Квадратные неравенства. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018

Чтобы разобраться, как решать квадратные уравнения, нам потребуется разобраться, что же такое квадратичная функция, и какими свойствами она обладает.

Наверняка ты задавался вопросом, зачем вообще нужна квадратичная функция? Где применим ее график (парабола)? Да стоит только оглядеться, и ты заметишь, что ежедневно в повседневной жизни сталкиваешься с ней. Замечал, как на физкультуре летит брошенный мяч? «По дуге»? Самым верным ответом будет «по параболе»! А по какой траектории движется струя в фонтане? Да, тоже по параболе! А как летит пуля или снаряд? Все верно, тоже по параболе! Таким образом, зная свойства квадратичной функции, можно будет решать многие практические задачи. К примеру, под каким углом необходимо кинуть мяч, чтобы обеспечить наибольшую дальность полета? Или, где окажется снаряд, если запустить его под определенным углом? и т.д.

Квадратичная функция

Итак, давай разбираться.

Квадратичная функция – это функция, которую можно записать вот такой формулой:  , где   – независимая переменная,  ,   и   – некоторые числа, при этом  .

К примеру,  . Чему здесь равны  ,   и  ? Ну, конечно,  ,   и  !

Как уже упоминалось в теме «Квадратные уравнения», графиком такой функции выступает парабола. В зависимости от значения   ветви графика направлены вверх или вниз:

  • если  , то ветви параболы направлены вверх;
  • если  , то ветви параболы направлены вниз.

Для того, чтобы легко это запомнить, обратимся к хорошо известным тебе смайликам:

  • если  , т.е. a – положительное число, раз положительное, значит все хорошо – улыбаемся! А ветви графика тем временем направлены вверх :-) 
  • если  , т.е. a – отрицательное число, а раз отрицательное, значит, есть повод взгрустнуть, а ветви графика тем временем будут направлены вниз :-( 

При этом точки пересечения параболы с осью  , называются нулями функции и являются корнями соответствующего квадратного уравнения:

 

Ну что, уловил? Тогда давай смотреть примеры!

На рисунке выше изображен график функции  . Как мы уже отмечали,  , а это больше нуля (улыбаемся), поэтому ветви графика направлены вверх. Кроме того, можно заметить, что данный график не пересекает ось  . Помнишь, что в таком случае происходит, если решать уравнение  ? Все верно, корней такое уравнение иметь не будет, так как y принимает только положительные значения (не принимает значения, равные  )! Если забыл, то вперед повторять «Квадратные уравнения»!

А что, если  , т.е. меньше нуля? Ну конечно, мы «грустим», а, значит, ветви будут направлены вниз! Давай посмотрим на графике.

На этом рисунке изображен график функции  . Так как  , т.е. меньше нуля, ветви параболы направлены вниз. Кроме того, ты, наверное, уже заметил, что ветви этой параболы пересекают ось  , а значит, уравнение   имеет 2 корня, а функция принимает как положительные и отрицательные значения!

В самом начале, когда мы давали определение квадратичной функции, было сказано, что   и   – некоторые числа. А могут ли они быть равны нулю? Ну конечно, могут! Даже открою еще больший секрет (который и не секрет вовсе, но упомянуть о нем стоит): на эти числа (  и  ) вообще никакие ограничения не накладываются!

Ну что, давай посмотрим, что будет с графиками, если   и   равны нулю.

Как видно, графики рассматриваемых функций (  и  ) сместились так, что их вершины находятся теперь в точке с координатами  , то есть на пересечении осей   и  , на направлении ветвей это никак не отразилось. Таким образом, можно сделать вывод, что   и   отвечают за «передвижения» графика параболы по системе координат.

График функции   касается оси   в точке  . Значит, уравнение   имеет один корень. Таким образом, функция принимает значения больше либо равные нулю.

Придерживаемся той же логики с графиком функции  . Он касается оси x в точке  . Значит, уравнение   имеет один корень. Таким образом, функция принимает значения меньше либо равные нулю, то есть  .

Таким образом, чтобы определить знак выражения, первое, что необходимо сделать – это найти корни уравнения. Это нам очень пригодится.

Квадратное неравенство

Квадратное неравенство – это неравенство, состоящее из одной квадратичной функции.Таким образом, все квадратные неравенства сводятся к следующим четырем видам: 

При решении таких неравенств нам пригодятся умения определять, где квадратичная функция больше, меньше, либо равна нулю. То есть:

  • если перед нами неравенство вида  , то фактически задача сводится к тому, чтобы определить числовой промежуток значений  , при котором парабола лежит выше оси  .
  • если перед нами неравенство вида  , то фактически задача сводится к тому, чтобы определить числовой промежуток значений x, при котором парабола лежит ниже оси  .

Если неравенства нестрогие (  и  ), то корни (координаты   пересечений параболы с осью  ) включаются в искомый числовой промежуток, при строгих неравенствах – исключаются.

Это все достаточно формализовано, однако не надо отчаиваться и пугаться! Сейчас разберем примеры, и все станет на свои места.

При решении квадратных неравенств будем придерживаться приведенного алгоритма, и нас ждет неизбежный успех!

Алгоритм Пример:  
1) Запишем соответствующее неравенству квадратное уравнение (просто меняем знак неравенства   на знак равенства «=»).  
2) Найдем корни этого уравнения.  
3) Отметим корни на оси   и схематично покажем ориентацию ветвей параболы («вверх» или «вниз»)
4) Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там где парабола выше оси, ставим « », а там где ниже – « ».
5) Выписываем интервал(ы), соответствующий « » или « », в зависимости от знака неравенства. Если неравенство нестрогое, корни входят в интервал, если строгое - не входят.  

Разобрался? Тогда вперед закреплять!

Пример:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Ну что, получилось? Если возникли затруднения, то разбирайся в решениях.

Решение:

1)  

Запишем соответствующее квадратное уравнение:

 

Найдем корни данного квадратного уравнения:

 

 

 

Схематично отметим полученные корни на оси и расставим знаки:

Выпишем интервалы, соответствующие знаку « », так как знак неравенства « ». Неравенство нестрогое, поэтому корни включаются в интервалы:

 

2)  

Запишем соответствующее квадратное уравнение:

 

Найдем корни данного квадратного уравнения:

 

 

 

Схематично отметим полученные корни на оси и расставим знаки:

Выпишем интервалы, соответствующие знаку « », так как знак неравенства « ». Неравенство строгое, поэтому корни не включаются в интервалы:

 

3)  

Запишем соответствующее квадратное уравнение:

 

Найдем корни данного квадратного уравнения:

  данное уравнение имеет один корень

 

Схематично отметим полученные корни на оси и расставим знаки:

Выпишем интервалы, соответствующие знаку « », так как знак неравенства « ». При любом   функция   принимает неотрицательные значения. Так как неравенство нестрогое, то ответом будет  .

4)  

Запишем соответсвующее квадратное уравнение:

 

Найдем корни данного квадратного уравнения:

 

Схематично нарисуем график параболы и расставим знаки:

Выпишем интервалы, соответствующие знаку « », так как знак неравенства « ». При любом   функция   принимает положительные значения, следовательно, решением неравенства будет интервал:

 

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть