Двугранный угол. Коротко о главном.

Двугранный угол – это фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой.

Угол между плоскостями – наименьший из двугранных углов, образованных при пересечении плоскостей.Двугранный угол может быть и острым ,и тупым, а угол между плоскостями только острым! НЕ ПУТАЙ!

Двугранный угол измеряется величиной своего линейного угла. Чтобы найти величину двугранного угла или угла между плоскостями, нужно построить линейный угол и найти величину этого линейного угла.

Прямой двугранный угол – двугранный угол, который равен  , то есть тот, у которого линейный угол равен  .

Два способа найти угол между плоскостями:

При геометрическом способе нужно сначала построить угол двугранного угла, а потом искать этот линейный угол с помощью знаний из планиметрии.

Алгебраический способ – это применение метода координат – там есть формула для нахождения угла между плоскостями.

Двугранный угол – это фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой.

Вот так:

При этом прямая   – это ребро двугранного угла, а полуплоскости   и   - стороны или грани двугранного угла.

Двугранный угол получает обозначение по своему ребру: «двугранный угол  ».

С понятием двугранного угла тесно связано понятия: угол между плоскостями.

Угол между плоскостями – наименьший из двугранных углов, образованных при пересечении плоскостей.

Итак, внимание! Различие между двугранным углом и углом между плоскостями в том, что:

Двугранный угол может быть и острым, и тупым, а угол между плоскостями только острым! НЕ ПУТАЙ!

Линейный угол двугранного угла.

Как измерить двугранный угол?

Нужно поступить так: из произвольной точки на ребре двугранного угла провести в каждой плоскости по перпендикуляру к этому ребру.

Смотри:

В плоскости   провели перпендикуляр   к ребру  . Что получилось? Обычный, плоский угол  . Вот этот угол и называется: линейный угол двугранного угла  .

Зачем этот линейный угол? Запомни, это очень ВАЖНО:

Двугранный угол измеряется величиной своего линейного угла.

То есть математически договорились, что если угол φ будет равен, к примеру  , то это будет автоматически означать, что угол   равен  .

Вот и ключ к поиску величины двугранного угла и угла между плоскостями:

Чтобы найти величину двугранного угла или угла между плоскостями, нужно построить линейный угол и найти величину этого линейного угла.

Ещё раз немного о названиях.

Прямой двугранный угол – двугранный угол, который равен  , то есть тот, у которого линейный угол равен  .

Как найти угол между плоскостями.

Найти угол между плоскостями (можно двумя способами: геометрическим и алгебраическим).

При геометрическом способе нужно сначала построить угол двугранного угла, а потом искать этот линейный угол с помощью знаний из планиметрии.

Алгебраический способ – это применение метода координат – там есть формула для нахождения угла между плоскостями.

Вот такая:

Здесь   - коэффициенты уравнений плоскостей   и   соответственно.

 :  

 :  .

Какой же способ лучше? Зависит от задачи. Если нужно найти, скажем, двугранный угол при основании правильной , то проще использовать геометрический способ, а если линейный угол двугранного угла никак не хочет проходить ни через какие удобные точки, то можно использовать метод координат как палочку выручалочку. Но тогда нужно очень твёрдо знать формулы и не делать арифметических ошибок при многочисленных подсчётах – ведь придётся искать  , а потом ещё и  .

Давай разберём несложную задачу для примера. Мы применим оба метода. А в твоих задачах выбор за тобой!

Задача 1.

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро в три раза больше ребра основания. Найти двугранный угол при основании пирамиды.

Решаем геометрически:

Пусть   – середина  , а стороны  ,   и   равна  .   –равнобедренный,   - правильный (это всё от того, что пирамида правильная). Поэтому   и   (медианы   и   являются также и высотами). Значит   – линейный угол двугранного угла  .

Осталось его найти.

  (теорема Пифагора для  )

 

(теорема Пифагора для  )

 

(это теорема Пифагора для  ).

Итак,  

Ответ:  .

Теперь решаем с помощью метода координат:

Введём систему координат с центром в центре основания,  ;   вдоль  ,   - вдоль высоты пирамиды. Тогда плоскость   имеет уравнение  , то есть  ,  ,  .

Найдём уравнение плоскости  .

Точка   имеет координаты  , так как   – радиус описанной окружности  . Точка   имеет координаты  . Точка   имеет координаты  

 ,

То есть  .

Ищем уравнение плоскости:

 

 

 

Можно считать, что   так как  .

Тогда  ;  ;  .

 

 

По – моему здесь геометрический способ проще!

Ответ: