Формулы тригонометрии. Продвинутый уровень.

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Пройди программу подготовки к ОГЭ Пройди программу подготовки к ЕГЭ

В дополнение к уже изложенному материалу, я бы хотел рассмотреть (довольно кратко) еще небольшую группку формул, которая осталась «за бортом». Эти формулы – некоторое обобщение уже рассмотренных ранее формул понижения степени. Но вот понижаемые степени у них повыше:

 

 

Из данных формул можно в частности вывести формулы тройного угла:

 

 

 

 

Ты мне можешь задать резонный вопрос: как часто эти формулы используются? Я отвечу: постарайся избегать прибегать к ним. Они нужны на тот случай, когда ничего другого уже не можешь придумать. В частности, они могут быть полезными при решении сложных уравнений, которые встречаются во вступительных экзаменах на математические специальности. Однако уравнениям у нас будет посвящена отдельная статья, так что здесь я рассмотрю случаи, когда данные формулы позволяют упрощать тригонометрические выражения.

Пример 1: упростить:  

Подставим вместо   и   их представления согласно формулам тройного угла, тогда:

 

Теперь вынесем в оставшемся выражении общий множитель за скобки:

 

По формулам двойного угла:  ,  :

 

Ну а здесь снова спрятан синус двойного угла:

 

Ответ:  

Следующий пример попробуй решить самостоятельно. Не уверен, что в нем обязательно использовать формулу тройного угла, но можно сделать и с ее помощью:

Пример: упростить:  

Решение: моя цель, свести числитель дроби к выражению, зависящему только от синусов одиночного угла. Для этого я преобразую

 

 

Имеем:

 

Казалось бы, стало еще хуже. Но это так кажется. Давай для удобства вычислений заменим  , тогда мне надо упростить дробь

 

Нижнее выражение разложим на множители:

 

С верхним фокус сложнее. Мы не умеем с тобой решать кубические уравнения. Но мы хорошо играем в «угадайку». Угадай-ка один корень уравнения  . Угадал? Я угадал  . Тогда по теореме Безу (которую ты, быть может, знаешь, а если не знаешь, то без проблем отыщешь сам) выражение   делится без остатка на  

Разделим столбиком   на  . Я получу:

 

В свою очередь  

Окончательно получим:

 

Тогда исходное выражение можно упростить до:  

В завершение я приведу тебе пример одного уравнения, которое было предложено на психологический (???!!!!) факультет одного из ВУЗов в 1990 году. Такие задачи называются задачи-гробы (никакая смекалка без знания конкретной формулы не позволит их решить):

Решить уравнение:

 

Не сделав вот такую странную замену:   решить его очень сложно. А с такой заменой у нас получится вот что:

 

 

 

 

 

А вот ради чего весь этот сыр-бор:  

 

Это уравнение уже несказанно легче решается. Скоро мы вместе в этом убедимся. Но тут проблема в обратной замене… Тем не менее, эта задача почти нерешаема без знания формулы тангенса тройного угла. Вот так вот.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2017 Пройти пробный ОГЭ 2017

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Хотите открыть все скрытые тексты в учебнике? Приобретите подписку и тексты будут открыты до даты экзамена. Стоимость подписки 499 руб

Купить подписку