Арифметическая прогрессия. Средний уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018

Числовая последовательность

Давай сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например:  

Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно. Но всегда можно сказать, какое из них первое, какое – второе и так далее, то есть, можем их пронумеровать. Это и есть пример числовой последовательности.

Числовая последовательность – это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Другими словами, каждому числу можно поставить в соответствие некое натуральное число, причем единственное. И этот номер мы не присвоим больше никакому другому числу из данного множества.

Число с номером   называется  -ым членом последовательности.

Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например,  ), и каждый член этой последовательности – той же буквой с индексом, равным номеру этого члена:  .

Очень удобно, если  -ый член последовательности можно задать какой-нибудь формулой. Например, формула

 

задает последовательность:  

А формула   – такую последовательность:  

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия – это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа, называемого разностью арифметической прогрессии.

Например, арифметической прогрессией является последовательность   (первый член здесь равен  , а разность  ). Или   ( , разность  ).

Формула n-го члена

Рекуррентной мы называем такую формулу, в которой чтобы узнать  -ый член, нужно знать предыдущий или несколько предыдущих:

 

Чтобы найти по такой формуле, например,  -ый член прогрессии, нам придется вычислить предыдущие девять. Например, пусть  . Тогда:

 ;

 ;

… (дальше посчитай сам)

 

Слишком долго считать, поэтому давай попробуем придумать формулу поудобнее. Итак,

 

Ну что, ясно теперь какая формула?

В каждой строке мы к   прибавляем  , умноженное на какое-то число. На какое? Очень просто: это номер текущего члена минус  :

 

Теперь намного удобнее, правда? Проверяем:

 .

Реши сам:

В арифметической прогрессии   найти формулу n-го члена и найти сотый член.

Решение:

Первый член равен  . А чему равна разность? А вот чему:

 

(она ведь потому и называется разностью, что равна разности последовательных членов прогрессии).

Итак, формула:

 

Тогда сотый член равен:

 .

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Чему равна сумма всех натуральных чисел от   до  ?

По легенде, великий математик Карл Гаусс, будучи 9-летним мальчиком, посчитал эту сумму за несколько минут. Он заметил, что сумма первого и последнего числа равна  , сумма второго и предпоследнего – тоже  , сумма третьего и 3-го с конца – тоже  , и так далее. Сколько всего наберется таких пар? Правильно, ровно половина количества всех чисел, то есть  . Итак,

 

 

Общая формула для суммы первых   членов любой арифметической прогрессии будет такой:

 

В некоторых задачах нам неизвестен  -й член, но известна разность прогрессии. Тогда нужно подставить сюда формулу n-го члена  . Что получилось?

 

Пример:
Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных  .

Решение:

Первое такое число – это  . Каждое следующее получается добавлением к предыдущему числа  . Таким образом, интересующие нас числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом   и разностью  .

Формула  -го члена для этой прогрессии:

 

Сколько членов в прогрессии, если все они должны быть двузначными?

Очень легко:  .

Последний член прогрессии будет равен  . Тогда сумма:

 .

Ответ:  .

Теперь реши сам:

  1. Ежедневно спортсмен пробегает на   м больше, чем в предыдущий день. Сколько всего километров он пробежит за   недели, если в первый день он пробежал   км   м?
  2. Велосипедист проезжает каждый день на   км больше, чем в предыдущий. В первый день он проехал   км. Сколько дней ему надо ехать, чтобы преодолеть   км? Сколько километров он проедет за последний день пути?
  3. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одну и ту же сумму. Определите, на сколько каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за   рублей, через шесть лет был продан за   рублей.

Ответы:

  1. Здесь самое главное – распознать арифметическую прогрессию, и определить ее параметры. В данном случае,  ,  ,   (  недели =   дней). Определить нужно сумму первых   членов этой прогрессии:
     .
    Ответ:  
  2. Здесь дано:  , надо найти  .
    Очевидно, нужно использовать ту же формулу суммы, что и в предыдущей задаче:
     .
    Подставляем значения:
     
    Корень  , очевидно, не подходит, значит, ответ  .
    Посчитаем путь, пройденный за последний день с помощью формулы  -го члена:
      (км).
    Ответ:  
  3. Дано:  . Найти:  .
    Проще не бывает:
      (руб).
    Ответ:  

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть