Задачи на движение. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Основы основ

Без чего нельзя решать задачи на движение

Для успешного решения задач на движение нужно все время держать в голове одну простую формулу:

Формула для решения задач на движение

Чтобы легче запомнить эту формулу, подумай, что ты ответишь на такой вопрос:

«Сколько километров я проеду на велосипеде за \(\displaystyle 2\) часа, двигаясь со скоростью \(\displaystyle 13\) км/ч?»

Ты, не задумываясь, ответишь – \(\displaystyle 26\) км. Ну вот. Поздравляю! Эту формулу ты всегда хорошо знал, просто не мог сформулировать.

Из нашей формулы легко выразить все ее составляющие:

Формулу для скорости: \(\displaystyle \nu =\frac{S}{\text{t}}\)

Формулу для времени: \(\displaystyle \text{t}=\frac{S}{\nu }\)

Очень многим запомнить формулу помогает вот такая пирамидка:

Пирамида, для решения задач на движение

Усвоил? А теперь рассмотрим подробный алгоритм решения задач на движение. Он состоит из \(\displaystyle 2\) больших этапов.

алгоритм решения задач на движение

Больше задач — после регистрации.

Разберем немного подробнее некоторые особенности и тонкости, возникающие при решении задач на движение.

Немного о внимательности в прочтении задач

Прочитай задачу несколько раз. Осознай ее настолько, чтобы тебе было понятно абсолютно все.

Например, часто возникают трудности с понятием «собственная скорость лодки/катера и т.д. Подумай, что это может значить? Правильно, скорость лодки в стоячей воде, например, в пруду, когда на нее не влияет скорость течения. Кстати, в задачах иногда пишут «найти скорость лодки в стоячей воде». Теперь ты знаешь, что собственная скорость лодки и скорость лодки в стоячей воде – одно и тоже, так что не теряйся, если встретишь оба этих определения.

Особенности живописи при задачах на движение – кто куда едет, кто к кому приехал, и где они все встретились)

Сделай рисунок, попутно записывая на нем все известные величины (ну либо под ним, если не знаешь, как их отобразить схематически). Рисунок должен четко отражать весь смысл задачи. Чертеж следует сделать таким образом, чтобы на нем была видна динамика движения – направления движения, встречи, развороты, повороты. Качественный чертеж позволяет понять задачу, не заглядывая в ее текст. Он – твоя основная подсказка для дальнейшего составления уравнения.

Рассмотрим возможные виды движения двух тел:

Движение навстречу друг другу.

Движение навстречу. Иллюстрация задач.

  • Если тела движутся навстречу друг другу, то их скорость сближения равна сумме их скоростей:

\(\displaystyle {{\nu }_{сближ}}={{\nu }_{1}}+{{\nu }_{2}}\)

Не веришь? Давай посмотрим на практике.

Допустим, из точки \(\displaystyle A\) и из точки \(\displaystyle B\) навстречу друг другу выехали две машины. Скорость одной машины – \(\displaystyle 60\) км/ч, а скорость \(\displaystyle 2\) машины – \(\displaystyle 40\) км/ч. Они встретились через \(\displaystyle 1,2\) часа. Какое расстояние между пунктами \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\)?

1 вариант решения:

  1. \(\displaystyle 60\cdot 1,2\text{ }=\text{ }72\)  (км) – путь, который проехала первая машина
  2. \(\displaystyle 40\cdot 1,2\text{ }=\text{ }48\)  (км) – путь, который проехала вторая машина
  3. \(\displaystyle 72 + 48 = 120\)  (км) – расстояние, которое проехали обе машины, то есть, расстояние между пунктами \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\).

2 вариант решения:

  1. \(\displaystyle 60 + 40 = 100\) (км/ч) – скорость сближения машин
  2. \(\displaystyle 100\cdot 1,2\text{ }=\text{ }120\)  (км) – расстояние, которые проехали машины, то есть, расстояние между пунктами \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\).

Оба решения являются верными. Просто второе более рационально, так что запоминай формулу (она абсолютно логична, правда?), а для усвоения реши следующую задачу:

Миша и Вася ехали на велосипеде навстречу друг к другу. Скорость Миши-\(\displaystyle 10\) км/ч, скорость Васи – \(\displaystyle 16\) км/ч. Ребята встретились через \(\displaystyle 2\) часа. Какой совместный путь они проделали?

Решил? У меня получилось, что скорость сближения равна \(\displaystyle 26\) км/ч, а путь равен \(\displaystyle 52\) км. Теперь разберемся, как вычисляется время при подобном случае

  • Если первоначальное расстояние между телами равно \(\displaystyle S\) , то время, через которое они встретятся, вычисляется по формуле:

\(\displaystyle {{\text{t}}_{встр}}=\frac{S}{{{\nu }_{1}}+{{\nu }_{2}}}\)

Исходя из предыдущей формулы, это вполне логично, однако, попробуем проверить на практике. Итак, задача – Из пункта \(\displaystyle A\) и пункта \(\displaystyle B\) машины движутся навстречу друг другу со скоростями \(\displaystyle 50\) км/ч и \(\displaystyle 80\) км/ч. Расстояние между пунктами – \(\displaystyle 195\) км. Через сколько времени машины встретятся?

1 вариант решения:

Пусть \(\displaystyle x\) – время, которое едут машины, тогда путь первой машины – \(\displaystyle 50x\), а путь второй машины – \(\displaystyle 80x\). Их сумма и будет равна расстоянию между пунктами \(A\) и \(B\) — \(\displaystyle 50x+80x=195\).

Решим уравнение:

\(\displaystyle 50x+80x=195\)

\(\displaystyle 130x=195\)

\(\displaystyle x=1,5\) (ч) – время, через которое встретились машины.

2 вариант решения:

  1. \(\displaystyle 50 + 80 = 130\)  (км/ч) – скорость сближения машин
  2. \(\displaystyle 195:130 = 1,5\)  (ч) – время, которое машины были в пути.

Больше задач — после регистрации.

Движение в противоположные стороны.

Движение в противоположные стороны. Иллюстрация задач.

  • Если тела удаляются друг от друга, то их скорость удаления равна сумме их скоростей:

\(\displaystyle {{\nu }_{удал}}={{\nu }_{1}}+{{\nu }_{2}}\)

Попробуй самостоятельно решить задачу и доказать верность данной формулы как в предыдущем случае. А вот и задача: из Москвы в противоположные стороны выехало \(\displaystyle 2\) машины. Скорость одной машины – \(\displaystyle 85\) км/ч, скорость другой – \(\displaystyle 60\) км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут находиться машины через \(\displaystyle 2\) часа?

Решил? Решая первым способом, у меня получилось, что путь, проделанный первой машиной, равен \(\displaystyle 170\) км, а второй – \(\displaystyle 120\) км. Соответственно, расстояние между машинами – \(\displaystyle 290\) км. Решая вторым способом, выходит, что скорость удаления равна \(\displaystyle 145\) км/ч, а путь равен \(\displaystyle 145\) км/ч  \(\displaystyle \cdot 2\) ч =\(\displaystyle 190\) км.

Теперь разберемся, как вычисляется время при подобном случае.

  • Время, проведенное телами в пути, при удалении друг от друга равно пройденному (то есть, если между телами изначально было некое расстояние \({{S}_{0}}\), то его следует вычесть из общего расстояния) расстоянию, деленному на сумму скоростей тел:

\(\displaystyle {{\text{t}}_{пути}}=\frac{S}{{{\nu }_{1}}+{{\nu }_{2}}}\)

Как ты видишь, формула, аналогичная выведенной нами при движении тел навстречу друг другу. Считаешь, что такого не может быть? Проверь ее на практике!

Допустим, что две машины двигаются в противоположных направлениях со скоростями \(\displaystyle 50\) и \(\displaystyle 45\) км/ч. При остановке, расстояние между ними составляло \(\displaystyle 218,5\)  км. Сколько времени ехали машины?

Попробуй решить эту задачу теми двумя способам, которые были описаны при движении на встречу. Решил? Формула подтвердилась? Давай сравнивать ответы: уравнение, получаемое при решении 1 вариантом — \(\displaystyle 50x+45x=218,5\); при решении 2 вариантом — скорость удаления – \(\displaystyle 95\) км/ч, время в пути – \(\displaystyle 2,3\) часа.

А что если, тела изначально находятся на неком расстоянии \({{S}_{0}}\) друг от друга? Это выглядит примерно так:

Движение в противоположные стороны. Иллюстрация задач. Рисунок 2.

Как решать подобные задачи тогда? Очень просто. При решении нам необходимо обязательно учитывать \({{S}_{0}}\).

  • Если существует какое-либо первоначальное расстояние между телами, то формула пути выглядит следующим образом:

\(\displaystyle S={{S}_{0}}+\left( {{\nu }_{1}}+{{\nu }_{2}} \right)\cdot \text{t}\ \)

Логично? Вырази из этой формулы время встречи двух тел, а потом сравним что у нас получилось.

\(\displaystyle \text{t}=\frac{S-{{S}_{0}}}{\left( {{\nu }_{1}}+{{\nu }_{2}} \right)}\)

Справился? Тогда решим задачу на данную формулу.

Из разных точек города N в стороны, противоположные друг другу, выехало два мотоциклиста. Изначальное расстояние между ними составляло \(\displaystyle 86\) км. Скорость первого мотоциклиста составляла \(\displaystyle 90\) км/ч; скорость второго – \(\displaystyle 105\) км/ч. Через какое время расстояние между ними будет равно \(\displaystyle 359\) км?

Какой ответ ты получил? У меня получилось \(\displaystyle 1,4\) часа. Давай проверим все обстоятельно. Путь, который мотоциклисты действительно ехали равен \(\displaystyle 359\)км\(-86\)км\(=273\)км. Скорость их удаления друг от друга равна \(\displaystyle 195\) км/ч. Делим \(\displaystyle 273\)  км на \(\displaystyle 195\) км/ч и получаем \(\displaystyle 1,4\) часа – время, которое мотоциклисты провели в дороге.

Больше задач — после регистрации.

Движение в одном направлении.

Итак, допустим, наши тела двигаются в одном направлении. Как ты думаешь, сколько случаев может быть для такого условия? Правильно, два.

241z-7

Почему так получается? Уверена, что после всех примеров ты с легкостью сам разберешься, как вывести данные формулы.

Разобрался? Молодец! Пришло время решить задачу. Коля едет на работу на машине со скоростью \(\displaystyle 60\) км/ч. Коллега Коли Вова едет со скоростью \(\displaystyle 85\) км/ч. Коля от Вовы живет на расстоянии \(\displaystyle 15\) км. Через сколько времени Вова догонит Колю, если из дома они выехали одновременно?

Посчитал? Сравним ответы – у меня получилось, что Вова догонит Колю через \(\frac{3}{5}\) часа или через \(\displaystyle 36\) минут.

Сравним наши решения.

Рисунок выглядит вот таким образом:

Движение в одном направлении. Иллюстрация решения.

Похож на твой? Молодец!

Так как в задаче спрашивается, через сколько ребята встретились, а выехали они одновременно, то время \(\displaystyle t\), которое они ехали, будет одинаковым, так же как место встречи \(\displaystyle S\) (на рисунке оно обозначено точкой \(\displaystyle C\)). Составляя уравнения, возьмем время за \(\displaystyle x\).

Итак, Вова до места встречи проделал путь \(\displaystyle 85x\). Коля до места встречи проделал путь \(\displaystyle 60x\). Это понятно. Теперь разбираемся с осью передвижения.

Начнем с пути, который проделал Коля. Его путь (\(\displaystyle 60x\)) на рисунке изображен как отрезок \(\displaystyle BC\). А из чего состоит путь Вовы (\(\displaystyle 85x\))? Правильно, из суммы отрезков \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle BC\), где \(\displaystyle AB\) – изначальное расстояние между ребятами, а \(\displaystyle BC\) равен пути, который проделал Коля.

Исходя из этих выводов, получаем уравнение:

\(\displaystyle 85x-60x=15\)

Разобрался? Если нет, просто прочти это уравнение еще раз и посмотри на точки, отмеченные на оси. Рисунок помогает, не правда ли?

Решаем дальше и получаем:

\(\displaystyle 85x-60x=15\)

\(\displaystyle 25x=15\)

\(\displaystyle ~x=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}\) часа или \(\frac{3}{5}\cdot 60\) минут \(=36\text{ }\) минут.

Надеюсь, на этом примере ты понял, насколько важную роль играет грамотно составленный рисунок, а мы плавно переходим, точнее, уже перешли к следующему пункту нашего алгоритма – приведение всех величин к одинаковой размерности.

Больше задач — после регистрации.

Правило трех «Р» — размерность, разумность, расчет.

Размерность.

Далеко не всегда в задачах дается одинаковая размерность для каждого участника движения (как это было в наших легких задачках) Например, можно встретить задачи, где сказано, что тела двигались определенное количество минут, а скорость их передвижения указана в км/ч. Мы не можем просто взять и подставить значения в формулу – ответ получится неверный. Даже по единицам измерения наш ответ «не пройдет» проверку на разумность. Сравни:

Размерность. Проверка.

Видишь? При грамотном перемножении у нас также сокращаются единицы измерения, и, соответственно, получается разумный и верный результат. А что происходит, если мы не переводим в одну систему измерения? Странная размерность у ответа и \(\displaystyle 100\)% неверный результат.

Итак, напомню тебе на всякий случай значения основных единиц измерения длины и времени.

  • Единицы измерения длины:

\(\displaystyle 1\) сантиметр = \(\displaystyle 10\) миллиметров

\(\displaystyle 1\) дециметр = \(\displaystyle 10\) сантиметров = \(\displaystyle 100\) миллиметров

\(\displaystyle 1\) метр = \(\displaystyle 10\) дециметров = \(\displaystyle 100\) сантиметров = \(\displaystyle 1000\) миллиметров

\(\displaystyle 1\) километр = \(\displaystyle 1000\) метров

  • Единицы измерения времени:

\(\displaystyle 1\) минута = \(\displaystyle 60\) секунд

\(\displaystyle 1\) час =  \(\displaystyle 60\) минут =  \(\displaystyle 3600\) секунд

\(\displaystyle 1\) сутки = \(\displaystyle 24\) часа =  \(\displaystyle 1440\) минут =  \(\displaystyle 86400\) секунд

Совет: Переводя  единицы измерения, связанные с временем (минуты в часы, часы в секунды и т.д.) представь в голове циферблат часов. Невооруженным глазом видно, что  \(\displaystyle15\) минут это четверть циферблата, т.е.  \(\displaystyle 0,25\) часа,  \(\displaystyle 20\) минут это треть циферблата, т.е. \(\frac{1}{3}\)  часа, а  \(\displaystyle 1\) минута это \(\frac{1}{60}\)  часа.

А теперь совсем простенькая задача:

Маша ехала на велосипеде из дома в деревню со скоростью \(\displaystyle 14\) км/ч на протяжении \(\displaystyle 75\) минут. Какое расстояние между машиным домом и деревней?

Посчитал? Правильный ответ – \(\displaystyle 17,5\) км.

\(\displaystyle 75\) минут – это час, и еще \(\displaystyle 15\) минут от часа (мысленно представил себе циферблат часов, и сказал, что \(\displaystyle 15\) минут – четверть часа), соответственно – \(\displaystyle 75\) мин \(\displaystyle 1,25\) ч.

\(\displaystyle 14\text{ }\cdot 1,25\text{ }=\text{ }17,5\) км

Разумность.

Ты же понимаешь, что скорость машины не может быть \(\displaystyle 300\) км/ч, если речь, конечно, идет не о спортивном болиде? И уж тем более, она не может быть отрицательной, верно? Так вот, разумность, это об этом)

Расчет.

Посмотри, «проходит» ли твое решение на размерность и разумность, и только потом проверяй расчеты. Логично же – если с размерностью и разумностью получается несостыковочка, то проще все зачеркнуть и начать искать логические и математические ошибки.

«Любовь к таблицам» или «когда рисунка недостаточно»

Далеко не всегда задачи на движение такие простые, как мы решали раньше. Очень часто, для того, чтобы правильно решить задачу, нужно не просто нарисовать грамотный рисунок, но и составить таблицу со всеми данными нам условиями.

Из пункта \(\displaystyle A\) в пункт \(\displaystyle B\), расстояние между которыми \(\displaystyle 30\) км, одновременно выехал велосипедист и мотоциклист. Известно, что в час мотоциклист проезжает на \(\displaystyle 65\) км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт \(\displaystyle B\) на \(\displaystyle 156\) минут позже, чем мотоциклист.

Вот такая вот задача. Соберись, и прочитай ее несколько раз. Прочитал? Начинай рисовать – прямая, пункт \(\displaystyle A\), пункт \(\displaystyle B\), две стрелочки… В общем рисуй, и сейчас сравним, что у тебя получилось.

Движение в одном направлении. Иллюстрация неполного решения.

Пустовато как-то, правда? Рисуем таблицу. Как ты помнишь, все задачи на движения состоят из \(\displaystyle 3\) компонентов: скорость, время и путь. Именно из этих граф и будет состоять любая таблица в подобных задачах. Правда, мы добавим еще один столбец – имя, про кого мы пишем информацию – мотоциклист и велосипедист. Так же в шапке укажи размерность, в какой ты будешь вписывать туда величины. Ты же помнишь, как это важно, правда?

У тебя получилась вот такая таблица?

Скорость
км/ч
Время t,
часов
Путь S,
км
велосипедист
мотоциклист

Теперь давай анализировать все, что у нас есть, и параллельно заносить данные в таблицу и на рисунок.

Первое, что мы имеем – это путь, который проделали велосипедист и мотоциклист. Он одинаков и равен \(\displaystyle 30\) км. Вносим!

Скорость
км/ч

Время t,
часов
Путь S,
км
велосипедист 30
мотоциклист 30

Рассуждаем дальше. Мы знаем, что мотоциклист проезжает на \(\displaystyle 65\) км/ч больше, чем велосипедист, да и в задаче нужно найти скорость велосипедиста… Возьмем скорость велосипедиста за \(\displaystyle x\), тогда скорость мотоциклиста будет \(\displaystyle x+65\)… Если с такой переменной решение задачи не пойдет – ничего страшного, возьмем другую, пока не дойдем до победного. Такое бывает, главное не нервничать!

Скорость
км/ч

Время t,
часов

Путь S,
км

велосипедист \(\displaystyle x\) 30
мотоциклист \(\displaystyle x+65\) 30

Таблица преобразилась. У нас осталась не заполнена только одна графа – время. Как найти время, когда есть путь и скорость?  Правильно, разделить путь на скорость. Вноси это в таблицу.

Скорость
км/ч

Время t,
часов

Путь S,
км

велосипедист \(\displaystyle x\) \(\frac{30}{x}\) 30
мотоциклист \(\displaystyle x+65\) \(\frac{30}{65+x}\) 30

Вот и заполнилась наша таблица, теперь можно внести данные на рисунок. Что мы можем на нем отразить? Молодец. Скорость передвижения мотоциклиста и велосипедиста.

Движение в одном направлении. Иллюстрация решения. С данными из таблицы.

Еще раз перечитаем задачу, посмотрим на рисунок и заполненную таблицу. Какие данные не отражены ни в таблице, ни на рисунке? Верно. Время, на которое мотоциклист приехал раньше, чем велосипедист. Мы знаем, что разница во времени – \(\displaystyle 156\) минут. Что мы должны сделать следующим шагом? Правильно, перевести данное нам время из минут в часы, ведь скорость дана нам в км/ч.

\(\displaystyle 156\) минут / \(\displaystyle 60\) минут = \(\displaystyle 2,6\) часа.

И что дальше, спросишь ты? А дальше числовая магия!

Магия формул: составление и решение уравнений – манипуляции, приводящие к единственно верному ответу

Итак, как ты уже догадался, сейчас мы будем составлять уравнение. Взгляни на свою таблицу, на последнее условие, которое в нее не вошло и подумай, зависимость между чем и чем мы можем вынести в уравнение? Правильно. Мы можем составить уравнение, основываясь на разнице во времени!

\(\frac{30}{x}-\frac{30}{65+x}=2,6\)

Логично? Велосипедист ехал больше, если мы из его времени вычтем время движения мотоциклиста, мы как раз получим данную нам разницу.

Это уравнение – рациональное. Если не знаешь, что это такое, прочти тему «Рациональные уравнения».

Приводим слагаемые к общему знаменателю:

\(\frac{30\cdot \left( 65+x \right)}{x\cdot \left( 65+x \right)}-\frac{30x}{x\cdot \left( 65+x \right)}=2,6\)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\(\frac{1950}{x\cdot \left( 65+x \right)}=2,6\)

Из этого уравнения мы получаем следующее:

\(2,6\cdot x\cdot \left( 65+x \right)=1950\)

\(x\cdot \left( 65+x \right)=\frac{1950}{2,6}\)

\(x\cdot \left( 65+x \right)=750\)

Раскроем скобки и перенесем все в левую часть уравнения:

\({{x}^{2}}+65{x}-750=0\)

Вуаля! У нас простое квадратное уравнение. Решаем!

\({{x}^{2}}+65{x}-750=0\)

\(D={{b}^{2}}-4ac\)

\(D={{65}^{2}}-4\cdot 1\cdot \left( -750 \right)=4225+3000=7225\)

\(\sqrt{D}=\sqrt{7225}=85\)

\({{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\)

\({{x}_{1}}=\frac{-65+85}{2}=10\)

\({{x}_{2}}=\frac{-65-85}{2}=-75\)

Мы получили два варианта ответа. Смотрим, что мы взяли за \(\displaystyle x\)? Правильно, скорость велосипедиста. Вспоминаем правило «3Р», конкретнее «разумность». Понимаешь о чем я? Именно! Скорость не может быть отрицательной, следовательно, наш ответ – \(\displaystyle 10\) км/ч.

Уф! Усвоил? Попробуй свои силы на следующей задаче.

Два велосипедиста одновременно отправились в \(\displaystyle 165\)-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на \(\displaystyle 5\) км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на \(\displaystyle 5,5\) часов раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Напоминаю: прочитай задачу пару раз – усвой все-все детали. Усвоил? Начинай рисовать рисунок – в каком направлении они двигаются? какое расстояние они прошли? Нарисовал? Проверь, все ли величины у тебя одинаковой размерности и начинай выписывать кратко условие задачи, составляя табличку (ты же помнишь какие там графы?). Пока все это пишешь, думай, что взять за \(\displaystyle x\)? Выбрал? Записывай в таблицу! Ну а теперь просто: составляем уравнение и решаем. Да, и напоследок – помни о «3Р»!

Все сделал? Молодец! У меня получилось, что скорость велосипедиста – \(\displaystyle 10\) км/ч.

Больше задач — после регистрации.

-«Какого цвета твоя машина?» — «Она красивая!» Правильные ответы на поставленные вопросы

Продолжим наш разговор. Так какая там скорость у первого велосипедиста? \(\displaystyle 10\) км/ч? Очень надеюсь, что ты сейчас не киваешь утвердительно! Внимательно прочти вопрос: «Какая скорость у первого велосипедиста?» Понял, о чем я? Именно! Полученный \(\displaystyle x\) – это не всегда ответ на поставленный вопрос! Вдумчиво читай вопросы — возможно, после нахождения \(\displaystyle x\) тебе нужно будет произвести еще некоторые манипуляции, например, прибавить \(\displaystyle 5\) км/ч, как в нашей задаче.

Еще один момент — часто в задачах все указывается в часах, а ответ просят выразить в минутах, или же все данные даны в км, а ответ просят записать в метрах. Смотри за размерностью не только в ходе самого решения, но и когда записываешь ответы.

Больше задач — после регистрации.

Задачи на движение по кругу

Тела в задачах могут двигаться не обязательно прямо, но и по кругу, например, велосипедисты могут ехать по круговой трассе. Разберем такую задачу.

Из пункта \(\displaystyle A\) круговой трассы выехал велосипедист. Через \(\displaystyle 40\) минут он еще не вернулся в пункт \(\displaystyle A\) и из пункта \(\displaystyle A\) следом за ним отправился мотоциклист. Через \(\displaystyle 20\) минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через \(\displaystyle 40\) минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость велосипедиста, если длина трассы равна \(\displaystyle 50\) км. Ответ дайте в км/ч.

Попробуй нарисовать рисунок к этой задаче и заполнить для нее таблицу. Вот что получилось у меня:

Пусть скорость велосипедиста будет \(\displaystyle x\), а мотоциклиста – \(\displaystyle y\). До момента первой встречи велосипедист был в пути \(\displaystyle 60\) минут, а мотоциклист – \(\displaystyle 20\). При этом они проехали равные расстояния:

\(\displaystyle 60x=20y\ (1)\)

Между встречами велосипедист проехал расстояние \(\displaystyle 40x\), а мотоциклист – \(\displaystyle 40y\). Но при этом мотоциклист проехал ровно на один круг больше, это видно из рисунка:

Задачи на движение по кругу. Иллюстрация решения.

Надеюсь, ты понимаешь, что по спирали они на самом деле не ездили – спираль просто схематически показывает, что они ездят по кругу, несколько раз проезжая одни и те же точки трассы.

Значит,

\(\displaystyle 40x+50=40y\ (2)\)

Полученные уравнения решаем в системе:

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}60x=20y\\40x+50=40y\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y=3x\\4x+5=4y\end{array} \right.\Rightarrow \text{4}x+5=12x\Rightarrow \)

\(\displaystyle \Rightarrow x=\frac{5}{8}=0,625\frac{\text{км}}{мин}=0,625\cdot 60\frac{\text{км}}{\text{ч}}=37,5\frac{\text{км}}{\text{ч}}\)

Ответ: \(\displaystyle 37,5\).

Разобрался? Попробуй решить самостоятельно следующие задачи:

  1. Два мо­то­цик­ли­ста стар­ту­ют од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии из двух диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ных точек кру­го­вой трас­сы, длина ко­то­рой равна \(\displaystyle 18\) км. Через сколь­ко минут мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­ют­ся в пер­вый раз, если ско­рость од­но­го из них на \(\displaystyle 36\) км/ч боль­ше скорости дру­го­го?
  2. Из одной точки кру­го­вой трас­сы, длина ко­то­рой равна \(\displaystyle 15\) км, од­н­времен­но в одном на­прав­ле­нии стар­то­ва­ли два мотоциклиста. Ско­рость пер­во­го мотоцикла равна \(\displaystyle 90\) км/ч, и через \(\displaystyle 30\) минут после стар­та он опе­ре­дил вто­рой мотоцикл на один круг. Най­ди­те ско­рость вто­ро­го мотоцикла. Ответ дайте в км/ч.

Ответы:

  1. Пусть \(\displaystyle x\) км/ч — ско­рость пер­во­го мо­то­цик­ли­ста, тогда ско­рость вто­ро­го мо­то­цик­ли­ста равна \(\displaystyle x+36\) км/ч. Пусть пер­вый раз мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­ют­ся через  \(\displaystyle t\) часов. Для того, чтобы мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­лись, более быст­рый дол­жен пре­одо­леть из­на­чаль­но раз­де­ля­ю­щее их рас­сто­я­ние, рав­ное по­ло­ви­не длины трас­сы.
    \(\displaystyle \left( x+36 \right)\cdot t-x\cdot t=9\)
    Получаем, что время равно \(\displaystyle 0,25\) часа = \(\displaystyle 15\) минут.
  2. Пусть ско­рость вто­ро­го мотоцикла равна \(\displaystyle x\) км/ч. За \(\displaystyle 0,5\) часа пер­вый мотоцикл про­шел на \(\displaystyle15\) км боль­ше, чем вто­рой, соответственно, получаем уравнение:
    \(\displaystyle 90\cdot 0,5=0,5x+15\)
    Скорость второго мотоциклиста равна \(\displaystyle 60\) км/ч.

Больше задач — после регистрации.

Задачи на течение

Теперь, когда ты отлично решаешь задачи «на суше», перейдем в воду, и рассмотрим страаашные задачи, связанные с течением.

Представь, что у тебя есть плот, и ты спустил его в озеро. Что с ним происходит? Правильно. Он стоит, потому что озеро, пруд, лужа, в конце концов, – это стоячая вода. Скорость течения в озере равна \(\displaystyle 0\). Плот поедет, только если ты сам начнешь грести. Та скорость, которую он приобретет, будет собственной скоростью плота. Неважно куда ты поплывешь – налево, направо, плот будет двигаться с той скоростью, с которой ты будешь грести. Это понятно? Логично же.

А сейчас представь, что ты спускаешь плот на реку, отворачиваешься, чтобы взять веревку…, поворачиваешься, а он … уплыл… Это происходит потому что у реки есть скорость течения, которая относит твой плот по направлению течения. Его скорость при этом равна нулю (ты же стоишь в шоке на берегу и не гребешь) – он движется со скоростью течения.

Разобрался? Тогда ответь вот на какой вопрос – «С какой скоростью будет плыть плот по реке, если ты сидишь и гребешь?» Задумался?

Здесь возможно два случая:

1 случай – ты плывешь по течению, и тогда ты плывешь с собственной скоростью + скорость течения. Течение как бы помогает тебе двигаться вперед.

2 случай – ты плывешь против течения. Тяжело? Правильно, потому что течение пытается «откинуть» тебя назад. Ты прилагаешь все больше усилий, чтобы проплыть хотя бы \(\displaystyle 100\) метров, соответственно скорость, с которой ты передвигаешься, равна собственная скорость – скорость течения.

Движение по течению и против течения. Формулы.

Допустим, тебе надо проплыть \(\displaystyle10\) км. Когда ты преодолеешь это расстояние быстрее? Когда ты будешь двигаться по течению или против?

Решим задачку и проверим. Добавим к нашему пути данные о скорости течения – \(\displaystyle 3\) км/ч и о собственной скорости плота – \(\displaystyle 7\) км/ч. Какое время ты затратишь, двигаясь по течению и против него?

Конечно, ты без труда справился с этой задачей! По течению – \(\displaystyle 1\) час, а против течения аж \(\displaystyle 2,5\) часа! В этом и есть вся суть задач на движение с течением.

Несколько усложним задачу. Лодка с моторчиком плыла из пункта \(\displaystyle A\) в пункт \(\displaystyle B\) \(\displaystyle 4\) часа, а обратно – \(\displaystyle 2\) часа. Найдите скорость течения, если скорость лодки в стоячей воде – \(\displaystyle 40\) км/ч

Обозначим расстояние между пунктами, как  \(\displaystyle AB\), а скорость течения – как  \(\displaystyle x\).

Все данные из условия занесем в таблицу:

Путь S Скорость v,
км/ч
Время t,
часов
A –> B (против течения) \(\displaystyle AB\) \(\displaystyle 40-x\) 4
B –> A (по течению) \(\displaystyle AB\) \(\displaystyle 40+x\) 2

 

Мы видим, что лодка проделывает один и тот же путь, соответственно:

\(\displaystyle \left( 40-x \right)\cdot 4\text{ }=\text{ }\left( 40+x \right)\cdot 2\)

\(\displaystyle 160-\text{ }\text{ }4x\text{ }=\text{ }100+2x\)

\(\displaystyle 60=6x\)

\(\displaystyle x=10\)

Что мы брали за \(\displaystyle x\)? Скорость течения. Тогда это и будет являться ответом:) Скорость течения равна \(\displaystyle 10\) км/ч.

Байдарка в \(\displaystyle 9:00\) вышла из пункта \(\displaystyle A\) в пункт \(\displaystyle B\), расположенный в \(\displaystyle 30\) км от \(\displaystyle A\). Пробыв в пункте \(\displaystyle B\) \(\displaystyle 1\) час \(\displaystyle 20\) минут, байдарка отправилась назад и вернулась в пункт \(\displaystyle A\) в \(\displaystyle 19:00\). Определите (в км/ч) собственную скорость байдарки, если известно, что скорость течения реки \(\displaystyle 6\) км/ч.

Итак, приступим. Прочитай задачу несколько раз и нарисуй рисунок. Думаю, ты без труда сможешь решить это самостоятельно. Все величины у нас выражены в одном виде? Нет. Время отдыха у нас указано и в часах и в минутах. Переведем это в часы.

\(\displaystyle 1\) час \(\displaystyle 20\) минут = \(1\frac{20}{60}=1\frac{1}{3}\) ч.

Теперь все величины у нас выражены в одном виде. Приступим к заполнению таблицы и поиску того, что мы возьмем за \(x\).

Пусть \(x\) – собственная скорость байдарки. Тогда, скорость байдарки по течению равна \(x+6\), а против течения равна \(x-6\).

Запишем эти данные, а так же путь (он, как ты понимаешь, одинаков) и время, выраженное через путь и скорость, в таблицу:

Путь S Скорость v,
км/ч
Время t,
часов
Против течения 30 \(x-6\) \(\frac{30}{x-6}\)
По течению 30 \(x+6\) \(\frac{30}{x+6}\)

Посчитаем, сколько времени байдарка затратила на свое путешествие:

\(\displaystyle 19.00-9.00\text{ }=\text{ }10\) часов.

Все ли \(\displaystyle 10\) часов она плыла? Перечитываем задачу. Нет, не все. У нее был отдых \(\displaystyle 1\) час \(\displaystyle 20\) минут, соответственно, из \(\displaystyle 10\) часов мы вычитаем время отдыха, которое, мы уже перевели в часы:

\(\displaystyle 10-1\frac{1}{3}=8\frac{2}{3}\) — ч – байдарка действительно плыла.

Догадываешься, что мы делаем дальше? Правильно! Приравниваем полученное время к тому времени, которое мы выразили в таблице через путь и скорость. Получаем:

\(\frac{30}{x-6}+\frac{30}{x+6}=8\frac{2}{3}\)

Приведем все слагаемые к общему знаменателю \(3\cdot \left( x-6 \right)\cdot \left( x+6 \right)\) :

\(90\left( x+6 \right)+30\left( x-6 \right)=26\left( {{x}^{2}}-36 \right)\)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Далее решаем получившееся квадратное уравнение. С этим, я думаю, ты тоже справишься самостоятельно. Какой ответ у тебя получился? У меня \(\displaystyle 8\) км/ч.

Больше задач — после регистрации.

Подведем итоги

  1. Основная формула: \(\displaystyle S=\nu \cdot t\)
    Основная формула для решения задач на движение
  2. Алгоритм решения задач на движение подразумевает выполнение двух больших этапов:
    Алгоритм решения задач на движение. Рисунок 2.
  3. В задачах на движение обязательно необходимо рисовать чертеж. Тела могут двигаться навстречу друг другу, в противоположные стороны и догонять друг друга.
  4. Все цифры нужно привести в единой размерности – только км или только м; только часы или минуты, и т.д.
  5. Решая задачи, удобно записывать данные в виде таблицы с обязательными графами – путь, скорость и время.
  6. За \(\displaystyle x\) можно брать как то, что нужно найти в задаче, так и другое неизвестное.
  7. Внимательно читай, что спрашивается в задаче! \(\displaystyle x\) – не всегда ответ. Кроме этого, в ответе могут попросить указать величину в другой единице измерения (не в той, которая вышла у тебя, решая уравнение).
  8. Задачи на движение по течению решаются в две формулы:
    Движение по течению и против течения. Формулы. Рисунок 2.

Проверь себя — реши задачи на движение.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий