Логарифмические уравнения. Продвинутый уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2017 Пройти пробный ОГЭ 2017

В дополнение к уже изложенному материалу, я предлагаю нам с тобой рассмотреть еще один способ решения смешанных уравнений, содержащих логарифмы, однако здесь я буду рассматривать такие уравнения, которые не могут быть решены рассмотренным ранее методом логарифмирования обеих частей. Данный способ имеет название мини-максного.

Данный метод применим не только при решении смешанных уравнений, но также оказывается полезным при решении некоторых неравенств. Итак, вначале введем следующие основные определения, которые необходимы для применения мини-максного метода.

Определение:   монотонно возрастает на , если для любых   из этого промежутка из того, что   следует, что   и наоборот, из того, что   следует, что  
Определение:  монотонно убывает на , если для любых   из этого промежутка из того, что   следует, что   и наоборот, из того, что   следует, что  

Простые рисунки иллюстрируют эти определения:

1

Функция на рисунке слева – монотонно возрастающая, а справа – монотонно убывающая. Теперь обратимся к логарифмической функции  , известно, что выполняется следующая:

Теорема: Если  , то функция   является монотонно возрастающей, если  , то функция  является монотонно убывающей.

На рисунке приведены примеры монотонно возрастающей и монотонно убывающей логарифмической функции.

График логарифмической функции

Опишем непосредственно сам мини-максный метод. Я думаю, что ты понимаешь, от каких слов произошло такое название? Верно, от слов минимум и максимум. Кратко метод можно представить в виде:

 

Наша самая главная цель – это найти вот эту самую константу  , чтобы далее свести уравнение к двум более простым. Для этого могут быть полезны свойства монотонности логарифмической функции, сформулированные выше.

Теперь давай рассмотрим конкретные примеры:

  1.  
  2.  
  3.  

1. Вначале рассмотрим левую часть.
Там стоит логарифм с основанием меньше  . По теореме, сформулированной выше, какой оказывается функция  ? Она убывает. При этом,  , а значит,  . С другой стороны, по определению корня: . Таким образом, константа   найдена и равна  . Тогда исходное уравнение равносильно системе:

 

Первое уравнение имеет корни  , а второе:  . Таким образом, общий корень равен  , и данный корень будет корнем исходного уравнения. На всякий случай сделай проверку, чтобы убедиться в этом.

Ответ:  

2.  

Давай сразу задумаемся, что здесь написано? Я имею в виду общую структуру. Здесь сказано, что сумма двух квадратов равна нулю. Когда это возможно? Только тогда, когда оба этих числа по отдельности равны нулю. Тогда перейдем к следующей системе:

 

Общих корней у первого и второго уравнений нет, тогда и исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: нет решений.

3.  

Давай вначале рассмотрим правую часть – она попроще. По определению синуса:

 , откуда  , и тогда   Поэтому  

Теперь вернемся к левой части: рассмотрим выражение, стоящее под знаком логарифма:

 

Попытка найти корни у уравнения   не приведет к положительному результату. Но тем не менее, мне надо как-то это выражение оценить. Ты, конечно, знаешь такой метод, как выделение полного квадрата. Его я здесь и применю.

 

Тогда  

Так как   – функция возрастающая, то из   cледует, что  . Таким образом,  

Тогда наше исходное уравнение равносильно следующей системе:

 

Я не знаю, знаком ты или нет с решением тригонометрических уравнений, поэтому я сделаю так: решу первое уравнение (оно имеет максимум два корня), а потом результат подставлю во второе:

 

  (можешь сделать проверку и убедиться, что это число является корнем первого уравнения системы)

Теперь я подставлю его во второе уравнение:

 

 

 

 

Ответ:  

Ну как, теперь тебе стала ясна техника применения мини-максного метода? Тогда постарайся решить следующий пример самостоятельно.

 

Готов? Давай проверим:

Левая часть – сумма двух неотрицательных величин (единицы и модуля) а потому, левая часть не меньше единицы, причем она равна единице только тогда, когда

 

В то же время правая часть – это модуль (значит, больше нуля) произведения двух косинусов (значит не более единицы), тогда:

 

Тогда исходное уравнение равносильно системе:

 

Я опять предлагаю решить первое уравнение и результат подставить во второе:

 

 

 .

Данное уравнение корней не имеет.

Тогда исходное уравнение также не имеет корней.

Ответ: решений нет.

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги сделать так, чтобы его не закрыли... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника.

Всего 199 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть