Уравнения с модулем. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Надеюсь, ты уже усвоил тему «Модуль числа»?

Решение уравнений с модулем может быть самостоятельной задачей, но часто такие уравнения могут возникнуть при решении уравнений другого типа, например, квадратных.

Вот пример подобной ситуации:

$latex {{x}^{2}}=16$

Видно, что в правой части – квадрат числа $latex 4$:

$latex {{x}^{2}}={{4}^{2}}$

Казалось бы, теперь достаточно просто убрать квадраты слева и справа, и получим линейное уравнение. Но нет! В таких ситуациях нужно быть предельно осторожным: ведь ты же помнишь простое правило: $latex \sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right|$?

Вот и появляется на сцене наш модуль:

$latex {{x}^{2}}={{4}^{2}}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\sqrt{{{x}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left| x \right|=4$

Чтобы не теряться в таких случаях, давай разберемся, что из себя представляет решение уравнений с модулем , а именно – уравнений вида $latex \left| x \right|=a$.

Решение уравнений с модулем вида $latex \left| x \right|=a$

Уравнения такого вида решаем, основываясь на свойствах модуля, которые мы разобрали в теме «Модуль» .
Давай разбираться на примерах. Необходимо решить уравнение вида:

$latex \left| x \right|=7$

Что такое $latex \left| x \right|$? Это просто $latex x$, если $latex x$ больше либо равно нулю, или $latex -x$, если $latex x$ меньше нуля. То есть можно формализовано записать так:

$latex \displaystyle \left| x \right|=7\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=7,{{\ }_{при}}\ x\ge 0\\-x=7,{{\ }_{при}}\ x<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=7\\x=-7\end{array} \right.$

А если вот такое уравнение:

$latex \left| x \right|=-7$

Рассуждения аналогичные:

$latex \displaystyle \left| x \right|=-7\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-7,{{\ }_{\ \text{при}}}\ x\ge 0\\-x=-7,{{\ }_{\ \text{при}}}\ x<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x=-7\\x\ge 0\end{array} \right.\Rightarrow {{\ }_{решения}}{{\ }_{нет}}\\\left\{ \begin{array}{l}x=7\\x<0\end{array} \right.\ \Rightarrow {{\ }_{решения}}{{\ }_{нет}}\end{array} \right.$

Эти рассуждения можно было и обойти, вспомнив основное свойство модуля: модуль всегда положителен либо равен нулю.

Если обобщить разобранные выше примеры, то можно написать общее правило для решения уравнений вида  $latex \left| x \right|=a$:

$latex \left| x \right|=a\text{  }\Rightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}a\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x=a\\x=-a.\end{array} \right.\end{array} \right.$

Попробуем применить это правило для такого уравнения:

$latex \left| x-5 \right|=3$

Выражение под знаком модуля изменилось, но на логике рассуждений это не отражается, поэтому давай решать уравнение, применяя наше правило:

В нашем примере под «$latex x$» подразумевается «$latex x-5$», а значение $latex a=3$. Зная это, получаем:

$latex \left| x-5 \right|=3\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x-5=3\\x-5=-3\end{array} \right.\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x=8\\x=2\end{array} \right.$

А если уравнение имеет вид:
$latex \left| 3{x}-5 \right|=3$

Что-то меняется в рассуждениях? Конечно, нет! Ну, тогда давай решать его!

$latex \left| 3{x}-5 \right|=3\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}3{x}-5=3\\3{x}-5=-3\end{array} \right.\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x=\frac{8}{3}\\x=\frac{2}{3}\end{array} \right.$

Уловил? Закрепим на примерах:

  1. $latex \left| 7{x}-4 \right|=8$
  2. $latex \left| 6+5{x} \right|=2$
  3. $latex \left| 8-{x} \right|=1$

Решения:

  1. $latex \left| 7{x}-4 \right|=8\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}7{x}-4=8\\7{x}-4=-8\end{array} \right.\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x}=\frac{12}{7}\\x=-\frac{4}{7}\end{array} \right.$
  2. $latex \left| 6+5x \right|=2\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}6+5x=2\\6+5x=-2\end{array} \right.\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-\frac{4}{5}=-0,8\\x=-\frac{8}{5}=1,6\end{array} \right.$
  3. $latex \left| 8-{x} \right|=1\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}8-x=1\\8-x=-1\end{array} \right.\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x=7\\x=9\end{array} \right.$

Проверь себя — реши задачи на уравнения с модулем.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий