Трапеция. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Что такое трапеция?

Трапеция рис. 1 Трапеция – такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

Параллельные стороны называются – основания, а непараллельные стороны называются боковые стороны.

Вот, смотри:

Элементы трапеции

Оказывается, трапеция (как и треугольник) бывает равнобедренная.

Равнобедренная трапеция Если боковые стороны равны, то она называется равнобедренной, или равнобокой.

И тут возникает вопрос: а могут ли у трапеции быть равными ОСНОВАНИЯ??? И ответ: а вот и нет — тогда это получится НЕ трапеция, а параллелограмм, потому что две стороны окажутся параллельны и равны (вспоминаем признаки параллелограмма…)

Свойства трапеции

Свойства трапеции… Какие они и что же ты должен знать о них?

Углы трапеции Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°.
(у нас на рисунке \(\displaystyle \angle 1+\angle 2=180{}^\circ \) и \(\displaystyle \angle 3+\angle 4=180{}^\circ \))

Почему так? Ну, конечно, просто потому, что основания – параллельны, а боковая сторона – секущая. Вот и получается, что \(\displaystyle \angle 1\) и \(\displaystyle \angle 2\) – внутренние односторонние углы при параллельных \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC\) и секущей \(\displaystyle AB\). Поэтому \(\displaystyle \angle 1+\angle 2=180{}^\circ \). И точно так же \(\displaystyle \angle 3\) и \(\displaystyle \angle 4\) – внутренние односторонние углы при тех же параллельных \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC\), но секущая теперь – \(\displaystyle CD\).

Видишь: главное, что играет роль – это параллельность оснований. Давай разберем еще некоторые свойства трапеции.

Как у всякого четырехугольника, у трапеции есть диагонали. Их две – посмотри на рисунки:

Диагональ трапеции рис. 1 Диагональ трапеции рис. 2

Ну вот, а теперь снова порассуждаем об углах.

643z-7 Опять \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC\) – параллельные, а диагональ \(\displaystyle AC\) – секущая. Поэтому \(\displaystyle \angle 1=\angle 2\).

А теперь – сразу 2 диагонали и 4 угла:

643z-8 \(\displaystyle \angle 1=\angle 2\)
\(\displaystyle \angle 3=\angle 4\)

Что из этого может следовать? Очень важный факт: треугольники \(\displaystyle BOC\) и \(\displaystyle AOD\) – подобны по двум углам.
Их коэффициент подобия равен отношению оснований: \(\displaystyle K=\frac{a}{b}\).

Проверь себя — реши задачи на трапецию.

Средняя линия трапеции

Для начала – что же такое средняя линия трапеции?

Средняя линия трапеции – это отрезок, который соединяет середины боковых сторон трапеции Средняя линия трапеции – это отрезок, который соединяет середины боковых сторон трапеции.

Оказывается, длину этой средней линии можно выразить через длины оснований трапеции. А именно, имеет место такая формула:

Средняя линия трапеции – это отрезок, который соединяет середины боковых сторон трапеции рис. 2 \(\displaystyle m=\frac{a+b}{2}\), то есть
Длина средней линии трапеции равна полусумме (то есть половине суммы) длин оснований

А ещё:

Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям

Проверь себя — реши задачи на трапецию.

Трапеция, вписанная в окружность.

Даже если ты ещё не изучал темы «Окружность. Вписанный угол» и «Вписанный четырехугольник», тебе будет полезно (и, надеюсь, интересно) узнать следующий удивительный факт:

Трапеция, вписанная в окружность Если трапецию можно вписать в окружность, то она – равнобокая.

Доказывать это мы не будем (здесь во всяком случае), а вот запомнить – хорошо бы – пригодится!

Подведём итог – он короткий.
Самое важное, что есть в трапеции – две параллельные стороны и BCE свойства трапеции именно этим и определяются.

Так что, если у тебя в задаче трапеция – используй параллельность – всё получится!

Проверь себя — реши задачи на трапецию.

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий