Задачи на смеси и сплавы. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Основные определения

Концентрация какого-то вещества в растворе – это отношение массы или объема этого вещества к массе или объему всего раствора. То же самое относится и к сплавам: содержание одного из металлов в сплаве – это отношение массы этого металла к массе всего сплава.

Обычно концентрация измеряется в процентах. Что такое процент? Напомню, что это сотая доля числа. То есть, если массу или объем разделить на $latex \displaystyle 100$, получим $latex \displaystyle 1\%$ этой массы или объема. Чтобы вычислить концентрацию в процентах, достаточно полученное число умножить на $latex \displaystyle 100\%$. Почему? Сейчас покажу: пусть масса всего раствора равна $latex \displaystyle M$, а масса растворенного вещества (например, соли или кислоты) – $latex \displaystyle m$. Тогда один процент от массы раствора равен $latex \displaystyle \frac{M}{100}$. Как узнать, сколько таких процентов содержится в числе $latex \displaystyle m$?

Просто: поделить число $latex \displaystyle m$ на этот один процент: $latex \displaystyle \frac{m}{\frac{M}{100}}=\frac{m}{M}\cdot 100$, но ведь $latex \displaystyle \frac{m}{M}$ – это концентрация. Вот и получается, что ее надо умножить на $latex \displaystyle 100$, чтобы узнать, сколько процентов вещества содержится в растворе.

Более подробно о процентах – в темах «Дроби, рациональные числапроценты».

Поехали дальше. Масса раствора, смеси или сплава равна сумма масс всех составляющих. Логично, правда? Например, если в растворе массой $latex \displaystyle 10$ кг содержится $latex \displaystyle 3$ кг соли, то сколько в нем воды? Правильно, $latex \displaystyle 7$кг.

И еще одна очевидность: При смешивании нескольких растворов (или смесей, или сплавов), масса нового раствора становится равной сумме масс всех смешанных растворов. А масса растворенного вещества в итоге равна сумме масс этого же вещества в каждом растворе отдельно.

Например: в первом растворе массой $latex \displaystyle 10$ кг содержится $latex \displaystyle 3$ кг кислоты, а во втором растворе массой $latex \displaystyle 14$ кг – $latex \displaystyle 5$ кг кислоты. Когда мы их смешаем, чему будет равна масса нового раствора? $latex \displaystyle 10+14=24$ кг. А сколько в новом растворе будет кислоты? $latex \displaystyle 3+5=8$ кг.

Теперь соединим полученные знания и решим пример:

В $latex \displaystyle 10\%$ раствор кислоты массой $latex \displaystyle 3$ кг добавили $latex \displaystyle 1,8$ кг чистой воды. Чему стала равна концентрация раствора (в процентах)?

Решил? Смотри:

  1. Вычисляем массу кислоты. Для этого запишем, что такое концентрация:
    $latex \displaystyle \frac{m}{M}\cdot 100\%=10\%\text{  }\Rightarrow \text{  }\frac{m}{M}=0,1\text{  }\Rightarrow \text{  }m=0,1\cdot M=0,1\cdot 3=0,3$ кг.
    Впредь проценты всегда будем сразу записывать в виде десятичной дроби:
    $latex \displaystyle 1\%=0,01$.
  2. Вычисляем массу нового раствора: $latex \displaystyle 3+1,8=4,8$ кг.
  3. Новая концентрация: $latex \displaystyle \frac{0,3}{4,8}=0,0625=6,25\%$.

Еще пример:

Смешали два раствора: $latex \displaystyle 2$ кг $latex \displaystyle 10\%$-ного и $latex \displaystyle 3$ кг $latex \displaystyle 20\%$-ного. Какова концентрация полученного раствора?

Решение:

Визуализируем ситуацию: схематично изобразим емкости с растворами, около них подпишем массу раствора, а внутри – содержание кислоты:

виноград2

Теперь составляем два уравнения: первое – это сложение емкостей целиком, то есть: $latex \displaystyle 2+3=M$ – масса нового раствора.

Второе – складываем только кислоту. В первом сосуде ее $latex \displaystyle 0,1\cdot 2$ кг, а во втором $latex \displaystyle 0,2\cdot 3$ кг. Значит, $latex \displaystyle 0,1\cdot 2+0,2\cdot 3=M\cdot x$ – масса кислоты в новом растворе.

Получаем:

$latex \displaystyle \left. \begin{array}{l}M=2+3=\text{5 кг}\\M\cdot x=0,1\cdot 2+0,2\cdot 3=0,8\text{ кг  }\end{array} \right|\Rightarrow \text{  }x=\frac{0,8}{5}=0,16=16\%$.

Ответ: $latex \displaystyle 16\%$.

Эту визуализацию удобно использовать в любых задачах на растворы, смеси и сплавы.

Больше задач — после регистрации.

Разберем еще пример:

Изюм содержит $latex \displaystyle 5\%$ влаги. Его получают из винограда, содержащего $latex \displaystyle 90\%$ влаги. Сколько потребуется винограда, чтобы получить $latex \displaystyle 3$ кг изюма?

Решение:

виноград

Получаем систему: $latex \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x-y=3\\0,9x-y=0,05\cdot 3\end{array} \right.$

В первом уравнении вычитаем то, что написано снаружи «сосудов», а во втором – то, что внутри.

Итак, решаем систему и получаем: $latex \displaystyle 0,1x=3-0,15\text{  }\Rightarrow \text{  }x=28,5$ кг.

Ответ: $latex \displaystyle 28,5$.

Проверь себя — реши задачи на смеси и сплавы.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий