Теорема косинусов. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Что же такое теорема косинусов? Представь себе, это такая… теорема Пифагора для произвольного треугольника.

Теорема косинусов: формулировка.

Теорема косинусов гласит: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

А теперь объясняю почему так и причем тут теорема Пифагор.

Ведь что утверждает теорема Пифагора?

Теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике:
\(\displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\)

А что будет, если \(\displaystyle \angle C\), скажем, острый?

Теорема косинусов рис. 1 Вроде ясно, что величина \(\displaystyle {{c}^{2}}\) должна быть меньше, чем \(\displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\). Но вот на сколько меньше?

А если \(\displaystyle \angle C\) — тупой?

Теорема косинусов рис. 2 Ну, тогда величина \(\displaystyle {{c}^{2}}\) больше, чем \(\displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\)? Но, опять же, на сколько? И как это связано с величиной \(\displaystyle \angle C\)?

Вот сейчас и выясним, точнее, сперва сформулируем, а потом докажем.

Итак, для всякого (и остроугольного, и тупоугольного и даже прямоугольного!) треугольника верна теорема косинусов.

Проверь себя — реши задачи на теорему косинусов.

Теорема косинусов:

Теорема косинусов рис. 3 \(\displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\cos \gamma \)

Теорема косинусов: доказательство.

Правда, теорема косинусов похожа на теорему Пифагора? Только с добавкой     \(\displaystyle «-2ab\cos \gamma »\). Ну вот, давай доказывать.

1 Случай: пусть \(\displaystyle \angle C<{{90}^{\circ }}\).

Итак, \(\displaystyle \angle C<{{90}^{\circ }}\), то есть острый.

Теорема косинусов случай 1 Проведем высоту \(\displaystyle AH\) из точки \(\displaystyle A\)и рассмотрим треугольник \(\displaystyle AHB\). Он прямоугольный, можно пользоваться теоремой Пифагора:

\(\displaystyle {{c}^{2}}=A{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}\)

Что такое \(\displaystyle AH\) и \(\displaystyle HB\)?

\(\displaystyle AH\) можно выразить из треугольника (прямоугольного!) \(\displaystyle AHC\).

\(\displaystyle AH=b\sin \gamma \)

А вот \(\displaystyle BH=a-CH=a-b\cos \gamma \) (снова из \(\displaystyle \Delta AHC\)).

Подставляем:

\(\displaystyle {{c}^{2}}={{\left( b\sin \gamma  \right)}^{2}}+{{\left( a-b\cos \gamma  \right)}^{2}}\)

Раскрываем:

\(\displaystyle {{c}^{2}}=\underbrace{{{b}^{2}}{{\sin }^{2}}\gamma }_{{}}+{{a}^{2}}-2ab\cos \gamma +\underbrace{{{b}^{2}}{{\cos }^{2}}\gamma }_{{}}\)

Пользуемся тем, что \(\displaystyle {{\sin }^{2}}\gamma +{{\cos }^{2}}\gamma =1\) и… всё!

\(\displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\cos \gamma \).

Проверь себя — реши задачи на теорему косинусов.

2 Случай: пусть \(\displaystyle \angle C>{{90}^{\circ }}\).

Итак, \(\displaystyle \angle C>{{90}^{\circ }}\), то есть тупой.

Теорема косинусов случай 2 Начинаем точно также: опускаем высоту из точки \(\displaystyle A\). И снова:
\(\displaystyle {{c}^{2}}=A{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}\)

А теперь, внимание, отличие!

\(\displaystyle AH=b\sin \left( {{180}^{\circ }}-\gamma  \right)\) — это из \(\displaystyle \Delta AHC\), который теперь оказался снаружи \(\displaystyle \Delta ABC\), а

\(\displaystyle BH=a+b\cos \left( {{180}^{\circ }}-\gamma  \right)\).

Вспоминаем, что

\(\displaystyle \sin \left( {{180}^{\circ }}-\gamma  \right)=\sin \gamma \)

\(\displaystyle \cos \left( {{180}^{\circ }}-\gamma  \right)=-\cos \gamma \)

(читай тему «Формулы тригонометрии», если совсем забыл, почему так).

Значит, \(\displaystyle \left| \begin{array}{l}AH=b\sin \gamma \\BH=a-b\cos \gamma \end{array} \right.\) — и все! Отличие закончилось!

\(\displaystyle {{c}^{2}}={{\left( b\sin \gamma  \right)}^{2}}+{{\left( a-b\cos \gamma  \right)}^{2}}\), — как и было, то есть:

\(\displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\cos \gamma \).

Проверь себя — реши задачи на теорему косинусов.

Ну и остался последний случай.

3 Случай: пусть \(\displaystyle \angle C={{90}^{\circ }}\).

Итак, \(\displaystyle \angle C={{90}^{\circ }}\). Но тогда \(\displaystyle \cos \gamma =0\) и теорема косинусов просто превращается в теорему Пифагора:

\(\displaystyle {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\).

В каких же задачах бывает полезна теорема косинусов?

Ну, например, если у тебя даны две стороны треугольника и угол между ними, то ты прямо сразу можешь найти третью сторону.

Или, если тебе даны все три стороны, то ты тут же найдешь косинус любого угла по формуле

\(\displaystyle {\cos \gamma =\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}-{c}^{2}}}{2{a}{b}}}\).

И даже, если тебе даны две стороны и угол НЕ между ними, то третью сторону тоже можно найти, решая квадратное уравнение. Правда, в этом случае получается иногда два ответа и нужно соображать, какой же из них выбрать, или оставить оба.

Попробуй применять и не бояться – теорема косинусов почти также легка в обращении, как и теорема Пифагора.

Проверь себя — реши задачи на теорему косинусов.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий