Вписанная и вневписанная окружность. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Вписанная окружность

Здесь мы будем говорить об окружностях, связанных с треугольником. Оставим пока в стороне страшное слово «вневписанная» и поговорим об окружности, вписанной в треугольник. Итак, что же это такое?

Окружность, вписанная в треугольник. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех (трёх) его сторон.

Для всякого ли треугольника можно подобрать такую окружность? И как найти ее центр?

На эти вопросы отвечает следующая теорема (математически называют очень важные утверждения теоремами)

Центр вписанной окружности Во всякий треугольник можно вписать окружность, причём единственным образом.
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

И повторим ещё раз то, что очень нужно запомнить.

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Если тебя заинтересовал вопрос, а почему это все три биссектрисы обязаны пересечься, и какое отношение имеют биссектрисы к тому, что окружность касается сторон треугольника, то добро пожаловать в средний уровень теории по темам «Биссектриса» и «Вписанная и вневписанная окружность».

Но для начала хватит просто запомнить то, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Теперь немножко о радиусе.

Радиус вписанной окружности. Посмотри, пусть у нас в \(\displaystyle \Delta ABC\) вписана окружность с центром \(\displaystyle O\). Тогда отрезки \(\displaystyle OK\), \(\displaystyle OL\), и \(\displaystyle OM\) – радиусы этой окружности.

Поэтому они, конечно же, равны, но ещё – они все перпендикулярны сторонам. Это происходит оттого, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Итак, запомни и используй:

Радиусы вписанной окружности, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам треугольника.

Что же ещё? Давай представим, что мы откуда-то узнали все три стороны треугольника.

Точки касания окружности.

Можно ли найти как-то отрезочки \(\displaystyle AK\), \(\displaystyle KC\), \(\displaystyle BL\) и.д. — отрезки, на которые точки касания разбивают стороны треугольника? Представь себе, можно, и даже очень легко. Для этого нужно знать только то, что отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны (если ещё не успел это узнать – загляни в тему «Касательные. Касающиеся окружности»).

Итак, начнём поиск!

Посмотри внимательно: из точки \(\displaystyle A\) проведено две касательных, значит их отрезки  \(\displaystyle AK\) и \(\displaystyle AM\) равны.

Точки касания окружности 2. Мы обозначим их «\(\displaystyle x\)». Далее, точно так же:
\(\displaystyle BM=BL=y\) (обозначили).
\(\displaystyle CK=CL=z\) (обозначили).

Теперь вспомним-ка, что мы знаем длины всех трёх сторон треугольника. Обозначим эти длины «\(\displaystyle a\)», «\(\displaystyle b\)», «\(\displaystyle c\)» — смотри на рисунок. Что же теперь получилось? А вот, например, отрезок «\(\displaystyle a\)» состоит из двух отрезков «\(\displaystyle y\)» и «\(\displaystyle z\)», да и отрезки «\(\displaystyle b\)» и «\(\displaystyle c\)» тоже из чего-то состоят. Запишем это всё сразу:

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y+z=a\\x+z=b\\x+y=c\end{array} \right.\)

Ух ты! Выход в алгебру! Три уравнения и три неизвестных! Сейчас решим!

Сложим первые два уравнения и вычтем третье:

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y+z=a\\x+z=b\\x+y=c\end{array} \right.\Rightarrow x+y+2z-\left( x+y \right)=a+b-c\),  то есть:

\(\displaystyle z=\frac{a+b-c}{2}\)

А теперь сложим первое и третье уравнение и вычтем второе:

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y+z=a\\x+z=b\\x+y=c\end{array} \right.\Rightarrow x+z+x+y-\left( x+z \right)=a+c-b\), то есть:

\(\displaystyle y=\frac{a+c-b}{2}\)

И последний шаг: сложим второе и третье, а потом вычтем первое.

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y+z=a\\x+z=b\\x+y=c\end{array} \right.\Rightarrow x=\frac{b+c-a}{2}\)

\(\displaystyle x=\frac{b+c-a}{2}\)

Ну вот, всё нашли:

\(\displaystyle x=\frac{b+c-a}{2};y=\frac{a+c-b}{2};~z=\frac{a+b-c}{2}\)

Очень много плюсов и минусов – аж в глазах рябит. Как же это запомнить? А оказывается, очень просто. Смотри-ка на картинку и формулу сразу.

Точки касания окружности 3.

\(\displaystyle x=\frac{b+c-a}{2}\)

Секрет вот в чём: те стороны, на которых есть «\(\displaystyle x\)» («\(\displaystyle b\)» и «\(\displaystyle c\)») будут с плюсом, а та сторона, где нет «\(\displaystyle x\)» (это «\(\displaystyle a\)»), будет с минусом. Ну, а пополам поделить всё хозяйство. С другими буквами точно так же

\(\displaystyle y=\frac{a+c-b}{2}\)

На «\(\displaystyle a\)» и «\(\displaystyle c\)» есть «\(\displaystyle y\)» — они с плюсом, на «\(\displaystyle b\)» нет «\(\displaystyle y\)» — она с минусом

\(\displaystyle z=\frac{a+b-c}{2}\)

На «\(\displaystyle a\)» и «\(\displaystyle b\)» есть «\(\displaystyle z\)» — они с плюсом, на «\(\displaystyle c\)» нет «\(\displaystyle z\)» — она с минусом.

Больше задач — после регистрации.

Вписанная окружность и площадь

Вписанная окружность и площадь

Здесь скажем совсем коротко:

Есть такая формула:

\(\huge\displaystyle S=p\cdot r\),

где  \(\displaystyle p\) — это полупериметр треугольника, то есть \(\displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}\), а \(\displaystyle r\) — радиус вписанной окружности.

Вневписанная окружность

Ну вот, пора приступать к самому непонятному. Что же это за зверь такой: «вневписанная окружность»? Сначала посмотри на картинку:

вневписанная окружность

Видишь, окружность тоже чего-то касается, но «сидит» как-то снаружи, вне треугольника? Вот поэтому и называется вневписанной.

Окружность называется вневписанной для треугольника, если она касается ОДНОЙ стороны треугольника и продолжений двух других сторон.

А как ты думаешь, сколько у одного треугольника может быть вневписанных окружностей? Вот, представь себе, аж три!

Посмотри, вот, так:

Три вневписанных окружности

Захватывает дух? Насладись впечатлением. Подробное обсуждение этой картинки смотри в следующих уровнях теории. Там ответим на всякие вопросы, типа

— A откуда взялся \(\displaystyle \Delta {{O}_{1}}{{O}_{2}}{{O}_{3}}\)?

— A что это за точка \(\displaystyle O\)?

— И что это вообще за тьма линий на рисунке?

А сейчас вернёмся к одной, какой-нибудь, вневписанной окружности и узнаем всего один, но очень важный факт.

Вневписанная окружность. Полупериметр.

\(\displaystyle AK=AM=\frac{a+b+c}{2}\),

или, что то же самое: \(\displaystyle AK=AM=p\), где \(\displaystyle p\) — полупериметр.

Доказывать не будем, но ещё раз посмотри и запомни:

11 до «дальней» точки касания вневписанной окружности – ровно полупериметр.

Проверь себя — реши задачи на вписанную и вневписанную окружность.

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий