Расстояние от точки до прямой (ЕГЭ – 2021)

Это совсем короткая тема. И совсем не сложная.

Но она очень полезная в решении задач по стереометрии! 

Более того, БОЛЬШИНСТВО задач стереометрии просят тебя найти какое-то расстояние в пространстве. Между диагональю и точкой, например...

Читай эту статью и сможешь без труда найти расстояние от точки до прямой!

Как найти расстояние от точки до прямой в пространстве?

Чтобы найти расстояние от точки до прямой в пространстве, нужно из этой точки опустить перпендикуляр на прямую и найти длину этого перпендикуляра.

Вот так:

В задачах, как правило, отрезок \(\displaystyle AH\) – это высота какой-либо фигуры (чаще всего – треугольника).

Давай убедимся в этом на примерах.

Пример решения задачи

Задача:

Дан куб \( \displaystyle ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\) с ребром, равным \( \displaystyle 2\).

Найти расстояние от точки \( \displaystyle {{A}_{1}}\) до прямой \( \displaystyle D{{C}_{1}}\).

Решаем:

Первым делом организуем треугольник. Как?

Да очень просто – соединим точку \( \displaystyle {{A}_{1}}\) с точками \( \displaystyle D\) и \( \displaystyle {{C}_{1}}\).

Так можно делать в любой задаче, потому что любые три точки лежат в одной плоскости.

Итак, получился треугольник \( \displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}D.\)

Теперь найдем требуемое расстояние от точки до прямой:

Чтобы найти расстояние от точки \( \displaystyle {{A}_{1}}\) до прямой \( \displaystyle D{{C}_{1}}\), теперь достаточно найти высоту \( \displaystyle {{A}_{1}}H\) в \( \displaystyle \Delta {{A}_{1}}{{C}_{1}}D.\)

Что же это за треугольник? Смотри внимательно:

\( \displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}\) – диагональ квадрата со стороной \( \displaystyle 2\), значит \( \displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}^{2}={{2}^{2}}+{{2}^{2}}=8\), то есть \( \displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}=2\sqrt{2}\).

Но \( \displaystyle {{A}_{1}}D\) – тоже диагональ квадрата со стороной \( \displaystyle 2\), значит \( \displaystyle {{A}_{1}}{{D}^{2}}={{2}^{2}}+{{2}^{2}}=8\); \( \displaystyle {{A}_{1}}D=2\sqrt{2}\).

А \( \displaystyle D{{C}_{1}}\)? Конечно же , и это диагональ квадрата со стороной \( \displaystyle 2\), поэтому \( \displaystyle D{{C}_{1}}^{2}={{2}^{2}}+{{2}^{2}}=8\); \( \displaystyle D{{C}_{1}}=2\sqrt{2}\).

Что вышло? Равносторонний треугольник получился!

\( \displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}={{A}_{1}}D=D{{C}_{1}}=2\sqrt{2}\).

Значит, \( \displaystyle AH\) - не только высота, но и медиана, \( \displaystyle H{{C}_{1}}=\frac{D{{C}_{1}}}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\).

Осталось применить теорему Пифагора:

\( \displaystyle {{A}_{1}}{{H}^{2}}={{A}_{1}}{{C}_{1}}^{2}-H{{C}_{1}}^{2}={{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}=6\).

Следовательно, расстояние от точки до прямой равно:

\( \displaystyle {{A}_{1}}H=\sqrt{6}\).


{"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
>