Задачи на движение. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Все задачи на движение решаются с помощью одной простой формулы:

$latex \displaystyle v=\frac{S}{t}$, или $latex \displaystyle Скорость=\frac{Путь}{Время}$

Теперь будем вспоминать, как ее применять. Рассмотрим примеры с решениями для каждого типа задач.

Задачи на движение. Примеры

Движение с течением

Одни из самых простых задач – задачи на движение по реке. Вся их суть в следующем:

  • если движемся по течению, к нашей скорости прибавляется скорость течения;
  • если движемся против течения, из нашей скорости вычитается скорость течения.

Пример:

Катер плыл из пункта A в пункт B $latex \displaystyle 5$ часов а обратно – $latex \displaystyle 3$ часа. Найдите скорость течения, если скорость катера в стоячей воде $latex \displaystyle 50$ км/ч.

Решение:

Обозначим расстояние между пунктами, как AB, а скорость течения – как $latex \displaystyle x$.

Все данные из условия занесем в таблицу:

Путь S Скорость v,
км/ч
Время t, часов
A –> B (против течения) AB 50–x 5
B –> A (по течению) AB 50+x 3

Для каждой строки этой таблицы нужно записать формулу:

$latex \displaystyle \left. \begin{array}{l}A\to B:\text{  50}-x=\frac{AB}{5}\text{  }\\B\to A:\text{  50}+x=\frac{AB}{3}\end{array} \right|\Rightarrow \text{  }5\left( 50-x \right)=3\left( 50+x \right)\text{  }\Rightarrow \text{  }x=12,5\text{ }\left( \frac{\text{км}}{ч} \right)$

На самом деле, можно не писать уравнения для каждой из строк таблицы. Мы ведь видим, что расстояние, пройденное катером туда и обратно одинаково. Значит, расстояние мы можем приравнять. Для этого используем сразу формулу для расстояния:

$latex \displaystyle S=v\cdot t$.

Часто приходится использовать и формулу для времени:

$latex \displaystyle t=\frac{S}{v}$.

Пример:

Против течения лодка проплывает расстояние в $latex \displaystyle 3$ км на $latex \displaystyle 1$ час дольше, чем по течению. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения равна $latex \displaystyle 2$ км/ч.

Решение:

Попробуем сразу составить уравнение. Время против течения на $latex \displaystyle 1$ час больше, чем время по течению. Это записывается так:

$latex \displaystyle {{t}_{против}}={{t}_{по}}+1$

Теперь вместо каждого времени подставим формулу:

$latex \displaystyle \frac{3}{x-2}=\frac{3}{x+2}+1$

Получили обычное рациональное уравнение, решим его:

$latex \displaystyle \begin{array}{l}\frac{3}{x-2}=\frac{3}{x+2}+1\Leftrightarrow \frac{\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)+3\left( x-2 \right)-3\left( x+2 \right)}{\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)}=0\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}-16}{\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=4\\x=-4\end{array} \right.\end{array}$

Очевидно, что скорость не может быть отрицательным числом, значит, ответ: $latex \displaystyle 4$ км/ч.

Больше задач — после регистрации.

Относительное движение

Если какие-то тела движутся друг относительно друга, часто бывает полезно посчитать их относительную скорость. Она равна:

  • сумме скоростей, если тела движутся навстречу друг другу;
  • разности скоростей, если тела движутся в одном направлении.

Пример:

Из пунктов A и B одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля со скоростями $latex \displaystyle 60$ км/ч и $latex \displaystyle 40$ км/ч. Через сколько минут они встретятся. Если расстояние между пунктами $latex \displaystyle 100$ км?

Решение:

I способ.

Относительная скорость автомобилей $latex \displaystyle 60+40=100$ км/ч. Это значит, что если мы сидим в первом автомобиле, то он нам кажется неподвижным, но второй автомобиль приближается к нам со скоростью $latex \displaystyle 100$ км/ч. Так как между автомобилями изначально расстояние $latex \displaystyle 100$ км, время, через которое второй автомобиль проедет мимо первого:

$latex \displaystyle t=\frac{100}{100}=1 час=60\ минут$.

II способ.

Время от начала движения до встречи у автомобилей, очевидно, одинаковое. Обозначим его $latex \displaystyle t$. Тогда первый автомобиль проехал путь $latex \displaystyle 60t$, а второй – $latex \displaystyle 40t$.

Задачи на относительное движение. Второй способ решения.

В сумме они проехали все $latex \displaystyle 100$ км. Значит,

$latex \displaystyle 60t+40t=100\Rightarrow t=1 час=60 минут$.

Другие задачи на движение

Пример:

Из пункта А в пункт В выехал автомобиль. Одновременно с ним выехал другой автомобиль, который ровно половину пути ехал со скоростью на $latex \displaystyle 10$ км/ч меньшей, чем первый, а вторую половину пути он проехал со скоростью $latex \displaystyle 75$ км/ч. В результате автомобили прибыли в пункт В одновременно. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше $latex \displaystyle 50$ км/ч.

Решение:

Слева от знака равно запишем время первого автомобиля, а справа – второго:

$latex \displaystyle \frac{AB}{x}=\frac{\frac{AB}{2}}{x-10}+\frac{\frac{AB}{2}}{75}$.

Упростим выражение в правой части:

$latex \displaystyle \frac{AB}{x}=\frac{AB}{2\left( x-10 \right)}+\frac{AB}{150}$.

Поделим каждое слагаемое на АВ:

$latex \displaystyle \frac{1}{x}=\frac{1}{2\left( x-10 \right)}+\frac{1}{150}$.

Получилось обычное рациональное уравнение. Решив его, получим два корня:

$latex \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x=25;\\x=60.\end{array} \right.$

Из них только один больше $latex \displaystyle 50$.

Ответ: $latex \displaystyle 60$ км/ч.

Если тебе непонятно, как получились эти корни, прочитай тему «Рациональные уравнения».

Еще пример:

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через $latex \displaystyle 40$ минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через $latex \displaystyle 20$ минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через $latex \displaystyle 40$ минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость велосипедиста, если длина трассы равна $latex \displaystyle 50$ км. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Здесь будем приравнивать расстояние.

Пусть скорость велосипедиста будет $latex \displaystyle x$, а мотоциклиста – $latex \displaystyle y$. До момента первой встречи велосипедист был в пути $latex \displaystyle 60$ минут, а мотоциклист – $latex \displaystyle 20$. При этом они проехали равные расстояния:

$latex \displaystyle 60x=20y\text{ }\left( 1 \right)$

Между встречами велосипедист проехал расстояние $latex \displaystyle 40x$, а мотоциклист – $latex \displaystyle 40y$. Но при этом мотоциклист проехал ровно на один круг больше, это видно из рисунка:

Решение задачи на движение по кругу

Надеюсь, ты понимаешь, что по спирали они на самом деле не ездили– спираль просто схематически показывает, что они ездят по кругу, несколько раз проезжая одни и те же точки трассы.

Значит,

$latex \displaystyle 40x+50=40y\text{ }\left( 2 \right)$

Полученные уравнения решаем в системе:

$latex \displaystyle \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}60x=20y\\40x+50=40y\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y=3x\\4x+5=4y\end{array} \right.\Rightarrow 4x+5=12x\Rightarrow \\\Rightarrow x=\frac{5}{8}=0,625\frac{км}{мин}=0,625\cdot 60\frac{км}{ч}=37,5\frac{км}{ч}\end{array}$

Ответ: $latex \displaystyle 37,5$.

Проверь себя — реши задачи на движение.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий