Тригонометрические уравнения. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

В этой статье я опишу решение тригонометрических уравнений более сложного типа и как производить отбор их корней. Здесь я буду опираться на следующие темы:

  1. Тригонометрические уравнения для начального уровня.
  2. Формулы тригонометрии

Рекомендую тебе прежде ознакомиться с содержанием этих двух статей, прежде чем приступать к чтению и разбору этого чтиво. Итак, все готово? Прекрасно. Тогда вперед. Более сложные тригонометрические уравнения – это основа задач С1. В них требуется как решить само уравнение в общем виде, так и найти корни этого уравнения, принадлежащие некоторому заданному промежутку.

Решение тригонометрических уравнений сводится к двум подзадачам:

  1. Решение уравнения
  2. Отбор корней

Следует отметить, что второе требуется не всегда, но все же в большинстве примеров требуется производить отбор. А если же он не требуется, то тебе скорее можно посочувствовать – это значит, что уравнение достаточно сложное само по себе.

Мой опыт разбора задач С1 показывает, что они как правило делятся на вот такие категории:

  1. Уравнения, сводящиеся к разложению на множители.
  2. Уравнения, сводящиеся к виду $latex \displaystyle tgx=a$.
  3. Уравнения, решаемые заменой переменной.
  4. Уравнения, требующие дополнительного отбора корней из-за иррациональности или знаменателя.

Говоря по-простому: если тебе попалось одно из уравнений первых трех типов, то считай, что тебе повезло. Для них как правило дополнительно нужно подобрать корни, принадлежащие некоторому промежутку. Если же тебе попалось уравнение 4 типа, то тебе повезло меньше: с ним нужно повозиться подольше и повнимательнее, зато довольно часто в нем не требуется дополнительно отбирать корни. Тем не менее данный тип уравнений я буду разбирать в следующей статье, а эту посвящу решению уравнений первых трех типов.

Уравнения, сводящиеся к разложению на множители

Самое важное, что тебе нужно помнить, чтобы решать уравнения этого типа это

  1. Формулы приведения
  2. Синус, косинус двойного угла

Как показывает практика, как правило, этих знаний достаточно. Давай обратимся к примерам:

Пример 1.

  • Ре­ши­те урав­не­ние $latex \displaystyle sin2x=\text{sin}\left( \frac{\pi }{2}+x \right)$
  • Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку $latex \displaystyle \left[ -\frac{7\pi }{2},-\frac{5\pi }{2} \right]$

Здесь, как я и обещал, работают формулы приведения:

$latex \displaystyle \sin \left( \frac{\pi }{2}+x \right)=cosx$

Тогда мое уравнение примет вот такой вид:

$latex \displaystyle sin2x=cosx$

Что дальше? А дальше обещанный мною второй пункт программы – синус двойного угла:

$latex \displaystyle sin2x=2sinxcosx$

Тогда мое уравнение примет следующую форму:

$latex \displaystyle 2sinxcosx=cosx$

Недальновидный ученик мог бы сказать: а теперь я сокращу обе части на $latex \displaystyle cosx$, получаю простейшее уравнение $latex \displaystyle 2sinx=1$ и радуюсь жизни! И будет горько заблуждаться!

ЗАПОМНИ: НИКОГДА НЕЛЬЗЯ СОКРАЩАТЬ ОБЕ ЧАСТИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ НА ФУНКЦИЮ, СОДЕРЖАЩУЮ НЕИЗВЕСТНУЮ! ТАКИМ ОБРАЗОМ, ТЫ ТЕРЯЕШЬ КОРНИ!

Так что же делать? Да все просто, переносить все в одну сторону и выносить общий множитель:

$latex \displaystyle 2sinxcosx-cosx=0$

$latex \displaystyle cosx\left( 2sinx-1 \right)=0$

Ну вот, на множители разложили, ура! Теперь решаем:

$latex \displaystyle cosx=0$ или $latex \displaystyle 2sinx=1$

Первое уравнение имеет корни:

$latex \displaystyle x=\frac{\pi }{2}+\pi n$.

А второе:

$latex \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\pi }{6}+\pi n$

На этом первая часть задачи решена. Теперь нужно отобрать корни:

Промежуток вот такой: $latex \displaystyle \left[ -\frac{7\pi }{2},-\frac{5\pi }{2} \right]$

Или его еще можно записать вот так: $latex \displaystyle \left[ -3,5\pi ;-2,5\pi  \right]$

Ну что, давай отбирать корни:

Вначале поработаем с первой серией (да и проще она, что уж говорить!)

$latex \displaystyle x=\frac{\pi }{2}+\pi n$.

Так как наш промежуток – целиком отрицательный, то нет нужды брать неотрицательные $latex \displaystyle n$, все равно они дадут неотрицательные корни.
Возьмем $latex \displaystyle n=-1$, тогда $latex \displaystyle x=-\frac{\pi }{2}$ – многовато, не попадает.
Пусть $latex \displaystyle n=-2$, тогда $latex \displaystyle x=-\frac{3\pi }{2}$ – снова не попал.
Еще одна попытка — $latex \displaystyle n=-3$, тогда $latex \displaystyle x=\frac{\pi }{2}-3\pi =-2,5\pi $ – есть, попал! Первый корень найден!
Стреляю еще раз: $latex \displaystyle n=-4$, тогда $latex \displaystyle x=\frac{\pi }{2}-4\pi =-3,5\pi $ – еще раз попал!
Ну и еще разок: $latex \displaystyle n=-5$: $latex \displaystyle x=\frac{\pi }{2}-5\pi =-4,5\pi $ — это уже перелет.
Так что из первой серии промежутку $latex \displaystyle \left[ -3,5\pi ;-2,5\pi  \right]$ принадлежат 2 корня: $latex \displaystyle -2,5\pi ,~-3,5\pi $.

Работаем со второй серией (возводим $latex \displaystyle -1$ в степень по правилу):

$latex \displaystyle {{\left( -1 \right)}^{нечетная\ степень}}=-1$

$latex \displaystyle {{\left( -1 \right)}^{четная\ степень}}=1$

$latex \displaystyle n=0,~x=\frac{\pi }{6}$ – недолет!

$latex \displaystyle n=-1,~x=~-\frac{\pi }{6}-\pi =-\frac{7\pi }{6}$ – снова недолет!

$latex \displaystyle n=-2,~x=~\frac{\pi }{6}-2\pi =-\frac{11\pi }{6}$ – опять недолет!

$latex \displaystyle n=-3,~x=~-\frac{\pi }{6}-3\pi =-\frac{19\pi }{6}$ – попал!

$latex \displaystyle n=-4,~x=\frac{\pi }{6}-4\pi =-\frac{23\pi }{6}$ – перелет!

Таким образом, моему промежутку принадлежат вот такие корни:

$latex \displaystyle 2,5\pi ,\text{ }-3,5\pi ,\ -\frac{19\pi }{6}$.

Вот по такому алгоритму мы и будем решать все другие примеры. Давай вместе потренируемся еще на одном примере.

Пример 2.

  • Решите уравнение $latex \displaystyle 2si{{n}^{2}}x=\cos \left( \frac{3\pi }{2}-x \right)$
  • Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку $latex \displaystyle \left[ -\frac{5\pi }{2},-\pi  \right]$.

Решение:

Опять пресловутые формулы приведения:

$latex \displaystyle \cos \left( \frac{3\pi }{2}-x \right)=-sinx$

$latex \displaystyle 2si{{n}^{2}}x=-sinx$

Опять не вздумай сокращать!

$latex \displaystyle 2si{{n}^{2}}x+sinx=0$

$latex \displaystyle sinx\left( 2sinx+1 \right)=0$

Откуда

$latex \displaystyle sinx=0$ или $latex \displaystyle 2sinx+1=0,~sinx=-\frac{1}{2}$

Первое уравнение имеет корни:

$latex \displaystyle x=\pi n$

А второе:

$latex \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\frac{\pi }{6}+\pi n$

Теперь снова поиск корней. Начну со второй серии, мне про нее уже все известно из предыдущего примера! Посмотри и убедись, что корни, принадлежащие промежутку $latex \displaystyle \left[ -2,5\pi ;-\pi  \right]$ следующие:

$latex \displaystyle -\frac{13\pi }{6}$

Теперь вторая серия, она попроще:

$latex \displaystyle x=\pi n$

Если $latex \displaystyle n=-1,~x=-\pi $ – подходит

Если $latex \displaystyle n=-2,~x=-2\pi $ – тоже годится

Если $latex \displaystyle n=-3,~x=-3\pi $ – уже перелет.

Тогда корни будут следующие:

$latex \displaystyle -\frac{13\pi }{6},~-\pi ,~-2\pi $

Ну что, техника тебе ясна? Решение тригонометрических уравнений уже не кажется таким сложным? Тогда быстренько прорешай следующие задачки самостоятельно, а потом мы с тобой будем решать другие примеры:

  1. Решите уравнение $latex \displaystyle \sqrt{2}\sin \left( \frac{3\pi }{2}-x \right)\cdot sinx=cosx$
    Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие промежутку $latex \displaystyle \left[ \frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2} \right]$.
  2. Ре­ши­те урав­не­ние $latex \displaystyle 2sin2x=4cosx-sinx+1$
    Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  $latex \displaystyle \left[ -5\pi ,-4\pi  \right]$
  3. Ре­ши­те урав­не­ние $latex \displaystyle sin2x-2\sqrt{3}si{{n}^{2}}x+4cosx-4\sqrt{3}sinx=0$
    Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку $latex \displaystyle ~\left[ -\frac{\pi }{2},\pi  \right]$.

Ну что, все сделал внимательно и аккуратно? Давай проверять:

Пример 1.

$latex \displaystyle \sqrt{2}\sin \left( \frac{3\pi }{2}-x \right)\cdot sinx=cosx$

И снова формула приведения:

$latex \displaystyle ~\sin \left( \frac{3\pi }{2}-x \right)=-cosx$

$latex \displaystyle -\sqrt{2}cosxsinx=cosx$

$latex \displaystyle -\sqrt{2}cosxsinx-cosx=0$

$latex \displaystyle \sqrt{2}cosxsinx+cosx=0$

$latex \displaystyle cosx\left( \sqrt{2}sinx+1 \right)=0$

$latex \displaystyle cosx=0$ или $latex \displaystyle \sqrt{2}sinx+1=0$

$latex \displaystyle sinx=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

Первая серия корней:

$latex \displaystyle x=\frac{\pi }{2}+\pi n$.

Вторая серия корней:

$latex \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\frac{\pi }{4}+\pi n$

Начинаем отбор для промежутка $latex \displaystyle \left[ \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right]=\left[ 0,5\pi ;1,5\pi  \right]$

$latex \displaystyle n$ $latex \displaystyle \frac{\pi }{2}+\pi n$ $latex \displaystyle {{\left( -1 \right)}^{n+1}}\frac{\pi }{4}+\pi n$
$latex \displaystyle 0$ $latex \displaystyle \frac{\pi }{2}$ $latex \displaystyle -\frac{\pi }{4}$
$latex \displaystyle 1$ $latex \displaystyle \frac{3\pi }{2}$ $latex \displaystyle \frac{\pi }{4}+\pi =\frac{5\pi }{4}$
$latex \displaystyle 2$ $latex \displaystyle \frac{\pi }{2}+2\pi $ — перелет $latex \displaystyle -\frac{\pi }{4}+2\pi $ — перелет

Ответ: $latex \displaystyle \frac{\pi }{2}$, $latex \displaystyle \frac{3\pi }{2}$, $latex \displaystyle \frac{5\pi }{4}$.

Пример 2.

$latex \displaystyle 2sin2x=4cosx-sinx+1$

Довольно хитрая группировка на множители (применю формулу синуса двойного угла):

$latex \displaystyle 2\cdot 2sinxcosx=4cosx-sinx+1$

$latex \displaystyle 4sinxcosx-4cosx+sinx-1=0$

$latex \displaystyle 4cosx\left( sinx-1 \right)+\left( sinx-1 \right)=0$

$latex \displaystyle \left( 4cosx+1 \right)\left( sinx-1 \right)=0$

тогда $latex \displaystyle 4cosx+1=0$ или $latex \displaystyle \left( sinx-1 \right)=0$

$latex \displaystyle cosx=-\frac{1}{4}$ или $latex \displaystyle sinx=1$

$latex \displaystyle x=\pm \left( \pi -arccos\frac{1}{4} \right)+2\pi n$ или $latex \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\pi }{2}+\pi n$

Это общее решение. Теперь надо отбирать корни. Беда в том, что мы не можем сказать точное значение угла, косинус которого равен одной четверти. Поэтому я не могу просто так избавиться от арккосинуса – вот такая досада!

Что я могу сделать, так это прикинуть, что так как $latex \displaystyle \frac{1}{4}<0,5$, то $latex \displaystyle arccos\frac{1}{4}>\frac{\pi }{3}$.

$latex \displaystyle \frac{\pi }{2}>arccos\frac{1}{4}>\frac{\pi }{3}$

Составим таблицу: промежуток: $latex \displaystyle \left[ -5\pi ;~-4\pi  \right]$

$latex \displaystyle n$ $latex \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\pi }{2}+\pi n$ $latex \displaystyle x=\pm \left( \pi -arccos\frac{1}{4} \right)+2\pi n$
$latex \displaystyle -2$ $latex \displaystyle \frac{\pi }{2}-2\pi $ — недолет $latex \displaystyle \pm \left( \pi -arccos\frac{1}{4} \right)-4\pi $
Для $latex \displaystyle +$: $latex \displaystyle -arccos\frac{1}{4}-3\pi $ — недолет
Для $latex \displaystyle -$: $latex \displaystyle arccos\frac{1}{4}-5\pi $ — попал
$latex \displaystyle -3$ $latex \displaystyle -\frac{\pi }{2}-3\pi $ — пока еще недолет $latex \displaystyle \pm \left( \pi -arccos\frac{1}{4} \right)-6\pi $
Для $latex \displaystyle +$: $latex \displaystyle -arccos\frac{1}{4}-5\pi $ — перелет
Для $latex \displaystyle -$: $latex \displaystyle arccos\frac{1}{4}-7\pi $ — перелет
$latex \displaystyle -4$ $latex \displaystyle \frac{\pi }{2}-4\pi $ — еще недолет Перелет!
$latex \displaystyle -5$ $latex \displaystyle -\frac{\pi }{2}-5\pi $ — уже перелет

Ну что же, путем мучительных поисков мы пришли к неутешительному выводу о том, что наше уравнение имеет один корень на указанном промежутке: $latex \displaystyle arccos\frac{1}{4}-5\pi $

Пример 3.

$latex \displaystyle sin2x-2\sqrt{3}si{{n}^{2}}x+4cosx-4\sqrt{3}sinx=0$

Уравнение пугающего вида. Однако решается довольно просто путем применения формулы синуса двойного угла:

$latex \displaystyle 2sinxcosx-2\sqrt{3}si{{n}^{2}}x+4cosx-4\sqrt{3}sinx=0$

Сократим на 2:

$latex \displaystyle sinxcosx-\sqrt{3}si{{n}^{2}}x+2cosx-2\sqrt{3}sinx=0$

Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым и вынесем общие множители:

$latex \displaystyle sinx\left( cosx-\sqrt{3}sinx \right)+2\left( cosx-\sqrt{3}sinx \right)=0$

$latex \displaystyle \left( sinx+2 \right)\left( cosx-\sqrt{3}sinx \right)=0$

$latex \displaystyle sinx+2=0$ или $latex \displaystyle cosx-\sqrt{3}sinx=0$

Ясно, что первое уравнение корней не имеет, а теперь рассмотрим второе:

$latex \displaystyle cosx-\sqrt{3}sinx=0$

Вообще я собирался чуть позже остановиться на решении таких уравнений, но раз уж подвернулось, то делать нечего, надо решать…

Уравнения вида: $latex \displaystyle \text{acosx}+\text{bsinx}=0$, $latex \displaystyle \text{a},\text{b}$ — числа

Данное уравнение решается делением обеих частей на $latex \displaystyle cosx$:

$latex \displaystyle \frac{cosx-\sqrt{3}sinx}{cosx}=0$
$latex \displaystyle 1-\sqrt{3}tgx=0$
$latex \displaystyle tgx=\frac{1}{\sqrt{3}}$
$latex \displaystyle x=\frac{\pi }{6}+\pi n$

Таким образом, наше уравнение имеет единственную серию корней:

$latex \displaystyle x=\frac{\pi }{6}+\pi n$

Нужно найти те из них, которые принадлежат промежутку: $latex \displaystyle \left[ -\frac{\pi }{2},\pi  \right]$.

Опять построим табличку, как я делал и ранее:

$latex \displaystyle n$ $latex \displaystyle x=\frac{\pi }{6}+\pi n$
$latex \displaystyle -1$ $latex \displaystyle \frac{\pi }{6}-\pi $
$latex \displaystyle 0$ $latex \displaystyle \frac{\pi }{6}$ — попал!
$latex \displaystyle 1$ $latex \displaystyle \frac{\pi }{6}+\pi $ — перелет!

Ответ: $latex \displaystyle \frac{\pi }{6}$.

Больше задач — после регистрации.

Уравнения, сводящиеся к виду $latex \displaystyle \text{tgx}=\text{a}$

Ну вот, теперь самое время переходить ко второй порции уравнений, тем более, что я уже и так проболтался в чем состоит решение тригонометрических уравнений нового типа. Но не лишним будет повторить, что уравнение вида

$latex \displaystyle \text{acosx}+\text{bsinx}=0\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{a},\text{b}\ne 0 \right)$

Решается делением обеих частей на косинус:

$latex \displaystyle \text{a}\frac{\text{cosx}}{\text{cosx}}+\text{b}\frac{\text{sinx}}{\text{cosx}}=0$

$latex \displaystyle \text{a}+\text{btgx}=0$

$latex \displaystyle \text{tgx}=-\frac{\text{b}}{\text{a}}$

Таким образом, решить уравнение вида

$latex \displaystyle \text{acosx}+\text{bsinx}=0$

Все равно, что решить

$latex \displaystyle \text{tgx}=-\frac{\text{b}}{\text{a}}$

Мы только что рассмотрели, как это происходит на практике. Однако давай решим еще и вот такие примеры:

  1. Ре­ши­те урав­не­ние $latex \displaystyle sinx+si{{n}^{2}}\frac{x}{2}=co{{s}^{2}}\frac{x}{2}$
    Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку $latex \displaystyle \left[ -2\pi ,-\frac{\pi }{2} \right]$.
  2. Ре­ши­те урав­не­ние $latex \displaystyle cosx={{\left( cos\frac{x}{2}-sin\frac{x}{2} \right)}^{2}}-1$
    Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку $latex \displaystyle \left[ \frac{\pi }{2},2\pi  \right]$.

Пример 1.

Первое – ну совсем простое. Перенесем $latex si{{n}^{2}}\frac{x}{2}$ вправо и применим формулу косинуса двойного угла:

$latex sinx=co{{s}^{2}}\frac{x}{2}-si{{n}^{2}}\frac{x}{2}$

$latex sinx=cosx$

Ага! Уравнение вида: $latex acosx+bsinx=0$. Делю обе части на $latex cosx$

$latex \frac{sinx}{cosx}=\frac{cosx}{cosx}$

$latex tgx=1$

$latex x=\frac{\pi }{4}+\pi n$

Делаем отсев корней:

Промежуток: $latex \displaystyle \left[ -2\pi ,-\frac{\pi }{2} \right]$

$latex n$ $latex x=\frac{\pi }{4}+\pi n$
$latex -1$ $latex \frac{\pi }{4}-\pi =-\frac{3\pi }{4}$ — попал
$latex -2$ $latex \frac{\pi }{4}-2\pi =-\frac{7\pi }{4}$ — попал
$latex -3$ $latex \frac{\pi }{4}-3\pi $ — перелет!

Ответ: $latex -\frac{3\pi }{4};-\frac{7\pi }{4}$

Пример 2.

Все тоже довольно тривиально: раскроем скобки справа:

$latex cosx=co{{s}^{2}}\frac{x}{2}-2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+si{{n}^{2}}\frac{x}{2}-1$

Основное тригонометрическое тождество:

$latex co{{s}^{2}}\frac{x}{2}+si{{n}^{2}}\frac{x}{2}=1$

Синус двойного угла:

$latex 2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}=sinx$

Окончательно получим:

$latex cosx=-sinx$

Или

$latex tgx=-1$.

$latex x=-\frac{\pi }{4}+\pi n$

Отсев корней: промежуток $latex \displaystyle \left[ \frac{\pi }{2},2\pi  \right]$.

$latex n$ $latex x=-\frac{\pi }{4}+\pi n$
$latex 1$ $latex -\frac{\pi }{4}+\pi =\frac{3\pi }{4}$ — попал
$latex 2$ $latex -\frac{\pi }{4}+2\pi =\frac{7\pi }{4}$ — попал
$latex 3$ $latex -\frac{\pi }{4}+3\pi $ — перелет!

Ответ: $latex \frac{3\pi }{4};\frac{7\pi }{4}$.

Ну как тебе техника, не слишком сложна? Я надеюсь, что нет. Сразу можно оговориться: в чистом виде уравнения, которые тут же сводятся к уравнению относительно тангенса, встречаются довольно редко. Как правило, этот переход (деление на косинус) является лишь частью более сложной задачи. Вот тебе пример, чтобы ты мог поупражняться:

  • Ре­ши­те урав­не­ние $latex \sqrt{3}sin2x+3cos2x=0$
  • Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку $latex \left[ \frac{3\pi }{2},3\pi  \right]$.

Давай сверяться:

Уравнение решается сразу же, достаточно поделить обе части на $latex cos2x$:

$latex \sqrt{3}tg2x+3=0$

$latex \sqrt{3}tg2x=-3$

$latex tg2x=-\frac{3}{\sqrt{3}}$

$latex 2x=-\frac{\pi }{6}+\pi n$

$latex x=-\frac{\pi }{12}+\frac{\pi n}{2}$

Отсев корней:

$latex n$ $latex x=-\frac{\pi }{12}+\frac{\pi n}{2}$
$latex 3$ $latex -\frac{\pi }{12}+\frac{3\pi }{2}$ — маленький недолет на $latex \frac{\pi }{12}$
$latex 4$ $latex -\frac{\pi }{12}+2\pi =\frac{23\pi }{12}$ — попал!
$latex 5$ $latex -\frac{\pi }{12}+\frac{5\pi }{2}=\frac{29\pi }{12}$ — снова в яблочко!
$latex 6$ $latex -\frac{\pi }{12}+3\pi =\frac{35\pi }{12}$ — и снова удача на нашей стороне!
$latex 7$ $latex -\frac{\pi }{12}+\frac{7\pi }{2}$ — на сей раз уже перелет!

Ответ: $latex \frac{23\pi }{12};\frac{29\pi }{12};\frac{35\pi }{12}$.

Больше задач — после регистрации.

Так или иначе, нам еще предстоит встретиться с уравнениями того вида, которые мы только что разобрали. Однако нам еще рано закругляться: остался еще один «пласт» уравнений, которые мы не разобрали. Итак:

Решение тригонометрических уравнений заменой переменной

Здесь все прозрачно: смотрим пристально на уравнение, максимально его упрощаем, делаем замену, решаем, делаем обратную замену! На словах все очень легко. Давай посмотрим на деле:

Пример.

  • Решить уравнение:  $latex 4co{{s}^{4}}x-4co{{s}^{2}}x+1=0$.
  • Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку $latex \left[ -2\pi ,-\pi  \right]$.

Ну что же, здесь замена сама напрашивается к нам в руки!

$latex t=co{{s}^{2}}x$

Тогда наше уравнение превратится вот в такое:

$latex 4{{t}^{2}}-4t+1=0$

$latex {{\left( 2t-1 \right)}^{2}}=0$

$latex t=\frac{1}{2}$

Тогда $latex co{{s}^{2}}x=\frac{1}{2}$

Отсюда $latex cosx=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $latex cosx=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Первое уравнение имеет корни:

$latex x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n$

А второе вот такие:

$latex x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n$

Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку $latex \left[ -2\pi ,-\pi  \right]$

$latex n$ $latex x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n$ $latex x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n$
$latex -1$ Для $latex +$: $latex \frac{\pi }{4}-2\pi =-\frac{7\pi }{4}$ — подходит!
Для $latex -$: $latex -\frac{\pi }{4}-2\pi <-2\pi $ — выскочил за интервал
Для $latex +$: $latex \frac{3\pi }{4}-2\pi =-\frac{5\pi }{4}$ — подходит!
Для $latex \displaystyle -$: $latex -\frac{3\pi }{4}-2\pi <-2\pi $ — снова выскочил за интервал!
$latex -2$ Выскочил за интервал Выскочил за интервал

Ответ: $latex -\frac{7\pi }{4};\ -\frac{5\pi }{4}$.

Давай вместе разберем чуть более сложный пример:

  • Ре­ши­те урав­не­ние $latex 6si{{n}^{2}}x+sin2x=2$
  • Ука­жи­те корни дан­но­го урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку $latex \left[ \frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2} \right]$.

Здесь замена сразу не видна, более того, она не очень очевидна. Давай вначале подумаем: а что мы можем сделать?

Можем, например, представить

$latex sin2x=2sinxcosx$

А заодно и

$latex 2=2si{{n}^{2}}x+2co{{s}^{2}}x$

Тогда мое уравнение примет вид:

$latex 6si{{n}^{2}}x+2sinxcosx=2si{{n}^{2}}x+2co{{s}^{2}}x$

$latex 4si{{n}^{2}}x+2sinxcosx-2co{{s}^{2}}x=0$

$latex 2si{{n}^{2}}x+sinxcosx-co{{s}^{2}}x=0$

А теперь внимание, фокус:

Давай разделим обе части уравнения на $latex co{{s}^{2}}x$:

$latex 2\frac{si{{n}^{2}}x}{co{{s}^{2}}x}+\frac{sinxcosx}{co{{s}^{2}}x}-\frac{co{{s}^{2}}x}{co{{s}^{2}}x}=0$

$latex 2t{{g}^{2}}x+tgx-1=0$

Внезапно мы с тобой получили квадратное уравнение относительно $latex tgx$! Сделаем замену $latex t=tgx$, тогда получим:

$latex 2{{t}^{2}}+t-1=0$

Уравнение имеет следующие корни:

$latex {{t}_{1}}=-1,{{t}_{2}}=\frac{1}{2}$

Отсюда:

$latex tgx=-1$.

$latex x=-\frac{\pi }{4}+\pi n$

Или

$latex tgx=\frac{1}{2}$.

$latex x=arctg\frac{1}{2}+\pi n$

Неприятная вторая серия корней, но ничего не поделаешь! Производим отбор корней на промежутке $latex \left[ \frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2} \right]$.

Нам также нужно учитывать, что

Так как $latex \frac{1}{2}<\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $latex arctg\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi }{6}$ , то

$latex 0<arctg\frac{1}{2}<\frac{\pi }{6}$

$latex n$ $latex x=-\frac{\pi }{4}+\pi n$ $latex x=arctg\frac{1}{2}+\pi n$
$latex 1$ $latex -\frac{\pi }{4}+\pi $ — маловато $latex \displaystyle arctg\frac{1}{2}+\pi $ — маловато
$latex 2$ $latex \displaystyle -\frac{\pi }{4}+2\pi =\frac{7\pi }{4}$ — подойдет $latex \displaystyle arctg\frac{1}{2}+2\pi $ — подойдет
$latex 3$ $latex \displaystyle -\frac{\pi }{4}+3\pi >2,5\pi $ — перебор  $latex \displaystyle arctg\frac{1}{2}+3\pi $ — перебор

Ответ: $latex \displaystyle \frac{7\pi }{4};\ arctg\frac{1}{2}+2\pi $

Для закрепления, прежде чем ты сам будешь решать задачи, вот тебе еще упражнение:

  • Ре­ши­те урав­не­ние $latex \displaystyle \frac{1}{t{{g}^{2}}x}+\frac{3}{sinx}+3=0$
  • Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку $latex \displaystyle \left[ 2\pi ,\frac{7\pi }{2} \right]$.

Здесь нужно держать ухо востро: у нас появились знаменатели, которые могут быть нулевыми! Поэтому надо быть особо внимательными к корням!

Прежде всего, мне нужно преобразовать уравнение так, чтобы я мог сделать подходящую замену. Я не могу придумать сейчас ничего лучше, чем переписать тангенс через синус и косинус:

$latex \displaystyle t{{g}^{2}}x=\frac{si{{n}^{2}}x}{co{{s}^{2}}x}$

$latex \displaystyle \frac{co{{s}^{2}}x}{si{{n}^{2}}x}+\frac{3}{sinx}+3=0$

Теперь я перейду от косинуса к синусу по основному тригонометрическому тождеству:

$latex \displaystyle \frac{1-si{{n}^{2}}x}{si{{n}^{2}}x}+\frac{3}{sinx}+3=0$

И, наконец, приведу все к общему знаменателю:

$latex \displaystyle \frac{1-si{{n}^{2}}x}{si{{n}^{2}}x}+\frac{3sinx}{si{{n}^{2}}x}+\frac{3si{{n}^{2}}x}{si{{n}^{2}}x}=0$

$latex \displaystyle \frac{1-si{{n}^{2}}x+3sinx+3si{{n}^{2}}x}{si{{n}^{2}}x}=0$

$latex \displaystyle \frac{2si{{n}^{2}}x+3sinx+1}{si{{n}^{2}}x}=0$

Теперь я могу перейти к уравнению:

$latex \displaystyle 2si{{n}^{2}}x+3sinx+1=0$

Но при $latex \displaystyle si{{n}^{2}}x\ne 0$ (то есть при $latex \displaystyle x\ne \pi n$).

Теперь все готово для замены: $latex \displaystyle t=sin x$

$latex \displaystyle 2{{t}^{2}}+3t+1=0$

$latex \displaystyle {{t}_{1}}=-1,{{t}_{2}}=-\frac{1}{2}$

Тогда $latex \displaystyle sinx=-1$ или $latex \displaystyle sinx=-\frac{1}{2}$

Однако обрати внимание, что если $latex \displaystyle sinx=-1$, то при этом $latex \displaystyle cosx=0$!

Кто от этого страдает? Беда с тангенсом, он не определен, когда косинус равен нулю (происходит деление на ноль).

Таким образом, корни уравнения следующие:

$latex \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\frac{\pi }{6}+\pi n$

Теперь производим отсев корней на промежутке $latex \displaystyle \left[ 2\pi ,\frac{7\pi }{2} \right]$:

$latex \displaystyle n$ $latex \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\frac{\pi }{6}+\pi n$
$latex \displaystyle 3$ $latex \displaystyle x=\frac{19\pi }{6}$ — подходит
$latex \displaystyle 4$ $latex \displaystyle x=-\frac{\pi }{6}+4\pi $ — перебор

Таким образом, наше уравнение имеет единственный корень на промежутке $latex \displaystyle \left[ 2\pi ,\frac{7\pi }{2} \right]$ , и он равен $latex \displaystyle x=\frac{19\pi }{6}$.

Видишь: появление знаменателя (также, как и тангенса, приводит к определенным затруднениям с корнями! Тут нужно быть более внимательным!).

Ну что же, мы с тобой почти закончили разбор тригонометрических уравнений, осталось совсем немного – самостоятельно решить две задачи. Вот они.

  1. Решите уравнение $latex \displaystyle 4si{{n}^{2}}x+8\sin \left( \frac{3\pi }{2}+x \right)+1=0$
    Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку $latex \displaystyle \left[ -3\pi ,-\frac{3\pi }{2} \right]$.
  2. Ре­ши­те урав­не­ние $latex \displaystyle t{{g}^{2}}x+\left( 1+\sqrt{3} \right)tgx+\sqrt{3}=0$
    Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку $latex \displaystyle \left[ \frac{5\pi }{2},4\pi  \right]$.

Решил? Не очень сложно? Давай сверяться:

  1. Работаем по формулам приведения:
    $latex \displaystyle \sin \left( \frac{3\pi }{2}+x \right)=-cosx$
    Подставляем в уравнение:
    $latex \displaystyle 4si{{n}^{2}}x+8\left( -cosx \right)+1=0$
    Перепишем все через косинусы, чтобы удобнее было делать замену:
    $latex \displaystyle 4\left( 1-co{{s}^{2}}x \right)-8cosx+1=0$
    $latex \displaystyle -4co{{s}^{2}}x-8cosx+5=0$
    $latex \displaystyle 4co{{s}^{2}}x+8cosx-5=0$
    Теперь легко сделать замену:
    $latex \displaystyle t=cosx$
    $latex \displaystyle 4{{t}^{2}}+8t-5=0$
    $latex \displaystyle {{t}_{1}}=-\frac{5}{2},{{t}_{2}}=\frac{1}{2}$
    Ясно, что $latex \displaystyle {{t}_{1}}=-\frac{5}{2}$ — посторонний корень, так как уравнение $latex \displaystyle cosx=-\frac{5}{2}$ решений не имеет. Тогда:
    $latex \displaystyle cosx=\frac{1}{2}$
    $latex \displaystyle x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n$
    Ищем нужные нам корни на промежутке $latex \displaystyle \left[ -3\pi ,-\frac{3\pi }{2} \right]$

    $latex \displaystyle n$ $latex \displaystyle x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n$
    $latex \displaystyle -1$ Для $latex \displaystyle +$: $latex \displaystyle x=\frac{\pi }{3}-2\pi =-\frac{5\pi }{3}$ — подходит
    Для $latex \displaystyle -$: $latex \displaystyle x=-\frac{\pi }{3}-2\pi =-\frac{7\pi }{3}$ — подходит
    $latex \displaystyle -2$ Для $latex \displaystyle +$: $latex \displaystyle x=\frac{\pi }{3}-4\pi =-\frac{11\pi }{3}<-3\pi $ — выскочил
    Для $latex \displaystyle -$: $latex \displaystyle x=-\frac{\pi }{3}-4\pi =-\frac{13\pi }{3}<-3\pi $ — тем более выскочил

    Ответ: $latex \displaystyle -\frac{5\pi }{3};\ -\frac{7\pi }{3}$.

  2. $latex \displaystyle t{{g}^{2}}x+\left( 1+\sqrt{3} \right)tgx+\sqrt{3}=0$
    Здесь замена видна сразу: $latex \displaystyle t=tgx$
    $latex \displaystyle {{t}^{2}}+\left( 1+\sqrt{3} \right)t+\sqrt{3}=0$
    $latex \displaystyle {{t}_{1}}=-1,~{{t}_{2}}=-\sqrt{3}$
    Тогда $latex \displaystyle tgx=-1$ или $latex \displaystyle tgx=-\sqrt{3}$
    $latex \displaystyle x=-\frac{\pi }{4}+\pi n$
    или
    $latex \displaystyle x=-\frac{\pi }{3}+\pi n$
    Отбор корней на промежутке $latex \displaystyle \left[ \frac{5\pi }{2},4\pi  \right]$:

    $latex \displaystyle n$ $latex \displaystyle x=-\frac{\pi }{4}+\pi n$ $latex \displaystyle x=-\frac{\pi }{3}+\pi n$
    $latex \displaystyle 3$ $latex \displaystyle x=\frac{11\pi }{4}$ — подходит! $latex \displaystyle x=\frac{8\pi }{3}$ — подходит!
    $latex \displaystyle 4$ $latex \displaystyle x=\frac{15\pi }{4}$ — подходит! $latex \displaystyle x=\frac{11\pi }{3}$ — подходит!
    $latex \displaystyle 5$ $latex \displaystyle x=\frac{19\pi }{4}$ — много! $latex \displaystyle x=\frac{14\pi }{3}$ — тоже много!

    Ответ: $latex \displaystyle \frac{11\pi }{4};\ \frac{8\pi }{3};\ \frac{15\pi }{4};\ \frac{11\pi }{3}$

Ну вот, теперь все! Но решение тригонометрических уравнений на этом не заканчивается, за бортом у нас остались самые сложные случаи: когда в уравнениях присутствует иррациональность или разного рода «сложные знаменатели». Как решать подобные задания мы рассмотрим в статье для продвинутого уровня.

Проверь себя — реши задачи на тригонометрические уравнения.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий