Метод интервалов. Средний уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018

Линейная функция

Линейной называется функция вида  . Рассмотрим для примера функцию  . Она положительна при   и отрицательна при  . Точка   – нуль функции ( ). Покажем знаки этой функции на числовой оси:

Говорим, что «функция меняет знак при переходе через точку  ».

Видно, что знаки функции соответствуют положению графика функции: если график выше оси  , знак « », если ниже – « ».

Если обобщить полученное правило на произвольную линейную функцию, получим такой алгоритм:

  • Находим нуль функции;
  • Отмечаем его на числовой оси;
  • Определяем знак функции по разные стороны от нуля.

Квадратичная функция

Надеюсь, ты помнишь, как решаются квадратные неравенства? Если нет, прочти тему «Квадратные неравенства». Напомню общий вид квадратичной функции:  .

Теперь вспомним, какие знаки принимает квадратичная функция. Ее график – парабола, и функция принимает знак « » при таких  , при которых парабола выше оси  , и « » – если парабола ниже оси  :

Если у функции есть нули (значения  , при которых  ), парабола пересекает ось   в двух точках – корнях соответствующего квадратного уравнения. Таким образом ось разбивается на три интервала, а знаки функции попеременно меняются при переходе через каждый корень.

А можно ли как-нибудь определить знаки, не рисуя каждый раз параболу?

Вспомним, что квадратный трехчлен можно разложить на множители:  

Например:  .

Отметим корни на оси:

Мы помним, что знак функции может меняться только при переходе через корень. Используем этот факт: для каждого из трех интервалов, на которые ось разбивается корнями, достаточно определить знак функции только в одной произвольно выбранной точке: в остальных точках интервала знак будет таким же.

В нашем примере: при   оба выражения в скобках положительны (подставим, например  :  ). Ставим на оси знак « »:

Далее,   (подставь в выражение   любой корень из этого интервала, например,  ). Первая скобка положительна, а вторая отрицательна. Значит, все произведение отрицательно: ставим на оси знак « »:

Ну и, при   (подставь, например,  ) обе скобки отрицательны, значит, произведение положительно:

Это и есть метод интервалов: зная знаки сомножителей на каждом интервале, определяем знак всего произведения.

Рассмотрим также случаи, когда нулей у функции нет, или он всего один.

Если их нет, то и корней нет. А значит, не будет и «перехода через корень». А значит, функция на всей числовой оси принимает только один знак. Его легко определить, подставив в функцию  .

Если корень только один, парабола касается оси  , поэтому знак функции не меняется при переходе через корень. Какое правило придумаем для таких ситуаций?

Если разложить такую функцию на множители, получатся два одинаковых множителя:

 

А любое выражение в квадрате неотрицательно! Поэтому знак функции и не меняется. В таких случаях будем выделять корень, при переходе через который знак не меняется, обведя его квадратиком:

Такой корень будем называть кратным.

Метод интервалов в неравенствах

Теперь любое квадратное неравенство можно решать без рисования параболы. Достаточно только расставить на оси знаки квадратичной функции, и выбрать интервалы в зависимости от знака неравенства. Например:

 

Отмерим корни на оси и расставим знаки:

Нам нужна часть оси со знаком « »; так как неравенство нестрогое, сами корни тоже включаются в решение:

 .

Теперь рассмотрим рациональное неравенство – неравенство, обе части которого являются рациональными выражениями (см. «Рациональные уравнения»).

Пример:

 .

Все множители кроме одного –   – здесь «линейные», то есть, содержат переменную только в первой степени. Такие линейные множители нам и нужны для применения метода интервалов – знак при переходе через их корни меняется. А вот множитель   вообще не имеет корней. Это значит, что он всегда положительный (проверь это сам), и поэтому не влияет на знак всего неравенства. Значит, на него можно поделить левую и правую часть неравенства, и таким образом избавиться от него:

 

Теперь все так же, как было с квадратными неравенствами: определяем, в каких точках каждый из множителей обращается в нуль, отмечаем эти точки на оси   и расставляем знаки. Обращаю внимание очень важный факт:

  • Корни знаменателя всегда выколоты, то есть на рисунке они выглядят как незакрашенные кружочки, и в ответ они не могут входить (ведь тогда получается деление на  ). Корни числителя закрашены и включаются в решение, если неравенство нестрогое и выколоты, если неравенство строгое.
  • И еще один факт – полезный: достаточно узнать знак одного из интервалов, а во всех остальных – просто попеременно чередовать:

Ответ:  . Пример:  .

Для применения метода интервалов нужно, чтобы в одной из частей неравенства был  . Поэтому перенесем правую часть налево:

 .

Далее, в левой части нам необходимо получить произведение (желательно, линейных) множителей. Для этого приведем выражение к общему знаменателю и разложим его на такие множители:

 

 

В числителе и знаменателе одинаковый множитель, но не торопимся его сокращать! Ведь тогда мы можем забыть выколоть эту точку. Лучше отметить этот корень как кратный, то есть при переходе через него знак не поменяется:

Ответ:  .

И еще один очень показательный пример:

 

Опять же, мы не сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя, так как если сократим, нам придется специально запоминать, что нужно выколоть точку  .

Дальше, мы выдим несколько кратных корней:

  •  : повторяется   раза;
  •  :   раза;
  •  :   раза (  в числителе и один в знаменателе).

В случае четного количества поступаем так же, как и раньше: обводим точку квадратиком и не меняем знак при переходе через корень. А вот в случае нечетного количества это правило не выполняется: знак все-равно поменяется при переходе через корень. Поэтому с таким корнем ничего дополнительно не делаем, как будто он у нас не кратный. Вышеописанные правила относятся ко всем четным и нечетным степеням.

Что запишем в ответе?

При нарушении чередования знаков нужно быть очень внимательным, ведь при нестрогом неравенстве в ответ должны войти все закрашенные точки. Но некоторые из нах часто стоят особняком, то есть не входят в закрашенную область. В этом случае мы добавляем их к ответу как изолированные точки (в фигурных скобках):

 .

Примеры (реши сам):

  1.  
  2.  

Ответы:

  1.  
  2. Если среди множителей просто   – это корень  , ведь его можно представить как  .
     .

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok