30 июля

0 comments

Расстояние от точки до прямой (ЕГЭ – 2021)

Это совсем короткая тема. И совсем не сложная.

Но она очень полезная в решении задач по стереометрии! 

Более того, БОЛЬШИНСТВО задач стереометрии просят тебя найти какое-то расстояние в пространстве. Между диагональю и точкой, например...

Читай эту статью и сможешь без труда найти расстояние от точки до прямой!

Как найти расстояние от точки до прямой в пространстве?

Чтобы найти расстояние от точки до прямой в пространстве, нужно из этой точки опустить перпендикуляр на прямую и найти длину этого перпендикуляра.

Вот так:

В задачах, как правило, отрезок \(\displaystyle AH\) – это высота какой-либо фигуры (чаще всего – треугольника).

Давай убедимся в этом на примерах.

Пример решения задачи

Задача:

Дан куб \( \displaystyle ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\) с ребром, равным \( \displaystyle 2\).

Найти расстояние от точки \( \displaystyle {{A}_{1}}\) до прямой \( \displaystyle D{{C}_{1}}\).

Решаем:

Первым делом организуем треугольник. Как?

Да очень просто – соединим точку \( \displaystyle {{A}_{1}}\) с точками \( \displaystyle D\) и \( \displaystyle {{C}_{1}}\).

Так можно делать в любой задаче, потому что любые три точки лежат в одной плоскости.

Итак, получился треугольник \( \displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}D.\)

Теперь найдем требуемое расстояние от точки до прямой:

Чтобы найти расстояние от точки \( \displaystyle {{A}_{1}}\) до прямой \( \displaystyle D{{C}_{1}}\), теперь достаточно найти высоту \( \displaystyle {{A}_{1}}H\) в \( \displaystyle \Delta {{A}_{1}}{{C}_{1}}D.\)

Что же это за треугольник? Смотри внимательно:

\( \displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}\) – диагональ квадрата со стороной \( \displaystyle 2\), значит \( \displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}^{2}={{2}^{2}}+{{2}^{2}}=8\), то есть \( \displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}=2\sqrt{2}\).

Но \( \displaystyle {{A}_{1}}D\) – тоже диагональ квадрата со стороной \( \displaystyle 2\), значит \( \displaystyle {{A}_{1}}{{D}^{2}}={{2}^{2}}+{{2}^{2}}=8\); \( \displaystyle {{A}_{1}}D=2\sqrt{2}\).

А \( \displaystyle D{{C}_{1}}\)? Конечно же , и это диагональ квадрата со стороной \( \displaystyle 2\), поэтому \( \displaystyle D{{C}_{1}}^{2}={{2}^{2}}+{{2}^{2}}=8\); \( \displaystyle D{{C}_{1}}=2\sqrt{2}\).

Что вышло? Равносторонний треугольник получился!

\( \displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}={{A}_{1}}D=D{{C}_{1}}=2\sqrt{2}\).

Значит, \( \displaystyle AH\) - не только высота, но и медиана, \( \displaystyle H{{C}_{1}}=\frac{D{{C}_{1}}}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\).

Осталось применить теорему Пифагора:

\( \displaystyle {{A}_{1}}{{H}^{2}}={{A}_{1}}{{C}_{1}}^{2}-H{{C}_{1}}^{2}={{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}=6\).

Следовательно, расстояние от точки до прямой равно:

\( \displaystyle {{A}_{1}}H=\sqrt{6}\).

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

А сейчас дело для тебя...

Сегодня ты научился определять расстояние от точки до прямой. А это один из самых базовых и важных навыков в стереометрии!

А теперь мы хотим услышать тебя. Расскажи нам в комментариях внизу, что думаешь об этой статье?

Была ли она полезной? Ты во всем разобрался?

А еще ты можешь задать любые вопросы в комментариях. И мы обязательно ответим.

Удачи!

{"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
>