Однородные уравнения. Средний уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018

Сначала на примере одной задачки напомню что такое однородные уравнения и что из себя представляет решение однородных уравнений.

Решите задачу:

Найдите  , если  .

Здесь можно заметить любопытную вещь: если поделить каждое слагаемое на  , получим:

 .

То есть, теперь нет отдельных   и  , – теперь переменной в уравнении является искомая величина  . И это обычное квадратное уравнение, которое легко решить с помощью теоремы Виета: произведение корней равно  , а сумма   – это числа   и  .

Ответ:  

Уравнения вида

 

называется однородным. То есть, это уравнение с двумя неизвестными, в каждом слагаемом которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных. Например, в примере выше эта сумма равна  . Решение однородных уравнений осуществляется делением на одну из неизвестных в этой степени:

  ,

И последующей заменой переменных:  . Таким образом получаем уравнение   степени с одной неизвестной  :

 .

Чаще всего нам будут встречаться уравнения второй степени (то есть квадратные), а их решать мы умеем:

 

 .$

Отметим, что делить (и умножать) все уравнение на переменную можно только если мы убеждены, что эта переменная не может быть равна нулю! Например, если нас просят найти  , сразу понимаем, что  , поскольку на   делить нельзя. В случаях, когда это не так очевидно, необходимо отдельно проверять случай когда эта переменная равна нулю. Например:

Решите уравнение  .

Решение:

Видим здесь типичное однородное уравнение:   и   – это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна  .

Но, прежде чем разделить на   и получить квадратное уравнение относительно  , мы должны рассмотреть случай, когда  . В этом случае уравнение примет вид:  , значит,  . Но синус и косинус не могут быть одновременно равны нулю, ведь по основному тригонометрическому тождеству:  . Поэтому  , и на него можно смело делить:

 

 

 

Надеюсь, это решение полностью понятно? Если нет, прочитай раздел «Тригонометрические уравнения». Если же непонятно, откуда взялось  , тебе нужно вернуться еще раньше – к разделу «Квадратные уравнения».

Реши сам:

  1. Найдите  , если  .
  2. Найдите  , если  .
  3. Решите уравнение  .

Здесь я кратко напишу непосредственно решение однородных уравнений:

Решения:

  1.  

     ;

     

     

    Ответ:   .

  2. А здесь надо не делить, а умножать:

     

    Ответ:  

  3. Если тригонометрические уравнения ты еще не проходил, этот пример можно пропустить.

    Так как здесь нам нужно делить на  , убедимся сперва, сто он не равен нулю:

     , а это невозможно.

    Значит,  .

     

     

     

    Ответ:  .

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok