Формулы тригонометрии. Средний уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018

И снова тригонометрия! Однако, здесь я уже буду рассматривать более «навороченные» формулы, которые используются для решения более сложных задач, нежели те, что мы с тобой рассмотрели в предыдущей статье "Формулы тригонометрии. Подробная теория для начального уровня". Я сразу оговорюсь, что в части С современного ЕГЭ нет задач, которые бы звучали как «упростите выражение…». Это звучало бы слишком банально, не так ли? Но неявно эти формулы могут использоваться, скажем, при упрощении тригонометрических уравнений. А вот такие задания – основа С1. Поэтому будь внимателен, в некоторых (не очень тривиальных) случаях, следующие формулы помогут тебе выйти из затруднительной ситуации.

Первая группа формул является универсальной: она позволяет перейти от любого тригонометрического выражения к рациональному. Это, конечно, имеет важное приложение при решении уравнений, но здесь мы рассмотрим, как эти формулы помогают при упрощении тригонометрических выражений.

Формулы понижения степени:

  1.  
  2.  
  3.  

Универсальная тригонометрическая подстановка:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

В чем прелесть этих формул? Первые две позволяют «убрать степени», то есть понизить порядок выражения (или повысить, за счёт снижения кратности угла), вторая группа формул позволяет свести любое тригонометрическое выражение к виду, зависящему только от тангенсов! Иногда это единственный способ решить ту или иную задачу. Перейдём к примерам.

  1. Доказать тождество:

     

    С виду тождество угрожающе! Но разберёмся по порядку. Формулы понижения степени, конечно, если их прочитать задом наперёд повышают степень! И вообще, приглядись внимательно: первые две формулы есть ничто иное, как косинус двойного угла, записанный в несколько странной форме! Вот и распишем по правилам:
     
    Тебе ничего по форме не напоминают числитель и знаменатель дроби? Приглядись внимательно, здесь «зарыта» хорошо известная тебе формула. Увидел её? Это же квадрат разности и квадрат суммы!

     

    А выражение в скобках есть ничто иное, как  , окончательно получим:

     

    Тождество доказано!
    Следующий пример очень схож с предыдущим, постарайся решить его самостоятельно:

  2. Доказать тождество:

     

    Решение (хотя может и отличаться от твоего)
    Опять «повысим степень» у косинуса:  
     
    Надо сокращать дальше! Что делать? Ясно, что надо избавляться от двойных углов у синуса. Действуем по формуле синуса двойного угла и сокращаем двойки:
     
    Числитель раскладывается на множители. Знаменатель –пока нет. До тех пор, пока мы не применим основное тригонометрическое тождество:

     

     
    Вот ещё один пример, но не такой простой:

  3. Доказать, что если  , то  
    Зачем нам дан угол? Наверное, чтобы оценить выражения: синус  будет положительным,  
    Тогда и левая, и правая части тождества больше нуля.
    Это даёт мне право без задней мысли возвести их в квадрат:
      – вот такое тождество нам нужно теперь доказать.
    Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности!
     
    Я не сомневаюсь в твоей грамотности и поэтому даже не упоминаю про использованные мною формулы в выкладках. Теперь надо бы убрать корень из косинуса. Но мы знаем, что просто так это делать нельзя, ибо  . В то же время вспоминаем про четверть: наш угол лежит в первой четверти, тогда косинус имеет знак «плюс» и мы просто убираем корень:  
    Тогда нам надо доказать, что
     
     
    Справа применим формулу понижения степени:
     ,тогда

     

    Тождество доказано!

Конечно, можно привести ещё массу примеров, где применяются формулы понижения степени, ты их и сам без труда отыщешь. Я не буду приводить примеры на основную тригонометрическую подстановку, так как она выполняет несколько иную роль – роль «универсального решателя» уравнений. Так что мы к ней ещё непременно вернёмся, когда будем решать тригонометрические уравнения.

Теперь вторая (и заключительная в этом обзоре) группа формул – формулы преобразования произведения в сумму и суммы в произведение:

Формулы преобразования суммы функций

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

Иногда бывают полезны и обратные преобразования:

Формулы преобразования произведений функций

  1.  
  2.  
  3.  

Сразу же рассмотрим примеры:

  1. Доказать тождество:

     

    Давай не будем долго думать, а как говорится, пойдём в лобовую атаку: в числителе и знаменателе перейдём от суммы к произведению:
     
    И минуты не прошло, а пример уже решён!
    Теперь попробуй сам.

  2. Доказать тождество:

     

    Решение - опять лобовая атака:
     
    Так как синус - функция нечётная, а косинус - чётная, то:

     

  3. Этот пример чуть похитрее, будь внимателен!
    Доказать тождество:

     

    Я не хочу трогать синус двойного угла. Уж больно он удобно раскладывается на множители. Чего не скажешь о синусе тройного и тем более пятикратного угла. Поэтому я сверну в произведение последние 2 слагаемых в числителе:
     
    Конечно, теперь можно было бы и свернуть числитель ещё раз, но я пойду иным путём. В знаменателе у меня тоже спрятана формула, вот она:  . Что это за формула? Это косинус двойного угла!
     
     
    Тождество доказано!

  4. Теперь попробуй решить вот этот пример для закрепления пройденного материала.
    Доказать тождество:

     

    Проверяем!

     

    C другой стороны:

     

    Тождество доказано!

На этом примере я буду закругляться потихоньку. Сразу оговорюсь: не переживай и не волнуйся, если у тебя что-то сразу не выходит. Тригонометрия – сложная и очень обширная тема. Здесь все зависит не только от знания формул, но и от мастерства и смекалки. На их выработку тебе понадобится время и усердие. Более того скажу тебе вот что: изначально я хотел вставить другой пример в качестве заключительного. Однако на его решение мне понадобилось около 20 минут, причём я использовал ещё более сложную методику его решения. Так что не только ты сталкиваешься с трудностями при решении примеров, трудности бывают у всех! Все-таки я приведу здесь этот трудный пример, вдруг да и получится у тебя решить его, может, я что-то упустил. Вот он:

Упростить:  

А вот какой у меня получился в итоге ответ:  

Дерзай!

В следующей же статье я рассмотрю его решение, но прибегу к ещё более изощрённой технике нежели та, что рассматривалась здесь! Удачи!

Комментарии

Mr_Pod
08 ноября 2017

В примере #3 (тот, что внизу) либо опечатка (перед квадратом синуса двойного угла пропущена двойка), либо решение не то (не получается там косинус двойного угла).

ответить

Алексей Шевчук
28 ноября 2017

Спасибо, ошибка исправлена.

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть