Тригонометрическая окружность. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Ну что же, в этой статье мы с тобой продолжим изучение тригонометрической окружности и обсудим следующие моменты:

  1. Что такое отрицательные углы?
  2. Как вычислять значения тригонометрических функций в этих углах?
  3. Как по известным значениям тригонометрических функций 1 четверти искать значения функций в других четвертях?
  4. Что такое ось тангенсов и ось котангенсов?

Никаких дополнительных знаний, кроме как базовых навыков работы с единичной окружностью (предыдущая статья) нам не понадобится. Ну что же, давай приступим к первому вопросу: что такое отрицательные углы?

Отрицательные углы

Отрицательные углы в тригонометрии откладываются на тригонометрическом круге вниз от начала, по направлению движения часовой стрелки:

Отрицательные углы в тригонометрии рис. 1

Давай вспомним, как мы до этого откладывали углы на тригонометрической окружности: Мы шли от положительного направления оси $latex \displaystyle Ox$ против часовой стрелки:

триг.окр.2.-1

Тогда на нашем рисунке построен угол, равный $latex \displaystyle 180+45=225{}^\circ $. Аналогичным образом мы строили все углы. Однако ничего нам не запрещает идти от положительного направления оси $latex \displaystyle Ox$ по часовой стрелке. Мы будем тоже получать различные углы, но они будут уже отрицательными: Отрицательные углы в тригонометрии рис. 2

На следующей картинке изображено два угла, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку:

равные положительный и отрицательный углы

В  целом правило можно сформулировать вот так:

  • Идем против часовой стрелки – получаем положительные углы
  • Идем по часовой стрелке – получаем отрицательные углы

Схематично правило изображено вот на этом рисунке: триг.окр.2.-4

Ты мог бы задать мне вполне резонный вопрос: ну углы нам нужны для того, чтобы измерять у них значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Так есть ли разница, когда у нас угол положительный, а когда – отрицательный? Я отвечу тебе: как правило есть. Однако ты всегда можешь свести вычисление тригонометрической функции от отрицательного угла к вычислению функции в угле положительном. Посмотри на следующую картинку: триг.окр.2.-5 Я построил два угла, они равны по абсолютному значению, но имеют противоположный знак. Отметим для каждого из углов его синус и косинус на осях. Что мы с тобой видим? А вот что:

  • Синусы у углов $latex \displaystyle \alpha $ и $latex \displaystyle -\alpha $ противоположны по знаку! Тогда если

    $latex \displaystyle \text{sin}\ \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\text{y}$, то $latex \displaystyle \sin \left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)=-\text{y}$
    $latex \displaystyle \sin \left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)=-\text{sin}\ \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$

  • Косинусы у углов $latex \displaystyle \alpha $ и $latex \displaystyle -\alpha $ совпадают! Тогда если

    $latex \displaystyle \text{cos}\ \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\text{x}$,то  и  $latex \displaystyle \cos \left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)=\text{x}$
    $latex \displaystyle \cos \left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)=\text{cos}\ \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$

  • Так как   $latex \displaystyle \text{tg}\left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)=\frac{\text{sin}\left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)}{\text{cos}\left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)}=\frac{-\text{sin}\left( \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)}{\text{cos}\left( \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)}$,  то:

    $latex \displaystyle \text{tg}\left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)=-\text{tg }\!\!\alpha\!\!\text{ }$

  • Так как   $latex \displaystyle \text{ctg}\left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)=\frac{\text{cos}\left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)}{\text{sin}\left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)}=\frac{\text{cos}\left( \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)}{-\text{sin}\left( \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)}$,  то:

$latex \displaystyle \text{ctg}\left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)=-\text{ctg}\ \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$

Таким образом, мы всегда можем избавиться от отрицательного знака внутри любой тригонометрической функции: либо просто уничтожив его, как у косинуса, либо поставив его перед функцией, как у синуса, тангенса и котангенса. Кстати, вспомни-ка, как называется функция $latex \displaystyle f(x)$, у которой для любого допустимого $latex \displaystyle x$ выполняется:$latex \displaystyle f(-x)=-f(x)$? Такая функция называется нечетной. А если же для любого допустимого $latex \displaystyle x$ выполняется: $latex \displaystyle f(-x)=f(x)$? То в таком случае функция называется четной. Таким образом, мы с тобой только что показали, что:

Синус, тангенс и котангенс – нечетные функции, а косинус – четная.

Таким образом, как ты понимаешь, нет никакой разницы, ищем ли мы синус от положительного угла или отрицательного: справиться с минусом очень просто. Так что нам не нужны таблицы отдельно для отрицательных углов.

С другой стороны, согласись, было бы очень удобно зная только тригонометрические функции углов первой четверти, уметь вычислять аналогичные функции и для остальных четвертей. Можно ли это сделать? Конечно, можно! У тебя есть по крайней мере 2 пути: первый – строить треугольник и применять теорему Пифагора (так мы с тобой и отыскали значения тригонометрических функций для основных углов первой четверти), а второй – запомнив значения функций для углов в первой четверти и некое несложное правило, уметь вычислять тригонометрические функции для всех остальных четвертей. Второй способ избавит тебя от долгой возни с треугольниками и с Пифагором, поэтому мне он видится более перспективным:

Итак, данный способ (или правило) называется — формулы приведения.

Больше задач — после регистрации.

Формулы приведения

Грубо говоря, эти формулы помогут тебе не запоминать вот такую таблицу: TABL (она между прочим содержит 98 чисел!) Если ты помнишь вот эту (всего на 20 чисел): TABL2 то есть ты сможешь не забивать себе голову совершенно ненужными 78 числами! Пусть, например, нам нужно вычислить $latex \displaystyle \text{sin}\ 855{}^\circ $. Ясно, что в маленькой таблице такого нет. Что же нам делать? А вот что:

Во-первых, нам понадобятся следующие знания:

  1. Синус и косинус имеют период $latex \displaystyle 2\pi $ ($latex \displaystyle 360$ градусов), то есть

    $latex \displaystyle sin\left( 2\pi k+x \right)=sin x$
    $latex \displaystyle cos\left( 2\pi k+x \right)=cos x$

    Тангенс (котангенс) имеют период $latex \displaystyle \pi $ ($latex \displaystyle 180$ градусов)

    $latex \displaystyle tg\left( \pi k+x \right)=tg x$
    $latex \displaystyle ctg\left( \pi k+x \right)=ctg x$
    $latex \displaystyle k$ – любое целое число

  2. Синус и тангенс – функции нечетные, а косинус – четная:

    $latex \displaystyle sin\left( -x \right)=-sin x$
    $latex \displaystyle tg\left( -x \right)=-tg\left( x \right)$
    $latex \displaystyle cos\left( -x \right)=cos\left( x \right)$

Первое утверждение мы доказали с тобой в предыдущей статье, а справедливость второго установили совсем недавно. Непосредственно правило приведения выглядит вот так:

  1. Если мы вычисляем значение тригонометрической функции от отрицательного угла – делаем его положительным при помощи группы формул (2). Например:

    $latex \displaystyle sin\left( -855{}^\circ  \right)=-sin855{}^\circ$,
    $latex \displaystyle cos\left( -855{}^\circ  \right)=cos855{}^\circ$.

  2. Отбрасываем для синуса и косинуса его периоды: $latex \displaystyle 2\pi k$ (по $latex \displaystyle 360$ градусов), а для тангенса – $latex \displaystyle \pi k$ ($latex \displaystyle 180$ градусов). Например:

    $latex \displaystyle sin\ 855{}^\circ =sin\left( 2\cdot 360{}^\circ +135{}^\circ  \right)=sin\ 135{}^\circ $ $latex \displaystyle tg\ 225{}^\circ =tg\left( 180{}^\circ +45{}^\circ  \right)=tg\ 45{}^\circ $

  3. Если оставшийся «уголок» меньше $latex \displaystyle 90$ градусов, то задача решена: ищем его в «малой таблице».
  4. Иначе ищем, в какой четверти лежит наш угол $latex \displaystyle \alpha $: это будет 2, 3 или 4 четверть. Смотрим, какой знак имеет искомая функция в четверти. Запомнили этот знак!!!
  5. Представляем угол $latex \displaystyle \alpha $ в одной из следующих форм:

    $latex \displaystyle \alpha =90+\beta $ (если во второй четверти)
    $latex \displaystyle \alpha =180-\beta $ (если во второй четверти)
    $latex \displaystyle \alpha =180+\beta $ (если в третьей четверти)
    $latex \displaystyle \alpha =270-\beta $ (если в третьей четверти)
    $latex \displaystyle \alpha =270+\beta $ (если в четвертой четверти)
    $latex \displaystyle \alpha =360-\beta $ (если в четвертой четверти)

    так, чтобы оставшийся угол $latex \displaystyle \beta $ был больше нуля и меньше $latex \displaystyle 90$ градусов. Например:

    $latex \displaystyle 135{}^\circ =180{}^\circ -45{}^\circ $
    $latex \displaystyle 135{}^\circ =90{}^\circ +45{}^\circ $
    $latex \displaystyle 315{}^\circ =270{}^\circ+45{}^\circ $
    $latex \displaystyle 240{}^\circ =180{}^\circ +60{}^\circ $
    $latex \displaystyle 240{}^\circ =270{}^\circ -30{}^\circ $

    В принципе не важно, в какой из двух альтернативных форм для каждой четверти ты представишь угол. На конечном результате это не скажется.

  6. Теперь смотрим, что у нас получилось: если ты выбрал запись через $latex \displaystyle 180$ или $latex \displaystyle 360$ градусов плюс минус что-либо, то знак функции меняться не будет: ты просто убираешь $latex \displaystyle 180$ или $latex \displaystyle 360$ и записываешь синус, косинус или тангенс оставшегося угла. Если же ты выбрал запись через $latex \displaystyle 90$ или $latex \displaystyle 270$ градусов, то синус меняем на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс – на тангенс.
  7. Ставим перед получившимся выражением знак из пункта 4.

Давай продемонстрируем все вышесказанное на примерах:

  1. Вычислить $latex \displaystyle sin\ 2130{}^\circ $
  2. Вычислить $latex \displaystyle \sqrt{2}cos\frac{21\pi }{4}$
  3. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния: $latex \displaystyle 12\sin 150{}^\circ \cos 120{}^\circ $

Начнем по порядку:

  1. Действуем согласно нашему алгоритму. Выделяем целое число кругов для $latex \displaystyle 2130{}^\circ $:

    $latex \displaystyle \frac{2130{}^\circ }{360{}^\circ }=5,91\ldots $

    В общем, делаем вывод, что в угол $latex \displaystyle 2130{}^\circ $ помещается целиком 5 раз по $latex \displaystyle 360{}^\circ $, а сколько осталось? Осталось $latex \displaystyle 2130{}^\circ -5\cdot 360{}^\circ =330{}^\circ $. Тогда

    $latex \displaystyle sin~\ 2130{}^\circ =sin\left( 5\cdot 360{}^\circ +330{}^\circ  \right)=sin\ 330{}^\circ $

    Ну вот, лишнее мы отбросили. Теперь разбираемся со знаком. $latex \displaystyle 330{}^\circ $ лежит в 4 четверти. Синус четвертой четверти имеет знак «минус», его я и не должен забыть поставить в ответе. Далее, представляем  $latex \displaystyle 330{}^\circ $ согласно одной из двух формул пункта 5 правил приведения. Я выберу: $latex \displaystyle 330{}^\circ =270{}^\circ +60{}^\circ $

    $latex \displaystyle sin\ 330{}^\circ =sin\left( 270{}^\circ +60{}^\circ  \right)$

    Теперь смотрим, что получилось: у нас случай с $latex \displaystyle 270$ градусами, тогда отбрасываем $latex \displaystyle 270{}^\circ $ и синус меняем на косинус. И ставим перед ним знак «минус»!

    $latex \displaystyle sin\left( 270{}^\circ +60{}^\circ  \right)=-cos60{}^\circ $

    $latex \displaystyle 60$ градусов – угол в первой четверти. Мы знаем (ты мне обещал выучить малую таблицу!!) его значение:

    $latex \displaystyle cos\ 60{}^\circ =0,5$

    Тогда получим окончательный ответ:

    $latex \displaystyle sin~\ 2130{}^\circ =-0,5$

    Ответ: $latex \displaystyle -0,5$

  2. $latex \displaystyle \sqrt{2}cos\frac{21\pi }{4}$ все то же самое, но вместо градусов – радианы. Ничего страшного. Главное помнить, что

    $latex \displaystyle \pi ~рад.=180{}^\circ $

    Но можно и не заменять радианы на градусы. Это вопрос твоего вкуса. Я не буду ничего менять. Начну опять-таки с отбрасывания целых кругов:

    $latex \displaystyle \frac{21\pi }{4}=5\frac{1}{4}\pi =4\pi +1\frac{1}{4}\pi $

    Отбрасываем $latex \displaystyle 4\pi $ — это два целых круга. Осталось вычислить $latex \displaystyle cos\ 1\frac{1}{4}\pi $. Данный угол находится в третьей четверти. Косинус третьей четверти отрицательный. Не забудем поставить знак «минус» в ответе. $latex \displaystyle 1\frac{1}{4}\pi $ можно представить как $latex \displaystyle \pi +\frac{\pi }{4}$. Снова вспоминаем правило: у нас случай «целого» числа $latex \displaystyle \pi $ ($latex \displaystyle 180{}^\circ $ или $latex \displaystyle 360{}^\circ $), тогда функция не меняется:

    $latex \displaystyle cos1\frac{1}{4}\pi =\cos \left( \pi +\frac{\pi }{4} \right)=-cos\frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

    Тогда $latex \displaystyle \sqrt{2}cos\frac{21\pi }{4}=\sqrt{2}\cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)=-1$.
    Ответ: $latex \displaystyle -1$.

  3. $latex \displaystyle 12\sin 150{}^\circ \cos 120{}^\circ $. Нужно проделать все то же самое, но уже с двумя функциями. Я буду несколько более краток: $latex \displaystyle 150{}^\circ $ и $latex \displaystyle 120{}^\circ $ градусов – углы второй четверти. Косинус второй четверти имеет знак «минус», а синус – «плюс». $latex \displaystyle 150{}^\circ $ можно представить как: $latex \displaystyle 150{}^\circ =90{}^\circ +60{}^\circ $, а $latex \displaystyle 120{}^\circ $ как $latex \displaystyle 90{}^\circ +30{}^\circ $, тогда

    $latex \displaystyle 12sin\ 150{}^\circ cos\ 120{}^\circ =12\sin \left( 90{}^\circ +60{}^\circ  \right)\text{cos}\left( 90{}^\circ +30{}^\circ  \right)$

    Оба случая – «половинки от целого $latex \displaystyle \pi $». Тогда синус меняется на косинус, а косинус – на синус. Причем перед косинусом стоит знак «минус»:

$latex \displaystyle 12\sin \left( {{90}^{{}^\circ }}+{{60}^{{}^\circ }} \right)\cos \left( {{90}^{{}^\circ }}+{{30}^{{}^\circ }} \right)=12cos\ {{60}^{{}^\circ }}\left( -sin\ {{30}^{{}^\circ }} \right)=$

$latex \displaystyle =12\cdot 0,5\cdot \left( -0,5 \right)=-3$

Ответ: $latex \displaystyle -3$.

Теперь потренируйся самостоятельно на следующих примерах:

  1. $latex \displaystyle \frac{8}{\sin \left( -\frac{27\pi }{4} \right)\cdot \text{cos}\left( \frac{31\pi }{4} \right)}$
  2. $latex \displaystyle -4\sqrt{3}\text{cos}\left( -750{}^\circ  \right)$
  3. $latex \displaystyle 2\sqrt{3}tg\left( -300{}^\circ  \right)$

А вот и решения:

  1. $latex \displaystyle \frac{8}{\sin \left( -\frac{27\pi }{4} \right)\cdot \text{cos}\left( \frac{31\pi }{4} \right)}$
    Вначале избавимся от минуса, вынеся его перед синусом (поскольку синус – функция нечетная!!!). Затем рассмотрим углы:

    $latex \displaystyle \frac{27\pi }{4}=\frac{26\pi }{4}+\frac{\pi }{4}=6\pi +\frac{\pi }{4}$

    Отбрасываем целое количество кругов – то есть три круга ($latex \displaystyle 6\pi $).
    Остается вычислить: $latex \displaystyle sin\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
    Также поступаем и со вторым углом:

    $latex \displaystyle \frac{31\pi }{4}=7\frac{3}{4}\pi =7\pi +\frac{3}{4}\pi $

    Удаляем целое число кругов – 3 круга ($latex \displaystyle 6\pi $) тогда:

    $latex \displaystyle cos\left( \frac{31\pi }{4} \right)=\cos \left( 7\pi +\frac{3}{4}\pi  \right)=\cos \left( \pi +\frac{3}{4}\pi  \right)$

    Теперь думаем: в какой четверти лежит оставшийся угол? Он «не дотягивает» до $latex \displaystyle 2\pi $ всего $latex \displaystyle \frac{\pi }{4}$. Тогда какая это четверть? Четвертая. Каков знак косинуса четвертой четверти? Положительный. Теперь представим $latex \displaystyle \pi +\frac{3}{4}\pi =1\frac{3}{4}\pi =2\pi -\frac{\pi }{4}$. Так как вычитаем мы из целого количества $latex \displaystyle \pi $, то знак косинуса не меняем:

    $latex \displaystyle \cos \left( \pi +\frac{3}{4}\pi  \right)=\cos \left( 2\pi -\frac{\pi }{4} \right)=cos\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

    Подставляем все полученные данные в формулу:

    $latex \displaystyle \frac{8}{\sin \left( -\frac{27\pi }{4} \right)\text{cos}\left( \frac{31\pi }{4} \right)}=\frac{8}{-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{8}{-\frac{2}{4}}=-8:\left( \frac{2}{4} \right)=-16$.

    Ответ: $latex \displaystyle -16$.

  2. $latex \displaystyle -4\sqrt{3}\text{cos}\left( -{{750}^{{}^\circ }} \right)$
    Стандартно: убираем минус из косинуса, пользуясь тем, что $latex \displaystyle \cos \left( -x \right)=\cos \left( x \right)$.
    Осталось сосчитать косинус $latex \displaystyle 750$ градусов. Уберем целые круги: $latex \displaystyle 750{}^\circ =2\cdot 360{}^\circ +30{}^\circ $. Тогда

    $latex \displaystyle cos\left( -750{}^\circ  \right)=cos\left( 750{}^\circ  \right)=cos\left( 2\cdot 360{}^\circ +30{}^\circ  \right)=cos30{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}$

    Тогда $latex \displaystyle -4\sqrt{3}\cos \left( -750{}^\circ  \right)=-4\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-2\cdot 3=-6$.
    Ответ: $latex \displaystyle -6$.

  3. $latex \displaystyle 2\sqrt{3}tg\left( -300{}^\circ  \right)$ Действуем, как в предыдущем примере.

    $latex \displaystyle tg\left( -300{}^\circ  \right)=-tg300{}^\circ $

    Поскольку ты помнишь, что период у тангенса – $latex \displaystyle 180{}^\circ $  (или $latex \displaystyle \pi $) в отличие от косинуса или синуса, у которых он в 2 раза больше, то удалим целое количество $latex \displaystyle \pi $.

    $latex \displaystyle tg300{}^\circ =tg\left( 180{}^\circ +120{}^\circ  \right)=tg120{}^\circ $

    $latex \displaystyle 120$ градусов – угол во второй четверти. Тангенс второй четверти отрицательный, тогда не забудем в конце о «минусе»! $latex \displaystyle 120$ можно записать как $latex \displaystyle 90+30$. Тангенс меняется на котангенс. Окончательно получим:

    $latex \displaystyle tg120{}^\circ =tg\left( 90{}^\circ +30{}^\circ  \right)=-ctg30{}^\circ =-\sqrt{3}$

    Тогда $latex \displaystyle 2\sqrt{3}tg\left( -300{}^\circ  \right)=-2\sqrt{3}\left( -\sqrt{3} \right)=2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=6$.
    Ответ: $latex \displaystyle 6$.

Ну что же, осталось совсем немного!

Больше задач — после регистрации.

Ось тангенсов и ось котангенсов

Последнее, на чем бы мне хотелось здесь остановиться – это на двух дополнительных осях. Как мы уже обсуждали, у нас есть две оси:

  1. Ось $latex \displaystyle X$ – ось косинусов
  2. Ось $latex \displaystyle Y$ – ось синусов

На самом деле, координатные оси у нас закончились, не так ли? Но а как же быть с тангенсами и котангенсами? Неужели, для них нет никакой графической интерпретации? На самом деле, она есть, ее ты можешь увидеть на вот этой картинке: триг.окр.2.-6 В частности, по этим картинкам можно сказать вот что:

  1. Тангенс и котангенс имеют одинаковые знаки по четвертям
  2. Они положительны в 1 и 3 четверти
  3. Они отрицательны во 2 и 4 четверти
  4. Тангенс не определен в углах $latex \displaystyle \frac{\pi }{2}+\pi k,~k\in Z$
  5. Котангенс не определен в углах $latex \displaystyle \pi k,~k\in Z$

Для чего еще нужны эти картинки? Узнаешь в следующей статье, где я расскажу, как с помощью тригонометрического круга можно упрощать решения тригонометрических уравнений!

Проверь себя — реши задачи на тригонометрическую окружность.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий