Вписанный четырехугольник. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Известно, что для всякого треугольника существует описанная окружность (это мы доказывали в теме «Описанная окружность»). Что же можно сказать о четырёхугольнике? Вот, оказывается, что НЕ ВСЯКИЙ четырехугольник можно вписать в окружность, а есть такая теорема:

Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна \(\displaystyle 180{}^\circ \).

Четырехугольник вписан в окружность

На нашем рисунке – \(\large\displaystyle \angle \alpha +\angle \beta =180{}^\circ \)

Давай попробуем понять, почему так? Другими словами, мы сейчас докажем эту теорему. Но прежде чем доказывать, нужно понять, как устроено само утверждение. Ты заметил в утверждении слова «тогда и только тогда»? Такие слова означают, что вредные математики впихнули два утверждения в одно.

Расшифровываем:

  1. «Тогда» означает: Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна \(\displaystyle 180{}^\circ \).
  2. «Только тогда» означает: Если у четырёхугольника найдутся два противоположных угла, сумма которых равна \(\displaystyle 180{}^\circ \), то такой четырехугольник можно вписать в окружность.

Прямо как у Алисы: «думаю, что говорю» и «говорю, что думаю».

А теперь разбираемся, отчего же верно и 1, и 2?

Сначала 1.

Пусть четырехугольник \(\displaystyle ABCD\) вписан в окружность. Отметим её центр \(\displaystyle O\) и проведём радиусы \(\displaystyle OA\) и \(\displaystyle OC\). Что же получится? Помнишь ли ты, что вписанный угол вдвое меньше соответствующего центрального? Если помнишь – сейчас применим, а если не очень  – загляни в тему «Окружность. Вписанный угол».

Четырехугольник вписан в окружность. Вписанный угол.

Итак,

\(\displaystyle \angle ABC\) — вписанный  \(\displaystyle\Rightarrow \angle ABC=\frac{1}{2}\cdot \angle \psi \)

\(\displaystyle \angle ADC\) — вписанный  \(\displaystyle\Rightarrow  \angle ADC=\frac{1}{2}\cdot \angle \varphi \)

Но посмотри: \(\displaystyle \angle \varphi +\angle \psi =360{}^\circ \).

Значит,

\(\displaystyle \begin{array}{l}\angle ABC+\angle ADC=\frac{1}{2}\angle \psi +\frac{1}{2}\angle \varphi =\\=\frac{1}{2}\left( \angle \psi +\angle \varphi  \right)=\frac{1}{2}\cdot 360{}^\circ =180{}^\circ \end{array}\).

Получаем, что если \(\displaystyle ABCD\) – вписанный, то

\(\displaystyle \angle \alpha +\angle \beta =180{}^\circ \).

Ну, и ясно, что \(\displaystyle \angle A\) и \(\displaystyle \angle C\) тоже в сумме составляет \(\displaystyle 180{}^\circ \). (нужно так же рассмотреть \(\displaystyle \angle BAD\) и \(\displaystyle \angle BCD\)).

Проверь себя — реши задачи на вписанный четырехугольник.

Теперь и «наоборот», то есть 2.

Пусть оказалось так, что у четырехугольника \(\displaystyle ABCD\) сумма каких – то двух противоположных углов равна \(\displaystyle 180{}^\circ \). Скажем, пусть

\(\displaystyle \angle B+\angle D=180{}^\circ \).

Четырехугольник. Сумма противоположных углов - равна.

Мы пока не знаем, можем ли описать вокруг него окружность. Но мы точно знаем, что вокруг треугольника \(\displaystyle ABC\) мы гарантированно окружность описать можем. Так и сделаем это.

Если точка \(\displaystyle D\) не «села» на окружность, то она неминуемо оказалась или снаружи или внутри.

Рассмотрим оба случая.

Пусть сначала точка \(\displaystyle D\) – снаружи. Тогда отрезок \(\displaystyle AD\) пересекает окружность в какой-то точке \(\displaystyle E\). Соединим \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle E\). Получился вписанный (!) четырехугольник \(\displaystyle ABCE\).

Не вписанный четырехугольник

Про него уже знаем, что сумма его противоположных углов равна \(\displaystyle 180{}^\circ \), то есть \(\displaystyle \angle \alpha +\angle \gamma =180{}^\circ \), а по условию у нас \(\displaystyle \angle \alpha +\angle \beta =180{}^\circ \).

Получается, что должно бы быть так, что \(\displaystyle \angle \beta =\angle \gamma \).

Но это никак не может быть поскольку \(\displaystyle \angle \gamma \) – внешний угол для \(\displaystyle \Delta DEC\) и значит, \(\displaystyle \angle \gamma =\angle \beta +\angle \delta \).

А внутри? Проделаем похожие действия. Пусть точка \(\displaystyle D\) внутри.

Вписанный четырехугольник 2

Тогда продолжение отрезка \(\displaystyle AD\) пересекает окружность в точке \(\displaystyle E\). Снова \(\displaystyle ABCE\) – вписанный четырехугольник \(\displaystyle \angle \alpha +\angle \gamma =180{}^\circ \), а по условию \(\displaystyle \angle \alpha +\angle \beta =180{}^\circ\quad \Rightarrow \)  должно выполняться \(\displaystyle \angle \beta =\angle \gamma \), но \(\displaystyle \angle \beta \) — внешний угол для \(\displaystyle \Delta DEC\) и значит, \(\displaystyle \angle \beta =\angle \gamma +\angle \delta \), то есть опять никак не может быть так, что \(\displaystyle \angle \beta =\angle \gamma \).

То есть точка \(\displaystyle D\) не может оказаться ни снаружи, ни внутри окружности – значит, она на окружности!

Доказали всю-всю теорему!

Проверь себя — реши задачи на вписанный четырехугольник.

Теперь посмотрим, какие же хорошие следствия даёт эта теорема.

Следствие 1

Параллелограмм, вписанный в окружность, может быть только прямоугольником.

Параллелограмм

Давай-ка поймём, почему так. Пусть параллелограмм \(\displaystyle ABCD\) вписан в окружность. Тогда должно выполняться \(\displaystyle \angle B+\angle D=180{}^\circ \).

Но из свойств параллелограмма мы знаем, что \(\displaystyle \angle B=\angle D\).

То есть

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\angle B+\angle D=180{}^\circ \\\angle B=\angle D\end{array} \right.\ \ \left\{ \begin{array}{l}\angle B=90{}^\circ \\\angle D=90{}^\circ \end{array} \right.\)

И то же самое, естественно, касательно углов \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle C\).

Вот и получился прямоугольник – все углы по \(\displaystyle 90{}^\circ \).

Впсанный прямоугольник

Но, кроме того, есть ещё дополнительный приятный факт: центр окружности, описанной около прямоугольника, совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Давай поймём почему. Надеюсь, ты отлично помнишь, что угол, опирающийся на диаметр – прямой.

Ну вот,

\(\displaystyle \angle B=90{}^\circ \Rightarrow  AC\) — диаметр,

\(\displaystyle \angle A=90{}^\circ \Rightarrow  BD\) — диаметр

а значит, \(\displaystyle O\) – центр. Вот и всё.

Проверь себя — реши задачи на вписанный четырехугольник.

Следствие 2

Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.

Докажем?

Вписанная трапеция

Пусть трапеция \(\displaystyle ABCD\) вписана в окружность. Тогда \(\displaystyle \angle B+\angle D=180{}^\circ \).

Но \(\displaystyle AD\parallel BC \Rightarrow \angle B+\angle A=180{}^\circ \)

То есть

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\angle B+\angle D=180{}^\circ \\\angle B+\angle A=180{}^\circ \end{array} \right.\)  \(\displaystyle \Rightarrow  \angle D=\angle A\). И так же \(\displaystyle \angle B=\angle C\).

Вписанная равнобедренная трапеция

Всё ли мы обсудили? Не совсем. На самом деле есть ещё один, «секретный» способ, как узнавать вписанный четырехугольник. Мы этот способ сформулируем не очень строго (но понятно), а докажем только в последнем уровне теории.

Итак:

Если в четырёхугольнике можно наблюдать такую картинку, как здесь на рисунке (тут углы, «смотрящие» на сторону \(\displaystyle AD\) из точек \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C\), равны), то такой четырехугольник – вписанный.

Вписанный четырехугольник. Правило.

Это очень важный рисунок – в задачах часто бывает легче найти равные углы, чем сумму углов \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle D\).

Несмотря на совершенное отсутствие строгости в нашей формулировке, она верна, и более того, всегда принимается проверяющими ЕГЭ. Ты должен писать примерно так:

«\(\displaystyle \angle ABD=\angle ACD\Rightarrow ABCD\) — вписанный» — и всё будет отлично!

Не забывай этот важный признак – запомни картинку, и, возможно, она тебе вовремя бросится в глаза при решении задачки.

Проверь себя — реши задачи на вписанный четырехугольник.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий