Вписанный четырехугольник. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Известно, что для всякого треугольника существует описанная окружность (это мы доказывали в теме «Описанная окружность»). Что же можно сказать о четырёхугольнике? Вот, оказывается, что НЕ ВСЯКИЙ четырехугольник можно вписать в окружность, а есть такая теорема:

Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $latex \displaystyle 180{}^\circ $.

Четырехугольник вписан в окружность

На нашем рисунке – $latex \large\displaystyle \angle \alpha +\angle \beta =180{}^\circ $

Давай попробуем понять, почему так? Другими словами, мы сейчас докажем эту теорему. Но прежде чем доказывать, нужно понять, как устроено само утверждение. Ты заметил в утверждении слова «тогда и только тогда»? Такие слова означают, что вредные математики впихнули два утверждения в одно.

Расшифровываем:

  1. «Тогда» означает: Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна $latex \displaystyle 180{}^\circ $.
  2. «Только тогда» означает: Если у четырёхугольника найдутся два противоположных угла, сумма которых равна $latex \displaystyle 180{}^\circ $, то такой четырехугольник можно вписать в окружность.

Прямо как у Алисы: «думаю, что говорю» и «говорю, что думаю».

А теперь разбираемся, отчего же верно и 1, и 2?

Сначала 1.

Пусть четырехугольник $latex \displaystyle ABCD$ вписан в окружность. Отметим её центр $latex \displaystyle O$ и проведём радиусы $latex \displaystyle OA$ и $latex \displaystyle OC$. Что же получится? Помнишь ли ты, что вписанный угол вдвое меньше соответствующего центрального? Если помнишь – сейчас применим, а если не очень  – загляни в тему «Окружность. Вписанный угол».

Четырехугольник вписан в окружность. Вписанный угол.

Итак,

$latex \displaystyle \angle ABC$ — вписанный  $latex \displaystyle\Rightarrow \angle ABC=\frac{1}{2}\cdot \angle \psi $

$latex \displaystyle \angle ADC$ — вписанный  $latex \displaystyle\Rightarrow  \angle ADC=\frac{1}{2}\cdot \angle \varphi $

Но посмотри: $latex \displaystyle \angle \varphi +\angle \psi =360{}^\circ $.

Значит,

$latex \displaystyle \begin{array}{l}\angle ABC+\angle ADC=\frac{1}{2}\angle \psi +\frac{1}{2}\angle \varphi =\\=\frac{1}{2}\left( \angle \psi +\angle \varphi  \right)=\frac{1}{2}\cdot 360{}^\circ =180{}^\circ \end{array}$.

Получаем, что если $latex \displaystyle ABCD$ – вписанный, то

$latex \displaystyle \angle \alpha +\angle \beta =180{}^\circ $.

Ну, и ясно, что $latex \displaystyle \angle A$ и $latex \displaystyle \angle C$ тоже в сумме составляет $latex \displaystyle 180{}^\circ $. (нужно так же рассмотреть $latex \displaystyle \angle BAD$ и $latex \displaystyle \angle BCD$).

Проверь себя — реши задачи на вписанный четырехугольник.

Теперь и «наоборот», то есть 2.

Пусть оказалось так, что у четырехугольника $latex \displaystyle ABCD$ сумма каких – то двух противоположных углов равна $latex \displaystyle 180{}^\circ $. Скажем, пусть

$latex \displaystyle \angle B+\angle D=180{}^\circ $.

Четырехугольник. Сумма противоположных углов - равна.

Мы пока не знаем, можем ли описать вокруг него окружность. Но мы точно знаем, что вокруг треугольника $latex \displaystyle ABC$ мы гарантированно окружность описать можем. Так и сделаем это.

Если точка $latex \displaystyle D$ не «села» на окружность, то она неминуемо оказалась или снаружи или внутри.

Рассмотрим оба случая.

Пусть сначала точка $latex \displaystyle D$ – снаружи. Тогда отрезок $latex \displaystyle AD$ пересекает окружность в какой-то точке $latex \displaystyle E$. Соединим $latex \displaystyle C$ и $latex \displaystyle E$. Получился вписанный (!) четырехугольник $latex \displaystyle ABCE$.

Не вписанный четырехугольник

Про него уже знаем, что сумма его противоположных углов равна $latex \displaystyle 180{}^\circ $, то есть $latex \displaystyle \angle \alpha +\angle \gamma =180{}^\circ $, а по условию у нас $latex \displaystyle \angle \alpha +\angle \beta =180{}^\circ $.

Получается, что должно бы быть так, что $latex \displaystyle \angle \beta =\angle \gamma $.

Но это никак не может быть поскольку $latex \displaystyle \angle \gamma $ – внешний угол для $latex \displaystyle \Delta DEC$ и значит, $latex \displaystyle \angle \gamma =\angle \beta +\angle \delta $.

А внутри? Проделаем похожие действия. Пусть точка $latex \displaystyle D$ внутри.

Вписанный четырехугольник 2

Тогда продолжение отрезка $latex \displaystyle AD$ пересекает окружность в точке $latex \displaystyle E$. Снова $latex \displaystyle ABCE$ – вписанный четырехугольник $latex \displaystyle \angle \alpha +\angle \gamma =180{}^\circ $, а по условию $latex \displaystyle \angle \alpha +\angle \beta =180{}^\circ\quad \Rightarrow $  должно выполняться $latex \displaystyle \angle \beta =\angle \gamma $, но $latex \displaystyle \angle \beta $ — внешний угол для $latex \displaystyle \Delta DEC$ и значит, $latex \displaystyle \angle \beta =\angle \gamma +\angle \delta $, то есть опять никак не может быть так, что $latex \displaystyle \angle \beta =\angle \gamma $.

То есть точка $latex \displaystyle D$ не может оказаться ни снаружи, ни внутри окружности – значит, она на окружности!

Доказали всю-всю теорему!

Проверь себя — реши задачи на вписанный четырехугольник.

Теперь посмотрим, какие же хорошие следствия даёт эта теорема.

Следствие 1

Параллелограмм, вписанный в окружность, может быть только прямоугольником.

Параллелограмм

Давай-ка поймём, почему так. Пусть параллелограмм $latex \displaystyle ABCD$ вписан в окружность. Тогда должно выполняться $latex \displaystyle \angle B+\angle D=180{}^\circ $.

Но из свойств параллелограмма мы знаем, что $latex \displaystyle \angle B=\angle D$.

То есть

$latex \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\angle B+\angle D=180{}^\circ \\\angle B=\angle D\end{array} \right.\ \ \left\{ \begin{array}{l}\angle B=90{}^\circ \\\angle D=90{}^\circ \end{array} \right.$

И то же самое, естественно, касательно углов $latex \displaystyle A$ и $latex \displaystyle C$.

Вот и получился прямоугольник – все углы по $latex \displaystyle 90{}^\circ $.

Впсанный прямоугольник

Но, кроме того, есть ещё дополнительный приятный факт: центр окружности, описанной около прямоугольника, совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Давай поймём почему. Надеюсь, ты отлично помнишь, что угол, опирающийся на диаметр – прямой.

Ну вот,

$latex \displaystyle \angle B=90{}^\circ \Rightarrow  AC$ — диаметр,

$latex \displaystyle \angle A=90{}^\circ \Rightarrow  BD$ — диаметр

а значит, $latex \displaystyle O$ – центр. Вот и всё.

Проверь себя — реши задачи на вписанный четырехугольник.

Следствие 2

Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.

Докажем?

Вписанная трапеция

Пусть трапеция $latex \displaystyle ABCD$ вписана в окружность. Тогда $latex \displaystyle \angle B+\angle D=180{}^\circ $.

Но $latex \displaystyle AD\parallel BC \Rightarrow \angle B+\angle A=180{}^\circ $

То есть

$latex \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\angle B+\angle D=180{}^\circ \\\angle B+\angle A=180{}^\circ \end{array} \right.$  $latex \displaystyle \Rightarrow  \angle D=\angle A$. И так же $latex \displaystyle \angle B=\angle C$.

Вписанная равнобедренная трапеция

Всё ли мы обсудили? Не совсем. На самом деле есть ещё один, «секретный» способ, как узнавать вписанный четырехугольник. Мы этот способ сформулируем не очень строго (но понятно), а докажем только в последнем уровне теории.

Итак:

Если в четырёхугольнике можно наблюдать такую картинку, как здесь на рисунке (тут углы, «смотрящие» на сторону $latex \displaystyle AD$ из точек $latex \displaystyle B$ и $latex \displaystyle C$, равны), то такой четырехугольник – вписанный.

Вписанный четырехугольник. Правило.

Это очень важный рисунок – в задачах часто бывает легче найти равные углы, чем сумму углов $latex \displaystyle B$ и $latex \displaystyle D$.

Несмотря на совершенное отсутствие строгости в нашей формулировке, она верна, и более того, всегда принимается проверяющими ЕГЭ. Ты должен писать примерно так:

«$latex \displaystyle \angle ABD=\angle ACD\Rightarrow ABCD$ — вписанный» — и всё будет отлично!

Не забывай этот важный признак – запомни картинку, и, возможно, она тебе вовремя бросится в глаза при решении задачки.

Проверь себя — реши задачи на вписанный четырехугольник.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий