Теорема косинусов. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Что же такое теорема косинусов? Представь себе, это такая… теорема Пифагора для произвольного треугольника.

Теорема косинусов: формулировка.

Теорема косинусов гласит: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

А теперь объясняю почему так и причем тут теорема Пифагор.

Ведь что утверждает теорема Пифагора?

Теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике:
$latex \displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$

А что будет, если $latex \displaystyle \angle C$, скажем, острый?

Теорема косинусов рис. 1 Вроде ясно, что величина $latex \displaystyle {{c}^{2}}$ должна быть меньше, чем $latex \displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}$. Но вот на сколько меньше?

А если $latex \displaystyle \angle C$ — тупой?

Теорема косинусов рис. 2 Ну, тогда величина $latex \displaystyle {{c}^{2}}$ больше, чем $latex \displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}$? Но, опять же, на сколько? И как это связано с величиной $latex \displaystyle \angle C$?

Вот сейчас и выясним, точнее, сперва сформулируем, а потом докажем.

Итак, для всякого (и остроугольного, и тупоугольного и даже прямоугольного!) треугольника верна теорема косинусов.

Проверь себя — реши задачи на теорему косинусов.

Теорема косинусов:

Теорема косинусов рис. 3 $latex \displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\cos \gamma $

Теорема косинусов: доказательство.

Правда, теорема косинусов похожа на теорему Пифагора? Только с добавкой     $latex \displaystyle «-2ab\cos \gamma »$. Ну вот, давай доказывать.

1 Случай: пусть $latex \displaystyle \angle C<{{90}^{\circ }}$.

Итак, $latex \displaystyle \angle C<{{90}^{\circ }}$, то есть острый.

Теорема косинусов случай 1 Проведем высоту $latex \displaystyle AH$ из точки $latex \displaystyle A$и рассмотрим треугольник $latex \displaystyle AHB$. Он прямоугольный, можно пользоваться теоремой Пифагора:

$latex \displaystyle {{c}^{2}}=A{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}$

Что такое $latex \displaystyle AH$ и $latex \displaystyle HB$?

$latex \displaystyle AH$ можно выразить из треугольника (прямоугольного!) $latex \displaystyle AHC$.

$latex \displaystyle AH=b\sin \gamma $

А вот $latex \displaystyle BH=a-CH=a-b\cos \gamma $ (снова из $latex \displaystyle \Delta AHC$).

Подставляем:

$latex \displaystyle {{c}^{2}}={{\left( b\sin \gamma  \right)}^{2}}+{{\left( a-b\cos \gamma  \right)}^{2}}$

Раскрываем:

$latex \displaystyle {{c}^{2}}=\underbrace{{{b}^{2}}{{\sin }^{2}}\gamma }_{{}}+{{a}^{2}}-2ab\cos \gamma +\underbrace{{{b}^{2}}{{\cos }^{2}}\gamma }_{{}}$

Пользуемся тем, что $latex \displaystyle {{\sin }^{2}}\gamma +{{\cos }^{2}}\gamma =1$ и… всё!

$latex \displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\cos \gamma $.

Проверь себя — реши задачи на теорему косинусов.

2 Случай: пусть $latex \displaystyle \angle C>{{90}^{\circ }}$.

Итак, $latex \displaystyle \angle C>{{90}^{\circ }}$, то есть тупой.

Теорема косинусов случай 2 Начинаем точно также: опускаем высоту из точки $latex \displaystyle A$. И снова:
$latex \displaystyle {{c}^{2}}=A{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}$

А теперь, внимание, отличие!

$latex \displaystyle AH=b\sin \left( {{180}^{\circ }}-\gamma  \right)$ — это из $latex \displaystyle \Delta AHC$, который теперь оказался снаружи $latex \displaystyle \Delta ABC$, а

$latex \displaystyle BH=a+b\cos \left( {{180}^{\circ }}-\gamma  \right)$.

Вспоминаем, что

$latex \displaystyle \sin \left( {{180}^{\circ }}-\gamma  \right)=\sin \gamma $

$latex \displaystyle \cos \left( {{180}^{\circ }}-\gamma  \right)=-\cos \gamma $

(читай тему «Формулы тригонометрии», если совсем забыл, почему так).

Значит, $latex \displaystyle \left| \begin{array}{l}AH=b\sin \gamma \\BH=a-b\cos \gamma \end{array} \right.$ — и все! Отличие закончилось!

$latex \displaystyle {{c}^{2}}={{\left( b\sin \gamma  \right)}^{2}}+{{\left( a-b\cos \gamma  \right)}^{2}}$, — как и было, то есть:

$latex \displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\cos \gamma $.

Проверь себя — реши задачи на теорему косинусов.

Ну и остался последний случай.

3 Случай: пусть $latex \displaystyle \angle C={{90}^{\circ }}$.

Итак, $latex \displaystyle \angle C={{90}^{\circ }}$. Но тогда $latex \displaystyle \cos \gamma =0$ и теорема косинусов просто превращается в теорему Пифагора:

$latex \displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$.

В каких же задачах бывает полезна теорема косинусов?

Ну, например, если у тебя даны две стороны треугольника и угол между ними, то ты прямо сразу можешь найти третью сторону.

Или, если тебе даны все три стороны, то ты тут же найдешь косинус любого угла по формуле

$latex \displaystyle {\cos \gamma =\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}-{c}^{2}}}{2{a}{b}}}$.

И даже, если тебе даны две стороны и угол НЕ между ними, то третью сторону тоже можно найти, решая квадратное уравнение. Правда, в этом случае получается иногда два ответа и нужно соображать, какой же из них выбрать, или оставить оба.

Попробуй применять и не бояться – теорема косинусов почти также легка в обращении, как и теорема Пифагора.

Проверь себя — реши задачи на теорему косинусов.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий