Логарифмические неравенства. Продвинутый уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2017 Пройти пробный ОГЭ 2017

В дополнение к уже изложенному материалу (который, увы, не охватывает и не может охватывать весь спектр способов решения логарифмических неравенств), я рассмотрю еще один способ, который может быть полезен там, где ничего больше не помогает (но опять-таки, я сразу оговорюсь, что изложенный метод не является панацеей). Данный метод будет основан на некоторых свойствах логарифмической функции: на ее монотонности и на наибольших и наименьших значениях на интервале ее существования.

Прежде чем приступать к рассмотрению метода, я напомню тебе, что такое монотонность функции:

Определение:

  монотонно возрастает на  , если для любых   из этого промежутка из того, что   следует, что   и наоборот, из того, что   следует, что  

Определение:

  монотонно убывает на  , если для любых   из этого промежутка из того, что   следует, что   и наоборот, из того, что   следует, что  

Простые рисунки иллюстрируют эти определения:

1

Функция на рисунке слева – монотонно возрастающая, а справа – монотонно убывающая. Теперь обратимся к логарифмической функции  , известно, что выполняется следующая:

Теорема: если  , то функция   является монотонно возрастающей, если  , то функция   является монотонно убывающей.

На рисунке приведены примеры монотонно возрастающей и монотонно убывающей логарифмической функции.

4

Теперь я могу приступать к рассмотрению одного из приемов решения логарифмических неравенств. Рассмотренный здесь метод называется мини-максным. Я думаю, что ты понимаешь, от каких слов произошло такое название? Верно, от слов минимум и максимум. Кратко метод можно представить в виде:

 

Иногда данный метод позволяет решать на первый взгляд «безнадежные» неравенства вроде

 

Давай введем в рассмотрение две функции

  

Найдем для каждой из них область значений  :

Пусть  

  то есть  , с другой стороны, по определению логарифма  .

Так как   возрастает на  .

Причем, при   стремящемся к нулю,   стремится к минус бесконечности (смотри рисунок выше), а при  .

Таким образом, область значений   есть множество:

 

Теперь найдем область значений  : вновь введем замену     (по определению модуля), так как   возрастает на всей числовой прямой, то наименьшее значение   при   достигается при   ,   при  . Таким образом:

 

Воспользуемся мини-максным методом: он говорит нам о том, что решение неравенства может иметь место только при

 . В нашем случае  

Тогда   эквивалентно:   а из   получится   Первое уравнение имеет корень:  , это же число является и корнем второго уравнения. Тогда наше исходное неравенство имеет место только при  .

Вот такой пример (позаковырестее) я предлагаю решить тебе самому:

 

Давай посмотрим, что у нас получилось:

Я начну с анализа первого неравенства: Слева у меня стоит монотонно убывающая функция, а справа – монотонно возрастающая. Вначале мы разберемся с  , пусть  , тогда из того, что  , следует, что  . Функция   является монотонно убывающей при  , тогда своего наибольшего значения она достигает при  , а наименьшего – при  . Тогда

 

Теперь рассмотрим  , сделаем замену  . Тогда   монотонно возрастает и наименьшего значения достигает при   Это значение будет равно   При  

Вновь воспользуемся мини-максным методом. В данном случае первое неравенство может иметь место только при  . Ясно, что первое уравнение имеет бесконечное количество корней, задаваемых формулой

 

Тогда как второе имеет только один корень  . Ясно, что при подстановке   в формулу корней первого уравнения, я получу, что  . Тогда первое неравенство выполняется только при  .

Что же теперь? Нужно ли нам решать второе неравенство? А смысл? Ведь если оно и имеет решение, то нам нужно будет его пересекать с тривиальным решением первого неравенства. Так не проще ли нам подставить во второе неравенство   и проверить, имеет ли оно при этом место? Я думаю, что это не представляет никакого труда.

 

Тогда с чистой совестью записываю ответ:  .

Конечно, мини-максный метод является не единственным методом решения сложных логарифмических неравенств, однако он в полной мере демонстрирует мощь «функционального» подхода к решению неравенств (кстати, и уравнений тоже).

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги сделать так, чтобы его не закрыли... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника.

Всего 199 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть