Тригонометрическая окружность. Продвинутый уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

В этой статье я опишу, как единичная окружность (тригонометрическая окружность) может пригодиться при решении тригонометрических уравнений. Я могу выделить два случая, когда она может оказаться полезной:

  1. В ответе у нас не получается «красивый» угол, но тем не менее надо производить отбор корней
  2. В ответе получается уж слишком много серий корней

Никаких специфических знаний тебе не требуется, кроме:

«Тригонометрические уравнения» (все три уровня)

Тему «тригонометрические уравнения» я старался писать, не прибегая к окружности. Многие бы меня за такой подход не похвалили. Но мне милее формулы, уж что тут поделать. Однако в некоторых случаях формул оказывается мало. Написать эту статью меня мотивировал следующий пример:

Решите уравнение:

$latex \displaystyle 8co{{s}^{4}}x-10co{{s}^{2}}x+3=0$

Ну что же. Решить само уравнение несложно. Замена $latex \displaystyle t=co{{s}^{2}}x$.

$latex \displaystyle 8{{t}^{4}}-10{{t}^{2}}+3=0$

Корни:

$latex \displaystyle {{t}_{1}}=\frac{1}{2},{{t}_{2}}=\frac{3}{4}$

Обратная замена:

$latex \displaystyle co{{s}^{2}}x=\frac{1}{2}$, откуда

$latex \displaystyle cosx=\frac{\sqrt{2}}{2}~$ или $latex \displaystyle cosx=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Или же:

$latex \displaystyle co{{s}^{2}}x=\frac{3}{4}$

Откуда

$latex \displaystyle cosx=\frac{\sqrt{3}}{2}$ или $latex \displaystyle cosx=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Отсюда наше исходное уравнение равносильно аж четырем простейшим уравнениям! Неужели нам нужно будет записывать 4 серии корней:

$latex \displaystyle x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n$

$latex \displaystyle x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n$

$latex \displaystyle x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n$

$latex \displaystyle x=\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi n$

В принципе, на этом можно было бы и остановиться. Но только не читателям данной статьи, претендующей на некую «усложненность»! Вначале рассмотрим первую серию корней. Итак, берется единичная окружность, теперь давай нанесем эти корни на окружность (отдельно для $latex \displaystyle +$ и для $latex \displaystyle -$):

единичная окружность рис. 1

Обрати внимание: какой угол получился между углами $latex \displaystyle \frac{\pi }{4}$ и $latex \displaystyle -\frac{\pi }{4}$? Это угол $latex \displaystyle \frac{\pi }{2}$. Теперь проделаем то же самое и для серии: $latex \displaystyle \pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n$.

единичная окружность рис. 2

Между корнями уравнения снова получился угол в $latex \displaystyle \frac{\pi }{2}$. А теперь совместим эти две картинки:

единичная окружность рис. 3

Что же мы видим? А то, все углы между нашими корнями равны $latex \displaystyle \frac{\pi }{2}$. А что это значит? Если мы стартуем от угла $latex \displaystyle \frac{\pi }{4}$ и будем брать углы, равные $latex \displaystyle \frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}n$ (для любого целого $latex \displaystyle n$), то мы всегда попадем в одну из четырех точек на верхней окружности! Таким образом, 2 серии корней:

$latex \displaystyle x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n$

$latex \displaystyle x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n$

Можно объединить в одну:

$latex \displaystyle x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}n$

Увы, для серий корней:

$latex \displaystyle x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n$

$latex \displaystyle x=\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi n$

Данные рассуждения уже не будут справедливы. Сделай чертеж и пойми, почему это так. Однако, их можно объединить следующим образом:

$latex \displaystyle x=\pm \frac{\pi }{6}+\pi n$

Тогда исходное уравнение имеет корни:

$latex \displaystyle \frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}n$ или $latex \displaystyle \pm \frac{\pi }{6}+\pi n$

Что является довольно кратким и лаконичным ответом. А о чем говорит краткость и лаконичность? Об уровне твоей математической грамоты. Это был первый пример, в котором использование тригонометрической окружности дало полезные плоды. Второй пример – уравнения, которые имеют «некрасивые корни». Например:

  1. Решите уравнение $latex \displaystyle 2sin2x=4cosx-sinx+1$.
  2. Найдите его корни, принадлежащие промежутку $latex \displaystyle \left[ \frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2} \right]$.

Первая часть не представляет из себя ничего сложного. Поскольку ты уже знаком с темой «Тригонометрические уравнения», то я позволю себе быть кратким в моих выкладках.

$latex \displaystyle 2\cdot 2sin x\cdot cos x=4cos x-sin x+1$

$latex \displaystyle 4sin x\cdot cos x-4cos x+sin x-1=0$

$latex \displaystyle 4cos x\left( sin x-1 \right)+\left( sin x-1 \right)=0$

$latex \displaystyle \left( 4cos x+1 \right)\left( sin x-1 \right)=0$

тогда $latex \displaystyle 4cos x+1=0$ или $latex \displaystyle \left( sin x-1 \right)=0$

$latex \displaystyle cosx=-\frac{1}{4}$ или $latex \displaystyle sinx=1$

$latex \displaystyle x=\pm \text{arccos}\left( -\frac{1}{4} \right)+2\pi n$ или $latex \displaystyle x=\frac{\pi }{2}+2\pi n$

Так мы нашли корни нашего уравнения. Ничего сложного. Сложнее решить вторую часть задания, не зная, чему в точности равен арккосинус от минус одной четверти (это не табличное значение). Однако мы можем изобразить найденные серии корней на единичной окружности:

единичная окружность, арккосинус от минус одной четверти

Что мы видим? Во-первых, рисунок дал нам понять, в каких пределах лежит арккосинус:

единичная окружность, арккосинус от минус одной четверти рис. 2

$latex \displaystyle \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}<\arccos \left( -\frac{1}{4} \right)<\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}$

Эта визуальная интерпретация поможет нам найти корни, принадлежащие отрезку:$latex \displaystyle \left[ \frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2} \right]$.

Во-первых, в него попадает само число $latex \displaystyle \frac{\pi }{2}$, затем $latex \displaystyle \arccos \left( -\frac{1}{4} \right)$ (см. рис). Далее, так как:

$latex \displaystyle -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}>-\arccos \left( -\frac{1}{4} \right)>-\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}$, то

$latex \displaystyle 2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}>2\pi -\arccos \left( -\frac{1}{4} \right)>2\pi -\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}$, откуда

$latex \displaystyle \frac{3\pi }{2}>2\pi -\arccos \left( -\frac{1}{4} \right)>\frac{4\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}$, тогда

$latex \displaystyle 2\pi -\arccos \left( -\frac{1}{4} \right)$ также принадлежит отрезку $latex \displaystyle \left[ \frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2} \right]$.

Таким образом, единичная окружность помогает определить, в какие пределы попадают «некрасивые» углы.

У тебя должен был остаться по крайней мере еще один вопрос: а как нам быть с тангенсами и котангенсами? На самом деле, для них тоже есть свои оси, правда они имеют немного специфический вид:

единичная окружность, тангенс и котангенс

В остальном же способ обращения с ними будет такой же, как с синусом и косинусом.

Напоследок рекомендую тебе самостоятельно решить вот этот пример, прибегая к помощи единичной окружности

Пример

Дано уравнение $latex \displaystyle 2co{{s}^{2}}x+2sin2x=3$.

  • Решите данное уравнение.
  • Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку $latex \displaystyle \left[ -\frac{3\pi }{2},-\frac{\pi }{2} \right]$.

Решение:

$latex \displaystyle 2co{{s}^{2}}x+2sin2x=3.$

$latex \displaystyle 2co{{s}^{2}}x+4sinxcosx-3\left( si{{n}^{2}}x+co{{s}^{2}}x \right)=0$

$latex \displaystyle co{{s}^{2}}x-4sinxcosx+3si{{n}^{2}}x=0$

$latex \displaystyle 1-4tgx+3t{{g}^{2}}x=0$

$latex \displaystyle t=tgx$

$latex \displaystyle 1-4t+3{{t}^{2}}=0$

$latex \displaystyle {{t}_{1}}=1,{{t}_{2}}=\frac{1}{3}$

$latex \displaystyle tgx=1$, $latex \displaystyle x=\frac{\pi }{4}+\pi n$

$latex \displaystyle tgx=\frac{1}{3}$,  $latex \displaystyle x=arctg\frac{1}{3}+\pi n$

Рисуем единичную окружность и отмечаем на ней наши решения:

единичная окружность, арктангенс

Из рисунка можно понять, что:

$latex \displaystyle 0<arctg\frac{1}{3}<\frac{\pi }{4}$

Или даже более того: так как $latex \displaystyle \frac{1}{3}<\frac{1}{\sqrt{3}}$, то

$latex \displaystyle arctg\frac{1}{3}<arctg\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi }{6}$:

единичная окружность рис. 4

Тогда найдем корни, принадлежащие отрезку $latex \displaystyle \left[ -\frac{3\pi }{2},-\frac{\pi }{2} \right]$.

$latex \displaystyle x=\frac{\pi }{4}-\pi =-\frac{3\pi }{4}$, $latex \displaystyle x=arctg\frac{1}{3}-\pi $  (так как $latex \displaystyle -\pi <-\pi +arctg\frac{1}{3}<-\pi +\frac{\pi }{6}$)

Предоставляю тебе самостоятельно убедиться, что других корней, принадлежащих промежутку $latex \displaystyle \left[ -\frac{3\pi }{2},-\frac{\pi }{2} \right]$, наше уравнение не имеет.

Проверь себя — реши задачи на тригонометрическую окружность.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий