Теория вероятностей. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Что такое вероятность?

Вероятностью называется отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий

Столкнувшись с этим термином первый раз, я бы не понял, что это такое. Поэтому попытаюсь объяснить доступно.

Вероятность – это шанс того, что произойдет нужное нам событие. Например, ты решил зайти к знакомому, помнишь подъезд и даже этаж на котором он живет. А вот номер и расположение квартиры забыл. И вот стоишь ты на лестничной клетке, а перед тобой \(3\) двери на выбор. Каков шанс (вероятность) того, что если ты позвонишь в первую дверь, тебе откроет твой друг? Всего квартиры \(3\), а друг живет только за одной из них. С равным шансом мы можем выбрать любую дверь. Но каков этот шанс?

Дверей \(3\), нужная дверь \(1\). Вероятность угадать, позвонив в первую дверь: \(\frac{1}{3}\). То есть один раз из трех ты точно угадаешь.Столкнувшись с этим термином первый раз, я бы не понял, что это такое. Поэтому попытаюсь объяснить доступно.

Мы хотим узнать, позвонив \(1\) раз, как часто мы будем угадывать дверь? Давай рассмотри все варианты:

  1. Ты позвонил в дверь
  2. Ты позвонил в дверь
  3. Ты позвонил в дверь

А теперь рассмотрим все варианты, где может находиться друг:

а. За 1ой дверью
б. За 2ой дверью
в. За 3ей дверью

Сопоставим все варианты в виде таблицы. Галочкой обозначены варианты, когда твой выбор совпадает с местоположением друга, крестиком – когда не совпадает.
Снимок экрана 2014-07-30 в 13.56.49
Как видишь всего возможно \(9\) вариантов местоположения друга и твоего выбора, в какую дверь звонить. А благоприятных исходов всего \(3\). То есть \(3\) раза из \(9\) ты угадаешь, позвонив в дверь \(1\) раз, т.е. \(\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\).

Это и есть вероятность – отношение благоприятного исхода (когда твой выбор совпал с местоположение друга) к количеству возможных событий.

Определение – это и есть формула. Вероятность принято обозначать p, поэтому:

\(\displaystyle p=\frac{\text{благоприятных}}{всего}\)

Такую формулу писать не очень удобно, поэтому примем за \(\displaystyle {{N}_{б}}\) – количество благоприятных исходов, а за \(N\) – общее количество исходов.
\(\displaystyle p=\frac{{{N}_{б}}}{N}\)
Вероятность можно записывать в процентах, для этого нужно умножить получившийся результат на \(100\%\):
\(\displaystyle p=\frac{{{N}_{б}}}{N}\cdot 100\%\)
Наверное, тебе бросилось в глаза слово «исходы». Поскольку математики называют различные действия (у нас такое действие – это звонок в дверь) экспериментами, то результатом таких экспериментов принято называть исход. Ну а исходы бывают благоприятные и неблагоприятные.

Давай вернемся к нашему примеру. Допустим, мы позвонили в одну из дверей, но нам открыл незнакомый человек. Мы не угадали. Какова вероятность, что если позвоним в одну из оставшихся дверей, нам откроет наш друг?
Если ты подумал, что \(\displaystyle \frac{1}{3}\), то это ошибка. Давай разбираться.
У нас осталось две двери. Таким образом, у нас есть возможные шаги:

1) Позвонить в 1-ую дверь
2) Позвонить во 2-ую дверь

Друг, при всем этом, точно находится за одной из них (ведь за той, в которую мы звонили, его не оказалось):

а) Друг за 1-ой дверью
б) Друг за 2-ой дверью

Давай снова нарисуем таблицу:

Снимок экрана 2014-07-30 в 14.08.25

Как видишь, всего есть \(4\) варианта, \(2\) из которых – благоприятны. То есть вероятность равна \(\displaystyle \frac{2}{4}=\frac{1}{2}\).
А почему не \(\displaystyle \frac{1}{3}\)? Рассмотренная нами ситуация – пример зависимых событий. Первое событие – это первый звонок в дверь, второе событие – это второй звонок в дверь. А зависимыми они называются потому что влияют на следующие действия. Ведь если бы после первого звонка в дверь нам открыл друг, то какова была бы вероятность того, что он находится за одной из двух других? Правильно, \(0\%\).
Но если есть зависимые события, то должны быть и независимые? Верно, бывают.

Два события независимы, если при наступлении одного вероятность наступления другого не изменяется.

Больше задач — после регистрации.

Хрестоматийный пример – бросание монетки.

  1. Бросаем монетку \(1\) раз. Какова вероятность того, что выпадет, например, орел? Правильно — \(\displaystyle \frac{1}{2}\), ведь вариантов всего \(2\) (либо орел, либо решка, пренебрежем вероятностью монетки встать на ребро), а устраивает нас только \(1\).
  2. Но выпала решка. Ладно, бросаем еще раз. Какова сейчас вероятность выпадения орла? Ничего не изменилось, все так же \(\displaystyle \frac{1}{2}\). Сколько вариантов? Два. А сколько нас устраивает? Один.

И пусть хоть тысячу раз подряд будет выпадать решка. Вероятность выпадения орла на \(\displaystyle 1001-й\) раз будет все также \(\displaystyle \frac{1}{2}\). Вариантов всегда \(2\), а благоприятных – \(1\).

Отличить зависимые события от независимых легко:

  1. Если эксперимент проводится \(1\) раз (\(1\) раз бросают монетку, 1 раз звонят в дверь и т.д.), то события всегда независимые.
  2. Если эксперимент проводится несколько раз (монетку бросают \(5\) раз, в дверь звонят несколько раз), то первое событие всегда независимое. А дальше, если количество благоприятных или количество всех исходов меняется, то события зависимые, а если нет – независимые.

Давай немного потренируемся определять вероятность.

Пример 1.

Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что два раза подряд выпадет орел?

Решение:

Рассмотрим все возможные варианты:

  1. Орел-орел
  2. Орел-решка
  3. Решка-орел
  4. Решка-решка

Как видишь, всего варианта \(4\). Из них нас устраивает только \(1\). То есть вероятность:
\(\displaystyle p=\frac{{{N}_{б}}}{N}=\frac{1}{4}=0,25\)
Если в условии просят просто найти вероятность, то ответ нужно давать в виде десятичной дроби. Если было бы указано, что ответ нужно дать в процентах, тогда мы умножили бы на \(100\%\).

Ответ:

\(\displaystyle 0,25\)

Пример 2.

В коробке конфет все конфеты упакованы в одинаковую обертку. Однако из \(20\) конфет – \(6\) с орехами, \(5\) с коньяком, \(4\) с вишней, \(3\) с карамелью и \(2\) с нугой. Какова вероятность, взяв одну конфету, достать конфету с орехами. Ответ дайте в процентах.

Решение:

Сколько всего возможных исходов? \(6+5+4+3+2=20\). То есть, взяв одну конфету, она будет одной из \(20\), имеющихся в коробке. А сколько благоприятных исходов? \(6\), потому что в коробке только \(6\) конфет с орехами.
\(\displaystyle p=\frac{N{{}_{б}}}{N}\cdot 100\%=\frac{6}{20}\cdot 100\%=0,3\cdot 100\%=30\%\)

Ответ:

\(\displaystyle 30\)

Пример 3.

В коробке \(20\) шаров. \(12\) из них белые, \(8\) – черные.

  1. Какова вероятность вытащить белый шар?
  2. Мы добавили в коробку еще \(10\) черных шаров. Какова теперь вероятность вытащить белый шар?

Решение:

а) В коробке всего \(\displaystyle N=20\) шаров. Из них \(\displaystyle {{N}_{б}}=12\) белых. Вероятность равна:

\(\displaystyle p=\frac{{{N}_{б}}}{N}=\frac{12}{20}=0,6\)
б) Теперь шаров в коробке стало \(\displaystyle N=20+10=30\). А белых осталось столько же – \(\displaystyle {{N}_{б}}=12\).
\(\displaystyle p=\frac{{{N}_{б}}}{N}=\frac{12}{20}=0,4\)

Ответ:

а) \(\displaystyle 0,6\)
б) \(\displaystyle 0,4\)

Больше задач — после регистрации.

Полная вероятность

Вероятность всех возможных событий равна \(1\) (\(100\%\)).

Действительно, если мы будем считать, что все события для нас благоприятны, вероятность благоприятного исхода будет равна \(\displaystyle 1(100\%)\).

Допустим, в ящике \(\displaystyle 4\) красных и \(\displaystyle 5\) зеленых карандашей. Какова вероятность вытащить красный шар? Зеленый шар? Красный или зеленый шар?

Вероятность вытащить красный шар
\(\displaystyle {{p}_{к}}=\frac{{{N}_{б}}}{N}=\frac{4}{9}\)

Зеленый шар:
\(\displaystyle {{p}_{з}}=\frac{{{N}_{б}}}{N}=\frac{5}{9}\)

Красный или зеленый шар:
\(\displaystyle p=\frac{{{N}_{б}}}{N}=\frac{9}{9}=1\)

Как видишь, сумма всех возможных событий равна \(1\) (\(\displaystyle {{p}_{к}}+{{p}_{з}}=\frac{4}{9}+\frac{5}{9}=\frac{9}{9}\)). Понимание этого момента поможет тебе решить многие задачи.

Пример 4.

В ящике лежит \(\displaystyle 10\) фломастеров: \(\displaystyle 3\) зеленых, \(\displaystyle 2\) красных, \(\displaystyle 2\) синих, \(\displaystyle 2\) желтых, \(\displaystyle 1\) черный. Какова вероятность вытащить НЕ красный фломастер?

Решение:

Давай посчитаем количество благоприятных исходов. НЕ красный фломастер, это значит зеленый, синий, желтый или черный. Всего их \(3+2+2+1=8\). \(\displaystyle {{N}_{б}}=8\).
\(\displaystyle p=\frac{{{N}_{б}}}{N}=\frac{8}{10}=0,8\)

Так мы учились считать раньше, но сейчас, зная что такое полная вероятность, можно поступить немного проще.

Вероятность всех событий \(1\). А вероятность событий, которые мы считаем неблагоприятными (когда вытащим красный фломастер) – \(\displaystyle \frac{2}{10}\) . Таким образом, вероятность вытащить НЕ красный фломастер – \(\displaystyle 1-\frac{2}{10}=0,8\).

Ответ:

\(\displaystyle 0,8\)

Запомни:

Вероятность того, что событие не произойдет, равна \(\displaystyle 1\) минус вероятность того, что событие произойдет.

Больше задач — после регистрации.

Правило умножения вероятностей независимых событий

Что такое независимые события ты уже знаешь. А если нужно найти вероятность того, что два (или больше) независимых события произойдут подряд?
Можно конечно посчитать, но есть способ проще.

Допустим мы хотим знать, какова вероятность того, что бросая монетку \(2\) раза, мы два раза увидим орла? Мы уже считали – \(p=0,25\).
А если бросаем монетку \(3\) раза? Какова вероятность увидеть орла \(3\) раза подряд?

Всего возможных вариантов \(8\):

  1. Орел-орел-орел
  2. Орел-орел-решка
  3. Орел-решка-орел
  4. Орел-решка-решка
  5. Решка-орел-орел
  6. Решка-орел-решка
  7. Решка-решка-орел
  8. Решка-решка-решка

Не знаю как ты, но я \(3\) раза ошибся, составляя этот список. Ух! А подходит нам только \(1\) вариант (первый).

\(\displaystyle p=\frac{{{N}_{б}}}{N}=\frac{1}{8}\)

Для 5 бросков можешь составить список возможных исходов сам. Но математики не столь трудолюбивы, как ты. Поэтому они сначала заметили, а потом доказали, что вероятность определенной последовательности независимых событий каждый раз уменьшается на вероятность одного события.

Другими словами,

Вероятность определенной последовательности независимых событий, равна произведению вероятностей каждого из событий

Рассмотрим на примере все той же, злосчастной, монетки.
Вероятность выпадения орла в \(1\) испытании? \(\displaystyle \frac{1}{2}\). Теперь мы бросаем монетку \(5\) раз. Какова вероятность выпадения \(5\) раз подряд орла?
\(\displaystyle p=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{5}}=\frac{1}{32}\)
Это правило работает не только, если нас просят найти вероятность того, что произойдет одно и то же событие несколько раз подряд.

Если бы мы хотели найти последовательность РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА, при \(3\) бросках подряд, мы поступили бы также.
Вероятность выпадения решка – \(\displaystyle \frac{1}{2}\), орла – \(\displaystyle \frac{1}{2}\). Вероятность выпадения последовательности РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА-РЕШКА:
\(\displaystyle p=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{4}}=\frac{1}{16}\)
Можешь проверить сам, составив таблицу.

Правило сложения вероятностей несовместных событий.

Так стоп! Новое определение.

Несовместными называются события, которые никак не могут произойти одновременно в результате эксперимента. Ряд несовместных событий образуют полную группу событий.

Давай разбираться. Возьмем нашу изношенную монетку и бросим её \(3\) раза.
Возможные варианты:

  1. Орел-орел-орел
  2. Орел-орел-решка
  3. Орел-решка-орел
  4. Орел-решка-решка
  5. Решка-орел-орел
  6. Решка-орел-решка
  7. Решка-решка-орел
  8. Решка-решка-решка

Так вот несовместные события, это определенная, заданная последовательность событий. \(1),\text{ }2),\text{ }3),\text{ }4)\ldots \text{ }8)\) – это несовместные события.

Вероятности несовместных событий складываются.

Если мы хотим определить, какова вероятность двух (или больше) несовместных событий то мы складываем вероятности этих событий.

Нужно понять, что выпадение орла или решки – это два независимых события. Если мы хотим определить, какова вероятность выпадения последовательности \(1\)) (или любой другой), то мы пользуемся правилом умножения вероятностей.
Какова вероятность выпадения при первом броске орла, а при втором и третьем решки?
\(\displaystyle p=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}\)
Но если мы хотим узнать, какова вероятность выпадения одной из нескольких последовательностей, например, когда орел выпадет ровно \(1\) раз, т.е. варианты \(4),\text{ }6)\) и \(7)\), то мы должны сложить вероятности этих последовательностей.
Всего вариантов \(8\), нам подходит \(3\).
\(\displaystyle p=\frac{{{N}_{б}}}{N}=\frac{3}{8}\)

То же самое мы можем получить, сложив вероятности появления каждой последовательности:
\(\displaystyle p={{p}_{4}}+{{p}_{6}}+{{p}_{7}}=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}\)
Таким образом, мы складываем вероятности, когда хотим определить вероятность некоторых, несовместных, последовательностей событий.

Есть отличное правило, помогающее не запутаться, когда умножать, а когда складывать:

Описав что должно произойти, используя союзы «И» или «ИЛИ», вместо «И» ставим знак умножения, а вместо «ИЛИ» — сложения.

Возвратимся к примеру, когда мы подбросили монетку \(3\) раза, и хотим узнать вероятность увидеть орла \(1\) раз.
Что должно произойти?

Должны выпасть:
(орел И решка И решка) ИЛИ (решка И орел И решка) ИЛИ (решка И решка И орел).
Вот и получается:
\(\displaystyle \left( \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \right)+\left( \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \right)+\left( \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \right)=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}\)

Давай рассмотрим несколько примеров.

Пример 5.

В коробке лежит \(16\) карандашей. \(2\) красных, \(4\) зеленых, \(5\) оранжевых и \(3\) желтых и \(2\) черных. Какова вероятность вытащить красный или зеленый карандаши?

Решение:

Что должно произойти? Мы должны вытащить (красный ИЛИ зеленый). Теперь понятно, складываем вероятности этих событий:
\(\displaystyle p={{p}_{к}}+{{p}_{з}}=\frac{2}{16}+\frac{4}{16}=0,125+0,25=0,375\)

Ответ:

\(\displaystyle 0,375\)

Пример 6.

Игральную кость бросают дважды, какова вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков?
Решение.
Как мы можем получить \(8\) очков? (\(6\) и \(2\)) или (\(5\) и \(3\)) или (\(4\) и \(4\)) или (\(3\) и \(5\)) или (\(2\) и \(6\)).
Вероятность выпадения одной (любой) грани – \(\displaystyle p=\frac{1}{6}\).
Считаем вероятность:
\(\displaystyle \begin{array}{l}p=\left( {{p}_{6}}\cdot {{p}_{2}} \right)+\left( {{p}_{5}}\cdot {{p}_{3}} \right)+\left( {{p}_{4}}\cdot {{p}_{4}} \right)+\left( {{p}_{3}}\cdot {{p}_{5}} \right)+\left( {{p}_{2}}\cdot {{p}_{6}} \right)=\\=\left( \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6} \right)+\left( \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6} \right)+\left( \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6} \right)+\left( \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6} \right)+\left( \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6} \right)=\\=\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}=\frac{5}{36}\end{array}\)

Ответ:

\(\displaystyle \frac{5}{36}\)

Тренировка.

Думаю, теперь тебе стало понятно, когда нужно как считать вероятности, когда их складывать, а когда умножать. Не так ли? Давай немного потренируемся.

Задачи:

Возьмем карточную колоду, в которой \(52\) карты, из них \(13\) пик, \(13\), червей и \(13\) треф. От \(2\) до туза каждой масти.

  1. Какова вероятность вытащить \(2\) трефы подряд (первую вытащенную карту мы кладем обратно в колоду и перемешиваем)?
  2. Какова вероятность вытащить черную карту (пики или трефы)?
  3. Какова вероятность вытащить картинку (вальта, даму, короля или туза)?
  4. Какова вероятность вытащить две картинки подряд (первую вытащенную карту мы убираем из колоды)?
  5. Какова вероятность, взяв две карты, собрать комбинацию — (валет, дама или король) и туз Последовательность, в которой будут вытащены карты, не имеет значения.

Ответы:

1. \(\displaystyle p=\frac{13}{52}\cdot \frac{13}{52}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{16}=0,0625\)

2. \(\displaystyle p=\frac{13}{52}+\frac{13}{52}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}=0,5\)

3. В колоде \(4\) карты каждого достоинства, значит: \(\displaystyle p=\frac{4}{52}+\frac{4}{52}+\frac{4}{52}+\frac{4}{52}=\frac{16}{52}=\frac{4}{13}\)

4. События зависимы, так как после первой вытащенной карты количество карт в колоде уменьшилось (как и количество «картинок»). Всего вальтов, дам, королей и тузов в колоде изначально \(16~\left( 4+4+4+4 \right)\), а значит вероятность первой картой вытащить «картинку»:
\(\displaystyle {{p}_{1}}=\frac{16}{52}=\frac{4}{13}\)
Поскольку мы убираем из колоды первую карту, то значит в колоде осталось уже \(51\) карта, из них \(15\) картинок. Вероятность второй картой вытащить картинку:
\(\displaystyle {{p}_{2}}=\frac{15}{51}\)
Поскольку нас интересует ситуация, когда мы достаем из колоды: «картинку» И «картинку», то нужно перемножать вероятности:
\(\displaystyle p=\frac{4}{13}\cdot \frac{15}{51}=\frac{60}{13\cdot 51}=\frac{60}{663}=\frac{20}{221}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{20}{221}\)

5. После первой вытащенной карты, количество карт в колоде уменьшится.Таким образом, нам подходит два варианта:
1) Первой картой вытаскиваем Туза, второй – валета, даму или короля
2) Первой картой вытаскиваем валета, даму или короля, второй – туза.Т.е. (туз и (валет или дама или король)) или ((валет или дама или король) и туз). Не забываем про уменьшение количества карт в колоде!\(\displaystyle p=\frac{4}{52}\cdot \frac{12}{51}+\frac{12}{52}\cdot \frac{4}{51}=\frac{12}{13\cdot 51}+\frac{12}{13\cdot 51}=\frac{24}{663}=\frac{8}{221}\)

Если ты смог сам решить все задачи, то ты большой молодец! Теперь задачи на теорию вероятностей в ЕГЭ ты будешь щелкать как орешки!

Проверь себя — реши задачи на теорию вероятностей.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий