Уравнения с модулем. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Надеюсь, ты уже усвоил тему «Модуль числа»?

Уравнения с модулем могут быть самостоятельной задачей, но часто могут возникнуть при решении уравнений другого типа, например, иррациональных или даже квадратных.

Вот пример подобной ситуации:

\({{\left( 2{x}-1 \right)}^{2}}=9{{x}^{2}}+12x+4\).

Мы могли бы раскрыть скобки, перенести все в одну сторону, привести подобные и решить обычное квадратное уравнение (например, через дискриминант). Но здесь удобнее поступить по-другому. Заметим, что в правой части уравнения – формула сокращенного умножения квадрат суммы:

\(9{{x}^{2}}+12x+4={{\left( 3x+2 \right)}^{2}}\)

Тогда уравнение станет таким:

\({{\left( 2{x}-1 \right)}^{2}}={{\left( 3x+2 \right)}^{2}}\)

Казалось бы, теперь достаточно просто убрать квадраты слева и справа, и получим линейное уравнение. Но нет! В таких ситуациях нужно быть предельно осторожным: ведь ты же помнишь простое правило: \(\sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right|\)?

Вот и появляется на сцене наш модуль:

\({{\left( 2{x}-1 \right)}^{2}}={{\left( 3x+2 \right)}^{2}}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left| 2{x}-1 \right|=\left| 3x+2 \right|\).

Чтобы не теряться в таких случаях, научимся решать уравнения с модулем.

Уравнения с модулем.

Уравнения с модулем делятся на три типа.

1. Уравнения вида \(\left| x \right|=a.\)

Большинство уравнений с модулем можно решить, используя одно только определение модуля. Например:

Решите уравнение

\(\left| x \right|=5\)

Что такое \(\left| x \right|\)? Это просто \(x\), если \(x\ge 0\), или \(-x\), если \(x<0\). То есть:

\(\displaystyle \left| x \right|=5\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x={{5,}_{\ при}}x\ge 0\\-x={{5,}_{\ при}}x<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=5\\x=-5.\end{array} \right.\)

Ответ: \(-5;5\)

Другой пример:

Решите уравнение \(\left| x \right|=-3\).

Аналогично:

\(\displaystyle \left| x \right|=-3\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-3,{{\text{ }}_{\text{при}}}\text{ }x\ge 0\\-x=-3,{{\text{ }}_{\text{при}}}\text{ }x<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x=-3\\x\ge 0\end{array} \right.\Rightarrow {{\ }_{решений}}{{\ }_{\text{нет}}}\\\left\{ \begin{array}{l}x=3\\x<0\end{array} \right.\Rightarrow {{\ }_{решений}}{{\ }_{\text{нет}}}\end{array} \right.\)

И правда, вспомним свойство №1: \(\left| x \right|\ge 0\), то есть модуль всегда положителен.

Итак, мы выработали общее правило решения простейших уравнений с модулем:

\(\left| x \right|=a\text{  }\Rightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}a\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x=a\\x=-a.\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Еще примеры (как обычно, пробуй решить их сам, потом смотри решения):

  1. \(\left| {x}-2 \right|=3\)
  2. \(\left| 5-2x \right|=4\)
  3. \(7=\left| 3x+8 \right|\)

Решения:

  1. \(\left| {x}-2 \right|=3\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}{x}-2=3\\{x}-2=-3\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}x=5\\x=-1.\end{array} \right.\)
  2. \(\left| 5-2x \right|=4\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}5-2x=4\\5-2x=-4\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}-2x=-1\\-2x=-9\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\x=\frac{9}{2}.\end{array} \right.\)
  3. \(7=\left| 3x+8 \right|\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}3x+8=7\\3x+8=-7\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}x=-\frac{1}{3}\\x=-5.\end{array} \right.\)

Больше задач — после регистрации.

2. Уравнения вида \(\left| x \right|=\left| y \right|\).

Если начнем раскрывать модули по определению, натолкнемся на множество проверок: какое число больше нуля, какое меньше; в итоге получим большую совокупность, которая затем упростится. Но можно сделать так, чтобы сразу было все кратко.

Для этого вспомним свойство модуля №7: \({{\left| x \right|}^{2}}={{x}^{2}}\). С помощью этого свойства можем избавляться от модулей:

\(\displaystyle \left| x \right|=\left| y \right|\text{  }\Leftrightarrow {{\left| x \right|}^{2}}={{\left| y \right|}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{y}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-{{y}^{2}}=0\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left( {x}-y \right)\left( x+y \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=y\\x=-y.\end{array} \right.\)

Пример:

Решите уравнение \(\left| x+1 \right|=\left| 2{x}-1 \right|\).

Решение:

\(\left| x+1 \right|=\left| 2{x}-1 \right|\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}x+1=2{x}-1\\x+1=-\left( 2{x}-1 \right)\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}x=2\\x=0.\end{array} \right.\)

Реши:

  1. \(\left| 2{x}-9 \right|=\left| 3-x \right|\)
  2. \(3\left| {x}+1 \right|=\left| 1-2x \right|\)

Ответы:

1. \(\displaystyle \left| 2{x}-9 \right|=\left| 3-x \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{x}-9=3-x\\2{x}-9={x}-3\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x=12\\x=6\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=4\\x=6.\end{array} \right.\)

2. \(\displaystyle 3\left| x+1 \right|=\left| 1-2x \right|\text{  }\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x+3=1-2x\\3x+3=2{x}-1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x=-2\\x=-4\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-\frac{2}{5}\\x=-4.\end{array} \right.\)

Больше задач — после регистрации.

3. Уравнения вида \(\left| x \right|=y\).

Отличие от первого типа уравнений в том, что в правой части тоже переменная. А она может быть как положительной, так и отрицательной. Поэтому в ее неотрицательности нужно специально убедиться, ведь модуль не может равняться отрицательному числу (свойство №1):

\(\left| x \right|=y\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}y\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x=y\\x=-y\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Пример:

Решите уравнение: \(\left| x+1 \right|=1-x\).

Решение:

\(\left| x+1 \right|=1-2x\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}1-2x\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x+1=1-2x\\x+1=2{x}-1\end{array} \right.\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}x\le \frac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=2\end{array} \right.\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x=0.\)

Если пропустить проверку на неотрицательность правой части, можно ошибочно написать в ответе сторонние корни, и таким образом потерять баллы. Давайте проверим: действительно ли надо выбросить корень \(x=2\)? Подставим его в исходное уравнение \(\left| x+1 \right|=1-x\):

\(\left| 2+1 \right|=1-2\cdot 2\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left| 3 \right|=-3\) – неверно.

Теперь задачи для самостоятельного решения:

1. \(\left| 2x+1 \right|=3-x\)

2. \(-2\left| x+4 \right|=3-x\)

3. \(\left| 2{{x}^{2}}-15 \right|=x\)

Ответы:

1. \(\displaystyle \left| 2x+1 \right|=13-x\ \ \Leftrightarrow \ \left\{ \begin{array}{l}3-x\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}2x+1=13-x\\2x+1={x}-13\end{array} \right.\end{array} \right.\ \)

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x\le 3\\\left[ \begin{array}{l}3x=12\\x=-14\end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\le 3\\\left\{ \begin{array}{l}x=4\\x=-14\end{array} \right.\end{array} \right.\ \Leftrightarrow x=-14\)

2. \(\displaystyle -2\left| x+4 \right|=3-4x\Leftrightarrow \left| 2x+8 \right|=4{x}-3\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}4{x}-3\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}2x+8=4{x}-3\\2x+8=3-4x\end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge \frac{3}{4}\\\left[ \begin{array}{l}x=\frac{11}{2}\\x=-\frac{5}{6}\end{array} \right.\Leftrightarrow x=\frac{11}{2}.\end{array} \right.\)

3. \(\displaystyle \left| 2{{x}^{2}}-15 \right|=x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}2{{x}^{2}}-{x}-15=0\left( 1 \right)\\2{{x}^{2}}+{x}-15=0\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Решим квадратные уравнения \(\left( 1 \right)\) и \(\left( 2 \right)\). Дискриминант у них одинаковый:

\(D=1+4\cdot 2\cdot 15=121={{11}^{2}}\).

\(\left( 1 \right):\text{  }{{x}_{1,2}}=\frac{1\pm 11}{4}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}x=3\\x=-\frac{5}{2}\end{array} \right.\)

\(\left( 2 \right):\text{  }{{x}_{1,2}}=\frac{-1\pm 11}{4}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}x=-3\\x=\frac{5}{2}\end{array} \right.\)

Итак, исходное уравнение равносильно системе:

\(\left| 2{{x}^{2}}-15 \right|=x\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x=3\\x=-\frac{5}{2}\\x=-3\\x=\frac{5}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}x=3\\x=\frac{5}{2}\end{array} \right.\)

Ответ: \(2,5;3.\)

Больше задач — после регистрации.

Метод интервалов в задачах с модулем.

Пример:

Решите уравнение: \(\left| x+3 \right|-\left| 2{x}-1 \right|=1.\)

Решение:

Рассмотрим первый моуль \(\left| x+3 \right|\). По определению он раскрывается «с плюсом» (то есть выражение под модулем не меняется), если \(x+3\ge 0\), и «с минусом» (то есть все знаки меняются на противоположные), если \(x+3<0\):

\(\displaystyle \left| x+3 \right|=\left[ \begin{array}{l}x+3,\text{ }{{\text{ }}_{если}}\text{ }x+3\ge 0\\-{x}-3,\text{ }{{\text{ }}_{\text{если}}}\text{ }x+3<0.\end{array} \right.\)

Аналогично и со вторым:

\(\displaystyle \left| 2{x}-1 \right|=\left[ \begin{array}{l}2{x}-1,{{\text{ }}_{\text{если}}}\text{ }2{x}-1\ge 0\\1-2x\text{,}{{\text{ }}_{\text{если}}}\text{ }2{x}-1<0.\end{array} \right.\)

Проблема только в том, что теперь нам нужно рассмотреть очень много вариантов: по \(2\) варианта для каждого модуля, итого четыре разных, но похожих друг на друга, уравнения. Если модулей будет не два, а три, получится уже \(8\) уравнений! Можно ли как-то сократить количество вариантов? Да, можно – ведь не все условия могут выполняться одновременно: \(\displaystyle x+3<0\)  и \(\displaystyle 2{x}-1\ge 0\) противоречат друг другу. Поэтому нет смысла раскрывать второй модуль «с плюсом», если первый раскрыт «с минусом». Значит, здесь у нас на одно уравнение меньше.

Теперь систематизируем то, что мы только что выяснили и разработаем последовательность действий в таких примерах.

Примеры:

1. Определим корни подмодульных выражений – такие  \(x\), при которых выражения равны нулю:

\(\left[ \begin{array}{l}x+3=0\text{  }\Rightarrow \text{  }x=-3\\2{x}-1=0\text{ }\Rightarrow \text{  }x=\frac{1}{2}\end{array} \right.\)

2. Отметим корни выражений под модулями на числовой оси:

120¶-1

3. Подпишем у каждого из получившихся интервалов, какой знак принимает каждое из наших подмодульных выражений.

120¶-2

4. Для каждого интервала запишем и решим уравнение. Важно проследить, чтобы ответы соответствовали интервалу!

I. \(x<-3\). Здесь оба модуля раскрываем «с минусом»:

\(-\left( x+3 \right)+\left( 2{x}-1 \right)=1\text{  }\Leftrightarrow \text{  }-{x}-3+2{x}-1=1\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x=5\text{  }>-3\) – этот корень сторонний.

II. \(-3\le x<\frac{1}{2}\). Здесь первый модуль раскрываем «с плюсом», а второй — «с минусом»:

\(\left( x+3 \right)+\left( 2{x}-1 \right)=1\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x+3+2{x}-1=1\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x=-\frac{1}{3}\) – этот корень попадает в «свой» интервал, значит, он подходит.

III. \(x\ge \frac{1}{2}\). Здесь оба модуля раскрываем «с плюсом:

\(\left( x+3 \right)-\left( 2{x}-1 \right)=1\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x+3-2{x}+1=1\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x=3\) – этот корень тоже является решением.

Проверим полученные корни:

I. \(x=5:\text{  }\left| 5+3 \right|-\left| 2\cdot 5-1 \right|=8-9=-1\ne 1\) (корень и правда сторонний).

II. \(x=-\frac{1}{3}:\text{  }\left| -\frac{1}{3}+3 \right|-\left| 2\cdot \left( -\frac{1}{3} \right)-1 \right|=\frac{8}{3}-\frac{5}{3}=1\).

III. \(x=3:\text{  }\left| 3+3 \right|-\left| 2\cdot 3-1 \right|=6-5=1\).

Ответ: \(-\frac{1}{3};\text{  }3.\)

Примеры:

  1. \(\left| x+2 \right|-\left| 3{x}-1 \right|+\left| 4-x \right|=3\)
  2. \(\left| 3{x}-5 \right|+\left| 3+2x \right|=2\left| x+1 \right|\)

Решения:

1. \(\left| x+2 \right|-\left| 3{x}-1 \right|+\left| 4-x \right|=3\)\(\left[ \begin{array}{l}x+2=0\text{  }\Rightarrow \text{  }x=-2\\3{x}-1=0\text{  }\Rightarrow \text{ }x=\frac{1}{3}\\4-x=0\text{  }\Rightarrow \text{  }x=4\end{array} \right.\)120¶-3
I. \(\displaystyle -2\le x<\frac{1}{3}.\)

\(\displaystyle -\left( x+2 \right)+\left( 3{x}-1 \right)+\left( 4-x \right)=3\)

\(\displaystyle x=2>-2\Rightarrow \) корень сторонний
II. \(\displaystyle -2\le x<\frac{1}{3}\)

\(\displaystyle \left( x+2 \right)+\left( 3{x}-1 \right)+\left( 4-x \right)=3\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle 3x=-2\Leftrightarrow x=-\frac{2}{3}\in \left[ -2;\frac{1}{3} \right)\) — подходит
III. \(\displaystyle \frac{1}{3}\le x<4\)

\(\displaystyle \left( x+2 \right)-\left( 3{x}-1 \right)+\left( 4-x \right)=3\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle -3x=-4\Leftrightarrow x=\frac{4}{3}\in \left[ \frac{1}{3};4 \right)-\) подходит
IV. \(\displaystyle x\ge 4\)

\(\displaystyle \left( x+2 \right)-\left( 3{x}-1 \right)-\left( 4-x \right)=3\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle x=4\Leftrightarrow x=-4<4\text{ }-\) корень сторонний

Ответ: \(-\frac{2}{3};\text{  }\frac{4}{3}.\)

2. \(\left| 3{x}-5 \right|+\left| 3+2x \right|=2\left| x+1 \right|\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left| 3{x}-5 \right|+\left| 3+2x \right|-2\left| x+1 \right|=0.\)
\(\left[ \begin{array}{l}3{x}-5=0\text{  }\Rightarrow \text{ }x=\frac{5}{3}\\3+2x=0\text{  }\Rightarrow \text{ }x=-\frac{3}{2}\\x+1=0\text{    }\Rightarrow \text{  }x=-1\end{array} \right.\)
120¶-4
I. \(\displaystyle x<-\frac{3}{2}\)

\(\displaystyle -\left( 3{x}-5 \right)-\left( 3+2x \right)+2\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle -3x=-4\Leftrightarrow x=\frac{4}{3}>-\frac{3}{2}\Rightarrow \) корень сторонний

II. \(\displaystyle -\frac{3}{2}\le x<-1\)

\(\displaystyle -\left( 3{x}-5 \right)+\left( 3+2x \right)+2\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle x=-10<-1\Rightarrow \) корень сторонний
III. \(\displaystyle -1\le x<\frac{5}{3}\)

\(\displaystyle -\left( 3{x}-5 \right)+\left( 3+2x \right)-2\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle -3x=-6\Leftrightarrow x=2\text{  }>\frac{5}{3}\Rightarrow \) корень сторонний
IV. \(\displaystyle x\ge \frac{5}{3}\)

\(\displaystyle \left( 3{x}-5 \right)+\left( 3+2x \right)-2\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle 3x=4\Leftrightarrow x=\frac{4}{3}<\frac{5}{3}\Rightarrow \) корень сторонний
Итак, ни на одном интервале не нашлось корней. Значит, решений это уравнение не имеет.

Ответ: Решений не имеет.

Модуль в модуле

В некоторых уравениях встречается «вложенный» модуль, то есть модуль какого-то выражения является частью подмодульного выражения, например:

\(\left| \left| x \right|-5 \right|=3\)

Что делать в таком случае? Все банально: раскрывать модули. Но раскрывать их нужно поочереди. Какой будем раскрывать первым? А это зависит от того, каким методом ты хочешь решить это уравнение. Рассмотри два возможных варианта:

I. Данное уравнение является уравнением вида \(\left| f\left( x \right) \right|=a\)

 

Поэтому первый способ решения будет стандартным для такого типа:

\(\left| f\left( x \right) \right|=a\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}f\left( x \right)=a\\f\left( x \right)=-a\end{array} \right.\)

\(f\left( x \right)\) – подмодульное выражение – в нашем примере это \(\left| x \right|-5\) , то есть:

\(\left| \left| x \right|-5 \right|=3\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}\left| x \right|-5=3\\\left| x \right|-5=-3\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}\left| x \right|=8\\\left| x \right|=2\end{array} \right.\)

Получили два элементарных уравнения такого же типа, то есть:

\(\left[ \begin{array}{l}x=8\\x=-8\\x=2\\x=-2\end{array} \right.\)

Эти четыре числа и будут ответом, можешь проверить их подстановкой в исходное уравнение.

  1. II. Есть еще один, более универсальный способ, который подойдет для любых задач, не попадающих ни в какой из стандартных типов. Что это за метод? Метод интервалов.

В этом случае нужно раскрывать модули начиная с самых «глубоких», то есть «внутренних». В нашем случае внутренним будет модуль, выделенный красным цветом:

\(\left| \left| x \right|-5 \right|=3\)

Чтобы раскрыть его, надо рассмотреть 2 случая: и , то есть уравнение распадается на два уравнения:

\(\left| \left| x \right|-5 \right|=3\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\\left| x-5 \right|=3\end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l}x<0\\\left| -x-5 \right|=3\end{array} \right.\)

Проверь себя — реши задачи на уравнения с модулем.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *