Уравнение касательной к графику функции. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Геометрический смысл производной

Ты уже знаешь что такое производная? Если нет, сперва прочти тему «Производная». Итак, ты говоришь, что знаешь производную. Сейчас проверим. Найди приращение функции \(y={{x}^{2}}+2x+3\) при приращении аргумента, равном \(\Delta x\). Справился? Должно получиться \(\Delta y=\Delta x\left( \Delta x+2x+2 \right)\). А теперь найди производную функции \(y\left( x \right)=3{{\sin }^{2}}\sqrt{x}\) в точке \({{x}_{0}}=0,25{{\pi }^{2}}\). Ответ: \(\frac{6}{\pi }\). Получилось? Если в каком-нибудь из этих примеров возникли сложности, настоятельно рекомендую вернуться к теме «Производная» и проштудировать ее еще раз. Знаю, тема очень большая, но иначе нет смысла идти дальше. Рассмотрим график какой-то функции : \(y=f\left( x \right)\) Геометрический смысл производной Выберем на линии графика некую точку \(A\). Пусть ее абсцисса \({{x}_{0}}\), тогда ордината – \(f\left( {{x}_{0}} \right)\). Затем выберем близкую к точке \(A\) точку \(B\) с абсциссой \({{x}_{0}}+\Delta x\); ее ордината – \(f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)\): Проведем прямую через эти точки: Геометрический смысл производной 2 Она называется секущей (прямо как в геометрии). Обозначим угол наклона прямой к оси \(Ox\) как \(\alpha \). Как и в тригонометрии, этот угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки. Какие значения может принимать угол \(\alpha \)? Как ни наклоняй эту прямую, все равно одна половина будет торчать вверх. Поэтому максимально возможный угол – \(180{}^\circ \), а минимально возможный – \(0{}^\circ \). Значит, \(\alpha \in \left[ 0{}^\circ ;180{}^\circ  \right)\). Угол \(180{}^\circ \) не включается, поскольку положение прямой в этом случае в точности совпадает с \(0{}^\circ \), а логичнее выбирать меньший угол. Возьмем на рисунке такую точку \(C\), чтобы прямая \(AC\) была параллельна оси абсцисс, а \(BC\) – ординат: Геометрический смысл производной 3

По рисунку видно, что \(AC=\Delta x\), а \(BC=\Delta f\). Тогда отношение приращений:

\(\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{BC}{AC}={tg}\alpha \)

(так как \(\angle C=90{}^\circ \), то \(\triangle ABC\) – прямоугольный).

Давай теперь уменьшать \(\Delta x\). Тогда точка \(B\) будет приближаться к точке \(A\). Когда \(\Delta x\) станет бесконечно малым \(\left( \Delta x\to 0 \right)\), отношение \(\frac{\Delta f}{\Delta x}\) станет равно производной функции в точке \({{x}_{0}}\). Что же при этом станет с секущей? Точка \(B\) будет бесконечно близка к точке \(A\), так что их можно будет считать одной и той же точкой. Но прямая, имеющая с кривой только одну общую точку – это ни что иное, как касательная (в данном случае это условие выполняется только на небольшом участке – вблизи точки \(A\), но этого достаточно). Говорят, что при этом секущая занимает предельное положение.

Угол наклона секущей к оси \(\displaystyle Ox\) назовем \(\varphi \). Тогда получится, что производная

\({f}’\left( {{x}_{0}} \right)\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{=}}\,\frac{\Delta f}{\Delta x}=\ {tg}\varphi \),

то есть производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке.

Поскольку касательная – это прямая, давай теперь вспомним уравнение прямой:

\(y=kx+b\).

За что отвечает коэффициент \(\displaystyle k\)? За наклон прямой. Он так и называется: угловой коэффициент. Что это значит? А то, что равен он тангенсу угла между прямой и осью \(\displaystyle Ox\)! То есть вот что получается:

\({f}’\left( {{x}_{0}} \right)=\ {tg}\varphi =k\).

Больше задач — после регистрации.

Но мы получили это правило, рассматривая возрастающую функцию. А что изменится, если функция будет убывающей? Посмотрим: Геометрический смысл производной. Убывающая функция. Теперь углы \(\alpha \) и \(\displaystyle \varphi \) тупые. А приращение функции \(\Delta f\) – отрицательное. Снова рассмотрим \(\triangle ABC\): \(\angle B=180{}^\circ -\alpha \text{  }\Rightarrow \text{  }\ {tg}\angle B=-\ {tg}\alpha \). С другой стороны, \(\ {tg}\angle B=\frac{AC}{BC}=\frac{-\Delta f}{\Delta x}\). Получаем: \(\frac{-\Delta f}{\Delta x}=-\ {tg}\alpha \text{  }\Rightarrow \text{  }\frac{\Delta f}{\Delta x}=\ {tg}\alpha \), то есть все, как и в прошлый раз. Снова устремим точку \(\displaystyle B\) к точке \(\displaystyle A\), и секущая \(\displaystyle AB\) примет предельное положение, то есть превратится в касательную к графику функции в точке \(\displaystyle A\). Итак, сформулируем окончательно полученное правило:
Производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или (что то же самое) угловому коэффициенту этой касательной:

\({f}’\left( {{x}_{0}} \right)=\ {tg}\varphi =k\)

Это и есть геометрический смысл производной. Окей, все это интересно, но зачем оно нам? Вот пример:
На рисунке изображен график функции \(\displaystyle y=\mathsf{f}\left( x \right)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \({{x}_{0}}\). Найдите значение производной функции \(\displaystyle \mathsf{f}\left( x \right)\) в точке \({{x}_{0}}\). График функции и касательная
Решение.
Как мы недавно выяснили, значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс: \(\displaystyle f’\left( x \right)=k=\ {tg}\varphi\). Значит, для нахождения значения производной нам нужно найти тангенс угла наклона касательной. На рисунке у нас отмечено две точки, лежащие на касательной, координаты которых нам известны. Так давай достроим прямоугольный треугольник, проходящий через эти точки, и найдем тангенс угла наклона касательной! График функции и касательная. Решение

Угол наклона касательной к оси \(\displaystyle Ox\)  – это \(\displaystyle \angle BAC\). Найдем тангенс этого угла: \(\displaystyle \ {tg}\angle BAC=\frac{BC}{AC}=\frac{6}{5}=1,2\). Таким образом, производная функции \(\displaystyle \mathsf{f}\left( x \right)\) в точке \({{x}_{0}}\) равна \(\displaystyle 1,2\).
Ответ: \(\displaystyle 1,2\). Теперь попробуй сам:

  1. На рисунке изображен график функции \(\displaystyle y=\mathsf{f}\left( x \right)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \({{x}_{0}}\). Найдите значение производной функции \(\displaystyle \mathsf{f}\left( x \right)\) в точке \({{x}_{0}}\). График функции и касательная 2
  2. На рисунке изображен график функции \(\displaystyle y=\mathsf{f}\left( x \right)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \({{x}_{0}}\). Найдите значение производной функции \(\displaystyle \mathsf{f}\left( x \right)\) в точке \({{x}_{0}}\). График функции и касательная 3

Ответы:

  1. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс: \(\displaystyle k=f’\left( x \right)=\ {tg}\beta\). Достроим треугольник, со стороной \(\displaystyle AC\), лежащей на касательной.

    График функции и касательная. Решение 2Угол наклона касательной – это угол, отмеченный зеленым на графике. Он тупой \(\left( >90{}^\circ  \right)\), поэтому его тангенс не получится вычислить так же, как в предыдущем примере (ведь в прямоугольном треугольнике не может быть тупого угла). Применим знания из тригонометрии. Интересующий нас угол \(\beta \) является смежным с \(\displaystyle \angle ACB\). А значит: \(\displaystyle \ {tg}\beta =\ {tg}\left( 180{}^\circ -\angle ACB \right)=-\ {tg}\angle ACB.\) Найдем \(\displaystyle \ {tg}\angle ACB\): \(\displaystyle \ {tg}\angle ACB=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{4}=1\). Значит тангенс угла наклона касательной (а вместе с ним и значение производной в точке касания) равен \(\displaystyle -1\).
    Ответ: \(\displaystyle -1\).

Зная геометрический смысл производной, можно очень просто объяснить правило, что производная в точке локального максимума или минимума равна нулю. Действительно, касательная к графику в этих точках «горизонтальна», то есть параллельна оси абсцисс: График функции и касательная. Решение 4
А чему равен угол между параллельными прямыми? Конечно, нулю! А тангенс нуля тоже равен нулю. Вот и производная равна нулю:

\({f}’\left( {{x}_{\max }} \right)={f}’\left( {{x}_{\min }} \right)=0\).

Более подробно об этом читай в теме «Монотонность функций. Точки экстремума».

Больше задач — после регистрации.

Уравнение касательной

А сейчас сосредоточимся на произвольных касательных. Предположим, у нас есть какая-то функция \(f\left( x \right)\). Мы нарисовали ее график и хотим провести касательную к нему в какой-нибудь точке \({{x}_{0}}\). Берем линейку, пристраиваем ее к графику и чертим: Уравнение касательной

Что мы знаем об этой прямой? Что самое важное нужно знать о прямой на координатной плоскости? Поскольку прямая – это изображение линейной функции, очень удобно было бы знать ее уравнение. То есть коэффициенты \(k\) и \(b\) в уравнении

\(y=kx+b\).

Но ведь \(k\) мы уже знаем! Это угловой коэффициент касательной, который равен производной функции в этой точке:

\(k={f}’\left( {{x}_{0}} \right)\).

В нашем примере будет так:

\({f}’\left( x \right)={{\left( {{x}^{2}}+2 \right)}^{\prime }}=2x;\)

\(k={f}’\left( {{x}_{0}} \right)={f}’\left( 2 \right)=2\cdot 2=4.\)

Теперь остается найти \(b\) . Это проще простого: ведь \(b\)  – значение \(y\)  при \(\displaystyle x=0\). Графически \(b\)  – это координата пересечения прямой с осью ординат (ведь \(\displaystyle x=0\) во всех точках оси \(\displaystyle Oy\)):

Уравнение касательной 2 Проведем \(BC\parallel Ox\) (так, что \(\triangle ABC\) – прямоугольный). Тогда \(\angle ABC=\alpha \)(тому самому углу между касательной и осью абсцисс). Чему равны \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BC\)? По рисунку явно видно, что \(BC={{x}_{0}}\), а \(AC=f\left( {{x}_{0}} \right)-b\). Тогда получаем:

\({f}’\left( {{x}_{0}} \right)=\ {tg}\alpha =\frac{AC}{BC}=\frac{f\left( {{x}_{0}} \right)-b}{{{x}_{0}}}\text{  }\Rightarrow \text{  }b=f\left( {{x}_{0}} \right)-{{x}_{0}}\cdot {f}’\left( {{x}_{0}} \right)\).

Соединяем все полученные формулы в уравнение прямой:

\(y=kx+b={f}’\left( {{x}_{0}} \right)\cdot x+f\left( {{x}_{0}} \right)-{{x}_{0}}\cdot {f}’\left( {{x}_{0}} \right);\)

\(y={f}’\left( {{x}_{0}} \right)\cdot \left( x-{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right)\)

Это и есть уравнение касательной к графику функции \(f\left( x \right)\) в точке \({{x}_{0}}\).

Пример:
Найди уравнение касательной к графику функции \(f\left( x \right)={{x}^{2}}-2x+3\) в точке \({{x}_{0}}=3\).
Решение:
На этом примере выработаем простой алгоритм действий в подобных задачах:

Алгоритм Пример: \(f\left( x \right)={{x}^{2}}-2x+3\), \({{x}_{0}}=3\)
1. Вычислим \(f\left( {{x}_{0}} \right)\) \(f\left( {{x}_{0}} \right)=f\left( 3 \right)={{3}^{2}}-2\cdot 3+3=6\)
2. Найдем формулу производной функции \({f}’\left( x \right)\) \({f}’\left( x \right)={{\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)}^{\prime }}=2x-2\)
3. Вычислим \({f}’\left( {{x}_{0}} \right)\) \({f}’\left( {{x}_{0}} \right)={f}’\left( 3 \right)=2\cdot 3+2=8\)
4. Подставим \({{x}_{0}},\text{ }f\left( {{x}_{0}} \right)\) и \({f}’\left( {{x}_{0}} \right)\) в формулу уравнения касательной \(y={f}’\left( {{x}_{0}} \right)\cdot \left( x-{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right)\) \(\begin{array}{l}y={f}’\left( {{x}_{0}} \right)\cdot \left( x-{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right)=\\\text{ }=8\left( x-3 \right)+6=8{x} -24+6=\\\text{ }=8{x} -18\end{array}\)

Теперь реши сам:

  1. Найди уравнение касательной к функции \(y=\frac{2x}{{{x}^{2}}-1}\) в точке \({{x}_{0}}=-2\).
  2. Касательная к параболе \(y=-2{{x}^{2}}+x+3\) пересекает ось \(\displaystyle Ox\) под углом \(45{}^\circ \). Найди уравнение этой касательной.
  3. Прямая \(\displaystyle y=13x+5\) параллельна касательной к графику функции \(\displaystyle y=4{{x}^{2}}+5{x}-13\). Найдите абсциссу точки касания.
  4. Прямая \(\displaystyle y=5{x}-7\) параллельна касательной к графику функции \(\displaystyle y=3{{x}^{2}}-7x+4\). Найдите абсциссу точки касания.
  5. Прямая \(\displaystyle y=13x+10\) параллельна касательной к графику функции \(\displaystyle y={{x}^{2}}-15x+90\). Найдите абсциссу точки касания.

Решения и ответы:
То, что нам известен угол наклона касательной, очень хорошо: ведь его тангенс равен производной функции, а также угловому коэффициенту \(\displaystyle k\) касательной. Но тут есть подвох: дело в том, что под углом \(\displaystyle 45{}^\circ \) ось \(\displaystyle Ox\) могут пересекать две разные касательные: с наклоном «вправо» и «влево»:

  1. Все по плану:
    • \(y\left( {{x}_{0}} \right)=y\left( -2 \right)=\frac{2\cdot \left( -2 \right)}{{{\left( -2 \right)}^{2}}-1}=-\frac{4}{3}\).
    • \({y}’\left( x \right)=2\frac{\left( {{x}^{2}}-1 \right)-x\cdot 2x}{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}}=-\frac{2x\left( x+1 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}}\).
    • \({y}’\left( {{x}_{0}} \right)=-\frac{4}{9}\).
    • Поскольку функция на этот раз называется буквой y, то чтобы не запутаться, для касательной введем другую букву: \(f=-\frac{4}{9}\left( x+2 \right)-\frac{4}{3}=-\frac{4}{9}x-\frac{20}{9}\).
  2. То, что нам известен угол наклона касательной, очень хорошо: ведь его тангенс равен производной функции, а также угловому коэффициенту \(\displaystyle k\) касательной. Но тут есть подвох: дело в том, что под углом \(\displaystyle 45{}^\circ \) ось \(\displaystyle Ox\) могут пересекать две разные касательные: с наклоном «вправо» и «влево»: Уравнение касательной. Угол наклона касательной. Прямая 2 (та, которая «наклонена влево»), с положительным направлением оси \(\displaystyle Ox\) составляет угол \(180{}^\circ -45{}^\circ =135{}^\circ \) – это и есть угол наклона прямой к оси \(\displaystyle Ox\). Дальше все просто: \(y=-2{{x}^{2}}+x+3\), \({y}’\left( x \right)=-4x+1\).
    Прямая 1. \(\ {tg}\alpha =\ {tg}45{}^\circ =1\text{  }\Rightarrow \text{  }{y}’\left( {{x}_{0}} \right)=1\) $late{x} -4{{x}_{0}}+1=1\text{  }\Rightarrow \text{  }{{x}_{0}}=0$ \(y\left( {{x}_{0}} \right)=1\). Касательная: \(f=1\cdot \left( x-0 \right)+1=x+1\)
    Прямая 2. \(\ {tg}\alpha =\ {tg}135{}^\circ =-1\text{  }\Rightarrow \text{  }{y}’\left( {{x}_{0}} \right)=-1\). $late{x} -4{{x}_{0}}+1=-1\text{  }\Rightarrow \text{  }{{x}_{0}}=\frac{1}{2}$ \(y\left( {{x}_{0}} \right)=3\) Касательная: \(f=-1\cdot \left( x-\frac{1}{2} \right)+3=-x+3,5\).
    Ответ: \(\displaystyle x+1\); \(\displaystyle -x+3,5\).
  3. Абсцисса – это ось \(\displaystyle Ox\), а значит, нам нужно найти значение \(\displaystyle x\) в точке пересечения касательной и графика функции. Из уравнения \(\displaystyle k=f’\left( x \right)=\ {tg}\beta \) мы знаем, что угловой коэффициент наклона касательной равен значению производной в точке касания. Поскольку прямая \(\displaystyle y=13x+5\) параллельна касательной, это значит, что их угловой коэффициент \(\displaystyle k=13\) наклона одинаковый. Уравнение касательной. Ответ 1
    Согласно правилам вычисления производных, находим производную \(\displaystyle y=4{{x}^{2}}+5{x}-13\):
    \(\displaystyle y’=2\cdot 4{{x}^{2-1}}+5\cdot {{x}^{1-1}}=8x+5\)
    Теперь приравниваем производную к коэффициенту наклона касательной и находим абсциссу \(\displaystyle \left( x \right)\) точки касания:
    \(\displaystyle 8x+5=13\)
    \(\displaystyle 8x=8\) \(\displaystyle x=1\).

    Уравнение касательной. Ответ 2
    Ответ: \(\displaystyle 1\).
  4. Ответ: \(\displaystyle 2\).
  5. Ответ: \(\displaystyle 14\).

Проверь себя — реши задачи на уравнение касательной.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *