Замена переменных. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Замена переменных – это введение нового неизвестного, относительно которого уравнение или неравенство имеет более простой вид.

Перечислю основные типы замен.

Степенная замена \(\displaystyle y={{x}^{n}}\).

Например, с помощью замены \(\displaystyle t={{x}^{2}}\) биквадратное уравнение \(\displaystyle a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c=0,\text{ }a\ne 0\) приводится к квадратному: \(\displaystyle a{{t}^{2}}+bt+c=0\).

В неравенствах все аналогично. Например, в неравенстве \(\displaystyle a{{x}^{6}}+b{{x}^{3}}+c\ge \text{0}\) сделаем замену \(\displaystyle t={{x}^{3}}\), и получим квадратное неравенство: \(\displaystyle a{{t}^{2}}+bt+c\ge \text{0}\).

Пример (реши самостоятельно):

\(\displaystyle \frac{2+{{x}^{3}}}{{{x}^{6}}+6}=\frac{3}{2{{x}^{3}}+3}\)

Решение:

Это дробно-рациональное уравнение (повтори «Рациональные уравнения»), но решать его обычным методом (приведение к общему знаменателю) неудобно, так как мы получим уравнение \(\displaystyle 6\) степени, поэтому применяется замена переменных. Все станет намного проще после замены: \(\displaystyle t={{x}^{3}}\). Тогда \(\displaystyle {{x}^{6}}={{t}^{2}}\):

\(\displaystyle \begin{array}{c}\frac{2+{{x}^{3}}}{{{x}^{6}}+6}=\frac{3}{2{{x}^{3}}+3}\text{  }\underset{t={{x}^{3}}}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\text{  }\\\frac{2+t}{{{t}^{2}}+6}=\frac{3}{2t+3}\text{  }\Leftrightarrow \\\frac{\left( 2+t \right)\left( 2t+3 \right)-3\left( {{t}^{2}}+6 \right)}{\left( {{t}^{2}}+6 \right)\left( 2t+3 \right)}=0\text{  }\Leftrightarrow \\\frac{-{{t}^{2}}+7t-12}{\left( {{t}^{2}}+6 \right)\left( 2t+3 \right)}=0\text{  }\Leftrightarrow \\\left\{ \begin{array}{l}{{t}^{2}}-7t+12=0\\\left( {{t}^{2}}+6 \right)\left( 2t+3 \right)\ne 0\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \\\left[ \begin{array}{l}t=3\\t=4.\end{array} \right.\end{array}\)

Теперь делаем обратную замену:

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}{{x}^{3}}=3\\{{x}^{3}}=4\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}x=\sqrt[3]{3}\\x=\sqrt[3]{4}\end{array} \right.\)

Ответ: \(\displaystyle \sqrt[3]{3}\); \(\displaystyle \sqrt[3]{4}\).

Больше задач — после регистрации.

Замена многочлена \(\displaystyle t={{P}_{n}}\left( x \right)\) или \(\displaystyle t=\sqrt{{{P}_{n}}\left( x \right)}\).

Здесь \(\displaystyle {{P}_{n}}\left( x \right)\) − многочлен степени \(\displaystyle n\), т.е. выражение вида

\(\displaystyle {{P}_{n}}\left( x \right)={{a}_{0}}{{x}^{n}}+{{a}_{1}}{{x}^{n-1}}+{{a}_{2}}{{x}^{n-2}}+…+{{a}_{n-1}}x+{{a}_{n}},\text{ }{{a}_{0}}\ne 0\)

(например, выражение \(\displaystyle 4{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-3x+1\) – многочлен степени \(\displaystyle 4\), то есть \(\displaystyle {{P}_{4}}\left( x \right)\)).

Чаще всего используется замена квадратного трехчлена: \(\displaystyle t=a{{x}^{2}}+bx+c\) или \(\displaystyle t=\sqrt{a{{x}^{2}}+bx+c}\).

Пример:

Решите уравнение \(\displaystyle \left( {{x}^{2}}+5x+9 \right)\left( {{x}^{2}}+5x+10 \right)=12\).

Решение:

И опять используется замена переменных \(\displaystyle t={{x}^{2}}+5x+9\). Тогда уравнение примет вид:

\(\displaystyle t\cdot \left( t+1 \right)=12\text{  }\Rightarrow \text{  }{{t}^{2}}+t-12=0\).

Корни этого квадратного уравнения: \(\displaystyle t=-4\) и \(\displaystyle t=3\). Имеем два случая. Сделаем обратную замену для каждого из них:

\(\displaystyle t=-4\text{  }\Rightarrow \text{  }{{x}^{2}}+5x+9=-4\text{  }\Rightarrow \text{  }{{x}^{2}}+5x+13=0\);

\(\displaystyle D={{5}^{2}}-4\cdot 13=-17<0\).

Значит, это уравнение корней не имеет.

\(\displaystyle t=3\text{  }\Rightarrow \text{  }{{x}^{2}}+5x+9=3\text{  }\Rightarrow \text{  }{{x}^{2}}+5x+6=0\)

Корни этого уравнения: \(\displaystyle x=-1\) и \(\displaystyle x=-5\).

Ответ. \(\displaystyle -1;\text{ -}5.\).

Больше задач — после регистрации.

Дробно-рациональная замена \(\displaystyle t=\frac{{{P}_{n}}\left( x \right)}{{{Q}_{m}}\left( x \right)}\).

\(\displaystyle {{P}_{n}}\left( x \right)\) и \(\displaystyle {{Q}_{m}}\left( x \right)\) − многочлены степеней \(\displaystyle n\) и \(\displaystyle m\) соответственно.

Например, при решении возвратных уравнений, то есть уравнений вида

\(\displaystyle a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+bx+a=0,\text{ }a\ne 0\),

обычно используется замена \(\displaystyle t=x+\frac{1}{x}\).

Сейчас покажу, как это работает.

Легко проверить, что \(\displaystyle x=0\) не является корнем этого уравнения: ведь если подставить \(\displaystyle x=0\) в уравнение, получим \(\displaystyle a=0\), что противоречит условию.

Разделим уравнение на \(\displaystyle {{x}^{2}}\ne 0\):

\(\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c+\frac{b}{x}+\frac{a}{{{x}^{2}}}=0\).

Перегруппируем:

\(\displaystyle a\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)+b\left( x+\frac{1}{x} \right)+c=0\).

Теперь делаем замену: \(\displaystyle t=x+\frac{1}{x}\).

Прелесть ее в том, что при возведении в квадрат в удвоенном произведении слагаемых сокращается x:

\(\displaystyle {{t}^{2}}={{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}={{x}^{2}}+2\cdot x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}={{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+2\)

Отсюда следует, что \(\displaystyle {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}={{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}-2={{t}^{2}}-2\).

Вернемся к нашему уравнению:

\(\displaystyle \begin{array}{l}a\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)+b\left( x+\frac{1}{x} \right)+c=0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }a\left( {{t}^{2}}-2 \right)+bt+c=0\text{  }\Leftrightarrow \\a{{t}^{2}}+bt+c-2a=0\end{array}\)

Теперь достаточно решить квадратное уравнение и сделать обратную замену.

Пример:

Решите уравнение: \(\displaystyle {{x}^{4}}-7{{x}^{3}}+14{{x}^{2}}-7x+1=0\).

Решение:

При \(\displaystyle x=0\) равенство не выполняется, поэтому \(\displaystyle x\ne 0\). Разделим уравнение на \(\displaystyle {{x}^{2}}\ne 0\):

\(\displaystyle {{x}^{4}}-7{{x}^{3}}+14{{x}^{2}}-7x+1=0\text{  }\left| :{{x}^{2}}\ne 0 \right.\text{  }\Leftrightarrow \)

\(\displaystyle {{x}^{2}}-7x+14-\frac{7}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}=0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\)

\(\displaystyle \left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)-7\left( x+\frac{1}{x} \right)+14=0\)

Замена: \(\displaystyle t=x+\frac{1}{x}\).

Тогда \(\displaystyle {{t}^{2}}={{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}={{x}^{2}}+2\cdot x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}={{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+2\text{  }\Rightarrow \text{  }\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)={{t}^{2}}-2\).

Уравнение примет вид:

\(\displaystyle {{t}^{2}}-2-7t+14=0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{t}^{2}}-7t+12=0\).

Его корни: \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}t=3\\t=4\end{array} \right.\)

Произведем обратную замену:

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}x+\frac{1}{x}=3\text{  }\left( 1 \right)\\x+\frac{1}{x}=4\text{  }\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Решим полученные уравнения:

1) \(\displaystyle x+\frac{1}{x}=3\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\frac{{{x}^{2}}-3x+1}{x}=0\).

\(\displaystyle D=9+4=13\)

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\\x=\frac{3-\sqrt{13}}{2}\end{array} \right.\)

2) \(\displaystyle x+\frac{1}{x}=4\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\frac{{{x}^{2}}-4x+1}{x}=0\).

\(\displaystyle D=16+4=20\)

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}x=\frac{4+2\sqrt{5}}{2}=2+\sqrt{5}\\x=\frac{4-2\sqrt{5}}{2}=2-\sqrt{5}\end{array} \right.\)

Ответ: \(\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{13}}{2}\); \(\displaystyle 2\pm \sqrt{5}\).

Еще пример:

Решите неравенство \(\displaystyle \frac{4x}{4{{x}^{2}}-8x+7}+\frac{3x}{4{{x}^{2}}-10x+7}\ge 1\).

Решение:

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что \(\displaystyle x\text{ }=\text{ }0\) не входит в решение этого неравенства. Разделим числитель и знаменатель каждой из дробей на \(\displaystyle x\text{ }\ne \text{ }0\):

\(\displaystyle \frac{4x}{4{{x}^{2}}-8x+7}+\frac{3x}{4{{x}^{2}}-10x+7}\ge 1\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\frac{4}{4{x}-8+\frac{7}{x}}+\frac{3}{4{x}-10+\frac{7}{x}}\ge 1\).

Теперь очевидна замена переменной: \(\displaystyle y=4x+\frac{7}{x}\).

Тогда неравенство примет вид:

\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{4}{y-8}+\frac{3}{y-10}\ge 1\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\frac{4y-40+3y-24-\left( y-8 \right)\left( y-10 \right)}{\left( y-8 \right)\left( y-10 \right)}\ge 0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\\\frac{-{{y}^{2}}+25y-144}{\left( y-8 \right)\left( y-10 \right)}\ge 0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\frac{{{y}^{2}}-25y+144}{\left( y-8 \right)\left( y-10 \right)}\le 0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\frac{\left( y-9 \right)\left( y+16 \right)}{\left( y-8 \right)\left( y-10 \right)}\le 0\end{array}\)

Используем метод интервалов для нахождения y:

замена переменных, интервал 1

\(\displaystyle y\in \left[ -16;8 \right)\cup \left[ 9;10 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y\ge -16;\text{ }\left( 1 \right)\\y<8;\text{     }\left( 2 \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y\ge 9;\text{     }\left( 3 \right)\\y<10.\text{    }\left( 4 \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\(\displaystyle y\ge -16\Rightarrow 4x+\frac{7}{x}\ge -16\Rightarrow \frac{4{{x}^{2}}+16x+7}{x}\ge 0\Rightarrow \frac{4\left( x+\frac{1}{2} \right)\left( x+\frac{7}{2} \right)}{x}\ge 0\).

замена переменных, интервал 2

\(\displaystyle x\in \left[ -\frac{7}{2};-\frac{1}{2} \right]\cup \left( 0;+\infty  \right)\)

\(\displaystyle y<8\Rightarrow 4x+\frac{7}{x}<8\Rightarrow \frac{4{{x}^{2}}-8x+7}{x}<0\)

\(\displaystyle 4{{x}^{2}}-8x+7>0\) при всех \(\displaystyle x\), так как \(\displaystyle D=64-4\cdot 4\cdot 7=-48<0.\)

Значит, неравенство равносильно следующему: \(\displaystyle \frac{1}{x}<0\Rightarrow x<0\).

\(\displaystyle y\ge -16\Rightarrow 4x+\frac{7}{x}\ge 9\Rightarrow \frac{4{{x}^{2}}-9x+7}{x}\ge 0\).

\(\displaystyle 4{{x}^{2}}-9x+7>0\) при всех \(\displaystyle x\), так как \(\displaystyle D=81-4\cdot 4\cdot 7=-31<0.\)

Значит, неравенство равносильно следующему: \(\displaystyle \frac{1}{x}\ge 0\Rightarrow x>0\)

\(\displaystyle y<10\Rightarrow 4x+\frac{7}{x}<10\Rightarrow \frac{4{{x}^{2}}-10x+7}{x}<0\)

\(\displaystyle 4{{x}^{2}}-10x+7>0\) при всех \(\displaystyle x\), так как \(\displaystyle D=100-4\cdot 4\cdot 7=-12<0\).

Значит, неравенство равносильно следующему: \(\displaystyle \frac{1}{x}<0\Rightarrow x<0\).

Итак, неравенство оказывается равносильно совокупности:

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y\ge -16;\\y<8;\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y\ge 9;\\y<10;\end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x\in \left[ -\frac{7}{2};-\frac{1}{2} \right]\cup \left( 0;+\infty  \right)\\x<0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x>0\\x<0\end{array} \right.\end{array} \right.\Rightarrow x\in \left[ -\frac{7}{2};-\frac{1}{2} \right].\)

Ответ: \(\displaystyle \left[ -\frac{7}{2};-\frac{1}{2} \right]\).

Замена переменных – один из важнейших методов решения уравнений и неравенств.

Напоследок дам тебе пару важных советов:1. Замену переменных нужно делать сразу и при первой же возможности.

2. Уравнение (неравенство) относительно новой переменно необходимо решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

Успехов!

Проверь себя — реши задачи на замену переменных.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *