Тригонометрические уравнения. Продвинутый уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

В дополнение к рассмотренным в предыдущих двух статьях тригонометрическим уравнениям, рассмотрим еще один класс уравнений, которые требуют еще более внимательного анализа. Данные тригонометрические примеры содержат либо иррациональность, либо знаменатель, что делает их анализ более сложным. Тем не менее ты вполне можешь столкнуться с данными уравнениями в части С экзаменационной работы. Однако нет худа без добра: для таких уравнений уже, как правило, не ставится вопрос о том, какие из его корней принадлежат заданному промежутку. Давай не будем ходить вокруг да около, а сразу тригонометрические примеры.

Пример 1.

Решить уравнение $latex \frac{2si{{n}^{2}}x+sinx}{2cosx-\sqrt{3}}=0~$ и найти те корни, которые принадлежат отрезку $latex \left[ -\frac{3\pi }{2},0 \right]$.

Решение:

У нас появляется знаменатель, который не должен быть равен нулю! Тогда решить данное уравнение – это все равно, что решить систему

$latex \left\{ \begin{array}{l}2si{{n}^{2}}x+sinx=0\\2cosx-\sqrt{3}\ne 0\end{array} \right.$

Решим каждое из уравнений:

$latex 2si{{n}^{2}}x+sinx=0$

$latex sinx\left( 2sinx+1 \right)=0$

$latex sinx=0$ или $latex sinx=-\frac{1}{2}$

$latex x=\pi n$ или $latex x={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\frac{\pi }{6}+\pi n$

А теперь второе:

$latex 2cosx-\sqrt{3}\ne 0$

$latex x\ne \pm \frac{\pi }{6}+2\pi n$

или $latex x\ne \frac{\pi }{6}+2\pi n$, $latex x\ne -\frac{\pi }{6}+2\pi n$

Теперь давай посмотрим на серию:

$latex \displaystyle {{\left( -1 \right)}^{n+1}}\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n=\left\{ \begin{array}{l}-\frac{\pi }{6}+2\pi k\\\frac{\pi }{6}+\pi \left( 2k+1 \right)=\frac{7\pi }{6}+2\pi k\end{array} \right.$

Ясно, что нам не подходит вариант $latex \displaystyle -\frac{\pi }{6}+2\pi k$, так как при этом у нас обнуляется знаменатель (см. на формулу корней второго уравнения)

Если же $latex x=\pi n$ – то все в порядке, и знаменатель не равен нулю! Тогда корни уравнения следующие: $latex x=\frac{7\pi }{6}+2\pi n$, $latex x=\pi n$.

Теперь производим отбор корней, принадлежащих промежутку $latex \left[ -\frac{3\pi }{2},0 \right]$.

$latex n$ $latex x=\frac{7\pi }{6}+2\pi n$ $latex x=\pi n$
$latex 0$ $latex \frac{7\pi }{6}$ — не подходит $latex 0$ — подходит
$latex -1$ $latex -\frac{5\pi }{6}$ — подходит $latex -\pi $ — подходит
$latex -2$ перебор перебор

Тогда корни следующие: $latex 0;-\pi ;\ -\frac{5\pi }{6}$

Видишь, даже появление небольшой помехи в виде знаменателя существенно отразилось на решении уравнения: мы отбросили серию корней, нулящих знаменатель. Еще сложнее может обстоять дело, если тебе попадутся тригонометрические примеры имеющие иррациональность.

Пример 2.

Решите уравнение: $latex \left( sinx-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt{3{{x}^{2}}-7x+4}=0$

Решение:

Ну хотя бы не надо отбирать корни и то хорошо! Давай вначале решим уравнение, не взирая на иррациональность:

$latex sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$latex x={{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\pi }{3}+\pi n$

$latex 3{{x}^{2}}-7x+4=0$

$latex {{x}_{1}}=1,{{x}_{2}}=\frac{4}{3}$

И что, это все? Нет, увы, так было бы слишком просто! Надо помнить, что под корнем могут стоять только неотрицательные числа. Тогда:

$latex 3{{x}^{2}}-7x+4\ge 0$

Решение этого неравенства:

$latex x\in \left( -\infty ;1 \right]\mathop{\cup }^{}\left[ \frac{4}{3};+\infty  \right)$

Теперь осталось выяснить, не попала ли ненароком часть корней первого уравнения туда, где не выполяется неравенство $latex 3{{x}^{2}}-7x+4\ge 0$.

Для этого можно опять воспользоваться таблицей:

$latex n$ $latex x={{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\pi }{3}+\pi n$ $latex x\in \left( -\infty ;1 \right]\mathop{\cup }^{}\left[ \frac{4}{3};+\infty  \right)$
$latex 0$ $latex \frac{\pi }{3}$:  $latex \frac{\pi }{3}>1$, но $latex \frac{\pi }{3}<\frac{4}{3}$ Нет!
$latex 1$ $latex \pi -\frac{\pi }{3}>1,5$ Да!
$latex -1$ $latex -\pi -\frac{\pi }{3}<0$ Да!

Таким образом, у меня «выпал» один из корней! Он получается, если положить $latex n=0$. Тогда ответ можно записать в следующем виде:

Ответ: $latex 1;\frac{4}{3};\ {{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\pi }{3}+\pi n,~n\in Z,~n\ne 0$

Видишь, корень требует еще более пристального внимания! Усложняем: пусть теперь у меня под корнем стоит тригонометрическая функция.

Пример 3.

$latex \left( 2{{x}^{2}}-5x+2 \right)\sqrt{cosx-\sqrt{3}sinx}=0$

Как и раньше: вначале решим каждое отдельно, а потом подумаем, что же мы наделали.

$latex 2{{x}^{2}}-5x+2=0$

$latex {{x}_{1}}=2,~{{x}_{2}}=0,5$

Теперь второе уравнение:

$latex cosx-\sqrt{3}sinx=0$

$latex tgx=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$latex x=\frac{\pi }{6}+\pi n$

Теперь самое сложное – выяснить, не получаются ли отрицательные значения под арифметическим корнем, если мы подставим туда корни из первого уравнения:

$latex cos2-\sqrt{3}sin2$

Число $latex 2$ надо понимать как $latex 2$ радианы. Так как $latex 1$ радиана – это примерно $latex 57$ градусов, то $latex 2$ радианы – порядка $latex 114$ градусов. Это угол второй четверти. Косинус второй четверти имеет какой знак? Минус. А синус? Плюс. Так что можно сказать про выражение:

$latex cos2-\sqrt{3}sin2$

Оно меньше нуля!

$latex cos2-\sqrt{3}sin2<0$

А значит $latex 2$ – не является корнем уравнения.

Теперь черед $latex \frac{1}{2}$.

$latex cos\frac{1}{2}-\sqrt{3}sin\frac{1}{2}$

Сравним это число с нулем.

$latex cos\frac{1}{2}-\sqrt{3}sin\frac{1}{2}\ \vee \ 0$

$latex cos\frac{1}{2}\ \ \vee \sqrt{3}sin\frac{1}{2}$

$latex \displaystyle ctg\frac{1}{2}\ \ \vee \ \ \sqrt{3}$

Котангенс – функция убывающая в 1 четверти (чем меньше аргумент, тем больше котангенс).  $latex \displaystyle \frac{1}{2}$ радианы – это примерно $latex \displaystyle 28,5$ градусов. В то же время

$latex \displaystyle \sqrt{3}=ctg\left( 30{}^\circ  \right)$ так как $latex \displaystyle 28,5<30$, то $latex \displaystyle ctg\frac{1}{2}>~\sqrt{3}$, а значит и
$latex \displaystyle ~cos2-\sqrt{3}sin2>0$,

Ответ: $latex \displaystyle x=\frac{\pi }{6}+\pi n;\ \frac{1}{2}$.

Может ли быть еще сложнее? Пожалуйста! Будет труднее, если под корнем по-прежнему тригонометрическая функция, а вторая часть уравнения – снова тригонометрическая функция.

Чем больше тригонометрических примеров, тем лучше, смотри дальше:

Пример 4.

$latex \displaystyle \left( 4co{{s}^{2}}x-4cosx-3 \right)\sqrt{-6sinx}=0$

$latex \displaystyle 4co{{s}^{2}}x-4cosx-3=0$

$latex \displaystyle t=cosx$

$latex \displaystyle 4{{t}^{2}}-4t-3=0$

$latex \displaystyle {{t}_{1}}=-0,5;{{t}_{2}}=1,5$ – корень $latex \displaystyle {{t}_{2}}$ не годится, ввиду ограниченности косинуса

$latex \displaystyle cosx=-0,5$

$latex \displaystyle x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n$

Теперь второе:

$latex \displaystyle -6sinx=0$

$latex \displaystyle sinx=0$

$latex \displaystyle x=\pi n$

В то же время по определению корня:

$latex \displaystyle -6sinx\ge 0$

$latex \displaystyle sinx\le 0$

Надо вспомнить единичную окружность: а именно те четверти, где синус меньше нуля. Какие это четверти? Третья и четвертая. Тогда нас будут интересовать те решения первого уравнения, которые лежат в третьей или четвертой четверти.

$latex \displaystyle x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n$

$latex \displaystyle x=\frac{2\pi }{3}+2\pi n$ или $latex \displaystyle x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi n$

Первая серия дает корни, лежащие на пересечении третьей и четвертой четверти. Вторая же серия – ей диаметрально противоположная – и порождает корни, лежащие на границе первой и второй четверти. Поэтому эта серия нам не подходит.

Ответ: $latex \displaystyle x=\frac{2\pi }{3}+2\pi n$, $latex \displaystyle x=\pi n$

И опять тригонометрические примеры с «трудной иррациональностью». Мало того, что у нас снова под корнем тригонометрическая функция, так теперь она еще и в знаменателе!

Пример 5.

$latex \displaystyle \frac{cos2x+sinx}{\sqrt{\text{sin}\left( x-\frac{\pi }{4} \right)}}=0$

Ну, ничего не поделаешь – поступаем как и раньше.

$latex cos2x+sinx=0$

$latex 1-2si{{n}^{2}}x+sinx=0$

$latex 2si{{n}^{2}}x-sinx-1=0$

$latex t=sinx$

$latex 2{{t}^{2}}-t-1=0$

$latex {{t}_{1}}=-0,5,{{t}_{2}}=1$

$latex sinx=-0,5$ или $latex sinx=1$

$latex x={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\frac{\pi }{6}+\pi n$ или $latex x={{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\pi }{2}+\pi n$

Теперь работаем со знаменателем:

$latex \text{sin}\left( x-\frac{\pi }{4} \right)\ge 0$

Я не хочу решать тригонометрическое неравенство, а потому поступлю хитро: возьму и подставлю в неравенство мои серии корней:

$latex \text{sin}\left( {{\left( -1 \right)}^{n+1}}\frac{\pi }{6}+\pi n-\frac{\pi }{4} \right)\ge 0$

Если $latex n$ – четное, $latex \left( n=2k \right)$ то имеем:

$latex \text{sin}\left( -\frac{\pi }{6}+2\pi k-\frac{\pi }{4} \right)\ge 0$

$latex \text{sin}\left( -\frac{5\pi }{12}+2\pi k \right)\ge 0$

так как $latex \frac{5\pi }{12}<\frac{\pi }{2}$, то все углы вида $latex -\frac{5\pi }{12}+2\pi k$ лежат в четвертой четверти. И снова сакральный вопрос: каков знак синуса в четвертой четверти? Отрицательный. Тогда неравенство

$latex \text{sin}\left( -\frac{5\pi }{12}+2\pi k \right)\ge 0$

неверно!

Если же $latex n$-нечетное $latex \left( n=2k+1 \right)$, то:

$latex \text{sin}\left( \frac{\pi }{6}+\left( 2k+1 \right)\pi -\frac{\pi }{4} \right)\ge 0$

$latex \sin \left( \frac{\pi }{6}+2k\pi +\pi -\frac{\pi }{4} \right)\ge 0$

$latex \sin \left( \frac{11\pi }{12}+2k\pi  \right)\ge 0$

В какой четверти лежит угол $latex \frac{11\pi }{12}$ ? Это угол второй четверти. Тогда все углы $latex \frac{11\pi }{12}+2k\pi $ – снова углы второй четверти. Синус там положительный. Как раз то, что надо! Значит, серия:

$latex \frac{\pi }{6}+2k\pi +\pi =\frac{7\pi }{6}+2\pi k$ – подходит!

Точно так же разбираемся со второй серией корней:

$latex x={{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\pi }{2}+\pi n$.

Подставляем в наше неравенство:

$latex \text{sin}\left( {{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\pi }{2}+\pi n-\frac{\pi }{4} \right)\ge 0$

Если $latex n$ – четное $latex \left( n=2k \right)$, то

$latex \text{sin}\left( \frac{\pi }{2}+2\pi k-\frac{\pi }{4} \right)\ge 0$

$latex \text{sin}\left( \frac{\pi }{4}+2\pi k \right)\ge 0$

$latex \frac{\pi }{4}+2\pi k$ – углы первой четверти. Синус там положительный, значит серия $latex \frac{\pi }{2}+2\pi k$ подходит. Теперь если $latex n$ – нечетное $latex \left( n=2k+1 \right)$, то:

$latex \text{sin}\left( -\frac{\pi }{2}+2\pi k+\pi -\frac{\pi }{4} \right)\ge 0$

тоже подходит!

Ну вот, теперь записываем ответ!

Ответ: $latex \frac{7\pi }{6}+2\pi k;\ {{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\pi }{2}+\pi k$

Ну вот, это был, пожалуй, наиболее трудоемкий случай. Теперь я предлагаю тебе задачи для самостоятельного решения.

Тренировка

  1. $latex \sqrt{9-{{x}^{2}}}cosx=0$
  2. Решите $latex \frac{2si{{n}^{2}}x-sinx}{2cosx-\sqrt{3}}=0$ и найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $latex \left[ \frac{3\pi }{2},3\pi  \right]$.
  3. $latex \left( 2co{{s}^{2}}x-cosx \right)\sqrt{-11tgx}=0$

Решения:

  1. $latex \sqrt{9-{{x}^{2}}}cosx=0$
    Первое уравнение: $latex 9-{{x}^{2}}=0$
    $latex x=3$ или $latex x=-3$
    ОДЗ корня:
    $latex 9-{{x}^{2}}\ge 0$
    $latex x\in \left[ -3;3 \right]$
    Второе уравнение:
    $latex cosx=0$
    $latex x=\pm \frac{\pi }{2}+2\pi n$
    Отбор корней, которые принадлежат промежутку $latex \displaystyle \left[ -3;3 \right]$

    $latex \displaystyle n$ $latex \displaystyle x=\pm \frac{\pi }{2}+2\pi n$ Принадлежит?
    $latex \displaystyle 0$ $latex \displaystyle \pm \frac{\pi }{2}$ да
    $latex \displaystyle 1$ $latex \displaystyle \pm \frac{\pi }{2}+2\pi $ нет
    $latex \displaystyle -1$ $latex \displaystyle \pm \frac{\pi }{2}-2\pi =-1,5\pi <-4,5$ нет

    Ответ: $latex \displaystyle 3;-3;\pm \frac{\pi }{2}$

  2. $latex \frac{2si{{n}^{2}}x-sinx}{2cosx-\sqrt{3}}=0$
    $latex \displaystyle 2si{{n}^{2}}x-sinx=0$
    $latex \displaystyle sinx\left( 2sinx-1 \right)=0$
    $latex \displaystyle sinx=0$ или $latex \displaystyle sinx=0,5$
    $latex \displaystyle x=\pi n$ или $latex \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\pi }{6}+\pi n$
    Но $latex \displaystyle 2cosx-\sqrt{3}\ne 0$
    $latex \displaystyle cosx\ne \frac{\sqrt{3}}{2}$
    $latex \displaystyle x\ne \pm \frac{\pi }{6}+2\pi n$
    Рассмотрим: $latex \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\pi }{6}+\pi n$. Если $latex \displaystyle n$ – четное, то
    $latex \displaystyle x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ – не подходит!
    Если $latex \displaystyle n$ – нечетное, $latex \displaystyle n=2k+1$: $latex \displaystyle x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k+\pi =\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ – подходит!
    Значит, наше уравнение имеет такие серии корней:
    $latex \displaystyle x=\pi n$ или $latex \displaystyle x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n$
    Отбор корней на промежутке $latex \displaystyle \left[ \frac{3\pi }{2},3\pi  \right]$:

    $latex \displaystyle n$ $latex \displaystyle x=\pi n$ $latex \displaystyle x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n$
    $latex \displaystyle 1$ $latex \displaystyle \pi $ — не подходит $latex \displaystyle \frac{5\pi }{6}+2\pi =\frac{17\pi }{6}$ — подходит
    $latex \displaystyle 2$ $latex \displaystyle 2\pi $ — подходит $latex \displaystyle \frac{5\pi }{6}+4\pi $ — много
    $latex \displaystyle 3$ $latex \displaystyle 3\pi $ — подходит много

    Ответ: $latex \displaystyle 3\pi $, $latex \displaystyle 2\pi $, $latex \displaystyle \frac{17\pi }{6}$.

  3. $latex \left( 2co{{s}^{2}}x-cosx \right)\sqrt{-11tgx}=0$
    $latex \displaystyle 2co{{s}^{2}}x-cosx=0$
    $latex \displaystyle cosx\left( 2cosx-1 \right)=0$
    $latex \displaystyle cosx=0~$или $latex \displaystyle 2cosx-1=0$
    Так как $latex \displaystyle tgx=\frac{sinx}{cosx}$, то при $latex \displaystyle cosx=0~$ тангенс не определен. Тут же отбрасываем эту серию корней!
    $latex \displaystyle 2cosx-1=0$
    $latex \displaystyle cosx=0,5$
    $latex \displaystyle x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n$
    Вторая часть:
    $latex \displaystyle -11tgx=0$
    $latex \displaystyle x=\pi n$
    В то же время по ОДЗ требуется, чтобы
    $latex \displaystyle tgx\le 0$
    Проверяем найденные в первом уравнении корни:
    $latex \displaystyle tg\left( \pm \frac{\pi }{3}+2\pi n \right)\le 0$
    Если знак $latex \displaystyle +$:
    $latex \displaystyle tg\left( \frac{\pi }{3}+2\pi n \right)\le 0$
    $latex \displaystyle \frac{\pi }{3}+2\pi n$ – углы первой четверти, где тангенс положительный. Не подходит!
    Если знак $latex \displaystyle -$:
    $latex \displaystyle tg\left( -\frac{\pi }{3}+2\pi n \right)\le 0$
    $latex \displaystyle -\frac{\pi }{3}+2\pi n$ – угол четвертой четверти. Там тангенс отрицательный. Подходит. Записываем ответ:

Ответ: $latex \displaystyle x=\pi n$, $latex \displaystyle x=-\frac{\pi }{3}+2\pi n$.

Мы вместе разобрали в этой статье сложные тригонометрические примеры, но тебе стоит прорешать уравнения самому.

Проверь себя — реши задачи на тригонометрические уравнения.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий