Задачи на работу. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Ты уже освоил тему «Задачи на движение»? Задачи на работу – это то же самое.

Основная формула

Основная формула здесь выглядит так:

$latex \displaystyle P=\frac{A}{t}$

или

$latex \displaystyle \text{производительность}=\frac{\text{работа}}{\text{время}}$

Производительность – это объем работы, выполняемый за единицу времени (например, за час или за день). По-другому, скорость выполнения работы. Как у тебя дела с физикой? В физике эта величина называется мощностью.

Как и в задачах на движение, нам нужно уметь выражать все эти три величины друг через друга:

$latex \displaystyle P=\frac{A}{t}$ $latex \displaystyle t=\frac{A}{P}$ $latex \displaystyle A=P\cdot t$

Пример.

Заказ на $latex \displaystyle 112$ деталей первый рабочий выполняет на $latex \displaystyle 2$ часа дольше, чем второй. Сколько Деталей за час делает первый рабочий, если известно, что второй за час делает на одну деталь больше, чем первый?

Решение:

Пусть производительность первого равна $latex \displaystyle x$ (ее нам и нужно найти). Тогда второго — $latex \displaystyle (x+1)$. Если первый сделал заказ за время $latex \displaystyle t$, тогда второй – за время $latex \displaystyle t-2$. Работа равна $latex \displaystyle 112$.

I способ

Составим таблицу:

Работа $latex \displaystyle A$ Производительность $latex \displaystyle P$ Время $latex \displaystyle t$
I рабочий $latex \displaystyle 100$ $latex \displaystyle x$ $latex \displaystyle t$
II рабочий $latex \displaystyle 100$ $latex \displaystyle x+1$ $latex \displaystyle t-2$

Для каждой строки можем написать формулу:

I. $latex \displaystyle P=\frac{A}{t}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x=\frac{100}{t}\text{  }\Rightarrow \text{  }t=\frac{100}{x}$
II. $latex \displaystyle P=\frac{A}{t}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x+1=\frac{100}{t-2}\text{  }\Rightarrow \text{  }t-2=\frac{100}{x+1}\text{  }\Rightarrow \text{  }t=\frac{100}{x+1}+2$

Почему я выразил именно время? У нас здесь система уравнений. А что происходит в системе, если выразить одну неизвестную через другую? Мы таким образом можем от нее избавиться! Именно это я и собираюсь сделать: время нам известно? Нет. Его нам нужно найти? Нет. Поэтому от неизвестного $latex \displaystyle t$ надо избавиться! Для этого теперь достаточно просто приравнять полученные выражения для $latex \displaystyle t$:

$latex \displaystyle \frac{112}{x}=\frac{112}{x+1}+2\Leftrightarrow \frac{2x\left( x+1 \right)+112x-112\left( x+1 \right)}{x\left( x+1 \right)}=0\Leftrightarrow $

$latex \displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+x-56=0\\x\ne 0\\x\ne -1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=7\\x=-8\end{array} \right.$

Из этих двух ответов, естественно, выбираем положительный: $latex \displaystyle x=7$.

II способ

Как обойтись без составления таблицы? Сразу составить уравнение. Для этого определим, какая величина нам не нужна в уравнении, чтобы затем приравнять. Производительность? Ее и надо найти. Работа? Она нам дана по условию, поэтому глупо от нее избавляться. Остается время: оно нам и неизвестно, и не нужно.

Слева от знака равно будем писать формулу времени для первого рабочего, а справа – для второго. Напомню, что первый работал на $latex \displaystyle 2$ часа дольше, поэтому к времени второго надо будет прибавить $latex \displaystyle 2$:

$latex \displaystyle \frac{112}{x}=\frac{112}{x+1}+2$

То же самое уравнение, что и в первом способе, только без таблицы и системы уравнений.

А теперь вспомним, что я говорил в сааамом начале: задачи на работу и на движение – это то же самое. Спорное заявление, да? Ну, давайте проверим, есть ли аналогия?

Во-первых, сравним формулы:

Движение Работа
$latex \displaystyle v=\frac{S}{t}$ $latex \displaystyle P=\frac{A}{t}$
Скорость движения Скорость выполнения работы, т.е. производительность
Пройденный путь Выполненная работа
Потраченное на движение время Потраченное на работу время

Теперь рассмотрим задачу:

Расстояние $latex \displaystyle 112$ км первый велосипедист проезжает на $latex \displaystyle 2$ часа дольше, чем второй. Сколько км в час проезжает первый велосипедист, если известно, что второй за час проезжает на один километр больше, чем первый?

Ничего не напоминает? Да я же просто заменил слова: «Заказ» на «расстояние», «деталь» на «километр», «рабочий» на «велосипедист», «выполняет» на «проезжает». Суть осталась той же. Даже решение будет точно таким же (разберу здесь только II способ – без таблицы).

Пусть скорость первого $latex \displaystyle x$, тогда второго $latex \displaystyle x+1$. Сколько времени едет первый? $latex \displaystyle \frac{112}{x}$. Сколько времени едет второй? $latex \displaystyle \frac{112}{x+1}$. На сколько время первого больше, чем второго? На $latex \displaystyle 2$ часа:

$latex \displaystyle \frac{112}{x}=\frac{112}{x+1}+2$.

То же самое уравнение! Вот и получается, что работа и движение – одно и то же.

Больше задач — после регистрации.

Задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).

Пример.

Первая труба заполняет бассейн за $latex \displaystyle 6$ часов, а вторая – за $latex \displaystyle 4$. За какое время они заполнят бассейн, работая вместе?

Решение:

Во-первых, давай придумаем аналогию с движением. Придумал? Бассейн – это путь. Допустим, из $latex \displaystyle A$ в $latex \displaystyle B$. Итак, первый автомобиль проезжает путь $latex \displaystyle AB$ за $latex \displaystyle 6$ часов, второй – за $latex \displaystyle 4$. А теперь как сформулировать вопрос? За какое время они проедут весь путь двигаясь вместе? Бред. Если двигаться параллельно, то каждый проходит весь путь самостоятельно. А в какой ситуации нам важно, какой путь автомобили проходят в сумме? Все гениальное просто: если они движутся навстречу друг другу! Тогда что нас просят найти? Время, через которое они встретятся.

Поразмысли немного над этой аналогией. Все понял? Тогда идем дальше.

Какова «скорость» (а по-настоящему, производительность) первого? Путь (работа) деленный на время: $latex \displaystyle {{P}_{1}}=\frac{A}{{{t}_{1}}}=\frac{A}{6}$. А второго? $latex \displaystyle {{P}_{2}}=\frac{A}{{{t}_{2}}}=\frac{A}{4}$.

С какой производительностью работают две трубы вместе (не забывай, это задачи на совместную работу)? Берем количество литров, которое налила в бассейн первая труба за один час, прибавляем количество литров, которое налила в бассейн вторая труба за один час – именно столько наливают в бассейн обе трубы за один час. То есть, производительности складываются:

$latex \displaystyle P={{P}_{1}}+{{P}_{2}}$

То же самое, что и относительная скорость: с какой скоростью второй автомобиль приближается к первому? Со скоростью, равной сумме скоростей: $latex \displaystyle v={{v}_{1}}+{{v}_{2}}$.

Итак,

$latex \displaystyle P={{P}_{1}}+{{P}_{2}}=\frac{A}{6}+\frac{A}{4}=\frac{5A}{12}$

Тогда время, за которое с такой производительностью будет выполнена работа $latex A$:

$latex \displaystyle t=\frac{A}{P}=\frac{A}{\frac{5A}{12}}=\frac{12}{5}=2,4$ (ч)

Итак, правило:

При совместной работе производительности складываются.

Проверь себя — реши задачи на работу.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий