Задачи на работу. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Ты уже освоил тему «Задачи на движение»? Задачи на работу – это то же самое.

Основная формула

Основная формула здесь выглядит так:

\(\displaystyle P=\frac{A}{t}\)

или

\(\displaystyle \text{производительность}=\frac{\text{работа}}{\text{время}}\)

Производительность – это объем работы, выполняемый за единицу времени (например, за час или за день). По-другому, скорость выполнения работы. Как у тебя дела с физикой? В физике эта величина называется мощностью.

Как и в задачах на движение, нам нужно уметь выражать все эти три величины друг через друга:

\(\displaystyle P=\frac{A}{t}\) \(\displaystyle t=\frac{A}{P}\) \(\displaystyle A=P\cdot t\)

Пример.

Заказ на \(\displaystyle 112\) деталей первый рабочий выполняет на \(\displaystyle 2\) часа дольше, чем второй. Сколько Деталей за час делает первый рабочий, если известно, что второй за час делает на одну деталь больше, чем первый?

Решение:

Пусть производительность первого равна \(\displaystyle x\) (ее нам и нужно найти). Тогда второго — \(\displaystyle (x+1)\). Если первый сделал заказ за время \(\displaystyle t\), тогда второй – за время \(\displaystyle t-2\). Работа равна \(\displaystyle 112\).

I способ

Составим таблицу:

Работа \(\displaystyle A\) Производительность \(\displaystyle P\) Время \(\displaystyle t\)
I рабочий \(\displaystyle 100\) \(\displaystyle x\) \(\displaystyle t\)
II рабочий \(\displaystyle 100\) \(\displaystyle x+1\) \(\displaystyle t-2\)

Для каждой строки можем написать формулу:

I. \(\displaystyle P=\frac{A}{t}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x=\frac{100}{t}\text{  }\Rightarrow \text{  }t=\frac{100}{x}\)
II. \(\displaystyle P=\frac{A}{t}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x+1=\frac{100}{t-2}\text{  }\Rightarrow \text{  }t-2=\frac{100}{x+1}\text{  }\Rightarrow \text{  }t=\frac{100}{x+1}+2\)

Почему я выразил именно время? У нас здесь система уравнений. А что происходит в системе, если выразить одну неизвестную через другую? Мы таким образом можем от нее избавиться! Именно это я и собираюсь сделать: время нам известно? Нет. Его нам нужно найти? Нет. Поэтому от неизвестного \(\displaystyle t\) надо избавиться! Для этого теперь достаточно просто приравнять полученные выражения для \(\displaystyle t\):

\(\displaystyle \frac{112}{x}=\frac{112}{x+1}+2\Leftrightarrow \frac{2x\left( x+1 \right)+112x-112\left( x+1 \right)}{x\left( x+1 \right)}=0\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+x-56=0\\x\ne 0\\x\ne -1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=7\\x=-8\end{array} \right.\)

Из этих двух ответов, естественно, выбираем положительный: \(\displaystyle x=7\).

II способ

Как обойтись без составления таблицы? Сразу составить уравнение. Для этого определим, какая величина нам не нужна в уравнении, чтобы затем приравнять. Производительность? Ее и надо найти. Работа? Она нам дана по условию, поэтому глупо от нее избавляться. Остается время: оно нам и неизвестно, и не нужно.

Слева от знака равно будем писать формулу времени для первого рабочего, а справа – для второго. Напомню, что первый работал на \(\displaystyle 2\) часа дольше, поэтому к времени второго надо будет прибавить \(\displaystyle 2\):

\(\displaystyle \frac{112}{x}=\frac{112}{x+1}+2\)

То же самое уравнение, что и в первом способе, только без таблицы и системы уравнений.

А теперь вспомним, что я говорил в сааамом начале: задачи на работу и на движение – это то же самое. Спорное заявление, да? Ну, давайте проверим, есть ли аналогия?

Во-первых, сравним формулы:

Движение Работа
\(\displaystyle v=\frac{S}{t}\) \(\displaystyle P=\frac{A}{t}\)
Скорость движения Скорость выполнения работы, т.е. производительность
Пройденный путь Выполненная работа
Потраченное на движение время Потраченное на работу время

Теперь рассмотрим задачу:

Расстояние \(\displaystyle 112\) км первый велосипедист проезжает на \(\displaystyle 2\) часа дольше, чем второй. Сколько км в час проезжает первый велосипедист, если известно, что второй за час проезжает на один километр больше, чем первый?

Ничего не напоминает? Да я же просто заменил слова: «Заказ» на «расстояние», «деталь» на «километр», «рабочий» на «велосипедист», «выполняет» на «проезжает». Суть осталась той же. Даже решение будет точно таким же (разберу здесь только II способ – без таблицы).

Пусть скорость первого \(\displaystyle x\), тогда второго \(\displaystyle x+1\). Сколько времени едет первый? \(\displaystyle \frac{112}{x}\). Сколько времени едет второй? \(\displaystyle \frac{112}{x+1}\). На сколько время первого больше, чем второго? На \(\displaystyle 2\) часа:

\(\displaystyle \frac{112}{x}=\frac{112}{x+1}+2\).

То же самое уравнение! Вот и получается, что работа и движение – одно и то же.

Больше задач — после регистрации.

Задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).

Пример.

Первая труба заполняет бассейн за \(\displaystyle 6\) часов, а вторая – за \(\displaystyle 4\). За какое время они заполнят бассейн, работая вместе?

Решение:

Во-первых, давай придумаем аналогию с движением. Придумал? Бассейн – это путь. Допустим, из \(\displaystyle A\) в \(\displaystyle B\). Итак, первый автомобиль проезжает путь \(\displaystyle AB\) за \(\displaystyle 6\) часов, второй – за \(\displaystyle 4\). А теперь как сформулировать вопрос? За какое время они проедут весь путь двигаясь вместе? Бред. Если двигаться параллельно, то каждый проходит весь путь самостоятельно. А в какой ситуации нам важно, какой путь автомобили проходят в сумме? Все гениальное просто: если они движутся навстречу друг другу! Тогда что нас просят найти? Время, через которое они встретятся.

Поразмысли немного над этой аналогией. Все понял? Тогда идем дальше.

Какова «скорость» (а по-настоящему, производительность) первого? Путь (работа) деленный на время: \(\displaystyle {{P}_{1}}=\frac{A}{{{t}_{1}}}=\frac{A}{6}\). А второго? \(\displaystyle {{P}_{2}}=\frac{A}{{{t}_{2}}}=\frac{A}{4}\).

С какой производительностью работают две трубы вместе (не забывай, это задачи на совместную работу)? Берем количество литров, которое налила в бассейн первая труба за один час, прибавляем количество литров, которое налила в бассейн вторая труба за один час – именно столько наливают в бассейн обе трубы за один час. То есть, производительности складываются:

\(\displaystyle P={{P}_{1}}+{{P}_{2}}\)

То же самое, что и относительная скорость: с какой скоростью второй автомобиль приближается к первому? Со скоростью, равной сумме скоростей: \(\displaystyle v={{v}_{1}}+{{v}_{2}}\).

Итак,

\(\displaystyle P={{P}_{1}}+{{P}_{2}}=\frac{A}{6}+\frac{A}{4}=\frac{5A}{12}\)

Тогда время, за которое с такой производительностью будет выполнена работа \(A\):

\(\displaystyle t=\frac{A}{P}=\frac{A}{\frac{5A}{12}}=\frac{12}{5}=2,4\) (ч)

Итак, правило:

При совместной работе производительности складываются.

Проверь себя — реши задачи на работу.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *