.
По сути это можно назвать «вынесением показателя за скобки». Но никогда нельзя этого делать в сумме:
\({{2}^{4}}+{{3}^{4}}\ne {{\left( 2+3 \right)}^{4}}\)!
Вспомним формулы сокращенного умножения: сколько раз нам хотелось написать \({{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\)? Но это неверно, ведь \({{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\).

Степень с отрицательным основанием.

До этого момента мы обсуждали только то, каким должен быть показатель степени. Но каким должно быть основание? В степенях с натуральным показателем основание может быть любым числом. И правда, мы ведь можем умножать друг на друга любые числа, будь они положительные, отрицательные, или даже \(0\). Давайте подумаем, какие знаки («\(+\)» или «\(-\)») будут иметь степени положительных и отрицательных чисел? Например, положительным или отрицательным будет число \({{3}^{5}}\)? А \({{\left( -3 \right)}^{5}}\)? \({{\left( -3 \right)}^{4}}\)? С первым все понятно: сколько бы положительных чисел мы друг на друга не умножали, результат будет положительным. Но с отрицательными немного интереснее. Мы ведь помним простое правило из 6 класса: «минус на минус дает плюс». То есть \(\left( -3 \right)\cdot \left( -3 \right)=+9\), , или \({{\left( -3 \right)}^{2}}=9\). Но если мы \(9\) умножим на \(\left( -3 \right)\), получится \(-27\). И так до бесконечности: при каждом следующем умножении знак будет меняться. Можно сформулировать такие простые правила:

  1. Отрицательное число, возведенное в четную степень, – число положительное.
  2. Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, – число отрицательное.
  3. Положительное число в любой степени – число положительное.
  4. Ноль в любой степени равен нулю.

Определи самостоятельно, какой знак будут иметь следующие выражения:

1) \({{\left( 0,6 \right)}^{5}}\) 2) \({{\left( -4 \right)}^{5}}\) 3) \(-{{\left( -\sqrt{3} \right)}^{6}}\)
4) \({{\left( -\frac{2}{5} \right)}^{4}}\) 5) \({{\left( 2-\sqrt{5} \right)}^{8}}\) 6) \({{\left( \sqrt{5}-3 \right)}^{7}}\)

Справился? Вот ответы:

1) \(+\); 2) \(-\); 3) \(-\); 4) \(+\); 5) \(+\); 6) \(-\).

В первых четырех примерах, надеюсь, все понятно? Просто смотрим на основание и показатель степени, и применяем соответствующее правило.

В примере 5) все тоже не так страшно, как кажется: ведь неважно, чему равно основание – степень четная, а значит, результат всегда будет положительным. Ну, за исключением случая, когда основание равно нулю. Основание ведь не равно \(0\)? Очевидно нет, так как \(2\ne \sqrt{5}\) (потому что \(2=\sqrt{4}\)).

Пример 6) уже не так прост. Тут нужно узнать, что меньше: \(\sqrt{5}\) или \(3\)? Если вспомнить, что \(3=\sqrt{9}\), становится ясно, что \(\sqrt{5}<3\), а значит, основание меньше нуля. То есть, применяем правило II: результат будет отрицательным.

Вычисли значения выражений:

1. \(\frac{{{3}^{4}}\cdot {{4}^{4}}}{{{12}^{3}}}\)

2. \(\frac{{{3}^{13}}\cdot {{3}^{41}}}{{{3}^{50}}}\)

3. \(\frac{{{\left( \frac{4}{7} \right)}^{8}}\cdot {{7}^{9}}}{{{4}^{7}}}\)

4. \(\frac{{{3}^{26}}}{{{\left( -3 \right)}^{35}}}\cdot {{\left( -6 \right)}^{10}}\)

5. \({{\left( 2-\sqrt{5} \right)}^{8}}\cdot {{\left( \sqrt{5}+2 \right)}^{8}}\)

6. \({{\left( \sqrt{7}-\sqrt{6} \right)}^{7}}\cdot \frac{{{\left( \sqrt{6}+\sqrt{7} \right)}^{5}}}{{{\left( \sqrt{6}-\sqrt{7} \right)}^{2}}}\)

Решения:

1. \(\frac{{{3}^{4}}\cdot {{4}^{4}}}{{{12}^{3}}}=\frac{{{\left( 3\cdot 4 \right)}^{4}}}{{{12}^{3}}}=\frac{{{12}^{4}}}{{{12}^{3}}}={{12}^{4-3}}=12\)

2. \(\frac{{{3}^{13}}\cdot {{3}^{41}}}{{{3}^{50}}}=\frac{{{3}^{12+41}}}{{{3}^{50}}}={{3}^{53-50}}={{3}^{3}}=27\)

3. \(\frac{{{\left( \frac{4}{7} \right)}^{8}}\cdot {{7}^{9}}}{{{4}^{7}}}=\frac{\frac{{{4}^{8}}}{{{7}^{8}}}\cdot {{7}^{9}}}{{{4}^{7}}}=\frac{{{4}^{8}}\cdot {{7}^{9}}}{{{7}^{8}}\cdot {{4}^{7}}}=\frac{{{4}^{8}}}{{{4}^{7}}}\cdot \frac{{{7}^{9}}}{{{7}^{8}}}=4\cdot 7=28\)

4. \(\displaystyle \frac{{{3}^{26}}}{{{\left( -3 \right)}^{35}}}\cdot {{\left( -6 \right)}^{10}}=\frac{{{3}^{26}}}{{{\left( \left( -1 \right)\cdot 3 \right)}^{35}}}\cdot {{\left( \left( -1 \right)\cdot 2\cdot 3 \right)}^{10}}=\)

\(\displaystyle =\frac{{{3}^{26}}}{{{\left( -1 \right)}^{35}}\cdot {{3}^{35}}}\cdot {{\left( -1 \right)}^{10}}\cdot {{2}^{10}}\cdot {{3}^{10}}=\frac{{{3}^{26}}\cdot {{3}^{10}}}{\left( -1 \right)\cdot {{3}^{35}}}\cdot 1\cdot {{2}^{10}}=\)

\(\displaystyle =-\frac{{{3}^{36}}}{{{3}^{35}}}\cdot {{2}^{10}}=-{{3}^{36-35}}\cdot {{2}^{10}}=-3\cdot 1024=-3072\)

5. \(\displaystyle {{\left( 2-\sqrt{5} \right)}^{8}}\cdot {{\left( \sqrt{5}+2 \right)}^{8}}={{\left( \left( 2-\sqrt{5} \right)\cdot \left( \sqrt{5}+2 \right) \right)}^{8}}=\)

\(\displaystyle ={{\left( \left( 2-\sqrt{5} \right)\cdot \left( 2+\sqrt{5} \right) \right)}^{8}}\)
Если не обращать внимание на восьмую степень, что мы здесь видим? Вспоминаем программу 7 класса. Итак, вспомнили? Это формула сокращенного умножения, а именно – разность квадратов! Получаем:
\({{\left( \left( 2-\sqrt{5} \right)\cdot \left( 2+\sqrt{5} \right) \right)}^{8}}={{\left( {{2}^{2}}-{{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}} \right)}^{8}}={{\left( 4-5 \right)}^{8}}={{\left( -1 \right)}^{8}}=1\)

6. \({{\left( \sqrt{7}-\sqrt{6} \right)}^{7}}\cdot \frac{{{\left( \sqrt{6}+\sqrt{7} \right)}^{5}}}{{{\left( \sqrt{6}-\sqrt{7} \right)}^{2}}}=\frac{{{\left( \sqrt{7}-\sqrt{6} \right)}^{7}}\cdot {{\left( \sqrt{6}+\sqrt{7} \right)}^{5}}}{{{\left( \sqrt{6}-\sqrt{7} \right)}^{2}}}\)
Внимательно смотрим на знаменатель. Он очень похож на один из множителей числителя, но что не так? Не тот порядок слагаемых. Если бы их поменять местами, можно было бы применить правило \(3\). Но как это сделать? Оказывается, очень легко: здесь нам помогает четная степень знаменателя.
Если домножить его на \({{\left( -1 \right)}^{2}}\), ничего не поменяется, верно? Но теперь получается следующее:
\({{\left( -1 \right)}^{2}}\cdot {{\left( \sqrt{6}-\sqrt{7} \right)}^{2}}={{\left( \left( -1 \right)\cdot \left( \sqrt{6}-\sqrt{7} \right) \right)}^{2}}={{\left( -\sqrt{6}+\sqrt{7} \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{7}-\sqrt{6} \right)}^{2}}\)
Магическим образом слагаемые поменялись местами. Это «явление» применимо для любого выражения в четной степени: мы можем беспрепятственно менять знаки в скобках. Но важно запомнить: меняются все знаки одновременно! Нельзя заменить \({{\left( 6-\sqrt{7} \right)}^{2}}\) на \({{\left( 6+\sqrt{7} \right)}^{2}}\), изменив только один неугодный нам минус!
Вернемся к примеру:

\(\displaystyle {{\left( \sqrt{7}-\sqrt{6} \right)}^{7}}\cdot \frac{{{\left( \sqrt{6}+\sqrt{7} \right)}^{5}}}{{{\left( \sqrt{6}-\sqrt{7} \right)}^{2}}}=\frac{{{\left( \sqrt{7}-\sqrt{6} \right)}^{7}}\cdot {{\left( \sqrt{6}+\sqrt{7} \right)}^{5}}}{{{\left( \sqrt{6}-\sqrt{7} \right)}^{2}}}=\)

\(\displaystyle =\frac{{{\left( \sqrt{7}-\sqrt{6} \right)}^{7}}\cdot {{\left( \sqrt{6}+\sqrt{7} \right)}^{5}}}{{{\left( \sqrt{7}-\sqrt{6} \right)}^{2}}}={{\left( \sqrt{7}-\sqrt{6} \right)}^{7-2}}\cdot {{\left( \sqrt{6}+\sqrt{7} \right)}^{5}}=\)

\(\displaystyle ={{\left( \sqrt{7}-\sqrt{6} \right)}^{5}}\cdot {{\left( \sqrt{7}+\sqrt{6} \right)}^{5}}={{\left( \left( \sqrt{7}-\sqrt{6} \right)\cdot \left( \sqrt{7}+\sqrt{6} \right) \right)}^{5}}\)

И снова формула:
\({{\left( \left( \sqrt{7}-\sqrt{6} \right)\cdot \left( \sqrt{7}+\sqrt{6} \right) \right)}^{5}}={{\left( {{\sqrt{7}}^{2}}-{{\sqrt{6}}^{2}} \right)}^{5}}={{\left( 7-6 \right)}^{5}}={{1}^{5}}=1\)

Больше задач — после регистрации.

Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,…}

Целыми мы называем натуральные числа, противоположные им (то есть взятые со знаком «\(-\)») и число \(0\).

Если показателем степени является целое положительное число, а оно ничем не отличается от натурального, то все выглядит в точности как в предыдущем разделе.

А теперь давайте рассмотрим новые случаи. Начнем с показателя, равного \(0\).

Любое число в нулевой степени равно единице:

\({{a}^{0}}=1,\ a\ne 0\)

Как всегда, зададимся вопросом: почему это так?

Рассмотрим какую-нибудь степень с основанием \(3\). Возьмем, например \({{3}^{5}}\), и домножим на \({{3}^{0}}\):

\({{3}^{5}}\cdot {{3}^{0}}\underset{\text{по правилу умножения}}{\mathop{=}}\,{{3}^{5+0}}={{3}^{5}}\)

Итак, мы умножили число \({{3}^{5}}\) на \({{3}^{0}}\), и получили то же, что и было – \({{3}^{5}}\). А на какое число надо умножить, чтобы ничего не изменилось? Правильно, на \(1\). Значит \({{3}^{0}}=1\).

Можем проделать то же самое уже с произвольным числом \(a\):

\(\displaystyle {{a}^{n}}\cdot {{a}^{0}}\underset{по\ правилу \ умножения}{\mathop{=}}\,{{a}^{n+0}}={{a}^{n}}={{a}^{n}}\cdot 1\text{  }\Rightarrow \text{  }{{a}^{0}}=1\)

Повторим правило:

Любое число в нулевой степени равно единице.

Но из многих правил есть исключения. И здесь оно тоже есть – это число \(0\) (в качестве основания).

С одной стороны, \(0\) в любой степени должен равняться \(0\) – сколько ноль сам на себя ни умножай, все-равно получишь ноль, это ясно. Но с другой стороны, \({{0}^{0}}\), как и любое число в нулевой степени, должен равняться \(1\). Так что из этого правда? Математики решили не связываться и отказались возводить ноль в нулевую степень. То есть теперь нам нельзя не только делить на ноль, но и возводить его в нулевую степень.

Поехали дальше. Кроме натуральных чисел и числа \(0\) к целым относятся отрицательные числа. Чтобы понять, что такое отрицательная степень, поступим как в прошлый раз: домножим какое-нибудь нормальное число на такое же в отрицательной степени:

\({{3}^{5}}\cdot {{3}^{-5}}\underset{\text{по правилу умножения}}{\mathop{=}}\,{{3}^{5+\left( -5 \right)}}={{3}^{5-5}}={{3}^{0}}=1\)

Отсюда уже несложно выразить искомое \({{3}^{-5}}\):

\({{3}^{5}}\cdot {{3}^{-5}}=1\text{  }\Rightarrow \text{  }{{3}^{-5}}=\frac{1}{{{3}^{5}}}\)

Теперь распространим полученное правило на произвольную степень:

\({{a}^{n}}\cdot {{a}^{-n}}={{a}^{n+\left( -n \right)}}={{a}^{0}}=1\text{  }\Rightarrow \text{  }{{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}}\)

Итак, сформулируем правило:

Число в отрицательной степени обратно такому же числу в положительной степени. Но при этом основание не может быть нулевым: \(a\ne 0\) (т.к. на \(0\) делить нельзя).

\({{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}},\ a\ne 0\)

Подведем итоги:

I. Выражение \({{0}^{k}}\)не определено в случае \(k\le 0\). Если \(k>0\), то \({{0}^{k}}=0\).

II. Любое число в нулевой степени равно единице: \({{a}^{0}}=1,\ a\ne 0\).

III. Число, не равное нулю, в отрицательной степени обратно такому же числу в положительной степени: \({{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}},\ a\ne 0\).

Примеры:

\({{6}^{-1}}=\frac{1}{6}\)

\({{\left( \frac{3}{2} \right)}^{-2}}=\frac{4}{9}\)

Ну и, как обычно, примеры для самостоятельного решения:

  1. \({{\left( -1 \right)}^{5}}\cdot \frac{6}{{{3}^{-4}}}\)
  2. \(\frac{{{5}^{-2}}}{{{2}^{-5}}}\)
  3. \({{\left( -\frac{2}{3} \right)}^{-2}}\)
  4. \(\frac{{{3}^{4}}\cdot {{3}^{-1}}+{{\left( -1,5 \right)}^{0}}}{{{2}^{-2}}}\)
  5. \({{\left( 6-4{{\left( \frac{3}{7} \right)}^{0}} \right)}^{-2}}\)
  6. \(\frac{{{2}^{-3}}-{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{-4}}{{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{2}}}{{{10}^{-1}}+{{\left( -\frac{1}{5} \right)}^{0}}}\)

Решения:
1. \({{\left( -1 \right)}^{5}}\cdot \frac{6}{{{3}^{-4}}}=-1\cdot \frac{6}{\frac{1}{{{3}^{4}}}}=-6\cdot {{3}^{4}}=-6\cdot 81=-486\)

2. \(\frac{{{5}^{-2}}}{{{2}^{-5}}}=\frac{\frac{1}{{{5}^{2}}}}{\frac{1}{{{2}^{5}}}}=\frac{{{2}^{5}}}{{{5}^{2}}}=\frac{32}{25}=1,28\)

3. \({{\left( -\frac{2}{3} \right)}^{-2}}=\frac{1}{{{\left( -\frac{2}{3} \right)}^{2}}}={{\left( -\frac{3}{2} \right)}^{2}}=\frac{9}{4}=2,25\)

4. \(\frac{{{3}^{4}}\cdot {{3}^{-1}}+{{\left( -1,5 \right)}^{0}}}{{{2}^{-2}}}=\frac{{{3}^{4-1}}+1}{\frac{1}{{{2}^{2}}}}=\left( {{3}^{3}}+1 \right)\cdot 4=28\cdot 4=112\)

5. \({{\left( 6-4{{\left( \frac{3}{7} \right)}^{0}} \right)}^{-2}}=\frac{1}{{{\left( 6-4\cdot 1 \right)}^{2}}}=\frac{1}{{{2}^{2}}}=\frac{1}{4}=0,25\)

6. \(\displaystyle \frac{{{2}^{-3}}-{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{-4}}{{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{2}}}{{{10}^{-1}}+{{\left( -\frac{1}{5} \right)}^{0}}}=\frac{\frac{1}{{{2}^{3}}}-{{\left( \frac{4}{3} \right)}^{4}}\cdot \frac{1}{4}}{\frac{1}{10}+1}=\frac{\frac{1}{8}-\frac{{{4}^{4}}}{{{3}^{4}}}\cdot \frac{1}{4}}{\frac{11}{10}}=\)

\(\displaystyle =\frac{10}{11}\cdot \left( \frac{1}{8}-\frac{{{4}^{3}}}{{{3}^{4}}} \right)=\frac{10}{11}\cdot \left( \frac{1}{8}-\frac{64}{81} \right)=\frac{10}{11}\cdot \frac{81-8\cdot 64}{81\cdot 8}=\)

\(\displaystyle =-\frac{10\cdot 431}{11\cdot 648}=-\frac{5\cdot 431}{11\cdot 324}=-\frac{2155}{3564}\)

Знаю-знаю, числа страшные, но на ЕГЭ надо быть готовым ко всему!

Больше задач — после регистрации.

Степень с рациональным показателем

Продолжим расширять круг чисел, «пригодных» в качестве показателя степени. Теперь рассмотрим рациональные числа. Какие числа называются рациональными? Ответ: все, которые можно представить в виде дроби \(\frac{m}{n}\), где \(m\) и \(n\) – целые числа, причем \(\displaystyle n\ne 0\).

Чтобы понять, что такое «дробная степень», рассмотрим дробь \(\frac{1}{n}\):

пусть \({{3}^{\frac{1}{n}}}=x\). Возведем обе части уравнения в степень \(n\):

\({{\left( {{3}^{\frac{1}{n}}} \right)}^{n}}={{x}^{n}}\)

Теперь вспомним правило про «степень в степени»:

\({{x}^{n}}={{\left( {{3}^{\frac{1}{n}}} \right)}^{n}}={{3}^{\frac{1}{n}\cdot n}}={{3}^{1}}=3\)

Какое число надо возвести в степень \(n\), чтобы получить \(3\)? Эта формулировка – определение корня \(n\)-ой степени. Напомню: корнем \(n\)-ой степени числа \(a\) (\(\sqrt[n]{a}\)) называется число, которое при возведении в степень \(n\) равно \(a\). То есть, корень \(n\)-ой степени – это операция, обратная возведению в \(n\) степень: \(\sqrt[n]{a}=b\text{  }\Leftrightarrow \text{  }a={{b}^{n}}\).

Получается, что \(x={{3}^{\frac{1}{n}}}=\sqrt[n]{3}\). Очевидно, этот частный случай можно расширить: \({{a}^{\frac{1}{n}}}=\sqrt[n]{a}\).

Теперь добавляем числитель: что такое \({{a}^{\frac{m}{n}}}\)? Ответ легко получить с помощью правила «степень в степени»:

\({{a}^{\frac{m}{n}}}={{a}^{\frac{1}{n}\cdot m}}={{\left( {{a}^{\frac{1}{n}}} \right)}^{m}}={{\left( \sqrt[n]{a} \right)}^{m}}\) или \(\sqrt[n]{{{a}^{m}}}\).

Но может ли основание \(a\) быть любым числом? Ведь корень можно извлекать не из всех чисел. Например, можно ли посчитать число \(\sqrt[4]{-16}\)? То есть, какое число нужно возвести в \(4\) степень, чтобы получить \(-16\)? Никакое! Вспоминаем правило: любое число, возведенное в четную степень – число положительное. То есть, извлекать корни четной степени из отрицательных чисел нельзя. А это значит, что нельзя такие числа возводить в дробную степень с четным знаменателем, то есть выражение \({{\left( -1 \right)}^{\frac{1}{2}}}\) не имеет смысла. А что насчет выражения \({{\left( -1 \right)}^{\frac{1}{3}}}\)? Его уже вроде бы можно посчитать: это \(\sqrt[3]{-1}=-1\). Но тут возникает проблема. Число \(\frac{1}{3}\) можно представить в виде дргих, сократимых дробей, например, \(\frac{2}{6}\) или \(\frac{4}{12}\). И получается, что \({{\left( -1 \right)}^{\frac{1}{3}}}\) существует, но \({{\left( -1 \right)}^{\frac{2}{6}}}\) не существует, а ведь это просто две разные записи одного и того же числа. Или другой пример: раз \(\sqrt[3]{-8}=-2\), то можно записать \({{\left( -8 \right)}^{\frac{1}{3}}}=-2\). Но стоит нам по-другому записать показатель, и снова получим неприятность: \({{\left( -8 \right)}^{\frac{1}{3}}}={{\left( -8 \right)}^{\frac{2}{6}}}=\sqrt[6]{{{\left( -8 \right)}^{2}}}=\sqrt[6]{64}=2\) (то есть, получили совсем другой результат!). Чтобы избежать подобных парадоксов, рассматриваем только положительное основание степени с дробным показателем.

Итак, если:

  • \(a>0\);
  • \(n\) — натуральное число;
  • \(m\) — целое число;

Тогда:

\({{a}^{\frac{n}{m}}}=\sqrt[m]{n}\)

Примеры:

\({{a}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{a}\)

\({{a}^{\frac{1}{5}}}=\sqrt[5]{a}\)

\({{a}^{-\frac{3}{4}}}=\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\)

\(\displaystyle \frac{{{5}^{-\frac{1}{2}}}\cdot {{\left( {{5}^{\frac{5}{6}}} \right)}^{\frac{3}{10}}}\cdot {{3}^{-\frac{5}{4}}}}{{{3}^{-\frac{3}{2}}}}={{5}^{-\frac{1}{2}}}\cdot {{5}^{\frac{5}{6}\cdot \frac{3}{10}}}\cdot {{3}^{\left( -\frac{5}{4}+\frac{3}{2} \right)}}=\)

\(\displaystyle ={{5}^{\left( -\frac{1}{2}+\frac{1}{4} \right)}}\cdot {{3}^{\frac{1}{4}}}={{5}^{-\frac{1}{4}}}\cdot {{3}^{\frac{1}{4}}}={{\left( \frac{3}{5} \right)}^{\frac{1}{4}}}=\sqrt[4]{\frac{3}{5}}\)

Степени с рациональным показателем очень полезны для преобразования выражений с корнями, например:

\(\frac{\sqrt[9]{6}\cdot \sqrt[18]{6}}{\sqrt[6]{6}}=\frac{{{6}^{\frac{1}{9}}}\cdot {{6}^{\frac{1}{18}}}}{{{6}^{\frac{1}{6}}}}={{6}^{\frac{1}{9}+\frac{1}{18}-\frac{1}{6}}}={{6}^{\frac{2+1-3}{18}}}={{6}^{0}}=1\)

А теперь реши сам:

1. \({{25}^{\frac{1}{5}}}\cdot {{125}^{\frac{1}{5}}}\)

2. \({{625}^{\frac{1}{4}}}\)

3. \({{\left( \frac{4}{9} \right)}^{-\frac{1}{2}}}\)

4. \({{8}^{\frac{5}{3}}}\)

5 \(\frac{{{3}^{\frac{2}{3}}}\cdot {{9}^{\frac{1}{2}}}\cdot {{27}^{-1}}}{{{3}^{-\frac{2}{3}}}\cdot {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{^{\frac{3}{4}}}}\cdot {{\left( \frac{1}{9} \right)}^{-\frac{1}{24}}}}\)

6. \(\frac{{{18}^{\frac{5}{3}}}}{{{12}^{\frac{1}{6}}}}\)

Решения:

1. Не забываем об обычных свойствах степеней:

\({{25}^{\frac{1}{5}}}\cdot {{125}^{\frac{1}{5}}}={{\left( 25\cdot 125 \right)}^{\frac{1}{5}}}={{\left( {{5}^{5}} \right)}^{\frac{1}{5}}}={{5}^{5\cdot \frac{1}{5}}}=5\)

2. \({{625}^{\frac{1}{4}}}=\sqrt[4]{625}\). Здесь вспоминаем, что забыли выучить таблицу степеней:

ведь \(625\) – это \({{25}^{2}}\) или \({{5}^{4}}\). Решение находится автоматически: \({{625}^{\frac{1}{4}}}=\sqrt[4]{625}=\sqrt[4]{{{5}^{4}}}=5\).

3. \({{\left( \frac{4}{9} \right)}^{-\frac{1}{2}}}={{\left( \frac{9}{4} \right)}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}=1,5\)

4. \({{8}^{\frac{5}{3}}}={{\left( {{2}^{3}} \right)}^{\frac{5}{3}}}={{2}^{3\cdot \frac{5}{3}}}={{2}^{5}}=32\)

5. \(\displaystyle \frac{{{3}^{\frac{2}{3}}}\cdot {{9}^{\frac{1}{2}}}\cdot {{27}^{-1}}}{{{3}^{-\frac{2}{3}}}\cdot {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{^{\frac{3}{4}}}}\cdot {{\left( \frac{1}{9} \right)}^{-\frac{1}{24}}}}=\)

\(\displaystyle ={{3}^{\frac{2}{3}}}\cdot {{\left( {{3}^{2}} \right)}^{\frac{1}{2}}}\cdot {{\left( {{3}^{3}} \right)}^{-1}}\cdot {{3}^{\frac{2}{3}}}\cdot {{3}^{\frac{3}{4}}}\cdot {{\left( {{3}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{24}}}=\)

\(\displaystyle ={{3}^{\frac{2}{3}+1-3+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}-\frac{1}{12}}}={{3}^{0}}=1\)

6. \(\displaystyle \frac{{{18}^{\frac{7}{3}}}}{{{12}^{\frac{1}{6}}}}=\frac{{{\left( 2\cdot {{3}^{2}} \right)}^{\frac{7}{3}}}}{{{\left( {{2}^{2}}\cdot 3 \right)}^{\frac{1}{6}}}}={{2}^{\frac{7}{3}-2\cdot \frac{1}{6}}}\cdot {{3}^{2\cdot \frac{7}{3}-\frac{1}{6}}}={{2}^{2}}\cdot {{3}^{\frac{9}{2}}}=\)

\(\displaystyle =4\cdot {{3}^{4+\frac{1}{2}}}=4\cdot {{3}^{4}}\cdot {{3}^{\frac{1}{2}}}=4\cdot 81\cdot \sqrt{3}=324\sqrt{3}\)

Больше задач — после регистрации.

Степень с иррациональным показателем

Ну а теперь – самое сложное. Сейчас мы разберем степень с иррациональным показателем. Все правила и свойства степеней здесь точно такие же, как и для степени с рациональным показателем, за исключением \(\displaystyle {{a}^{\frac{n}{m}}}=\sqrt[m]{{{a}^{n}}}\) – ведь по определению иррациональные числа – это числа, которые невозможно представить в виде дроби \(\displaystyle \frac{m}{n}\), где \(\displaystyle m\) и \(\displaystyle n\) – целые числа (то есть, иррациональные числа – это все действительные числа кроме рациональных).

При изучении степеней с натуральным, целым и рациональным показателем, мы каждый раз составляли некий «образ», «аналогию», или описание в более привычных терминах. Например, степень с натуральным показателем – это число, несколько раз умноженное само на себя; число в нулевой степени – это как-бы число, умноженное само на себя \(\displaystyle 0\) раз, то есть его еще не начали умножать, значит, само число еще даже не появилось – поэтому результатом является только некая «заготовка числа», а именно число \(\displaystyle 1\); степень с целым отрицательным показателем – это как будто произошел некий «обратный процесс», то есть число не умножали само на себя, а делили.

Вообразить степень с иррациональным показателем крайне сложно (так же, как сложно представить 4-мерное пространство). Это, скорее, чисто математический объект, который математики создали, чтобы расширить понятие степени на все пространство чисел.

Между прочим, в науке часто используется степень с комплексным показателем, то есть показатель – это даже не действительное число. Но в школе мы о таких сложностях не думаем, постичь эти новые понятия тебе представится возможность в институте.

Итак, что мы делаем, если видим иррациональный показатель степени? Всеми силами пытаемся от него избавиться!:)

Например: \(\displaystyle {{3}^{\sqrt{2}}}\cdot {{3}^{1-\sqrt{2}}}={{3}^{\sqrt{2}+1-\sqrt{2}}}=3.\)

Или: \(\displaystyle \frac{{{2}^{3\sqrt{3}}}}{{{8}^{\sqrt{3}-1}}}=\frac{{{2}^{3\sqrt{3}}}}{{{2}^{3\left( \sqrt{3}-1 \right)}}}={{2}^{3\sqrt{3}-3\sqrt{3}+3}}=8.\)

И еще: \(\displaystyle {{\left( {{5}^{\sqrt[3]{4}}} \right)}^{\sqrt[3]{2}}}={{5}^{\sqrt[3]{8}}}={{5}^{2}}=25.\)

Реши самостоятельно:

1. \(\displaystyle {{\left( {{5}^{\sqrt{3}-2}} \right)}^{2+\sqrt{3}}}\)

2. \(\displaystyle {{\left( {{4}^{{{4}^{0,3}}}} \right)}^{{{4}^{\frac{1}{5}}}}}\)

3. \(\displaystyle \frac{{{7}^{\sqrt{3}-2}}\cdot {{49}^{1-\sqrt{3}}}}{{{\left( \frac{1}{7} \right)}^{\sqrt{3}+1}}}\)

Решения:

1. Начнем с уже обычного для нас правила возведения степени в степень:

\(\displaystyle {{\left( {{5}^{\sqrt{3}-2}} \right)}^{2+\sqrt{3}}}={{5}^{\left( \sqrt{3}-2 \right)\cdot \left( 2+\sqrt{3} \right)}}\)

Теперь посмотри на показатель. Ничего он тебе не напоминает? Вспоминаем формулу сокращенного умножения разность квадратов:

\(\displaystyle \left( a-b \right)\left( a+b \right)={{a}^{2}}-{{b}^{2}}\)

В данном случае,

\(\displaystyle a=\sqrt{3},b=2:\left( \sqrt{3}-2 \right)\left( \sqrt{3}+2 \right)={{\sqrt{3}}^{2}}-{{2}^{2}}=3-4=-1\)

Получается, что

\(\displaystyle {{\left( {{5}^{\sqrt{3}-2}} \right)}^{2+\sqrt{3}}}={{5}^{-1}}=\frac{1}{5}=0,2\)

Ответ: \(\displaystyle 0,2\).

2. Приводим дроби в показателях степеней к одинаковому виду: либо обе десятичные, либо обе обычные. Получим, например:

\(\displaystyle {{\left( {{4}^{{{4}^{0,3}}}} \right)}^{{{4}^{\frac{1}{5}}}}}={{\left( {{4}^{{{4}^{0,3}}}} \right)}^{{{4}^{0,2}}}}={{4}^{{{4}^{0,3}}\cdot {{4}^{0,2}}}}={{4}^{{{4}^{0,3+0,2}}}}={{4}^{{{4}^{0,5}}}}={{4}^{\sqrt{4}}}={{4}^{2}}=16\).

Ответ: \(\displaystyle 16\)

3. Ничего особенного, применяем обычные свойства степеней:

\(\displaystyle \frac{{{7}^{\sqrt{3}-2}}\cdot {{49}^{1-\sqrt{3}}}}{{{\left( \frac{1}{7} \right)}^{\sqrt{3}+1}}}=\frac{{{7}^{\sqrt{3}-2}}\cdot {{\left( {{7}^{2}} \right)}^{1-\sqrt{3}}}}{{{\left( {{7}^{-1}} \right)}^{\sqrt{3}+1}}}=\frac{{{7}^{\sqrt{3}-2}}\cdot {{7}^{2\left( 1-\sqrt{3} \right)}}}{{{7}^{-\sqrt{3}-1}}}=\)

\(\displaystyle ={{7}^{\sqrt{3}-2+2-2\sqrt{3}+\sqrt{3}+1}}=7\)

Ответ: \(\displaystyle 7\)

Проверь себя — реши задачи на степень и ее свойства.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий