Коротко о главном Средний уровень

Расстояние между плоскостями. Коротко о главном.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2017 Пройти пробный ОГЭ 2017

Расстояние между параллельными плоскостями – длина отрезка их общего перпендикуляра, заключенного между плоскостями

Вот так:

  - расстояние между плоскостями.

Расстояние между параллельными плоскостями – длина отрезка их общего перпендикуляра, заключенного между плоскостями

Вот так:

Расстояние между плоскостями 1

  - расстояние между плоскостями.

Да, но как найти это расстояние в задачах?

Иногда бывает так, что по каким-то соображениям можно прямо увидеть этот общий перпендикуляр.

Вот, например:

Задача:

В кубе   найти расстояние между плоскостями   и  , если ребро куба равно  .

Решаем:

Расстояние между плоскостями 2

Проведем диагональ куба  .

Докажем, что   (тогда будет и  )

1)   - проекция   на  .

  т.к. (  - квадрат), значит (Внимание!) по теореме о трех перпендикулярах  

2)   - проекция   на плоскость  .

  (так как   - квадрат)   по теореме о трех перпендикулярах  .

Итак, вышло:

 

(смотри тему «Перпендикулярность в пространстве», если не совсем хорошо помнишь все теоремы)Теперь нужно найти   - и все!

Вспомним, что  

 . Нарисуем теперь плоскость   отдельно.

Расстояние между плоскостями 3

Посмотри внимательно и убедись, что чертеж именно такой! А теперь уже легко:

 ,

Точно так же  .

И в итоге:  .

 .

Вот и нашли.

Не очень–то просто? Но иногда бывает еще хуже: общего перпендикуляра не видно. Нельзя сказать: вот эта линия перпендикулярна обеим плоскостям. Что же тогда делать? Для того, чтобы найти расстояние между параллельными плоскостями, часто нужно подобрать удобную точку на одной плоскости и найти расстояние от этой точки до другой плоскости.

Как найти расстояние от точки до плоскости, мы подробно обсуждаем в теме «расстояние от точки до плоскости».

Здесь же мы рассмотрим один пример, чтобы понять, как же это «подобрать удобную точку» в конкретных задачах.

Задача:

Расстояние между плоскостями 4

В правильной шестиугольной пирамиде   точки   и   - середины ребер   и   соответственно. Найти расстояние между плоскостями   и  , если сторона основания пирамиды равна  , а боковое ребро равно  .

  точка   и   - трапеция.

Какая же удобная точка?

Вот представь себе – это точка  !

Почему же?

Ну, во первых она лежит на плоскости   - это уже хорошо. А во-вторых из нее удобно опускать перпендикуляр на плоскость  . Давай увидим это:

Расстояние между плоскостями 5

Пусть   - середина  .

Тогда   и  .

Значит  

Опустим   - высоту в  

Тогда   - по построению и  , т.к.    .

Значит,   - и есть расстояние между   и  .

Осталось это   найти.

 

 

 ;  .

 

 ;  

  (высота прямоугольного треугольника)

 

Ответ:  

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника до конца учебного года.

Всего 299 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть