Теория вероятностей. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Рассмотрим пример. Допустим, мы бросаем игральную кость. Что это за кость такая, знаешь? Так называют кубик с цифрами на гранях. Сколько граней, столько и цифр: от \(1\) до скольки? До \(6\).

Итак, мы бросаем кость и хотим, чтобы выпало \(5\) или \(6\). И нам выпадает \(5\). В теории вероятностей говорят, что произошло благоприятное событие (не путай с благополучным). Если бы выпало \(6\), событие тоже было бы благоприятным. Итого может произойти всего два благоприятных события. А сколько неблагоприятных? Раз всего возможных событий \(6\), значит, неблагоприятных из них \(6-2=4\) события (это если выпадет \(1,\text{ }2,\text{ }3\) или \(4\)).

Определение:

Вероятностью называется отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий. То есть вероятность показывает, какая доля из всех возможных событий приходится на благоприятные.

Обозначают вероятность латинской буквой \(p\) (видимо, от английского слова probability — вероятность).

Принято измерять вероятность в процентах (см. тему «Дроби, рациональные числа, проценты»). Для этого значение вероятности нужно умножать на \(100\%\). В примере с игральной костью вероятность \(p=\frac{благоприятных}{всего}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\).

А в процентах: \(p=\frac{1}{3}\cdot 100\%=\frac{100}{3}\%\approx 33,3\%\).

Примеры (реши сам):

  1. С какой вероятностью при бросании монетки выпадет орел? А с какой вероятностью выпадет решка?
  2. С какой вероятностью при бросании игральной кости выпадет четное число? А с какой – нечетное?
  3. В ящике \(3\) простых, \(2\) синих и \(5\) красных карандашей. Наугад тянем один карандаш. Какова вероятность вытащить простой?

Решения:

  1. Сколько всего вариантов? Орел и решка – всего два. А сколько из них благоприятных? Только один – орел. Значит, вероятность
    \(p=\frac{1}{2}=0,5=50\%\)
    С решкой то же самое: \(p=\frac{1}{2}=0,5=50\%\).
  2. Всего вариантов: \(6\) (сколько сторон у кубика, столько и различных вариантов). Благоприятных из них: \(3\) (это все четные числа: \(2,\text{ }4,\text{ }6\)).
    Вероятность \(p=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5=50\%\). С нечетными, естественно, то же самое.
  3. Всего: \(10\). Благоприятных: \(3\). Вероятность: \(p=\frac{3}{10}=0,3=30\%\).

Полная вероятность

Все карандаши в ящике зеленые. Какова вероятность вытащить красный карандаш? Шансов нет: вероятность \(0\%\) (ведь благоприятных событий – \(0\)).

Такое событие называется невозможным.

А какова вероятность вытащить зеленый карандаш? Благоприятных событий ровно столько же, сколько событий всего (все события – благоприятные). Значит, вероятность равна \(1\%\) или \(100\%\).

Такое событие называется достоверным.

Если в ящике \(3\) зеленых и \(7\) красных карандашей, какова вероятность вытащить зеленый или красный? Опять же \(100\%\). Заметим такую вещь: вероятность вытащить зеленый равна \(p=\frac{3}{10}=0,3\), а красный – \(p=\frac{7}{10}=0,7\). В сумме эти вероятности равны ровно \(1\). То есть, сумма вероятностей всех возможных событий равна \(1\) или \(100\%\).

Пример:

В коробке \(20\) карандашей, среди них \(3\) синих, \(2\) красных, \(4\) зеленых, \(6\) простых, \(1\) желтый, а остальные – оранжевые. Какова вероятность не вытащить зеленый?

Решение:

Помним, что все вероятности в сумме дают \(1\). А вероятность выращить зеленый равна \(\frac{4}{20}=0,4\). Значит, вероятность не вытащить зеленый равна \(1-0,4=0,6=60\%\).

Запомни этот прием: вероятность того, что событие не произойдет равна \(1\) минус вероятность того, что событие произойдет.

Больше задач — после регистрации.

Независимые события и правило умножения

Ты кидаешь монетку \(2\) раза, и хочешь, чтобы оба раза выпал орел. Какова вероятность этого?

Давай переберем все возможные варианты и определим, сколько их:

Орел-Орел, Решка-Орел, Орел-Решка, Решка-Решка. Какие еще?

Всего \(4\) варианта. Из них нам подходит только один: Орел-Орел. Итого, вероятность равна \(p=\frac{1}{4}=25\%\).

Хорошо. А теперь кидаем монетку \(3\) раза. Посчитай сам. Получилось? (ответ \(\frac{1}{8}=12,5\%\)).

А теперь \(5\) раз. Слабо посчитать все варианты?

Ты мог заметить, что с добавлением каждого следующего броска вероятность уменьшается в \(2\) раза. Общее правило называется правилом умножения:

Вероятности независимых событий переменожаются.

Что такое независимые события? Все логично: это те, которые не зависят друг от друга. Например, когда мы бросаем монетку несколько раз, каждый раз производится новый бросок, результат которого не зависит от всех предыдущих бросков. С таким же успехом мы можем бросать одновременно две разные монетки.

Еще примеры:

  1. Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что оба раза выпадет \(6\)?
  2. Монетку бросают \(3\) раза. Какова вероятность, что в первый раз выпадет орел, а потом два раза решка?
  3. Игрок бросает две кости. Какова вероятность, что сумма чисел на них будет равна \(12\)?

Ответы:

  1. События независимы, значит, работает правило умножения: \(p=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}\).
  2. Вероятность орла равна \(\frac{1}{2}\). Вероятность решки – тоже \(\frac{1}{2}\). Перемножаем:
    \(p=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}=0,125=12,5\%\)
  3. 12 может получиться только, если выпадут две \(6\)-ки: \(p=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}\).

Несовместные события и правило сложения

Несовместными называются события, которые дополняют друг друга до полной вероятности. Из названия видно, что они не могут произойти одновременно. Например, если бросаем монетку, может выпасть либо орел, либо решка.

Пример.

В коробке \(20\) карандашей, среди них \(3\) синих, \(2\) красных, \(4\) зеленых, \(6\) простых, \(1\) желтый, а остальные – оранжевые. Какова вероятность вытащить зеленый или красный?

Решение.

Вероятность вытащить зеленый карандаш равна \(\displaystyle {{p}_{\text{зел}}}=\frac{4}{20}=0,2\). Красный – \(\displaystyle {{p}_{\text{кр}}}=\frac{2}{20}=0,1\).

Благоприятных событий всего \(6\): \(4\) зеленых + \(2\) красных. Значит, вероятность вытащить зеленый или красный равна \(p=\frac{6}{20}=0,3\).

Эту же вероятность можно представить в таком виде: \(\displaystyle p=\frac{4+2}{20}=\frac{4}{20}+\frac{2}{20}=0,2+0,1={{p}_{\text{зел}}}+{{p}_{кр}}\).

Это и есть правило сложения: вероятности несовместных событий складываются.

Больше задач — после регистрации.

Задачи смешанного типа

Пример.

Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что результат бросков будет разный?

Решение.

Имеется в виду, что если первым выпал орел, второй должна быть решка, и наоборот. Получается, что здесь две пары независимых событий, и эти пары друг с другом несовместны. Как бы не запутаться, где умножать, а где складывать.

Есть простое правило для таких ситуаций. Попробуй описать, что должно произойти, соединяя события союзами «И» или «ИЛИ». Например, в данном случае:

Должны выпасть (орел и решка) или (решка и орел).

Там где стоит союз «и», будет умножение, а там где «или» – сложение:

\(p=\left( \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \right)+\left( \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}=0,5\).

Попробуй сам:

  1. С какой вероятностью при двух бросаниях монетки оба раза выпадет одно и та же сторона?
  2. Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что в сумме выпадет \(10\) очков?

Решения:

  1. (Выпал орел и выпал орел) или (выпала решка и выпала решка): \(p=\left( \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \right)+\left( \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}=0,5\).
  2. Какие есть варианты? \(6+4,\text{ }5+5\) и \(4+6\). Тогда:
    Выпало (\(4\) и \(6\)) или (\(5\) и \(5\)) или (\(6\) и \(4\)): \(p=\left( \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6} \right)+\left( \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6} \right)+\left( \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6} \right)=\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\).

Еще пример:

Бросаем монетку \(3\) раза. Какова вероятность, что хотя-бы один раз выпадет орел?

Решение:

Ой, как же не хочется перебирать варианты… Орел-решка-решка, Орел-орел-решка, … А и не надо! Вспоминаем про полную вероятность. Вспомнил? Какова вероятность, что орел не выпадет ни разу? Это же просто: все время летят решки, значит \(\displaystyle {{p}_{\text{неблагоприятных}}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}\).

Тогда: \(\displaystyle {{p}_{\text{благоприятных}}}=1-{{p}_{\text{неблагоприятных}}}=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}=0,875=87,5\%\).

Проверь себя — реши задачи на теорию вероятностей.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *