Тригонометрическая окружность. Продвинутый уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

В этой статье я опишу, как единичная окружность (тригонометрическая окружность) может пригодиться при решении тригонометрических уравнений. Я могу выделить два случая, когда она может оказаться полезной:

  1. В ответе у нас не получается «красивый» угол, но тем не менее надо производить отбор корней
  2. В ответе получается уж слишком много серий корней

Никаких специфических знаний тебе не требуется, кроме:

«Тригонометрические уравнения» (все три уровня)

Тему «тригонометрические уравнения» я старался писать, не прибегая к окружности. Многие бы меня за такой подход не похвалили. Но мне милее формулы, уж что тут поделать. Однако в некоторых случаях формул оказывается мало. Написать эту статью меня мотивировал следующий пример:

Решите уравнение:

\(\displaystyle 8co{{s}^{4}}x-10co{{s}^{2}}x+3=0\)

Ну что же. Решить само уравнение несложно. Замена \(\displaystyle t=co{{s}^{2}}x\).

\(\displaystyle 8{{t}^{4}}-10{{t}^{2}}+3=0\)

Корни:

\(\displaystyle {{t}_{1}}=\frac{1}{2},{{t}_{2}}=\frac{3}{4}\)

Обратная замена:

\(\displaystyle co{{s}^{2}}x=\frac{1}{2}\), откуда

\(\displaystyle cosx=\frac{\sqrt{2}}{2}~\) или \(\displaystyle cosx=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Или же:

\(\displaystyle co{{s}^{2}}x=\frac{3}{4}\)

Откуда

\(\displaystyle cosx=\frac{\sqrt{3}}{2}\) или \(\displaystyle cosx=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Отсюда наше исходное уравнение равносильно аж четырем простейшим уравнениям! Неужели нам нужно будет записывать 4 серии корней:

\(\displaystyle x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n\)

\(\displaystyle x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n\)

\(\displaystyle x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n\)

\(\displaystyle x=\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi n\)

В принципе, на этом можно было бы и остановиться. Но только не читателям данной статьи, претендующей на некую «усложненность»! Вначале рассмотрим первую серию корней. Итак, берется единичная окружность, теперь давай нанесем эти корни на окружность (отдельно для \(\displaystyle +\) и для \(\displaystyle -\)):

единичная окружность рис. 1

Обрати внимание: какой угол получился между углами \(\displaystyle \frac{\pi }{4}\) и \(\displaystyle -\frac{\pi }{4}\)? Это угол \(\displaystyle \frac{\pi }{2}\). Теперь проделаем то же самое и для серии: \(\displaystyle \pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n\).

единичная окружность рис. 2

Между корнями уравнения снова получился угол в \(\displaystyle \frac{\pi }{2}\). А теперь совместим эти две картинки:

единичная окружность рис. 3

Что же мы видим? А то, все углы между нашими корнями равны \(\displaystyle \frac{\pi }{2}\). А что это значит? Если мы стартуем от угла \(\displaystyle \frac{\pi }{4}\) и будем брать углы, равные \(\displaystyle \frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}n\) (для любого целого \(\displaystyle n\)), то мы всегда попадем в одну из четырех точек на верхней окружности! Таким образом, 2 серии корней:

\(\displaystyle x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n\)

\(\displaystyle x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n\)

Можно объединить в одну:

\(\displaystyle x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}n\)

Увы, для серий корней:

\(\displaystyle x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n\)

\(\displaystyle x=\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi n\)

Данные рассуждения уже не будут справедливы. Сделай чертеж и пойми, почему это так. Однако, их можно объединить следующим образом:

\(\displaystyle x=\pm \frac{\pi }{6}+\pi n\)

Тогда исходное уравнение имеет корни:

\(\displaystyle \frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}n\) или \(\displaystyle \pm \frac{\pi }{6}+\pi n\)

Что является довольно кратким и лаконичным ответом. А о чем говорит краткость и лаконичность? Об уровне твоей математической грамоты. Это был первый пример, в котором использование тригонометрической окружности дало полезные плоды. Второй пример – уравнения, которые имеют «некрасивые корни». Например:

  1. Решите уравнение \(\displaystyle 2sin2x=4cosx-sinx+1\).
  2. Найдите его корни, принадлежащие промежутку \(\displaystyle \left[ \frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2} \right]\).

Первая часть не представляет из себя ничего сложного. Поскольку ты уже знаком с темой «Тригонометрические уравнения», то я позволю себе быть кратким в моих выкладках.

\(\displaystyle 2\cdot 2sin x\cdot cos x=4cos x-sin x+1\)

\(\displaystyle 4sin x\cdot cos x-4cos x+sin x-1=0\)

\(\displaystyle 4cos x\left( sin x-1 \right)+\left( sin x-1 \right)=0\)

\(\displaystyle \left( 4cos x+1 \right)\left( sin x-1 \right)=0\)

тогда \(\displaystyle 4cos x+1=0\) или \(\displaystyle \left( sin x-1 \right)=0\)

\(\displaystyle cosx=-\frac{1}{4}\) или \(\displaystyle sinx=1\)

\(\displaystyle x=\pm \text{arccos}\left( -\frac{1}{4} \right)+2\pi n\) или \(\displaystyle x=\frac{\pi }{2}+2\pi n\)

Так мы нашли корни нашего уравнения. Ничего сложного. Сложнее решить вторую часть задания, не зная, чему в точности равен арккосинус от минус одной четверти (это не табличное значение). Однако мы можем изобразить найденные серии корней на единичной окружности:

единичная окружность, арккосинус от минус одной четверти

Что мы видим? Во-первых, рисунок дал нам понять, в каких пределах лежит арккосинус:

единичная окружность, арккосинус от минус одной четверти рис. 2

\(\displaystyle \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}<\arccos \left( -\frac{1}{4} \right)<\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}\)

Эта визуальная интерпретация поможет нам найти корни, принадлежащие отрезку:\(\displaystyle \left[ \frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2} \right]\).

Во-первых, в него попадает само число \(\displaystyle \frac{\pi }{2}\), затем \(\displaystyle \arccos \left( -\frac{1}{4} \right)\) (см. рис). Далее, так как:

\(\displaystyle -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}>-\arccos \left( -\frac{1}{4} \right)>-\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}\), то

\(\displaystyle 2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}>2\pi -\arccos \left( -\frac{1}{4} \right)>2\pi -\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}\), откуда

\(\displaystyle \frac{3\pi }{2}>2\pi -\arccos \left( -\frac{1}{4} \right)>\frac{4\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}\), тогда

\(\displaystyle 2\pi -\arccos \left( -\frac{1}{4} \right)\) также принадлежит отрезку \(\displaystyle \left[ \frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2} \right]\).

Таким образом, единичная окружность помогает определить, в какие пределы попадают «некрасивые» углы.

У тебя должен был остаться по крайней мере еще один вопрос: а как нам быть с тангенсами и котангенсами? На самом деле, для них тоже есть свои оси, правда они имеют немного специфический вид:

единичная окружность, тангенс и котангенс

В остальном же способ обращения с ними будет такой же, как с синусом и косинусом.

Напоследок рекомендую тебе самостоятельно решить вот этот пример, прибегая к помощи единичной окружности

Пример

Дано уравнение \(\displaystyle 2co{{s}^{2}}x+2sin2x=3\).

  • Решите данное уравнение.
  • Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку \(\displaystyle \left[ -\frac{3\pi }{2},-\frac{\pi }{2} \right]\).

Решение:

\(\displaystyle 2co{{s}^{2}}x+2sin2x=3.\)

\(\displaystyle 2co{{s}^{2}}x+4sinxcosx-3\left( si{{n}^{2}}x+co{{s}^{2}}x \right)=0\)

\(\displaystyle co{{s}^{2}}x-4sinxcosx+3si{{n}^{2}}x=0\)

\(\displaystyle 1-4tgx+3t{{g}^{2}}x=0\)

\(\displaystyle t=tgx\)

\(\displaystyle 1-4t+3{{t}^{2}}=0\)

\(\displaystyle {{t}_{1}}=1,{{t}_{2}}=\frac{1}{3}\)

\(\displaystyle tgx=1\), \(\displaystyle x=\frac{\pi }{4}+\pi n\)

\(\displaystyle tgx=\frac{1}{3}\),  \(\displaystyle x=arctg\frac{1}{3}+\pi n\)

Рисуем единичную окружность и отмечаем на ней наши решения:

единичная окружность, арктангенс

Из рисунка можно понять, что:

\(\displaystyle 0<arctg\frac{1}{3}<\frac{\pi }{4}\)

Или даже более того: так как \(\displaystyle \frac{1}{3}<\frac{1}{\sqrt{3}}\), то

\(\displaystyle arctg\frac{1}{3}<arctg\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi }{6}\):

единичная окружность рис. 4

Тогда найдем корни, принадлежащие отрезку \(\displaystyle \left[ -\frac{3\pi }{2},-\frac{\pi }{2} \right]\).

\(\displaystyle x=\frac{\pi }{4}-\pi =-\frac{3\pi }{4}\), \(\displaystyle x=arctg\frac{1}{3}-\pi \)  (так как \(\displaystyle -\pi <-\pi +arctg\frac{1}{3}<-\pi +\frac{\pi }{6}\))

Предоставляю тебе самостоятельно убедиться, что других корней, принадлежащих промежутку \(\displaystyle \left[ -\frac{3\pi }{2},-\frac{\pi }{2} \right]\), наше уравнение не имеет.

Проверь себя — реши задачи на тригонометрическую окружность.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *