Окружность. Вписанный угол. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018

Что такое окружность, знает и пятилетний ребёнок, не правда ли? У математиков, как всегда, на этот счёт есть заумное определение, но мы его приводить не будем (смотри следующие уровни теории), а лучше вспомним, как называются точки, линии и углы, связанные с окружностью.

Важные термины

Ну, во-первых:

Окружность. Вписанный угол. рис 1 центр окружности – такая точка, расстояния от которой до всех точек окружности одинаковые.

Во–вторых:

Радиус окружности радиус – отрезок, соединяющий центр и точку на окружности.

Радиусов очень много (столько же, сколько и точек на окружности), но длина у всех радиусов – одинаковая.

Иногда для краткости радиусом называют именно длину отрезка «центр – точка на окружности», а не сам отрезок.

А вот что получится, если соединить две точки на окружности? Тоже отрезок?

Хорда окружности Так вот, этот отрезок называется «хорда».

Тут есть ещё одно принятое выражение: «хорда стягивает дугу». Вот, здесь на рисунке, например, хорда   стягивает дугу  . А если хорда вдруг проходит через центр, то у неё есть специальное название: «диаметр».

Диаметр окружности Так же, как и в случае с радиусом, диаметром часто называют длину отрезка, соединяющего две точки на окружности и проходящего через центр.

Кстати, а как связаны диаметр и радиус? Посмотри внимательно. Конечно же,

радиус равен половине диаметра.

А теперь – названия для углов.

Центральный угол окружности Угол между двумя радиусами называется центральным.

Естественно, не правда ли? Стороны угла выходят из центра – значит, угол – центральный.

Вписанный угол окружности Угол между двумя хордами, которые пересекаются в точке на окружности, называется вписанным углом.

Вот здесь иногда возникают сложности. Обрати внимание – НЕ ЛЮБОЙ угол внутри окружности – вписанный, а только такой, у которого вершина «сидит» на самой окружности.

Давай увидим разницу на картинках:

Измерение дуг и углов

Помнишь мультик «38 попугаев»? Там удава измеряли в попугаях, мартышках и слонах. А дуги и углы измеряются в градусах и радианах. О радианах смотри в следующих уровнях теории, а здесь поговорим о градусах. Начнём?

Ты скажешь: углы в градусах я умею измерять уже давно. И правильно! В градусах нам нужно научиться измерять дугу.

Смотри: вот окружность и дуга на ней.

дуга окружности Точка   – центр. Что такое «градусная мера» дуги? Это просто величина угла  ! (В градусах, естественно…).

Итак:

Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла.

По-другому ещё говорят:

Дуга измеряется величиной своего центрального угла.

Тут есть один хитрый момент. Что такое «соответствующий» или «свой» центральный угол? Просто угол с вершиной в центре окружности и концами в концах дуги? Не совсем так. Посмотри-ка на рисунок.

Замечаешь, что есть две дуги  ? (маленькая и большая?). И два! Центральных угла  .

Один из них, правда, и на угол-то не похож – он больше  . Но это в треугольнике не может быть углов больше  , а в окружности – вполне может! Так вот: меньшей дуге AB соответствует меньший угол (оранжевый), а большей – больший. Просто как  , не правда ли?

Соотношение между величинами вписанного и центрального угла

Запомни очень важное утверждение:

Величина вписанного угла вдвое меньше, чем величина соответствующего центрального угла

В учебниках этот же факт любят записывать так:

Величина вписанного угла измеряется половиной градусной меры дуги, на которую этот угол опирается.

Правда, с центральным углом формулировка проще?

Но всё же давай найдём соответствие между двумя формулировками, а заодно научимся находить на рисунках «соответствующий» центральный угол и дугу, на которую «опирается» вписанный угол.

Смотри: вот окружность и вписанный угол:

Видишь,   вроде бы как «стоит» на дуге  ? Вот и появилось название «угол опирается на дугу». Значит, у нас   опирается на дугу  .

Где же его «соответствующий» центральный угол?

Снова смотрим:

Углу   соответствует угол  .

Какое же правило?

Чтобы получить «соответствующий» центральный угол, нужно в качестве вершины взять центр окружности, а концы оставить.

Но! При этом важно, чтобы вписанный и центральный угол «смотрели» с одной стороны на дугу. Вот, например:

какой из углов, оранжевый или голубой, будет «соответствующим» для вписанного угла  ?

Как ни странно, голубой! Потому что дуга-то длинная, длиннее половины окружности! Вот и не путай никогда!

Какое же следствие можно вывести из «половинчатости» вписанного угла?

А вот, например:

Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой.

Смотри:

дуга одна, центральный угол один, а вписанных углов – хоть миллион! И они все равны между собой и равны половине центрального (половине дуги).

Угол, опирающийся на диаметр

Ты уже успел заметить, что математики очень любят об одном и том же говорить разными словами? Зачем это им? Понимаешь, язык математики хоть и формальный, но живой, а поэтому, как и в обычном языке, каждый раз хочется сказать так, как удобнее. Ну вот, что такое «угол опирается на дугу» мы уже видели. И представь себе, та же самая картина называется «угол опирается на хорду». На какую? Да конечно на ту, которая стягивает эту дугу!

Смотри:

угол опирающийся на диаметр   опирается на дугу   и на хорду   – смотря, как удобнее в конкретном случае сказать.

Когда же опираться на хорду удобнее, чем на дугу?

Ну, в частности, когда эта хорда – диаметр.

Для такой ситуации есть удивительно простое, красивое и полезное утверждение!

Угол, опирающийся на диаметр – прямой.

Смотри: вот окружность, диаметр   и угол  , который на него опирается.

Какой же центральный угол соответствует углу  ? Ну, конечно,  ! Но он же … равен  ! Правильно, и вот именно поэтому  .

Опять как  . Если интересно, почему же вписанный угол равен половине центрального, и какие углы ещё можно как посчитать, читай следующие «серии»! Удачи!

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть