Замена переменных. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Замена переменных – это введение нового неизвестного, относительно которого уравнение или неравенство имеет более простой вид.

Перечислю основные типы замен.

Степенная замена $latex \displaystyle y={{x}^{n}}$.

Например, с помощью замены $latex \displaystyle t={{x}^{2}}$ биквадратное уравнение $latex \displaystyle a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c=0,\text{ }a\ne 0$ приводится к квадратному: $latex \displaystyle a{{t}^{2}}+bt+c=0$.

В неравенствах все аналогично. Например, в неравенстве $latex \displaystyle a{{x}^{6}}+b{{x}^{3}}+c\ge \text{0}$ сделаем замену $latex \displaystyle t={{x}^{3}}$, и получим квадратное неравенство: $latex \displaystyle a{{t}^{2}}+bt+c\ge \text{0}$.

Пример (реши самостоятельно):

$latex \displaystyle \frac{2+{{x}^{3}}}{{{x}^{6}}+6}=\frac{3}{2{{x}^{3}}+3}$

Решение:

Это дробно-рациональное уравнение (повтори «Рациональные уравнения»), но решать его обычным методом (приведение к общему знаменателю) неудобно, так как мы получим уравнение $latex \displaystyle 6$ степени, поэтому применяется замена переменных. Все станет намного проще после замены: $latex \displaystyle t={{x}^{3}}$. Тогда $latex \displaystyle {{x}^{6}}={{t}^{2}}$:

$latex \displaystyle \begin{array}{c}\frac{2+{{x}^{3}}}{{{x}^{6}}+6}=\frac{3}{2{{x}^{3}}+3}\text{  }\underset{t={{x}^{3}}}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\text{  }\\\frac{2+t}{{{t}^{2}}+6}=\frac{3}{2t+3}\text{  }\Leftrightarrow \\\frac{\left( 2+t \right)\left( 2t+3 \right)-3\left( {{t}^{2}}+6 \right)}{\left( {{t}^{2}}+6 \right)\left( 2t+3 \right)}=0\text{  }\Leftrightarrow \\\frac{-{{t}^{2}}+7t-12}{\left( {{t}^{2}}+6 \right)\left( 2t+3 \right)}=0\text{  }\Leftrightarrow \\\left\{ \begin{array}{l}{{t}^{2}}-7t+12=0\\\left( {{t}^{2}}+6 \right)\left( 2t+3 \right)\ne 0\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \\\left[ \begin{array}{l}t=3\\t=4.\end{array} \right.\end{array}$

Теперь делаем обратную замену:

$latex \displaystyle \left[ \begin{array}{l}{{x}^{3}}=3\\{{x}^{3}}=4\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}x=\sqrt[3]{3}\\x=\sqrt[3]{4}\end{array} \right.$

Ответ: $latex \displaystyle \sqrt[3]{3}$; $latex \displaystyle \sqrt[3]{4}$.

Больше задач — после регистрации.

Замена многочлена $latex \displaystyle t={{P}_{n}}\left( x \right)$ или $latex \displaystyle t=\sqrt{{{P}_{n}}\left( x \right)}$.

Здесь $latex \displaystyle {{P}_{n}}\left( x \right)$ − многочлен степени $latex \displaystyle n$, т.е. выражение вида

$latex \displaystyle {{P}_{n}}\left( x \right)={{a}_{0}}{{x}^{n}}+{{a}_{1}}{{x}^{n-1}}+{{a}_{2}}{{x}^{n-2}}+…+{{a}_{n-1}}x+{{a}_{n}},\text{ }{{a}_{0}}\ne 0$

(например, выражение $latex \displaystyle 4{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-3x+1$ – многочлен степени $latex \displaystyle 4$, то есть $latex \displaystyle {{P}_{4}}\left( x \right)$).

Чаще всего используется замена квадратного трехчлена: $latex \displaystyle t=a{{x}^{2}}+bx+c$ или $latex \displaystyle t=\sqrt{a{{x}^{2}}+bx+c}$.

Пример:

Решите уравнение $latex \displaystyle \left( {{x}^{2}}+5x+9 \right)\left( {{x}^{2}}+5x+10 \right)=12$.

Решение:

И опять используется замена переменных $latex \displaystyle t={{x}^{2}}+5x+9$. Тогда уравнение примет вид:

$latex \displaystyle t\cdot \left( t+1 \right)=12\text{  }\Rightarrow \text{  }{{t}^{2}}+t-12=0$.

Корни этого квадратного уравнения: $latex \displaystyle t=-4$ и $latex \displaystyle t=3$. Имеем два случая. Сделаем обратную замену для каждого из них:

$latex \displaystyle t=-4\text{  }\Rightarrow \text{  }{{x}^{2}}+5x+9=-4\text{  }\Rightarrow \text{  }{{x}^{2}}+5x+13=0$;

$latex \displaystyle D={{5}^{2}}-4\cdot 13=-17<0$.

Значит, это уравнение корней не имеет.

$latex \displaystyle t=3\text{  }\Rightarrow \text{  }{{x}^{2}}+5x+9=3\text{  }\Rightarrow \text{  }{{x}^{2}}+5x+6=0$

Корни этого уравнения: $latex \displaystyle x=-1$ и $latex \displaystyle x=-5$.

Ответ. $latex \displaystyle -1;\text{ -}5.$.

Больше задач — после регистрации.

Дробно-рациональная замена $latex \displaystyle t=\frac{{{P}_{n}}\left( x \right)}{{{Q}_{m}}\left( x \right)}$.

$latex \displaystyle {{P}_{n}}\left( x \right)$ и $latex \displaystyle {{Q}_{m}}\left( x \right)$ − многочлены степеней $latex \displaystyle n$ и $latex \displaystyle m$ соответственно.

Например, при решении возвратных уравнений, то есть уравнений вида

$latex \displaystyle a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+bx+a=0,\text{ }a\ne 0$,

обычно используется замена $latex \displaystyle t=x+\frac{1}{x}$.

Сейчас покажу, как это работает.

Легко проверить, что $latex \displaystyle x=0$ не является корнем этого уравнения: ведь если подставить $latex \displaystyle x=0$ в уравнение, получим $latex \displaystyle a=0$, что противоречит условию.

Разделим уравнение на $latex \displaystyle {{x}^{2}}\ne 0$:

$latex \displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c+\frac{b}{x}+\frac{a}{{{x}^{2}}}=0$.

Перегруппируем:

$latex \displaystyle a\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)+b\left( x+\frac{1}{x} \right)+c=0$.

Теперь делаем замену: $latex \displaystyle t=x+\frac{1}{x}$.

Прелесть ее в том, что при возведении в квадрат в удвоенном произведении слагаемых сокращается x:

$latex \displaystyle {{t}^{2}}={{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}={{x}^{2}}+2\cdot x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}={{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+2$

Отсюда следует, что $latex \displaystyle {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}={{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}-2={{t}^{2}}-2$.

Вернемся к нашему уравнению:

$latex \displaystyle \begin{array}{l}a\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)+b\left( x+\frac{1}{x} \right)+c=0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }a\left( {{t}^{2}}-2 \right)+bt+c=0\text{  }\Leftrightarrow \\a{{t}^{2}}+bt+c-2a=0\end{array}$

Теперь достаточно решить квадратное уравнение и сделать обратную замену.

Пример:

Решите уравнение: $latex \displaystyle {{x}^{4}}-7{{x}^{3}}+14{{x}^{2}}-7x+1=0$.

Решение:

При $latex \displaystyle x=0$ равенство не выполняется, поэтому $latex \displaystyle x\ne 0$. Разделим уравнение на $latex \displaystyle {{x}^{2}}\ne 0$:

$latex \displaystyle {{x}^{4}}-7{{x}^{3}}+14{{x}^{2}}-7x+1=0\text{  }\left| :{{x}^{2}}\ne 0 \right.\text{  }\Leftrightarrow $

$latex \displaystyle {{x}^{2}}-7x+14-\frac{7}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}=0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }$

$latex \displaystyle \left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)-7\left( x+\frac{1}{x} \right)+14=0$

Замена: $latex \displaystyle t=x+\frac{1}{x}$.

Тогда $latex \displaystyle {{t}^{2}}={{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}={{x}^{2}}+2\cdot x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}={{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+2\text{  }\Rightarrow \text{  }\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)={{t}^{2}}-2$.

Уравнение примет вид:

$latex \displaystyle {{t}^{2}}-2-7t+14=0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{t}^{2}}-7t+12=0$.

Его корни: $latex \displaystyle \left[ \begin{array}{l}t=3\\t=4\end{array} \right.$

Произведем обратную замену:

$latex \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x+\frac{1}{x}=3\text{  }\left( 1 \right)\\x+\frac{1}{x}=4\text{  }\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Решим полученные уравнения:

1) $latex \displaystyle x+\frac{1}{x}=3\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\frac{{{x}^{2}}-3x+1}{x}=0$.

$latex \displaystyle D=9+4=13$

$latex \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\\x=\frac{3-\sqrt{13}}{2}\end{array} \right.$

2) $latex \displaystyle x+\frac{1}{x}=4\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\frac{{{x}^{2}}-4x+1}{x}=0$.

$latex \displaystyle D=16+4=20$

$latex \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x=\frac{4+2\sqrt{5}}{2}=2+\sqrt{5}\\x=\frac{4-2\sqrt{5}}{2}=2-\sqrt{5}\end{array} \right.$

Ответ: $latex \displaystyle \frac{3\pm \sqrt{13}}{2}$; $latex \displaystyle 2\pm \sqrt{5}$.

Еще пример:

Решите неравенство $latex \displaystyle \frac{4x}{4{{x}^{2}}-8x+7}+\frac{3x}{4{{x}^{2}}-10x+7}\ge 1$.

Решение:

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что $latex \displaystyle x\text{ }=\text{ }0$ не входит в решение этого неравенства. Разделим числитель и знаменатель каждой из дробей на $latex \displaystyle x\text{ }\ne \text{ }0$:

$latex \displaystyle \frac{4x}{4{{x}^{2}}-8x+7}+\frac{3x}{4{{x}^{2}}-10x+7}\ge 1\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\frac{4}{4{x}-8+\frac{7}{x}}+\frac{3}{4{x}-10+\frac{7}{x}}\ge 1$.

Теперь очевидна замена переменной: $latex \displaystyle y=4x+\frac{7}{x}$.

Тогда неравенство примет вид:

$latex \displaystyle \begin{array}{l}\frac{4}{y-8}+\frac{3}{y-10}\ge 1\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\frac{4y-40+3y-24-\left( y-8 \right)\left( y-10 \right)}{\left( y-8 \right)\left( y-10 \right)}\ge 0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\\\frac{-{{y}^{2}}+25y-144}{\left( y-8 \right)\left( y-10 \right)}\ge 0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\frac{{{y}^{2}}-25y+144}{\left( y-8 \right)\left( y-10 \right)}\le 0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\frac{\left( y-9 \right)\left( y+16 \right)}{\left( y-8 \right)\left( y-10 \right)}\le 0\end{array}$

Используем метод интервалов для нахождения y:

замена переменных, интервал 1

$latex \displaystyle y\in \left[ -16;8 \right)\cup \left[ 9;10 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y\ge -16;\text{ }\left( 1 \right)\\y<8;\text{     }\left( 2 \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y\ge 9;\text{     }\left( 3 \right)\\y<10.\text{    }\left( 4 \right)\end{array} \right.\end{array} \right.$

$latex \displaystyle y\ge -16\Rightarrow 4x+\frac{7}{x}\ge -16\Rightarrow \frac{4{{x}^{2}}+16x+7}{x}\ge 0\Rightarrow \frac{4\left( x+\frac{1}{2} \right)\left( x+\frac{7}{2} \right)}{x}\ge 0$.

замена переменных, интервал 2

$latex \displaystyle x\in \left[ -\frac{7}{2};-\frac{1}{2} \right]\cup \left( 0;+\infty  \right)$

$latex \displaystyle y<8\Rightarrow 4x+\frac{7}{x}<8\Rightarrow \frac{4{{x}^{2}}-8x+7}{x}<0$

$latex \displaystyle 4{{x}^{2}}-8x+7>0$ при всех $latex \displaystyle x$, так как $latex \displaystyle D=64-4\cdot 4\cdot 7=-48<0.$

Значит, неравенство равносильно следующему: $latex \displaystyle \frac{1}{x}<0\Rightarrow x<0$.

$latex \displaystyle y\ge -16\Rightarrow 4x+\frac{7}{x}\ge 9\Rightarrow \frac{4{{x}^{2}}-9x+7}{x}\ge 0$.

$latex \displaystyle 4{{x}^{2}}-9x+7>0$ при всех $latex \displaystyle x$, так как $latex \displaystyle D=81-4\cdot 4\cdot 7=-31<0.$

Значит, неравенство равносильно следующему: $latex \displaystyle \frac{1}{x}\ge 0\Rightarrow x>0$

$latex \displaystyle y<10\Rightarrow 4x+\frac{7}{x}<10\Rightarrow \frac{4{{x}^{2}}-10x+7}{x}<0$

$latex \displaystyle 4{{x}^{2}}-10x+7>0$ при всех $latex \displaystyle x$, так как $latex \displaystyle D=100-4\cdot 4\cdot 7=-12<0$.

Значит, неравенство равносильно следующему: $latex \displaystyle \frac{1}{x}<0\Rightarrow x<0$.

Итак, неравенство оказывается равносильно совокупности:

$latex \displaystyle \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y\ge -16;\\y<8;\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y\ge 9;\\y<10;\end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x\in \left[ -\frac{7}{2};-\frac{1}{2} \right]\cup \left( 0;+\infty  \right)\\x<0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x>0\\x<0\end{array} \right.\end{array} \right.\Rightarrow x\in \left[ -\frac{7}{2};-\frac{1}{2} \right].$

Ответ: $latex \displaystyle \left[ -\frac{7}{2};-\frac{1}{2} \right]$.

Замена переменных – один из важнейших методов решения уравнений и неравенств.

Напоследок дам тебе пару важных советов:1. Замену переменных нужно делать сразу и при первой же возможности.

2. Уравнение (неравенство) относительно новой переменно необходимо решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

Успехов!

Проверь себя — реши задачи на замену переменных.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий