Высота. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Что такое высота треугольника?

Высота – линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне.

Давай нарисуем:

Высота треугольника. Иллюстрация.

На этом рисунке \(\displaystyle BH\) – высота.

Но иногда высота ведёт себя, как непослушный ребенок – «выбегает» из треугольника. Это бывает в тупоугольном треугольнике.

И тогда получается так:

Частные случаи построения высоты треугольника.

В общем, не нужно пугаться, если основание высоты оказалось не на стороне треугольника, а «за» треугольником, на продолжении стороны. Как же решать задачи, в которых участвует высота? Нужно стремиться применить какие-нибудь знания о прямоугольном треугольнике – ведь где высота – там и прямой угол.

Давай попробуем.

Вот есть, скажем, задача:

В треугольнике \(\displaystyle ABC\) с тупым углом \(\displaystyle C\) проведена высота \(\displaystyle BH\). Найти \(\displaystyle AC\), если \(AB=2\sqrt{10}\), \(BC=\sqrt{13}\), \(BH=2\).

Решаем:

Условие задачи. Иллюстрация. Смотри: из-за того, что угол \(C\) – тупой, высота \(BH\) опустилась на продолжение стороны \(AC\), а не на саму сторону.

Теперь давай увидим во всём этом два прямоугольных треугольника.

Смотри их целых два:

Решение задачи.

Применяем теорему Пифагора к треугольнику \(BCH\):

\(B{{C}^{2}}=B{{H}^{2}}+C{{H}^{2}}\), то есть \(13=4+C{{H}^{2}}\); \(CH=3\).

А теперь теорема Пифагора для \(\Delta ABH\):

\(A{{B}^{2}}=A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}\); то есть \(40=A{{H}^{2}}+4\); \(AH=6\).

Теперь осталось только заметить, что \(AC=AH-CH=6-3=3\).

Нашли!

Проверь себя — реши задачи на высоту треугольника.

А теперь давай зададимся вопросом: а сколько вообще высот у треугольника? Конечно, три! И вот, есть такое утверждение, доказывать которое мы здесь не будем, но знать его нужно, тем более, что запоминается оно просто:

В любом треугольнике все три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Смотрим, как это бывает:

a) Сами высоты пересекаются:

Пересечение высот в равнобедренном треугольнике.

b) Пересекаются продолжения:

Пересечение высот в равнобедренном треугольнике 2.

Ну вот, про высоту и запоминать-то нужно всего ничего:

  • Задача про высоту часто решается с помощью знаний о прямоугольном треугольнике.
  • Три высоты (или три продолжения) пересекаются в одной точке.
    (Но! Это НЕ центр НИКАКОЙ окружности )

Проверь себя — реши задачи на высоту треугольника.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий