Коротко о главном Начальный уровень

Логарифмы. Коротко о главном.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2017 Пройти пробный ОГЭ 2017

Логарифм – это в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить аргумент.

1. ОДЗ – область допустимых значений переменных.

2. Основное логарифмическое тождество.

Определение логарифма в общем виде:

 .

 

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством.

 это степень, в которую нужно возвести a, чтобы получить b.

3. Логарифмические формулы.

 

Что такое логарифм?

Для начинающих объясним все человеческим языком. Логарифмы – очень простая тема. Чтобы понять как их решать – нужно всего лишь разобраться что как называется, знать таблицу умножения и уметь возводить в число в степень. Все. Больше ничего не нужно.

Начнем с простого. Как решить уравнение  ?

Очень легко – просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число   чтобы получить  ? Решаем методом подбора: два в первой степени – нет, два во второй степени – нет, два в третей степени – ДА! Двойку нужно возвести в ТРЕТЬЮ степень, чтобы получить восемь ( ) и значит решением уравнения будет число три ( ).

Следующий вопрос. Как решить уравнение  ?

Опять просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число  , чтобы получить число  ? Попытаемся подобрать: два во второй степени равно четыре – мало, два в третьей степени равно восемь – много. Метод подбора сразу ответ не дает… Да и вообще, в этом случае подобрать решение не получится… Почему не получится?

Если ты посчитаешь на калькуляторе, то получишь   и т.д. Это число иррациональное. Оно мало того, что не подбирается, оно еще и не кончается…

Ну и как с такими числами работать? Как их запоминать? Как их записывать? Вот для того, чтобы с такими числами было удобно работать и ввели понятие логарифма.

В нашем случае решение уравнения можно записать как   или как  .

Согласись второе выражение гораздо удобнее, чем первое. И оно, кстати, абсолютно точное.
Словами это произносится как: «Решением уравнения два в степени икс равно пяти является логарифм пяти по основанию два, или логарифм по основанию два от пяти».

Кстати, а ты заметил что и у степени числа и у логарифма основание всегда находится «ВНИЗУ». Легко запомнить правда? А вот «вверху», у степени находится ее показатель, а у логарифма – аргумент.

свойства логарифмов. рисунок 1

Выражение   можно также записать в виде  . Читается так: «Логарифм восьми по основанию два равен трем» или «Логарифм по основанию два от восьми равен трем».

Теперь более общая запись:

свойства логарифмов. рисунок 2

Читается так: «Логарифм по основанию   от   равен  », и означает: «Чтобы получить число  , нужно число   возвести в степень  »:

свойства логарифмов. рисунок 3

Иными словами,   – это степень, в которую нужно возвести  , чтобы получить  .

Примеры вычисления логарифмов

  1.  , так как число   нужно возвести во вторую степень, чтобы получить  .
  2. Чему равен  ? Заметим, что  , тогда  , то есть   нужно возвести в степень  , чтобы получить  .
  3. А чему равен  ? Обращать внимание нужно, в первую очередь, на основание. Возможно ли представить   как   в какой-то степени? Да, возможно: запишем это число в виде обычной дроби:  . Значит,  .
  4. Еще пример. Чему равен  ? В какую степень надо возвести  , чтобы получить  ? Вспоминаем, что любое число в нулевой степени равно   (подробнее читай в разделе «Степень и ее свойства»). Значит,  . Более того, логарифм с любым основанием от единицы равен  .
  5.  . В этом случае аргумент   равен корню основания:  . Но мы помним, что корень тоже можно представить в виде степени (с дробным показателем):  .

Попробуй найти следующие логарифмы самостоятельно:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Ответы:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Десятичные логарифмы

Логарифм по основанию   называется десятичным логарифмом и записывается упрощенно –   вместо  , например:

  •  ;
  •  ;
  •  ;
  •  ;
  •  .

Как я уже говорил, далеко не всегда удается подобрать такую степень. Но это не значит, что такого числа не существует, просто его можно вычислить только на калькуляторе.

Например,  . Видим, что это число расположено между   и  , и это понятно: ведь это значит, чтобы получить  , нужно   возводить в степень больше  , но меньше  .

На ЕГЭ пользоваться калькулятором нельзя, но даже если бы было можно, нельзя записывать приближенные вычисления. Поэтому, если перед нами задача части B, ответ обязательно должен получиться «хороший», и его можно посчитать в уме. В части C могут попасться и «плохие» числа; в этом случае пугаться не нужно, в ответе можно просто написать логарифм. Например, ответ вполне может выглядеть так:  , или даже так:  .

Получается, что теперь мы можем мнгновенно записать решение любого элементарного показательного уравнения:

 ? Легко:  .

  

  . И так далее.

Но увлекаться и халтурить тоже не стоит – если в ответе оставить  , высший балл за задачу не поставят. То есть, если ответ возможно упростить и представить в виде рационального числа, это обязательно нужно будет сделать. Потренируйся на следующих простых примерах:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  

Ответы:

  1.  ;
  2.  , но   никак не представить в виде степени четверки. Поэтому все просто:  ;
  3.  ;
  4.  . Как и в примере 2, здесь придумать степень не получится, поэтому  ;
  5.  ;
  6.  . Очевидно, и здесь степень придумать не удастся:  .

Кстати, ответы типа   или   можно упростить – сделать числа поменьше. Как это сделать, и зачем – об этом чуть позже, в разделе «Свойства логарифмов».

ОДЗ логарифма

Теперь поговорим об ограничениях (ОДЗ – область допустимых значений переменных).

Мы помним, что, например, квадратный корень нельзя извлекать из отрицательных чисел; или если у нас дробь, то знаменатель не может быть равен нулю. Подобные ограничения есть и у логарифмов:

То есть и аргумент, и основание должны быть больше нуля, а основание еще и не может равняться  . Почему так?

Начнем с простого: допустим, что  . Тогда, например, число не существует, так как в какую бы степень мы не возводили  , всегда получается  . Более того,   не существует ни для какого  . Но при этом   может равняться чему угодно (по той же причине –   в любой степени равно  ). Поэтому объект не представляет никакого интереса, и его просто выбросили из математики.

Похожая проблема у нас и в случае  :   в любой положительной степени – это  , а в отрицательную его вообще нельзя возводить, так как получится деление на ноль (напомню, что  ).

При   мы столкнемся с проблемой возведения в дробную степень (которая представляется в виде корня:  . Например,   (то есть  ), а вот   не существует.

Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.

Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное. Значит, аргумент должен быть положительным. Например,   не существует, так как   ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому   тоже не существует).

В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ. Приведу пример:

Решим уравнение  .

Вспомним определение: логарифм   – это степень, в которую надо возвести основание  , чтобы получить аргумент  . И по условию, эта степень равна  :  .

Получаем обычное квадратное уравнение:  . Решим его с помощью теоремы Виета: сумма корней равна  , а произведение  . Легко подобрать, это числа   и  .

Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу. Почему? Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?

  - верно.

  – это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень   – «сторонний».

Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:

 

Тогда, получив корни   и  , сразу отбросим корень  , и напишем правильный ответ.

Пример 1 (попробуй решить самостоятельно):

Найдите корень уравнения  . Если корней несколько, в ответе укажите меньший из них.

Решение:

 .

В первую очередь напишем ОДЗ:

 

Теперь вспоминаем, что такое логарифм: в какую степень нужно возвести основание  , чтобы получить аргумент  ? Во вторую. То есть:

 

Казалось бы, меньший корень равен  . Но это не так: согласно ОДЗ корень   – сторонний, то есть это вообще не корень данного уравнения. Таким образом, уравнение имеет только один корень:  .

Ответ:  .

Основное логарифмическое тождество

Вспомним определение логарифма в общем виде:

 

Подставим во второе равенство вместо   логарифм:

 

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством. Хотя по сути это равенство – просто по-другому записанное определение логарифма:

  – это степень, в которую нужно возвести  , чтобы получить  .

Например:  

Реши еще следующие примеры:

Пример 2.

Найдите значение выражения  .

Решение:

Вспомним правило из раздела «Степень и ее свойства»:  , то есть, при возведении степени в степень показатели перемножаются. Применим его:

 .

Пример 3.

Докажите, что  .

Решение:

 , ч.т.д.

Свойства логарифмов

К сожалению, задачи не всегда такие простые – зачастую сперва нужно упростить выражение, привести его к привычному виду, и только потом будет возможно посчитать значение. Это проще всего сделать, зная свойства логарифмов. Так что давай выучим основные свойства логарифмов. Каждое из них я буду доказывать, ведь любое правило проще запомнить, если знать, откуда оно берется.

Все эти свойства нужно обязательно запомнить, без них большинство задач с логарифмами решить не получится.

 

А теперь обо всех свойствах логарифмов подробнее.

Свойство 1:

 

Доказывать здесь нечего, ведь это просто по-другому записанное определение логарифма: в какую степень нужно возвести  , чтобы получить  ? Ответ очевиден: в степень  .

Пример: Чему равен  ?.

Ответ: Повторим еще раз: в какую степень нужно возвести  , чтобы получить  ? Конечно же  .

Свойство 2: Сумма логарифмов

Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения:  .

Доказательство:

Пусть  , тогда  . Пусть  , тогда  .

Имеем:

 , ч.т.д.

Пример: Найдите значение выражения:  .

Решение:  .

Только что выученная формула помогает упростить сумму логарифмов, а не разность, так что сразу эти логарифмы не объединить. Но можно сделать наоборот – «разбить» первый логарифм на два:А вот обещанное упрощение:
 .
Зачем это нужно? Ну например: чему равно  ?

 .

Теперь очевидно, что  .

Теперь упрости сам:

Задачи:

  1.  .
  2.  .
  3.  .
  4.  .

Ответы:

 

1.  

 

2.  

3.  

 

4.  

 

 

 

Свойство 3: Разность логарифмов:

Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного: .

Доказательство:

Все точно так же, как и в пункте 2:

Пусть  , тогда  .

Пусть  , тогда  . Имеем:

 , ч.т.д.

 , ч.т.д.

Пример из прошлого пункта теперь становится еще проще:

 

Пример посложнее:  . Догадаешься сам, как решить?

Здесь нужно заметить, что у нас нету ни одной формулы про логарифмы в квадрате. Это что-то сродни выражению   – такое сразу не упростить.

Поэтому отвлечемся от формул про логарифмы, и подумаем, какие вообще формулы мы используем в математике чаще всего? Еще начиная с 7 класса!

Это – формулы сокращенного умножения. Нужно привыкнуть к тому, что они везде! И в показательных, и в тригонометрических, и в иррациональных задачах они встречаются. Поэтому их нужно обязательно помнить. Нажми на ссылку «Формулы сокращенного умножения» справа, и внимательно на них посмотри. Какую из них можно применить здесь?

Если присмотреться к первым двум слагаемым, становится ясно, что это разность квадратов:

 .

Дальше все просто – применяем только что выученные правила 2 и 3. Что получилось?

Ответ для проверки:

 

 

 

 

Упрости сам.

Примеры

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

Ответы.

 

1.  

2.  

3.  

4.  

5.  

 

 

 

 

 

Свойство 4: Вынесение показателя степени из аргумента логарифма:

Если в аргументе логарифма стоит степень, показатель этой степени можно вынести за знак логарифма:  .

Доказательство: И здесь тоже используем определение логарифма:пусть  , тогда  . Имеем: , ч.т.д.

Можно понять это правило так:

 

То есть степень аргумента выносится вперед логарифма, как коэффициент.

Пример: Найдите значение выражения  .

Решение:  .

Реши сам:

Примеры:

  1.  
  2.  
  3.  

Ответы:

 

1.  .

2.  .

3.  

 

 

 

 

Свойство 5: Вынесение показателя степени из основания логарифма:

Если в основании логарифма стоит степень, показатель этой степени можно вынести за знак логарифма:  .

Доказательство: Пусть  , тогда  

Имеем: , ч.т.д.
Запоминаем: из основания степень выносится как обратное число, в отличии от предыдущего случая!

Свойство 6: Вынесение показателя степени из основания и аргумента логарифма:

Если в основании и аргументе логарифма стоят степени, показатели этих степеней можно вынести за знак логарифма:  .

Или если степени одинаковые:  .

Свойство 7: Переход к новому основанию:

Если основания логарифмов разные, то для того чтобы дальше работать с логарифмами нужно перейти к логарифмам с одним основанием:  .

Доказательство: Пусть  , тогда  .

Имеем: , ч.т.д.

Свойство 8: Замена местами основания и аргумента логарифма:

Можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе:  .

Доказательство: Это частный случай формулы 7: если подставить  , получим: , ч.т.д.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 4.

Найдите значение выражения  .

Решение:

 

Используем свойство логарифмов № 2 – сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения:

 .

 

 

Пример 5.

Найдите значение выражения  .

 

Решение:

Используем свойство логарифмов № 3 и № 4:

 .

 

 

Пример 6.

Найдите значение выражения  .

Решение:

 

Используем свойство № 7 – перейдем к основанию 2:

 

 

 

 

Комментарии

а зикиров
08 июня 2018

спасибо вы нам очен нужные материали написали,ешё пишите по лагарифмического система

ответить

Александр (админ)
29 июля 2018

Спасибо! Постараемся )

ответить

Артём
29 июля 2018

В "примеры вычисления логарифмов" - написано что любой логарифм с основанием 1, равен 0. Но в в примере 4 задания "Попробуй найти следующие логарифмы самостоятельно"- логарифм по основанию шести от единицы, в ответе записан ответ неподходящий под пример указанный выше.

ответить

Рустам
05 августа 2018

Здравствуйте. Просьба, расписывайте пожалуйста примеры, что, откуда и как получается, более подробно, потому что ясно не все, и приходится искать дополнительные материалы на других Спасибо.

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника до конца учебного года.

Всего 299 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть