Формулы тригонометрии. Продвинутый уровень.

Основные формулы:

  • Основное тригонометрическое тождество (нужно его помнить, даже если тебя разбудили среди ночи и спросили!)
     
  • Выражение тангенса через синус и косинус (по сути альтернативное определение тангенса)
     
  • Выражение котангенса через синус и косинус или через тангенс (по сути альтернативное определение котангенса)
     
  • Синус суммы и разности:
     
  • Косинус суммы и разности:
     
  • Тангенс суммы и разности:
     

Формулы понижения степени:

Данная группа формул позволяет перейти от любого тригонометрического выражения к рациональному.

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Формулы преобразования суммы функций

Данная группа формул позволяет преобразовать произведение в сумму и сумму в произведение.

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Формулы преобразования произведений функций

  •  
  •  
  •  

Привет!

Сегодня мы с тобой разберем ряд полезных формул тригонометрии, которые без труда позволят тебе решать большинство задачек на тригонометрию в части B в ЕГЭ.

Эти задачки будут в основном связаны с упрощением некоторых изначально “страшных” выражений до милого и приятного вида, для того, чтобы потом ты мог вычислить значение выражения в некоторой заданной точке.

Конечно, ты можешь возразить мне, что можно и без всякого упрощения все посчитать. Ну что мне сказать, можно!

Я бы с удовольствием посмотрел на тебя, как ты посчитаешь значение, скажем выражения:

 

при  . Не думаю, что у тебя выйдет что-то путное за вменяемое время, ты уж меня извини. Тут тебя может спасти только знание формул тригонометрии. Так что к их изучению мы и приступим.

Как ты уже понял, тригонометрические выражения – это выражения, в котором переменная содержится под знаком тригонометрических функций. Стоп! Вот прямо здесь мы и остановимся! Я задам тебе вопрос: какие тригонометрические функции ты знаешь? Верно! Их всего четыре!

  1. Синус  
  2. Косинус  
  3. Тангенс  
  4. Котангенс  

Хотя, положа руку на сердце, я скажу тебе, что знание последней не так уж и обязательно (хотя желательно!), поскольку она легко выражается через тангенс.

Да и сам тангенс, по сути – тоже лишь тригонометрическое выражение, зависящее от синуса и косинуса.

Таким образом, у нас есть две основные тригонометрические функции – синус и косинус и две «второстепенные» - тангенс и котангенс.

Я не буду сейчас определять, что такое синус и косинус, ты и так это уже знаешь из предыдущих разделов. Я лишь скажу пару слов про важность этих понятий.

Итак, пара слов: первые зачатки тригонометрии возникли более 3 тысяч лет назад. Я думаю, что тебе очевидно, что тогда люди не занимались «формулами ради формул».

Так что тригонометрические функции имеют полезные практические свойства. Я не буду их перечислять. Если тебе интересно, ты всегда можешь найти море информации в интернете. Сейчас я приведу тебе некоторые основные соотношения между тригонометрическими величинами, которые оказываются полезными при решении задач.

Формулы тригонометрии (основа)

  1. Основное тригонометрическое тождество (нужно его помнить, даже если тебя разбудили среди ночи и спросили!)
     
  2. Выражение тангенса через синус и косинус (по сути альтернативное определение тангенса)
     
  3. Выражение котангенса через синус и косинус или через тангенс (по сути альтернативное определение котангенса)
     
  4. Первое следствие формулы 1:
     
  5. Второе следствие формулы 1:
     
  6. Третье следствие формулы 1:
     
  7. Четвертое следствие формулы 1:
     

Уже получилось 7 формул! К сожалению, это еще далеко не предел. Совсем не предел.

Тем не менее последние 4 формулы есть ни что иное, как простое следствие первой. В самом деле, ты заметил, почему это так?

Формула 4 получается делением обеих частей формулы 1 на   и применением формулы 2.

Формула 5 получается аналогично: разделим обе части формулы 1 на   и вместо выражения   запишем  , исходя из определения 3. Формулы 1 – 5 мы трактуем вполне однозначно. Чего нельзя сказать про формулы 6 и 7.

В чем «фишка» формул 6 и 7? Их особенность заключается в знаке  , который стоит перед корнем.

Как это понимать? А понимать надо так: в некоторых случаях мы ставим плюс, а в некоторых – минус. Теперь у тебя должен возникнуть вопрос: в каких-таких «некоторых случаях»? Туманность этой формулировки снимается следующим правилом:

  • Если в формуле

     

    Угол   таков, что  , то ставим знак «минус», иначе – «плюс».

  • Если в формуле

     

    Угол   таков, что  , то ставим знак «минус», иначе – «плюс».

Есть опять некий «запутанный» момент в правиле, не так ли? В чем осталось разобраться?

Осталось понять, как связан угол со знаком тригонометрической функции. Ответом на этот вопрос (если ты, конечно, забыл) служат следующие картинки:

Они подскажут тебе, какой нужно выбирать знак для той или иной функции, так что ты не допустишь досадной ошибки.

К тому же это избавит тебя от мучительных размышлений по поводу того «а зачем в этом примере нужен этот угол?!».

Тебе не кажется, что пришла пора мне уже перейти от теории к некоторой практике? Давай начнем!

  1. Най­ди­те  , если   и  .
  2. Най­ди­те  , если   и  .
  3. Най­ди­те   если   и  .
  4. Най­ди­те  , если   и  .

Ну что же, давай разбираться:

1. Так как  , то подставим сюда значение , тогда  

 

Теперь дело за малым: разобраться со знаком. Что нам для этого нужно? Знать, в какой четверти находится наш угол.

По условию задачи: . Смотри на картинку. Какая это четверть? Четвертая.

Каков знак косинуса в четвертой четверти? На картинке стоит знак «плюс», значит косинус в четвертой четверти положительный.

Тогда нам остается выбрать знак «плюс» перед  .  , тогда  .

Ответ:  .

Ну вот видишь, ничего сложного. Абсолютно ничего. Нужно лишь запомнить знаки синуса, косинуса и тангенса (котангенса) по четвертям. Ну а как это делать автоматически описано в статье, посвященной тригонометрической окружности.

Давай разберем оставшиеся примеры.

2. Так как  , то все, что нам нужно – это подставить   в нашу формулу. Что мы с тобой и сделаем:

 .

Опять нужно определиться со знаком. Смотрим на рисунок. Четверть – снова четвертая. Знак синуса четвертой четверти – отрицательный. Ставим знак «минус».  , тогда  .

Ответ:  .

3. Ничего нового. Скорее для закрепления. Снова подставляем в формулу   значение  :

 .

Смотрим на знак косинуса при  . Какая это четверть? Вторая. Косинус второй четверти отрицательный. Тогда выбираем знак «минус».

Ответ:  .

4. Здесь перед нами стоит задачка чуть сложнее. Однако, не стоит огорчаться. Давай вспомним, что такое тангенс. Это ведь отношение синуса к косинусу. Синус нам уже дан.

Давай вначале найдем косинус. Как это сделать, ты уже знаешь.  .

Так как   (это угол в третьей четверти, а косинус в третьей четверти имеет знак «минус»), то  .

Теперь все, что нам осталось, это воспользоваться определением тангенса:

 

Ответ:  .

Уф, выдохнули! Ну вот мы с тобой решили некоторые (довольно типичные и распространенные) примеры. Ты спросишь: «и что, это все?». Я отвечу, увы нет. Это далеко не все.

Далее нам потребуются более сложные формулы тригонометрии.

Формулы тригонометрии – 2 (более сложные).

  1. Синус суммы и разности:
     
  2. Косинус суммы и разности:
     
  3. Тангенс суммы и разности:
     
  4. Синус двойного угла (следствие формулы 1)
     
  5. Косинус двойного угла (следствие формулы 2)
     
     
  6. Тангенс двойного угла:
     

Как распознать, что тебе требуются именно эти, а не какие-нибудь другие формулы?

Очень просто: если ты видишь косинус, синус, тангенс от суммы двух углов или двойных углов, то это должно служить тебе индикатором – мне нужно применить одну из формул для суммы/разности или для двойного угла.

Звучит несколько путано? Давай посмотрим на примеры. Заодно я дам еще ряд важных комментариев.

1.  

2.  

3.  

4. Най­ди­те  , если  

5. Най­ди­те  , если  

6. Най­ди­те  , если   и  .

7. Най­ди­те  , если  .

8. Най­ди­те  , если  

9. Най­ди­те  , если  .

Список этих заданий можно продолжать бесконечно… Но я выбрал здесь а) не самые сложные формулы б) не самые «страшные» углы. Страшные углы я припас нам напоследок.

А пока что давай решать эти примеры.

Кстати, здесь тебе понадобится знание также тех формул, которые я привел в самом начале. Поехали!

 

1.  

Ни ты, ни я не знаем, чему в точности равен синус или косинус   градусов, и чему равен синус   градусов. Но что мы должны заметить? Верно!  . Значит, снизу записан синус двойного угла! Тогда применим формулу синуса двойного угла:

 

Подставим это значение в знаменатель нашей дроби и сократим!

 .

 

Ответ:  .

Ну вот, ничего страшного не случилось? Пример решился в одну строчку с применением одной единственной формулы. Другое дело, иногда не совсем очевидно, какую из формул применять. Тут тебе нужен опыт. Нужно, как говорится, «набить руку» на таких примерах.

 

2.  

 

Опять-таки, сразу можно заметить, что  .   градуса стоит в косинусе. Это говорит о том, что в примере спрятан косинус двойного угла. Вспомним его определение:

 

Что же у нас есть в числителе? А там все наоборот: синус в квадрате вычитается из косинуса в квадрате. Тогда в числителе у нас написана формула чего? Да все того же косинуса двойного угла, только «наоборот», со знаком «минус»!

 

 .

Тогда получим:

 .

 

 

Ответ:  .

 

3.  

Здесь нет ничего сложного, абсолютно ничего! Но есть одно «но!».

Это «но» заключается в том, что тебе нужно помнить таблицу значений тригонометрических функций для углов хотя бы первой четверти! Я сейчас нарисую здесь эту таблицу, а потом объясню тебе, как сделать ее запоминание проще:

Или ее расширенный вариант для всех «основных углов»:

Я ни в коей мере не настаиваю (и даже не надеюсь), что ты выучишь вторую таблицу. Сказать по-правде, я и сам ее не знаю.

Но первую таблицу знать совершенно необходимо. Не всегда на экзамене у тебя будет время, чтобы вывести самостоятельно, скажем, синус   градусов.

Для того, чтобы запомнить первую таблицу можно поступить так:

Запомнить всего 5 значений для, скажем, синуса. Затем тебе не составит труда заметить, что для косинуса все значения идут «наоборот»:

  • Например, синус   градусов равен нулю значит, косинус   градусов - наоборот единица.
  • Синус   градусов равен единице, значит косинус   градусов равен нулю.
  • Синус   градусов равен  , значит косинус   градусов равен   и т. д.

Тангенс можно получить, разделив синус угла на косинус. Как же всегда вывести большую таблицу, зная малую, я тебе непременно расскажу чуть позднее.

 

Но давай вернемся к нашему примеру и посмотрим в таблицу:

 ,  . Подставим эти значения в нашу формулу:

 .

Ответ:  

Вот видишь, знание первой таблицы совершенно необходимо! Без нее – вообще нет никакой тригонометрии. Так что, пожалуйста, будь добр, выучи.

Это не потребует от тебя значительных усилий и избавит от массы глупых ошибок в будущем. Еще раз специально скажу: большую таблицу учить не надо!!!

 

4. По условию  , нам же надо найти  . Что тогда надо сделать?

Верно, наша цель – выразить косинус двойного угла через угол «одинарный». Есть ли такая формула? Конечно, есть! Вот она:

 

 

Тогда  

 

 

 

Ответ:  

5.   - это то, что надо вычислить, а   - это то, что есть.

Ну что же, надо отталкиваться от того, что есть. Вроде бы этого должно быть достаточно. Здесь все опять несложно!

 

Нужно лишь заметить, что  . Давай это и подставим в числитель исходной дроби. Что же мы имеем?

О чудо: косинусы сократились, а чему равен   мы знаем из условия!

 

 

 

Ответ:  .

 

6.  - то, что нужно найти, а   и   - то, что мы имеем.

На самом деле здесь можно поступать двояко. Но о втором способе я скажу тебе чуть позже. А пока давай подумаем, что нужно найти.

А найти нужно по сути косинус от суммы двух углов. Причем один из них известен. Давай не будем долго думать и разложим косинус суммы на произведение:

 

 

Вспомни единичную окружность (ну или на худой конец посмотри в расширенную таблицу). Косинус углов:   равен нулю! Тогда  , а синусы:   равны при этом   и   соответственно. Тогда  . Окончательно получим:

 

Но вот незадача: синус-то нам не дан! Вместо него мы знаем, что   и  . Как по этим данным найти неизвестный синус – ты уже знаешь! Мы в самом начале решали такие задачки. Так что результат будет таков:

 .

Снова нужно определиться со знаком: . Это значит, что четверть четвертая, а синус в четвертой четверти имеет знак «минус». Тогда  , что значит, что  .

 

 

Ответ:  .

7. Нужно найти:  , а дано:  .

Тут все можно сделать только зная, что такое тангенс и основное тригонометрическое тождество. По-порядку:

 

 ,
 

Тогда решить задачу можно вот как: найти по-отдельности значения синуса в квадрате и косинуса в квадрате, а затем при помощи полученных значений найти тангенс. Так мы с тобой и сделаем:

Вначале найдем синус в квадрате.

Так как  , то

 

 

 

 

 

Тогда из  , получим, что  

Наконец, найдем тангенс:

 

 

 

Ответ:  

 

8. Надо найти  , зная, что  . На какую мысль тебя это должно было натолкнуть?

А на ту, что если нам дан тангенс, то и наше выражение нужно привести к такому виду, чтобы оно зависело от тангенсов, которые мы потом в него и подставим. Напомню тебе, что

 

 

У меня же в выражении есть просто косинусы и синусы. Что нам нужно сделать? Давай возьмем и «насильно» разделим числитель и знаменатель дроби на  . Это поможет мне «выделить» тангенс в чистом виде:

 .

Конечно, есть одна неприятность: у нас появились дроби с косинусами. Но есть надежда, что мы с ними справимся! А пока что давай подставим вместо   его числовое значение  . Тогда получим:

 

Ну вот! Косинусы сократятся и мы получим ответ:  .

 

 

Ответ:  .

 

9. Нужно найти , если дано  .

Давай опять проанализируем, что нам нужно вычислить: искомая формула состоит из разности косинуса от суммы двух углов и синуса от суммы двух углов.

Давай упрощать: раскроем каждую из сумм (опять-таки повторюсь, что далее я опишу способ, который позволит обходиться без раскрытия такого рода сумм):

 

 

Опять-таки, тебе должно быть известно, что  .

Если тебе это неизвестно, то настоятельно рекомендую тебе повторить тему тригонометрическая окружность.

Тогда моя формула примет вид:

 

Теперь с синусом:

 .

Снова, грамотные люди, такие как ты, вспоминают окружность (или, на худой конец, таблицу):  , тогда

 

Нам осталось подставить найденные значения в исходную формулу:

 

 

 

Ответ:  .

 

Формулы приведения

Теперь мы знаем уже почти что все. Осталось совсем немного. Последнее, на что я хочу обратить внимание, это обещанный мною метод «легкого» перехода от большой таблицы значений углов к маленькой.

Этот переход обеспечивают так называемые формулы приведения. Еще раз поясню, зачем они используются: ты будешь их применять в том случае, когда тебе нужно найти синус, косинус или тангенс угла, большего чем   градусов.

Например, найти синус угла   градусов.

Здесь мы поступаем следующим образом. Во-первых, нам понадобятся следующие знания:

  1. Синус и косинус имеют период   (  градусов), то есть

     
     

    Тангенс (котангенс) имеют период   (  градусов)

     
     
      – любое целое число

  2. Синус и тангенс – функции нечетные, а косинус – четная:

     
     
     

Теперь непосредственно сам алгоритм:

  1. Если мы вычисляем значение тригонометрической функции от отрицательного угла – делаем его положительным при помощи группы формул (2). Например:

     

  2. Отбрасываем для синуса и косинуса его периоды:   (по   градусов), а для тангенса – "половинки"   (  градусов). Например:

       

  3. Если оставшийся «уголок» меньше   градусов, то задача решена: ищем его в «малой таблице»
  4. Иначе ищем, в какой четверти лежит наш угол  : это будет 2, 3 или 4 четверть. Смотрим, какой знак имеет искомая функция в четверти. Запомнили этот знак!!!
  5. Представляем угол   в одной из следующих форм

      (если во второй четверти)
      (если во второй четверти)
      (если в третьей четверти)
      (если в третьей четверти)
      (если в четвертой четверти)
      (если в четвертой четверти)

    так, чтобы оставшийся угол   был больше нуля и меньше   градусов. Например:

     
     
     
     
     
    ...

    В принципе не важно, в какой из двух альтернативных форм для каждой четверти ты представишь угол. На конечном результате это не скажется.

  6. Теперь смотрим, что у нас получилось: если ты выбрал запись через   или   градусов плюс минус что-либо, то знак функции меняться не будет: ты просто убираешь   или   и записываешь синус, косинус или тангенс оставшегося угла. Если же ты выбрал запись через   или   градусов, то синус меняем на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс – на тангенс.
  7. Ставим перед получившимся выражением знак из пункта 4.

Давай продемонстрируем все вышесказанное на примерах:

  1. Вычислить  
  2. Вычислить  
  3. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния:  

Начнем по порядку:

1. Действуем согласно нашему алгоритму. Выделяем целое число кругов для  :

 

В общем, делаем вывод, что в угол   помещается целиком 5 раз по  , а сколько осталось? Осталось  . Тогда

 

Ну вот, лишнее мы отбросили. Теперь разбираемся со знаком.

 

  лежит в 4 четверти. Синус четвертой четверти имеет знак «минус», его я и не должен забыть поставить в ответе. Далее, представляем   согласно одной из двух формул пункта 5 правил приведения. Я выберу:  

 

Теперь смотрим, что получилось: у нас случай с   градусами, тогда отбрасываем   и синус меняем на косинус. И ставим перед ним знак «минус»!

 

  градусов – угол в первой четверти. Мы знаем (ты мне обещал выучить малую таблицу!!) его значение:

 

Тогда получим окончательный ответ:

 

 

 

Ответ:  

  все то же самое, но вместо градусов – радианы. Ничего страшного. Главное помнить, что

 

 

Но можно и не заменять радианы на градусы. Это вопрос твоего вкуса. Я не буду ничего менять. Начну опять-таки с отбрасывания целых кругов:

 

Отбрасываем   - это два целых круга. Осталось вычислить  . Данный угол находится в третьей четверти. Косинус третьей четверти отрицательный. Не забудем поставить знак «минус» в ответе.   можно представить как  . Снова вспоминаем правило: у нас случай «целого» числа   (  или  ), тогда функция не меняется:

 

Тогда  .

 

Ответ:  .

 . Нужно проделать все то же самое, но уже с двумя функциями.

 

Я буду несколько более краток:   и   градусов – углы второй четверти. Косинус второй четверти имеет знак «минус», а синус – «плюс».   можно представить как:  , а   как  , тогда

 

Оба случая – «половинки от целого  ». Тогда синус меняется на косинус, а косинус – на синус. Причем перед косинусом стоит знак «минус»:

 

 

 

Ответ:  .

Тренировка. Реши эти 10 заданий и ты научишься пользоваться формулами тригонометрии!

Ну вот, теперь на мой взгляд, ты готов к решению всех оставшихся «за бортом» задач. Страшные углы теперь тебе более не помеха. Попробуй прорешать примеры самостоятельно, а потом мы с тобой сравним результаты.

1.  

2.  

3.  

4.  

5.  

6.  

7.  

8.  

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  , если  .

10. Най­ди­те  , если   и  .

Начнем проверять вместе:

  Ключ к успеху – заметить, что:

 

 !!! Тогда, например  :

 

 – угол первой четверти. Косинус первой четверти – положительный. Поскольку мы вычитаем из   градусов, то косинус меняется на синус:

 

 

 

Ответ:  .

 Опять задача целиком на формулы приведения. Вначале....
 

 

избавимся от минуса, вынеся его перед синусом (поскольку синус – функция нечетная!!!). Затем рассмотрим углы

 

Отбрасываем целое количество кругов – то есть три круга  . Остается вычислить:  
Также поступаем и со вторым углом:

 

Удаляем целое число кругов –3 круга ( ) тогда:

 

Теперь думаем: в какой четверти лежит оставшийся угол? Он «не дотягивает» до   всего  . Тогда какая это четверть? Четвертая. Каков знак косинуса четвертой четверти? Положительный. Теперь представим  . Так как вычитаем мы из целого количества  , то знак косинуса не меняем:

 

Подставляем все полученные данные в формулу:

 

 

 

Ответ:  .

 
 

 

Стандартно: убираем минус из косинуса, пользуясь тем, что  . Осталось сосчитать косинус   градусов. Уберем целые круги:  . Тогда

 

Тогда  

 

 
Ответ:  .

 Действуем, как в предыдущем примере.

 

 

Поскольку ты помнишь, что период у тангенса –   градусов (или  ) в отличие от косинуса или синуса, у которых он в 2 раза больше, то удалим целое количество  .

 

  градусов – угол во второй четверти. Тангенс второй четверти отрицательный, тогда не забудем в конце о «минусе»!   можно записать как  . Тангенс меняется на котангенс. Окончательно получим:

 

Тогда  .

 

 

Ответ:  .

 

 Снизу у нас все хорошо – маленький уголок первой четверти. Наверху же – все плохо:

 

угол большой, надо его упростить по формулам приведения.   (я уже воздержусь тут от комментариев, тебе и так все ясно).

 .

 

Ответ:  .

 
Вся проблема, как ты понимаешь, в косинусе. Но не беда, решим.

 

Смотри, на знак нам все равно, поскольку косинус-то у нас в квадрате и знак всегда будет «плюс».То есть на четверти можно не смотреть. В то же время:

 
 

Какой формулой я воспользовался в знаменателе? Помнишь, ты обещал ее выучить и быть готовым ответить, проснувшись среди ночи?!).

 

 

Ответ:  .

  1. Пример немного похитрее.   Прежде всего заметим, что  . Тогда давай представим числитель как синус двойного угла!

     

    Тебе это ничего не напоминает? Задача в точности такая же, как в номере 1. Я тогда так и поступлю, заметив, что у меня опять:  !

     .

    Ответ:  .

  2.  
    Опять задание комбинированное! Легко увидеть и вынести за скобки общий множитель  :

     

    Как называется формула внутри скобок? Пробегись глазами по списку наших формул! Нашел? Это косинус двойного угла!

     

    И снова формулы приведения: косинус второй четверти отрицательный, так как вычитаем мы из целого числа  , то косинус не меняется:

     

    Окончательно получим:

     

    Ответ:  .

  3. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  , если  .
    У тангенса период –  , так что не задумываясь отбрасываем его:

     

    Здесь мы использовали еще и тот факт, что тангенс – функция нечетная.
     
     
    Ответ:  .

  4. Най­ди­те  , если   и  
    Вначале упростим выражение, используя формулы приведения (вначале отбросим целые круги и уберем минус):

     

    Теперь: наш оставшийся угол – во третьей четверти (посмотри на условия на угол в условии задачи!!!). Синус имеет знак минус, так как складываем мы с «половинкой от пи», то синус меняется на косинус.

     

    Теперь все как в самом начале урока. По известному синусу надо найти косинус.

     

    Так как сам угол лежит во второй четверти, а косинус второй четверти отрицательный, то выбираем знак «минус». Окончательно получим:

     .

    Ответ:  .

Ну вот, справился со всем без проблем? Очень на это надеюсь! Я думаю, что если ты еще самостоятельно порешаешь примеры из группы B11 в ЕГЭ, то скоро у тебя возникнет абсолютно ясное понимание, где и как применять ту или иную формулу тригонометрии. Здесь все зависит только от тебя и от твоего упорства.

В следующей статье по теме «формулы тригонометрии» я буду вводить более сложные и изощренные формулы, опираясь при этом на изложенные здесь результаты, не проводя уже таких детальных выкладок, как делал в этом обзоре.

И снова тригонометрия! Однако, здесь я уже буду рассматривать более «навороченные» формулы, которые используются для решения более сложных задач, нежели те, что мы с тобой рассмотрели в предыдущей статье "Формулы тригонометрии. Подробная теория для начального уровня". Я сразу оговорюсь, что в части С современного ЕГЭ нет задач, которые бы звучали как «упростите выражение…». Это звучало бы слишком банально, не так ли? Но неявно эти формулы могут использоваться, скажем, при упрощении тригонометрических уравнений. А вот такие задания – основа С1. Поэтому будь внимателен, в некоторых (не очень тривиальных) случаях, следующие формулы помогут тебе выйти из затруднительной ситуации.

Первая группа формул является универсальной: она позволяет перейти от любого тригонометрического выражения к рациональному. Это, конечно, имеет важное приложение при решении уравнений, но здесь мы рассмотрим, как эти формулы помогают при упрощении тригонометрических выражений.

Формулы понижения степени:

  1.  
  2.  
  3.  

Универсальная тригонометрическая подстановка:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

В чем прелесть этих формул? Первые две позволяют «убрать степени», то есть понизить порядок выражения (или повысить, за счёт снижения кратности угла), вторая группа формул позволяет свести любое тригонометрическое выражение к виду, зависящему только от тангенсов! Иногда это единственный способ решить ту или иную задачу. Перейдём к примерам.

  1. Доказать тождество:

     

    С виду тождество угрожающе! Но разберёмся по порядку. Формулы понижения степени, конечно, если их прочитать задом наперёд повышают степень! И вообще, приглядись внимательно: первые две формулы есть ничто иное, как косинус двойного угла, записанный в несколько странной форме! Вот и распишем по правилам:
     
    Тебе ничего по форме не напоминают числитель и знаменатель дроби? Приглядись внимательно, здесь «зарыта» хорошо известная тебе формула. Увидел её? Это же квадрат разности и квадрат суммы!

     

    А выражение в скобках есть ничто иное, как  , окончательно получим:

     

    Тождество доказано!
    Следующий пример очень схож с предыдущим, постарайся решить его самостоятельно:

  2. Доказать тождество:

     

    Решение (хотя может и отличаться от твоего)
    Опять «повысим степень» у косинуса:  
     
    Надо сокращать дальше! Что делать? Ясно, что надо избавляться от двойных углов у синуса. Действуем по формуле синуса двойного угла и сокращаем двойки:
     
    Числитель раскладывается на множители. Знаменатель –пока нет. До тех пор, пока мы не применим основное тригонометрическое тождество:

     

     
    Вот ещё один пример, но не такой простой:

  3. Доказать, что если  , то  
    Зачем нам дан угол? Наверное, чтобы оценить выражения: синус  будет положительным,  
    Тогда и левая, и правая части тождества больше нуля.
    Это даёт мне право без задней мысли возвести их в квадрат:
      – вот такое тождество нам нужно теперь доказать.
    Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности!
     
    Я не сомневаюсь в твоей грамотности и поэтому даже не упоминаю про использованные мною формулы в выкладках. Теперь надо бы убрать корень из косинуса. Но мы знаем, что просто так это делать нельзя, ибо  . В то же время вспоминаем про четверть: наш угол лежит в первой четверти, тогда косинус имеет знак «плюс» и мы просто убираем корень:  
    Тогда нам надо доказать, что
     
     
    Справа применим формулу понижения степени:
     ,тогда

     

    Тождество доказано!

Конечно, можно привести ещё массу примеров, где применяются формулы понижения степени, ты их и сам без труда отыщешь. Я не буду приводить примеры на основную тригонометрическую подстановку, так как она выполняет несколько иную роль – роль «универсального решателя» уравнений. Так что мы к ней ещё непременно вернёмся, когда будем решать тригонометрические уравнения.

Теперь вторая (и заключительная в этом обзоре) группа формул – формулы преобразования произведения в сумму и суммы в произведение:

Формулы преобразования суммы функций

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

Иногда бывают полезны и обратные преобразования:

Формулы преобразования произведений функций

  1.  
  2.  
  3.  

Сразу же рассмотрим примеры:

  1. Доказать тождество:

     

    Давай не будем долго думать, а как говорится, пойдём в лобовую атаку: в числителе и знаменателе перейдём от суммы к произведению:
     
    И минуты не прошло, а пример уже решён!
    Теперь попробуй сам.

  2. Доказать тождество:

     

    Решение - опять лобовая атака:
     
    Так как синус - функция нечётная, а косинус - чётная, то:

     

  3. Этот пример чуть похитрее, будь внимателен!
    Доказать тождество:

     

    Я не хочу трогать синус двойного угла. Уж больно он удобно раскладывается на множители. Чего не скажешь о синусе тройного и тем более пятикратного угла. Поэтому я сверну в произведение последние 2 слагаемых в числителе:
     
    Конечно, теперь можно было бы и свернуть числитель ещё раз, но я пойду иным путём. В знаменателе у меня тоже спрятана формула, вот она:  . Что это за формула? Это косинус двойного угла!
     
     
    Тождество доказано!

  4. Теперь попробуй решить вот этот пример для закрепления пройденного материала.
    Доказать тождество:

     

    Проверяем!

     

    C другой стороны:

     

    Тождество доказано!

На этом примере я буду закругляться потихоньку. Сразу оговорюсь: не переживай и не волнуйся, если у тебя что-то сразу не выходит. Тригонометрия – сложная и очень обширная тема. Здесь все зависит не только от знания формул, но и от мастерства и смекалки. На их выработку тебе понадобится время и усердие. Более того скажу тебе вот что: изначально я хотел вставить другой пример в качестве заключительного. Однако на его решение мне понадобилось около 20 минут, причём я использовал ещё более сложную методику его решения. Так что не только ты сталкиваешься с трудностями при решении примеров, трудности бывают у всех! Все-таки я приведу здесь этот трудный пример, вдруг да и получится у тебя решить его, может, я что-то упустил. Вот он:

Упростить:  

А вот какой у меня получился в итоге ответ:  

Дерзай!

В следующей же статье я рассмотрю его решение, но прибегу к ещё более изощрённой технике нежели та, что рассматривалась здесь! Удачи!

В дополнение к уже изложенному материалу, я бы хотел рассмотреть (довольно кратко) еще небольшую группку формул, которая осталась «за бортом». Эти формулы – некоторое обобщение уже рассмотренных ранее формул понижения степени. Но вот понижаемые степени у них повыше:

 

 

Из данных формул можно в частности вывести формулы тройного угла:

 

 

 

 

Ты мне можешь задать резонный вопрос: как часто эти формулы используются? Я отвечу: постарайся избегать прибегать к ним. Они нужны на тот случай, когда ничего другого уже не можешь придумать. В частности, они могут быть полезными при решении сложных уравнений, которые встречаются во вступительных экзаменах на математические специальности. Однако уравнениям у нас будет посвящена отдельная статья, так что здесь я рассмотрю случаи, когда данные формулы позволяют упрощать тригонометрические выражения.

Пример 1: упростить:  

Подставим вместо   и   их представления согласно формулам тройного угла, тогда:

 

Теперь вынесем в оставшемся выражении общий множитель за скобки:

 

По формулам двойного угла:  ,  :

 

Ну а здесь снова спрятан синус двойного угла:

 

Ответ:  

Следующий пример попробуй решить самостоятельно. Не уверен, что в нем обязательно использовать формулу тройного угла, но можно сделать и с ее помощью:

Пример: упростить:  

Решение: моя цель, свести числитель дроби к выражению, зависящему только от синусов одиночного угла. Для этого я преобразую

 

 

 

Имеем:

 

Казалось бы, стало еще хуже. Но это так кажется. Давай для удобства вычислений заменим  , тогда мне надо упростить дробь

 

Нижнее выражение разложим на множители:

 

С верхним фокус сложнее. Мы не умеем с тобой решать кубические уравнения. Но мы хорошо играем в «угадайку». Угадай-ка один корень уравнения  . Угадал? Я угадал  . Тогда по теореме Безу (которую ты, быть может, знаешь, а если не знаешь, то без проблем отыщешь сам) выражение   делится без остатка на  

Разделим столбиком   на  . Я получу:

 

В свою очередь  

Окончательно получим:

 

Тогда исходное выражение можно упростить до:  

В завершение я приведу тебе пример одного уравнения, которое было предложено на психологический (???!!!!) факультет одного из ВУЗов в 1990 году. Такие задачи называются задачи-гробы (никакая смекалка без знания конкретной формулы не позволит их решить):

Решить уравнение:

 

Не сделав вот такую странную замену:   решить его очень сложно. А с такой заменой у нас получится вот что:

 

 

 

 

 

А вот ради чего весь этот сыр-бор:  

 

Это уравнение уже несказанно легче решается. Скоро мы вместе в этом убедимся. Но тут проблема в обратной замене… Тем не менее, эта задача почти нерешаема без знания формулы тангенса тройного угла. Вот так вот.

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника до конца учебного года.

Всего 299 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть