Высота. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Что такое высота треугольника?

Высота – линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне.

Давай нарисуем:

Высота треугольника. Иллюстрация.

На этом рисунке $latex \displaystyle BH$ – высота.

Но иногда высота ведёт себя, как непослушный ребенок – «выбегает» из треугольника. Это бывает в тупоугольном треугольнике.

И тогда получается так:

Частные случаи построения высоты треугольника.

В общем, не нужно пугаться, если основание высоты оказалось не на стороне треугольника, а «за» треугольником, на продолжении стороны. Как же решать задачи, в которых участвует высота? Нужно стремиться применить какие-нибудь знания о прямоугольном треугольнике – ведь где высота – там и прямой угол.

Давай попробуем.

Вот есть, скажем, задача:

В треугольнике $latex \displaystyle ABC$ с тупым углом $latex \displaystyle C$ проведена высота $latex \displaystyle BH$. Найти $latex \displaystyle AC$, если $latex AB=2\sqrt{10}$, $latex BC=\sqrt{13}$, $latex BH=2$.

Решаем:

Условие задачи. Иллюстрация. Смотри: из-за того, что угол $latex C$ – тупой, высота $latex BH$ опустилась на продолжение стороны $latex AC$, а не на саму сторону.

Теперь давай увидим во всём этом два прямоугольных треугольника.

Смотри их целых два:

Решение задачи.

Применяем теорему Пифагора к треугольнику $latex BCH$:

$latex B{{C}^{2}}=B{{H}^{2}}+C{{H}^{2}}$, то есть $latex 13=4+C{{H}^{2}}$; $latex CH=3$.

А теперь теорема Пифагора для $latex \Delta ABH$:

$latex A{{B}^{2}}=A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}$; то есть $latex 40=A{{H}^{2}}+4$; $latex AH=6$.

Теперь осталось только заметить, что $latex AC=AH-CH=6-3=3$.

Нашли!

Проверь себя — реши задачи на высоту треугольника.

А теперь давай зададимся вопросом: а сколько вообще высот у треугольника? Конечно, три! И вот, есть такое утверждение, доказывать которое мы здесь не будем, но знать его нужно, тем более, что запоминается оно просто:

В любом треугольнике все три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Смотрим, как это бывает:

a) Сами высоты пересекаются:

Пересечение высот в равнобедренном треугольнике.

b) Пересекаются продолжения:

Пересечение высот в равнобедренном треугольнике 2.

Ну вот, про высоту и запоминать-то нужно всего ничего:

  • Задача про высоту часто решается с помощью знаний о прямоугольном треугольнике.
  • Три высоты (или три продолжения) пересекаются в одной точке.
    (Но! Это НЕ центр НИКАКОЙ окружности )

Проверь себя — реши задачи на высоту треугольника.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий