Основные понятия и аксиомы планиметрии. Начальный уровень.

Аксиомы принадлежности:

  • Аксиома 1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
  • Аксиома 2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Аксиомы порядка:

  • Аксиома 3. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
  • Аксиома 4. Прямая, лежащая в плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

Аксиомы мер для отрезков и углов:

  • Аксиома 5. Каждый отрезок имеет определенную длину, больше нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
  • Аксиома 6. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен  . Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Аксиомы существования треугольника, равного данному:

  • Аксиома 7. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.
    Следствие 1. От данной точки данной прямой в данную сторону можно отложить отрезок данной длины, причем единственным образом 
    Следствие 2. От данного луча в данную полуплоскость можно отложить угол данной величины, причем единственным образом 

Аксиома параллельных:

  • Аксиома 8. На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Основные факты об углах:

  • Теорема. Сумма смежных углов равна  .
  •  
  • Теорема. Вертикальные углы равны.
  •  .

1. Основные понятия планиметрии

Точка, луч, прямая, отрезок.

Угол, вершина угла.

Почему все в картинках и без слов? А нужны ли слова? Мне кажется, на первых порах не очень нужны. Вообще-то, математики, конечно, умеют все описывать словами, и такие описания ты можешь найти в следующих уровнях теории, а сейчас продолжим картинками.

Дополнительные лучи и смежные углы.

Вертикальные углы, развернутый угол

Полуплоскость, треугольник, многоугольник.

Что же еще? Ах да, нам же нужно научиться измерять отрезки и углы.

У каждого отрезка есть длина – число, которое этому отрезку (зачем-то …) поставили в соответствие. Длину принято измерять … линейкой, конечно, в сантиметрах, миллиметрах, метрах и даже в километрах.

А теперь измерениеуглов. Углы почему-то принято измерять в градусах. Почему? На это есть исторические причины, но мы сейчас занимаемся не историей. Поэтому придется принять просто как должное следующее соглашение.

Градус. Иллюстрация.

В развернутом угле   градусов.

Для краткости пишут:  . При этом, конечно же, величину всех остальных углов можно найти, если выяснить, какую часть от развернутого угла составляет данный угол. Инструмент для измерения углов называется транспортир. Думаю, ты его уже не раз в жизни видел.

2. Два основных факта об углах

 I. Смежные углы в сумме составляют  .

Смежные углы.

Это совсем естественно, не правда ли? Ведь смежные углы вместе составляют развернутый угол!

II. Вертикальные углы равны.

Вертикальные углы

Почему? А смотри:

Вертикальные углы. Обоснование равенства.   и   – смежные
 .  и   – тоже смежные
 

Что теперь? Ну, конечно, отсюда следует, что  . (Достаточно, например, вычесть из первого равенства второе. А вообще-то, можно просто посмотреть на картинку).

3. Прямой угол.

Прямой угол Если угол равен смежному с ним, то он называется прямым углом.

Чему равна величина прямого угла?

Ну конечно,  ! Ведь  .

4. Острый и тупой угол.

острый угол Углы, меньшие  , называются острыми углами.
тупой угол Углы от   до   называются тупыми углами.
Прямой угол Еще раз: угол в  - прямойугол.

Вот, в общем-то и все, что тебе нужно знать для начала. Почему же мы ни слова не сказали об аксиомах?

Аксиомы – это правила действия с основными объектами планиметрии, самые первые утверждения о точках и прямых. Эти утверждения берутся за основу, не доказываются.

Почему же все-таки мы их не формулируем и не обсуждаем? Понимаешь, аксиомы планиметрии в некотором смысле просто описывают ясные интуитивно соотношения довольно длинным математическим языком. Четкое осознание аксиоматики необходимо чуть позже, когда ты привыкнешь к геометрическим понятиям на уровне здравого смысла. Тогда – добро пожаловать в следующие уровни теории по этой теме – там есть довольно подробное обсуждение аксиом. А пока попробуй поступать как совсем древние греки, до времен Евклида – просто решай задачи, пользуясь здравым смыслом. Уверяю тебя, множество задач тебе поддадутся!

Представь, что ты вдруг очутился на другой планете, ну или… в компьютерной игре.

Перед тобой набор неизвестных продуктов, а твоя задача – приготовить из этого набора как можно больше вкусных блюд. Что тебе понадобится? Конечно же, правила, инструкции – что можно делать с теми или иными продуктами. А то вдруг ты сваришь то, что едят только в сыром виде или, наоборот, положишь в салат то, что непременно нужно варить или жарить? Так что, без инструкций – никуда!

Хорошо, но к чему такое вступление? Причем тут геометрия? Понимаешь, великое множество утверждений о всяких фигурах в геометрии и есть то самое множество «блюд», которые мы должны научиться готовить. Но из чего? Из основных объектов геометрии! А вот инструкция по их «употреблению» называется умными словами «система аксиом».

Так что, внимание!

Основные объекты и аксиомы планиметрии.

Точка и прямая

точка и прямая

Это и есть самые главные понятия планиметрии. Математики говорят, что это «неопределяемые понятия». Как так? А вот так, нужно же с чего-то начинать.

Теперь первые правила обращения с точками и прямыми. Эти правила математики называют «аксиомы» - утверждения, которые принимаются за основу , из которых потом все основное будет выводиться (помнишь, что у нас большая кулинарная миссия по «приготовлению» геометрии?). Так вот, первая серия аксиом называется

I. Аксиомы принадлежности.

Аксиома 1.1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

Обрати внимание, эта аксиома позволяет рисовать так:

Точки принадлежащие прямой.

и так:

Точки не принадлежащие прямой.

Аксиома 1.2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Вот так: было две точки:

Две точки.

И тут же нашлась прямая:

Прямая, проведенная через две точки.

А другой – нет!

Нельзя одновременно провести две прямые, через две точки.

Если тебе все это кажется слишком очевидным, то вспомни, что ты – на другой планете и до сих пор совершенно не знал, что делать с объектами «точка» и «прямая».

Луч, отрезок, угол.

Вот теперь мы научились наносить точки на прямые и проводить прямые через точки, поэтому уже можем приготовить первые простейшие "блюда" - луч, отрезок, угол.

1) ЛУЧ

луч

Любая точка, лежащая на прямой, делит эту прямую на две полупрямые. Каждая из этих полупрямых называется еще лучом.

Вот он, луч:

Начало луча.

Дополнительные лучи.

2) ОТРЕЗОК

Отрезок.

Любые две точки на прямой ограничивают отрезок прямой.
3) УГОЛ
Углом называется часть плоскости, заключенная между двумя лучами этой плоскости, имеющими общее начало.
Угол. Вершина угла. Лучи, образующие угол, называются сторонами угла а их общее начало – вершиной угла.
Развернутый угол. Угол, образованный дополнительными лучами, называется развернутым.<

Теперь наведем порядок. Следующая серия аксиом так и называется:

II. Аксиомы порядка.

Аксиома 2.1. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
Аксиома 2.2. Прямая, лежащая в плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

Плоскость, полуплоскость, отрезки.

Теперь - следующий уровень. Нам нужны инструкции по измерению отрезков и углов. Эти аксиомы называются

III. Аксиомы мер для отрезков и углов.

Аксиома 3.1. Каждый отрезок имеет определенную длину, больше нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
Длина отрезка.  
Аксиома 3.2. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен  . Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
Градус угла.  
Аксиома 3.3. Каково бы ни было число <katex code="\displaystyle d> , существует отрезок длины  .

А теперь уже совсем странно.

IV. Аксиомы существования треугольника, равного данному.

Аксиома 4.1. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.

Более понятными являются два следствия из этой аксиомы:

Следствие 1. От данной точки данной прямой в данную сторону можно отложить отрезок данной длины, причем единственным образом.

Следствие 1. Иллюстрация.

Следствие 2. От данного луча в данную полуплоскость можно отложить угол данной величины, причем единственным образом.

Следствие 2. Иллюстрация.

Ну, и последняя легендарная аксиома параллельных!

Но сперва определение:

Прямые называются параллельными, если они не имеют общих точек.

V. Аксиома параллельных.

Аксиома 5.1. На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Ну вот, и закончились аксиомы планиметрии! Слишком много их? Но представь себе, все они нужны. Для каждой из них есть хитрое-хитрое рассуждение, которое показывает, что если удалить эту аксиому, то развалится всё здание геометрии! Ну, или останется нечто, совершенно непохожее на то, к чему мы привыкли.

А теперь два основных факта об углах!

Смежные и вертикальные углы.

Смежные углы. Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие являются дополнительными лучами.

Лучи, образующие угол, называются сторонами угла, а их общее начало – вершиной

Теорема. Сумма смежных углов равна  
Сумма смежных углов.  

Это совсем простая теорема, правда?

Ведь общая сторона смежных углов просто-напросто разбивает развернутый угол на два угла и поэтому (ВНИМАНИЕ: работает Аксиома 3.2!) сумма смежных углов равна величине развернутого, то есть  .

Вертикальные углы проще нарисовать, чем описывать – смотри картинку.

Вертикальные углы.

Теорема. Вертикальные углы равны.

Эта тоже легкая теорема. Убедись:

Вертикальные углы. Обоснование равенства вертикальных углов.   (они смежные).  (тоже смежные)  - и ВСЁ!

Прямой угол.

Если угол равен смежному с ним, то он называется ПРЯМЫМ УГЛОМ.
Прямой угол. Его величина равна   (ну конечно, ведь  )

Острый и тупой угол.

Острый угол Углы, меньшие  , называются острыми углами.
Тупой угол. Углы от   до   называются тупыми углами.

Вот и всё… Дальше нужно говорить о параллельности и о треугольниках. Так что, вперед, в следующие темы.

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника до конца учебного года.

Всего 299 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть