Тригонометрическая окружность. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Ну что же, в этой статье мы с тобой продолжим изучение тригонометрической окружности и обсудим следующие моменты:

  1. Что такое отрицательные углы?
  2. Как вычислять значения тригонометрических функций в этих углах?
  3. Как по известным значениям тригонометрических функций 1 четверти искать значения функций в других четвертях?
  4. Что такое ось тангенсов и ось котангенсов?

Никаких дополнительных знаний, кроме как базовых навыков работы с единичной окружностью (предыдущая статья) нам не понадобится. Ну что же, давай приступим к первому вопросу: что такое отрицательные углы?

Отрицательные углы

Отрицательные углы в тригонометрии откладываются на тригонометрическом круге вниз от начала, по направлению движения часовой стрелки:

Отрицательные углы в тригонометрии рис. 1

Давай вспомним, как мы до этого откладывали углы на тригонометрической окружности: Мы шли от положительного направления оси \(\displaystyle Ox\) против часовой стрелки:

триг.окр.2.-1

Тогда на нашем рисунке построен угол, равный \(\displaystyle 180+45=225{}^\circ \). Аналогичным образом мы строили все углы. Однако ничего нам не запрещает идти от положительного направления оси \(\displaystyle Ox\) по часовой стрелке. Мы будем тоже получать различные углы, но они будут уже отрицательными: Отрицательные углы в тригонометрии рис. 2

На следующей картинке изображено два угла, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку:

равные положительный и отрицательный углы

В  целом правило можно сформулировать вот так:

  • Идем против часовой стрелки – получаем положительные углы
  • Идем по часовой стрелке – получаем отрицательные углы

Схематично правило изображено вот на этом рисунке: триг.окр.2.-4

Ты мог бы задать мне вполне резонный вопрос: ну углы нам нужны для того, чтобы измерять у них значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Так есть ли разница, когда у нас угол положительный, а когда – отрицательный? Я отвечу тебе: как правило есть. Однако ты всегда можешь свести вычисление тригонометрической функции от отрицательного угла к вычислению функции в угле положительном. Посмотри на следующую картинку: триг.окр.2.-5 Я построил два угла, они равны по абсолютному значению, но имеют противоположный знак. Отметим для каждого из углов его синус и косинус на осях. Что мы с тобой видим? А вот что:

  • Синусы у углов \(\displaystyle \alpha \) и \(\displaystyle -\alpha \) противоположны по знаку! Тогда если

    \(\displaystyle \text{sin}\ \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\text{y}\), то \(\displaystyle \sin \left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)=-\text{y}\)
    \(\displaystyle \sin \left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)=-\text{sin}\ \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\)

  • Косинусы у углов \(\displaystyle \alpha \) и \(\displaystyle -\alpha \) совпадают! Тогда если

    \(\displaystyle \text{cos}\ \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\text{x}\),то  и  \(\displaystyle \cos \left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)=\text{x}\)
    \(\displaystyle \cos \left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)=\text{cos}\ \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\)

  • Так как   \(\displaystyle \text{tg}\left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)=\frac{\text{sin}\left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)}{\text{cos}\left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)}=\frac{-\text{sin}\left( \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)}{\text{cos}\left( \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)}\),  то:

    \(\displaystyle \text{tg}\left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)=-\text{tg }\!\!\alpha\!\!\text{ }\)

  • Так как   \(\displaystyle \text{ctg}\left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)=\frac{\text{cos}\left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)}{\text{sin}\left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)}=\frac{\text{cos}\left( \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)}{-\text{sin}\left( \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)}\),  то:

\(\displaystyle \text{ctg}\left( -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } \right)=-\text{ctg}\ \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\)

Таким образом, мы всегда можем избавиться от отрицательного знака внутри любой тригонометрической функции: либо просто уничтожив его, как у косинуса, либо поставив его перед функцией, как у синуса, тангенса и котангенса. Кстати, вспомни-ка, как называется функция \(\displaystyle f(x)\), у которой для любого допустимого \(\displaystyle x\) выполняется:\(\displaystyle f(-x)=-f(x)\)? Такая функция называется нечетной. А если же для любого допустимого \(\displaystyle x\) выполняется: \(\displaystyle f(-x)=f(x)\)? То в таком случае функция называется четной. Таким образом, мы с тобой только что показали, что:

Синус, тангенс и котангенс – нечетные функции, а косинус – четная.

Таким образом, как ты понимаешь, нет никакой разницы, ищем ли мы синус от положительного угла или отрицательного: справиться с минусом очень просто. Так что нам не нужны таблицы отдельно для отрицательных углов.

С другой стороны, согласись, было бы очень удобно зная только тригонометрические функции углов первой четверти, уметь вычислять аналогичные функции и для остальных четвертей. Можно ли это сделать? Конечно, можно! У тебя есть по крайней мере 2 пути: первый – строить треугольник и применять теорему Пифагора (так мы с тобой и отыскали значения тригонометрических функций для основных углов первой четверти), а второй – запомнив значения функций для углов в первой четверти и некое несложное правило, уметь вычислять тригонометрические функции для всех остальных четвертей. Второй способ избавит тебя от долгой возни с треугольниками и с Пифагором, поэтому мне он видится более перспективным:

Итак, данный способ (или правило) называется — формулы приведения.

Больше задач — после регистрации.

Формулы приведения

Грубо говоря, эти формулы помогут тебе не запоминать вот такую таблицу: TABL (она между прочим содержит 98 чисел!) Если ты помнишь вот эту (всего на 20 чисел): TABL2 то есть ты сможешь не забивать себе голову совершенно ненужными 78 числами! Пусть, например, нам нужно вычислить \(\displaystyle \text{sin}\ 855{}^\circ \). Ясно, что в маленькой таблице такого нет. Что же нам делать? А вот что:

Во-первых, нам понадобятся следующие знания:

  1. Синус и косинус имеют период \(\displaystyle 2\pi \) (\(\displaystyle 360\) градусов), то есть

    \(\displaystyle sin\left( 2\pi k+x \right)=sin x\)
    \(\displaystyle cos\left( 2\pi k+x \right)=cos x\)

    Тангенс (котангенс) имеют период \(\displaystyle \pi \) (\(\displaystyle 180\) градусов)

    \(\displaystyle tg\left( \pi k+x \right)=tg x\)
    \(\displaystyle ctg\left( \pi k+x \right)=ctg x\)
    \(\displaystyle k\) – любое целое число

  2. Синус и тангенс – функции нечетные, а косинус – четная:

    \(\displaystyle sin\left( -x \right)=-sin x\)
    \(\displaystyle tg\left( -x \right)=-tg\left( x \right)\)
    \(\displaystyle cos\left( -x \right)=cos\left( x \right)\)

Первое утверждение мы доказали с тобой в предыдущей статье, а справедливость второго установили совсем недавно. Непосредственно правило приведения выглядит вот так:

  1. Если мы вычисляем значение тригонометрической функции от отрицательного угла – делаем его положительным при помощи группы формул (2). Например:

    \(\displaystyle sin\left( -855{}^\circ  \right)=-sin855{}^\circ\),
    \(\displaystyle cos\left( -855{}^\circ  \right)=cos855{}^\circ\).

  2. Отбрасываем для синуса и косинуса его периоды: \(\displaystyle 2\pi k\) (по \(\displaystyle 360\) градусов), а для тангенса – \(\displaystyle \pi k\) (\(\displaystyle 180\) градусов). Например:

    \(\displaystyle sin\ 855{}^\circ =sin\left( 2\cdot 360{}^\circ +135{}^\circ  \right)=sin\ 135{}^\circ \) \(\displaystyle tg\ 225{}^\circ =tg\left( 180{}^\circ +45{}^\circ  \right)=tg\ 45{}^\circ \)

  3. Если оставшийся «уголок» меньше \(\displaystyle 90\) градусов, то задача решена: ищем его в «малой таблице».
  4. Иначе ищем, в какой четверти лежит наш угол \(\displaystyle \alpha \): это будет 2, 3 или 4 четверть. Смотрим, какой знак имеет искомая функция в четверти. Запомнили этот знак!!!
  5. Представляем угол \(\displaystyle \alpha \) в одной из следующих форм:

    \(\displaystyle \alpha =90+\beta \) (если во второй четверти)
    \(\displaystyle \alpha =180-\beta \) (если во второй четверти)
    \(\displaystyle \alpha =180+\beta \) (если в третьей четверти)
    \(\displaystyle \alpha =270-\beta \) (если в третьей четверти)
    \(\displaystyle \alpha =270+\beta \) (если в четвертой четверти)
    \(\displaystyle \alpha =360-\beta \) (если в четвертой четверти)

    так, чтобы оставшийся угол \(\displaystyle \beta \) был больше нуля и меньше \(\displaystyle 90\) градусов. Например:

    \(\displaystyle 135{}^\circ =180{}^\circ -45{}^\circ \)
    \(\displaystyle 135{}^\circ =90{}^\circ +45{}^\circ \)
    \(\displaystyle 315{}^\circ =270{}^\circ+45{}^\circ \)
    \(\displaystyle 240{}^\circ =180{}^\circ +60{}^\circ \)
    \(\displaystyle 240{}^\circ =270{}^\circ -30{}^\circ \)

    В принципе не важно, в какой из двух альтернативных форм для каждой четверти ты представишь угол. На конечном результате это не скажется.

  6. Теперь смотрим, что у нас получилось: если ты выбрал запись через \(\displaystyle 180\) или \(\displaystyle 360\) градусов плюс минус что-либо, то знак функции меняться не будет: ты просто убираешь \(\displaystyle 180\) или \(\displaystyle 360\) и записываешь синус, косинус или тангенс оставшегося угла. Если же ты выбрал запись через \(\displaystyle 90\) или \(\displaystyle 270\) градусов, то синус меняем на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс – на тангенс.
  7. Ставим перед получившимся выражением знак из пункта 4.

Давай продемонстрируем все вышесказанное на примерах:

  1. Вычислить \(\displaystyle sin\ 2130{}^\circ \)
  2. Вычислить \(\displaystyle \sqrt{2}cos\frac{21\pi }{4}\)
  3. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния: \(\displaystyle 12\sin 150{}^\circ \cos 120{}^\circ \)

Начнем по порядку:

  1. Действуем согласно нашему алгоритму. Выделяем целое число кругов для \(\displaystyle 2130{}^\circ \):

    \(\displaystyle \frac{2130{}^\circ }{360{}^\circ }=5,91\ldots \)

    В общем, делаем вывод, что в угол \(\displaystyle 2130{}^\circ \) помещается целиком 5 раз по \(\displaystyle 360{}^\circ \), а сколько осталось? Осталось \(\displaystyle 2130{}^\circ -5\cdot 360{}^\circ =330{}^\circ \). Тогда

    \(\displaystyle sin~\ 2130{}^\circ =sin\left( 5\cdot 360{}^\circ +330{}^\circ  \right)=sin\ 330{}^\circ \)

    Ну вот, лишнее мы отбросили. Теперь разбираемся со знаком. \(\displaystyle 330{}^\circ \) лежит в 4 четверти. Синус четвертой четверти имеет знак «минус», его я и не должен забыть поставить в ответе. Далее, представляем  \(\displaystyle 330{}^\circ \) согласно одной из двух формул пункта 5 правил приведения. Я выберу: \(\displaystyle 330{}^\circ =270{}^\circ +60{}^\circ \)

    \(\displaystyle sin\ 330{}^\circ =sin\left( 270{}^\circ +60{}^\circ  \right)\)

    Теперь смотрим, что получилось: у нас случай с \(\displaystyle 270\) градусами, тогда отбрасываем \(\displaystyle 270{}^\circ \) и синус меняем на косинус. И ставим перед ним знак «минус»!

    \(\displaystyle sin\left( 270{}^\circ +60{}^\circ  \right)=-cos60{}^\circ \)

    \(\displaystyle 60\) градусов – угол в первой четверти. Мы знаем (ты мне обещал выучить малую таблицу!!) его значение:

    \(\displaystyle cos\ 60{}^\circ =0,5\)

    Тогда получим окончательный ответ:

    \(\displaystyle sin~\ 2130{}^\circ =-0,5\)

    Ответ: \(\displaystyle -0,5\)

  2. \(\displaystyle \sqrt{2}cos\frac{21\pi }{4}\) все то же самое, но вместо градусов – радианы. Ничего страшного. Главное помнить, что

    \(\displaystyle \pi ~рад.=180{}^\circ \)

    Но можно и не заменять радианы на градусы. Это вопрос твоего вкуса. Я не буду ничего менять. Начну опять-таки с отбрасывания целых кругов:

    \(\displaystyle \frac{21\pi }{4}=5\frac{1}{4}\pi =4\pi +1\frac{1}{4}\pi \)

    Отбрасываем \(\displaystyle 4\pi \) — это два целых круга. Осталось вычислить \(\displaystyle cos\ 1\frac{1}{4}\pi \). Данный угол находится в третьей четверти. Косинус третьей четверти отрицательный. Не забудем поставить знак «минус» в ответе. \(\displaystyle 1\frac{1}{4}\pi \) можно представить как \(\displaystyle \pi +\frac{\pi }{4}\). Снова вспоминаем правило: у нас случай «целого» числа \(\displaystyle \pi \) (\(\displaystyle 180{}^\circ \) или \(\displaystyle 360{}^\circ \)), тогда функция не меняется:

    \(\displaystyle cos1\frac{1}{4}\pi =\cos \left( \pi +\frac{\pi }{4} \right)=-cos\frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)

    Тогда \(\displaystyle \sqrt{2}cos\frac{21\pi }{4}=\sqrt{2}\cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)=-1\).
    Ответ: \(\displaystyle -1\).

  3. \(\displaystyle 12\sin 150{}^\circ \cos 120{}^\circ \). Нужно проделать все то же самое, но уже с двумя функциями. Я буду несколько более краток: \(\displaystyle 150{}^\circ \) и \(\displaystyle 120{}^\circ \) градусов – углы второй четверти. Косинус второй четверти имеет знак «минус», а синус – «плюс». \(\displaystyle 150{}^\circ \) можно представить как: \(\displaystyle 150{}^\circ =90{}^\circ +60{}^\circ \), а \(\displaystyle 120{}^\circ \) как \(\displaystyle 90{}^\circ +30{}^\circ \), тогда

    \(\displaystyle 12sin\ 150{}^\circ cos\ 120{}^\circ =12\sin \left( 90{}^\circ +60{}^\circ  \right)\text{cos}\left( 90{}^\circ +30{}^\circ  \right)\)

    Оба случая – «половинки от целого \(\displaystyle \pi \)». Тогда синус меняется на косинус, а косинус – на синус. Причем перед косинусом стоит знак «минус»:

\(\displaystyle 12\sin \left( {{90}^{{}^\circ }}+{{60}^{{}^\circ }} \right)\cos \left( {{90}^{{}^\circ }}+{{30}^{{}^\circ }} \right)=12cos\ {{60}^{{}^\circ }}\left( -sin\ {{30}^{{}^\circ }} \right)=\)

\(\displaystyle =12\cdot 0,5\cdot \left( -0,5 \right)=-3\)

Ответ: \(\displaystyle -3\).

Теперь потренируйся самостоятельно на следующих примерах:

  1. \(\displaystyle \frac{8}{\sin \left( -\frac{27\pi }{4} \right)\cdot \text{cos}\left( \frac{31\pi }{4} \right)}\)
  2. \(\displaystyle -4\sqrt{3}\text{cos}\left( -750{}^\circ  \right)\)
  3. \(\displaystyle 2\sqrt{3}tg\left( -300{}^\circ  \right)\)

А вот и решения:

  1. \(\displaystyle \frac{8}{\sin \left( -\frac{27\pi }{4} \right)\cdot \text{cos}\left( \frac{31\pi }{4} \right)}\)
    Вначале избавимся от минуса, вынеся его перед синусом (поскольку синус – функция нечетная!!!). Затем рассмотрим углы:

    \(\displaystyle \frac{27\pi }{4}=\frac{26\pi }{4}+\frac{\pi }{4}=6\pi +\frac{\pi }{4}\)

    Отбрасываем целое количество кругов – то есть три круга (\(\displaystyle 6\pi \)).
    Остается вычислить: \(\displaystyle sin\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\).
    Также поступаем и со вторым углом:

    \(\displaystyle \frac{31\pi }{4}=7\frac{3}{4}\pi =7\pi +\frac{3}{4}\pi \)

    Удаляем целое число кругов – 3 круга (\(\displaystyle 6\pi \)) тогда:

    \(\displaystyle cos\left( \frac{31\pi }{4} \right)=\cos \left( 7\pi +\frac{3}{4}\pi  \right)=\cos \left( \pi +\frac{3}{4}\pi  \right)\)

    Теперь думаем: в какой четверти лежит оставшийся угол? Он «не дотягивает» до \(\displaystyle 2\pi \) всего \(\displaystyle \frac{\pi }{4}\). Тогда какая это четверть? Четвертая. Каков знак косинуса четвертой четверти? Положительный. Теперь представим \(\displaystyle \pi +\frac{3}{4}\pi =1\frac{3}{4}\pi =2\pi -\frac{\pi }{4}\). Так как вычитаем мы из целого количества \(\displaystyle \pi \), то знак косинуса не меняем:

    \(\displaystyle \cos \left( \pi +\frac{3}{4}\pi  \right)=\cos \left( 2\pi -\frac{\pi }{4} \right)=cos\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

    Подставляем все полученные данные в формулу:

    \(\displaystyle \frac{8}{\sin \left( -\frac{27\pi }{4} \right)\text{cos}\left( \frac{31\pi }{4} \right)}=\frac{8}{-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{8}{-\frac{2}{4}}=-8:\left( \frac{2}{4} \right)=-16\).

    Ответ: \(\displaystyle -16\).

  2. \(\displaystyle -4\sqrt{3}\text{cos}\left( -{{750}^{{}^\circ }} \right)\)
    Стандартно: убираем минус из косинуса, пользуясь тем, что \(\displaystyle \cos \left( -x \right)=\cos \left( x \right)\).
    Осталось сосчитать косинус \(\displaystyle 750\) градусов. Уберем целые круги: \(\displaystyle 750{}^\circ =2\cdot 360{}^\circ +30{}^\circ \). Тогда

    \(\displaystyle cos\left( -750{}^\circ  \right)=cos\left( 750{}^\circ  \right)=cos\left( 2\cdot 360{}^\circ +30{}^\circ  \right)=cos30{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}\)

    Тогда \(\displaystyle -4\sqrt{3}\cos \left( -750{}^\circ  \right)=-4\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-2\cdot 3=-6\).
    Ответ: \(\displaystyle -6\).

  3. \(\displaystyle 2\sqrt{3}tg\left( -300{}^\circ  \right)\) Действуем, как в предыдущем примере.

    \(\displaystyle tg\left( -300{}^\circ  \right)=-tg300{}^\circ \)

    Поскольку ты помнишь, что период у тангенса – \(\displaystyle 180{}^\circ \)  (или \(\displaystyle \pi \)) в отличие от косинуса или синуса, у которых он в 2 раза больше, то удалим целое количество \(\displaystyle \pi \).

    \(\displaystyle tg300{}^\circ =tg\left( 180{}^\circ +120{}^\circ  \right)=tg120{}^\circ \)

    \(\displaystyle 120\) градусов – угол во второй четверти. Тангенс второй четверти отрицательный, тогда не забудем в конце о «минусе»! \(\displaystyle 120\) можно записать как \(\displaystyle 90+30\). Тангенс меняется на котангенс. Окончательно получим:

    \(\displaystyle tg120{}^\circ =tg\left( 90{}^\circ +30{}^\circ  \right)=-ctg30{}^\circ =-\sqrt{3}\)

    Тогда \(\displaystyle 2\sqrt{3}tg\left( -300{}^\circ  \right)=-2\sqrt{3}\left( -\sqrt{3} \right)=2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=6\).
    Ответ: \(\displaystyle 6\).

Ну что же, осталось совсем немного!

Больше задач — после регистрации.

Ось тангенсов и ось котангенсов

Последнее, на чем бы мне хотелось здесь остановиться – это на двух дополнительных осях. Как мы уже обсуждали, у нас есть две оси:

  1. Ось \(\displaystyle X\) – ось косинусов
  2. Ось \(\displaystyle Y\) – ось синусов

На самом деле, координатные оси у нас закончились, не так ли? Но а как же быть с тангенсами и котангенсами? Неужели, для них нет никакой графической интерпретации? На самом деле, она есть, ее ты можешь увидеть на вот этой картинке: триг.окр.2.-6 В частности, по этим картинкам можно сказать вот что:

  1. Тангенс и котангенс имеют одинаковые знаки по четвертям
  2. Они положительны в 1 и 3 четверти
  3. Они отрицательны во 2 и 4 четверти
  4. Тангенс не определен в углах \(\displaystyle \frac{\pi }{2}+\pi k,~k\in Z\)
  5. Котангенс не определен в углах \(\displaystyle \pi k,~k\in Z\)

Для чего еще нужны эти картинки? Узнаешь в следующей статье, где я расскажу, как с помощью тригонометрического круга можно упрощать решения тригонометрических уравнений!

Проверь себя — реши задачи на тригонометрическую окружность.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий